2020年06月30日
小学校算数。点対称の図形。
「対称な図形」は、小学校６年生で学習する単元です。
教科書によるのですが、この単元が６年生の教科書の冒頭にあり、しかも、学校が休校のため、これを独学するのが宿題だった子も多かったようです。
なお、三鷹市で採択されている教科書では、最初の単元が「ならべ方・組み合わせ方」でした。
樹形図の描き方は、手取り足取りで教えないと中学生でもなかなか定着しないのに大丈夫なのかしらと、これも心配でした。
そして、登校が始まったらあっという間に１つの単元が終了し、カラーテストを受けることとなり、苦労した子も今年は多いようです。
さて、まずは、線対称。
折り紙のように真ん中で折り重ねたとき、ぴったりと重なる図形が、線対称な図形です。
方眼紙に線対称な図形の半分が描かれていて、残り半分を完成させる問題が典型題です。
対称の軸が方眼紙上に垂直または水平に引かれている場合は、易しいです。
これは、理解できない子はほとんどいません。
ところが、上の図１のように、対称の軸が斜めになると、少し混乱する子が現れます。
完成図を正しくイメージすることができないのです。
頭の中に誤ったイメージが浮かびやすく、それが邪魔になる様子です。
例題などで最初に練習した問題の対象の軸が垂直方向だったため、対応する点や線分はすべて水平移動だと思い込んでしまう場合があります。
上の図１でいえば、矢印の先端部分の線分が、水平移動だと思い込むのです。
「・・・方眼紙から飛び出すけど、いいですか」
という質問をするので、え？と思い、その子がどういう誤解をしているのか気づくことがあります。
図１で、水平方向の線分は、対称移動すると垂直方向の線分になります。
それをイメージできないのです。
図形のイメージ力は個人差が大きいです。
頭の中に描くイメージだけで図を完成させられる子もいます。
しかし、本人のイメージ力が弱い、あるいは誤謬が多い場合は、想像するだけでは図を完成させることができません。
その場合は、理屈で図を完成させればよいのです。
それは「逃げ」ではありません。
線対称の図形の性質を正しく使用して作図するのですから、それもまた数学的な態度です。
では、線対称な図形の性質とは何か？
①対応する辺の長さは等しい。
②対応する角の大きさは等しい。
③対応する点を結んだ線分は、対称の軸と垂直に交わる。
④対応する点と対称の軸との距離は等しい。
これらの性質を利用し、図中に描かれている点を対称移動することで、残り半分を描いていきます。
上の図１でいえば、一番上の「矢印のてっぺんの点」は、対称の軸上にある点なので、移動せず、そのままです。
いや、完成図が「矢印」になるとわかっている時点で正しいイメージができているのですが、それは説明のための方便としてお許しください。
てっぺんから「左に５」だけ移動した位置にある点を正しく打ち込めるかが、最初の鍵です。
対称の軸が方眼紙に垂直だろうが斜めだろうが、対応する点を水平に移動させる間違ったイメージが邪魔をします。
その最初の点を打ち間違えたら、もう残りはぐちゃぐちゃです。
方眼紙に描く場合でも、定規をあてるとかなり楽になります。
理想は三角定規ですが、おそらく道具袋の奥にあり、探すのが大変でしょうから、普通の定規で大丈夫です。
短い定規は、ペンケースに常に入れておくと便利です。
その定規を、対称の軸と垂直の位置におきます。
大体で構いません。
対称移動する方向さえ見えてくればよいのです。
矢印のてっぺんから「左に５」の位置にある点は、どこに移動するか？
予想外に下のほうに移動するのだと、定規を使うことでイメージできます。
距離は？
対応する点と対称の軸との距離はそれぞれ等しいのだから、大体このあたりの点？
では、正確には？
対応する辺の長さは等しいのだから、てっぺんの点から下に５の位置？
これで正確な点の位置が判断できます。
この点を１つ打ち、てっぺんの点と結べば、残りのイメージは正確に描ける子が多いです。
ああ、こういう向きだったのかあ。
わかったー。
感動の声を上げて、残りは自力で描きあげていきます。
しかし、イメージ力には個人差があり、それでもその先をイメージできない子も中にはいます。
その場合は、次の点も、上と同じ作業を繰り返し、定規をあてて、対称移動した先のおおよその位置を特定していきます。
線対称の場合は、上の作業で大多数の子が描けるようになりますが、点対称の場合は、もっと苦闘する場合があります。
図２を見てください。
描かれている半分は図１と同じですが、完成される図は「矢印」ではありません。
「矢印を描く」という固定観念にしばられ、完成イメージを思い描けない子が多いです。
点対称の図を描いているつもりでも、途中から線対称の「矢印」を描き始めてしまうのです。
正しい点を打っているのに、矢印にならないことに混乱してしまう子もいます。
完成させるべき図は矢印ではないのに、矢印を描こうとして苦闘するのです。
図２の問題は、大人の人でも苦戦される方がいらっしゃると思います。
何の手がかりもなく、上の図２を見ただけで点対称の図形の完成図をイメージできる人のほうがむしろ少ないでしょう。
それは特別なイメージ力を持っている方だと思います。
しかし、そんな特別な才能を持っていなくても、点対称の図形を完成させることはできます。
こちらも、点対称の図形の性質を使えば、正しく作図できます。
では、点対称な図形の性質とは何か？
①対応する辺の長さは等しい。
②対応する角の大きさは等しい。
③対応する点を結んだ線分は、対称の中心を通る。
④対応する点と対称の中心との距離は等しい。
つまり、これも、定規を使用すれば、正しい位置に対応する点を打っていくことが可能です。
まず、移動したい点と対称の中心を直線で結びます。
その直線上のどこかに、対応する点があります。
対応すると点と対称の中心との距離は等しいです。
どの点から始めても大丈夫ですが、点Ｏに近いところから始めたほうが混乱を避けられると思います。
まず、点Ｏから上に２の位置にある点から移動しましょう。
その点と点Ｏとを結んだ直線は、方眼の垂直方向の直線です。
距離は、点Ｏから２。
よって、点Ｏから下に２の位置にこの点は移動します。
ここからは何通りかのやり方がありますが、移動した点から次の点に移動するほうが楽かもしれません。
最初に注目した点から、次の点は、左に２、上に２だけ移動した位置にあります。
点対称は１８０度回転するのですから、移動後の点から右に２、下に２だけ移動したのが次の点です。
点を打ったら、すぐに前の点と結び、線分を明らかにしておきましょう。
点だけ先に全部打って後で結ぼうとすると、間違った点どうしを結んでしまい、混乱を助長させてしまう可能性があるのです。
移動前の点と移動後の点に定規を当て、ちゃんと対称の中心を通っているかも確認します。
この繰り返しで点を移動していくと、徐々に図形が見えてきます。
完成図のおおよそがイメージできるようになったら、上の作業を省略し、自分の力で次の点を打っていっても大丈夫でしょう。
ときどき定規を当て、対応する点を結んだ線分が対称の中心を通っているか確認すれば、さらに間違いないです。
そのようにして完成した図が、下の図となります。
2020年06月28日
山に行けないので、山の本を読みました。
山に行けない日々が続いています。
行こうと思えば行けるのですが、山へ向かう休日の朝の電車やバスというのは独特の空間です。
特にバスは、おしゃべりが車内にワンワンと反響し、次の停留所を伝えるアナウンスすら聞こえないこともあります。
周囲がうるさいので、自分の声を通そうとしてさらに大声で喋る人たちが多くなり、ますますうるさくなる。
恐ろしいスパイラル。
それが、山へ向かう朝のバスです。
マスクをすり抜けたマイクロ飛沫が飛び交う空間。
混雑した通勤電車よりもリスクが高いと思います。
・・・いや、静かなときは静かなのです。
こんな時期ですから、マナーを守って、乗り物の中では沈黙している人のほうが多いだろうとも思います。
でも、世の中の人全員に、同じマナー、同じ意識を期待するのは難しい。
先日、ネットを見ていたら、何かの記事のコメント欄に、
「珠算教室の先生が、自粛明けに教室が再開したら人が変わったように神経質になっていて、小言や愚痴が多くなったので、うちの子は嫌気がさしてやめた」
といったものがあり、ゾッとしました。
今の時期は、もうコロナ禍は去ったような気分でいる人と、３月・４月の用心深さのままでいる人とが、同じ社会で生きていかねばならないので、軋轢も摩擦も多いと思います。
注意は勉強のことだけにしたいのに、本当にくだらないことを注意しなければならないときは、私自身、気が滅入ります。
もっと机の端に寄り、２メートルの距離を保ちましょう、とか。
ノートなどの手渡しのため接近するときには無言でお願いします、とか。
それを「人が変わったように神経質」と呼ぶ人もいるかもしれません。
気をつけないと。
とりあえず、山へ行くのはもう少し保留することとして、休日は部屋の片づけをしたり、山の本を読んだりしています。
先日購入し、あっという間に読み終わったのが、山田哲哉著『奥多摩 山、谷、峠、そして人』です。
山岳雑誌『山と渓谷』に今年の１月号まで連載されていたエッセイをまとめた本です。
このブログのタイトルから想像される通り、私は、山岳雑誌は『山と渓谷』派で、年間購読しています。
雑誌が届くと、まずは最初の特集記事からパラパラとめくり、あ、面白そう、あとで読もうと先送りにし、結局、一番最初に読むのが、この連載でした。
雑誌の巻末近くの地味なエッセイ。
最初はそうした印象で、読まなかった回もあったと思うのですが、何しろ知っている山・歩いたことのある山のことが沢山出てくるのです。
笠取山。棒ノ折山。浅間尾根。小河内峠。生藤山。三国峠。三頭山。雲取山。川苔山。飛竜山。御前山。高水三山。笹尾根。天平尾根。蕎麦粒山。鷹ノ巣山。雁峠。馬頭刈尾根。大岳山。
自分が歩いたことのある山のことを読むのは何でも面白く、だから、私のつたない山の記録でも読んでくださる方がいらっしゃいます。
それが、この本に記されているのは、今から５０年ほど前の、著者が中学生から高校生だった頃の思い出の山歩きなのです。
１９５４年武蔵野市生まれの著者の中学生から高校生の頃の山歩き。
６０年代後半から７０年代前半の奥多摩。
今の奥多摩の、植林の中の暗い山道ではなく、カヤトの原の広がる道。
鹿の食害がなく、季節ごとにアツモリソウ、オダマキ、ヤナギラン、マツムシソウの花々が咲き乱れる奥多摩。
地形を知っている山の、でも、今は残っていない風景。
それを思い描きながら、遠い昔の山を、自分も歩いた気持ちになれる本です。
私の持っている一番古い奥多摩の登山地図には、鷹ノ巣山の山頂直下に「お花畑」と記されてあります。
今は何も咲かないあの急な坂道。
あそこは、ヤナギランのお花畑だったのだそうです。
それを読むと、広い石尾根の防火帯に咲くヤナギランの中を歩いたことがあるような気がしてきます。
いや、しかし、思い出の山というだけなら、途中で飽きてしまったのかもしれません。
結局、その頃の奥多摩を、私は知りません。
挿しはさまれる現代の奥多摩の描写が、さらに興味深いのです。
この数年、奥多摩にはさまざまなことがありました。
例えば、２０１４年２月半ばの大雪。
山梨県周辺は未曽有の大雪で電車も高速道路上の車も立ち往生となり、大変な数日を過ごされた方が多かったと思います。
奥多摩も雪に閉じ込められ、全てが不通となりました。
２０代の小屋番が１人で留守番をしていた雲取山荘は、ひと月ほど孤立したそうです。
３月になってようやく青梅警察署の山岳救助隊が丸２日をかけて雲取山荘にやってきたとのこと。
この記述を読んで、私はこの直後に雲取山に登ったことを思い出しました。
３月５日(水)、奥多摩～丹波間のバスが復旧。
３月７日(金)、警察関係者３０名ほどが訓練のため山に入り、雲取山の鴨沢コースにトレースがついた。
山の情報サイトでそれを知って、私は３月９日(日)・１０日(月)に登りました。
あれは訓練ではなく、山岳救助だったんだ・・・。
ちらっと『山と渓谷』の記事で読んだことはあったのです。
雲取山荘の小屋番からのＳＯＳは、まず小屋関係者に届きました。
しかし、鴨沢コースは登山口に行くことすら困難。
そこで、三峰神社から小屋関係者が登ろうとしたけれど、胸までの雪に断念。
その後、警察が出動した。
そうした経緯を記事で読んでいました。
やはり、訓練ではなく、本番だったんですね。
訓練を兼ねて小屋番の様子を見に行こう、ということだったのかもしれませんが。
本当に緊急のことなら、ヘリで救助したでしょうから。
雲取山まで、３０人規模で交替でラッセルしても２日がかりだったそうです。
あのとき、七ツ石山手前から雲取山の山頂までは、青空の下、素晴らしく広いトレースが続いていました。
あの雪道は楽しかったと今も思い出します。
雲取山荘に宿泊しましたが、スタッフも何人もいて、客が少ない以外は、普段通りの雲取山荘でした。
警察関係者と一緒に、スタッフも登ったのかもしれません。
２０１４年３月の終わりに、私は川苔山も歩きましたが、それでもまだ凄い雪で、山頂の道しるべは、文字板のすぐ下が雪に埋まっていました。
鳩ノ巣駅からの一番易しいコースで登っても、やはり人が少なく、静かな山でした。
あの年、川乗橋からの谷沿いのコースは、木橋が崩落し、また雪崩の恐れもあり、長く通行禁止でした。
あの大雪で多くの鹿が死に、その年の春は、奥多摩にも珍しい花がぽつぽつと見られたそうです。
鹿は、雪が深いと歩くことができず、死んでしまうのだそうです。
読み進めていくと、ここ数年の山のことが思いだされます。
自分の体験と本の記述とがしばしばオーバーラップします。
そういえば４月に雪が降った年がありました。
街でも毎朝氷点下になった冬もありました。
午前中は給湯器が凍結して、お湯が出なくて困りましたっけ。
ここ数年のことなのに忘れかけていたことが、よみがえってきます。
２０１４年の大雪。
そして、２０１９年の台風。
自然の猛威により登山道は崩落し、しばしば通行止めとなりました。
それでも、人気のある登山道はその都度修復されていきました。
しかし、修復が難しいこともあるようです。
道だけでなく、さまざまなことが変わりました。
２０１９年、奥多摩町が、老朽化した奥多摩小屋の撤去に伴う予算を計上したとの記述があります。
鴨沢から雲取山へと向かう登山道の中でも広く歩きやすく風景が圧巻の場所に立つ奥多摩小屋がもう機能していないのだそうです。
では、テント場も、使用禁止となるのでしょうか？
管理人がいない場所でのテント泊は禁じられることが多いのです。
今は若い人を中心にテント泊が流行しています。
コロナ禍が収束しない限り山小屋泊りは難しいですから、１人用テントで泊まる計画を立てている人は多いと思います。
あそこが使用できないとなったら、どうなるのでしょう。
私自身は、雲取山に登るときには毎回雲取山荘に泊まっていましたが、いつか、春秋の気候の良いときに奥多摩でテント泊をしたいと思っていました。
そんなに困難な計画でもないので、老後の楽しみのような気持ちでいました。
そのときのテント場は奥多摩小屋前と決めていたのですが。
奥多摩小屋で「仙人」と呼ばれた名物管理人のことも、この本には書かれています。
登山者の様子をよく見ている人だったのだと短い記述でも感じます。
私は小屋前を通りかかったときに作業中のその人と目があって挨拶した思い出があります。
明らかに雲取山荘に泊まって下山する時間帯に小屋の前を通り、普通のサイズのザックに普通の山服で普通に歩いている登山客に対しては、会釈もしてくれなかったですが。
しかし、興味を持たれなかったのは、この場合、良いことだと思っています。
登山客として問題なかったということですから。
以前、奥多摩の警察関係者の方の書いた本で読んだのですが、この仙人は、管理人を辞めた後、奥多摩の山中に独りで小屋を建ててひっそり暮らしていたとのこと。
でも、それが関係者に見つかって、また行方がわからなくなったとのことでした。
知り合いに対してすら、それなりに気難しい・・・。
この方が管理人を辞めて以後の奥多摩小屋のことを、この本で初めて読み、つらい気持ちになりました。
でも、また何か新しい動きが起こらないかな。
あのテント場は、奥多摩町にとっても貴重なもののはずだから。
そんな少しの希望も抱いて、本を読み終えました。
行こうと思えば行けるのですが、山へ向かう休日の朝の電車やバスというのは独特の空間です。
特にバスは、おしゃべりが車内にワンワンと反響し、次の停留所を伝えるアナウンスすら聞こえないこともあります。
周囲がうるさいので、自分の声を通そうとしてさらに大声で喋る人たちが多くなり、ますますうるさくなる。
恐ろしいスパイラル。
それが、山へ向かう朝のバスです。
マスクをすり抜けたマイクロ飛沫が飛び交う空間。
混雑した通勤電車よりもリスクが高いと思います。
・・・いや、静かなときは静かなのです。
こんな時期ですから、マナーを守って、乗り物の中では沈黙している人のほうが多いだろうとも思います。
でも、世の中の人全員に、同じマナー、同じ意識を期待するのは難しい。
先日、ネットを見ていたら、何かの記事のコメント欄に、
「珠算教室の先生が、自粛明けに教室が再開したら人が変わったように神経質になっていて、小言や愚痴が多くなったので、うちの子は嫌気がさしてやめた」
といったものがあり、ゾッとしました。
今の時期は、もうコロナ禍は去ったような気分でいる人と、３月・４月の用心深さのままでいる人とが、同じ社会で生きていかねばならないので、軋轢も摩擦も多いと思います。
注意は勉強のことだけにしたいのに、本当にくだらないことを注意しなければならないときは、私自身、気が滅入ります。
もっと机の端に寄り、２メートルの距離を保ちましょう、とか。
ノートなどの手渡しのため接近するときには無言でお願いします、とか。
それを「人が変わったように神経質」と呼ぶ人もいるかもしれません。
気をつけないと。
とりあえず、山へ行くのはもう少し保留することとして、休日は部屋の片づけをしたり、山の本を読んだりしています。
先日購入し、あっという間に読み終わったのが、山田哲哉著『奥多摩 山、谷、峠、そして人』です。
山岳雑誌『山と渓谷』に今年の１月号まで連載されていたエッセイをまとめた本です。
このブログのタイトルから想像される通り、私は、山岳雑誌は『山と渓谷』派で、年間購読しています。
雑誌が届くと、まずは最初の特集記事からパラパラとめくり、あ、面白そう、あとで読もうと先送りにし、結局、一番最初に読むのが、この連載でした。
雑誌の巻末近くの地味なエッセイ。
最初はそうした印象で、読まなかった回もあったと思うのですが、何しろ知っている山・歩いたことのある山のことが沢山出てくるのです。
笠取山。棒ノ折山。浅間尾根。小河内峠。生藤山。三国峠。三頭山。雲取山。川苔山。飛竜山。御前山。高水三山。笹尾根。天平尾根。蕎麦粒山。鷹ノ巣山。雁峠。馬頭刈尾根。大岳山。
自分が歩いたことのある山のことを読むのは何でも面白く、だから、私のつたない山の記録でも読んでくださる方がいらっしゃいます。
それが、この本に記されているのは、今から５０年ほど前の、著者が中学生から高校生だった頃の思い出の山歩きなのです。
１９５４年武蔵野市生まれの著者の中学生から高校生の頃の山歩き。
６０年代後半から７０年代前半の奥多摩。
今の奥多摩の、植林の中の暗い山道ではなく、カヤトの原の広がる道。
鹿の食害がなく、季節ごとにアツモリソウ、オダマキ、ヤナギラン、マツムシソウの花々が咲き乱れる奥多摩。
地形を知っている山の、でも、今は残っていない風景。
それを思い描きながら、遠い昔の山を、自分も歩いた気持ちになれる本です。
私の持っている一番古い奥多摩の登山地図には、鷹ノ巣山の山頂直下に「お花畑」と記されてあります。
今は何も咲かないあの急な坂道。
あそこは、ヤナギランのお花畑だったのだそうです。
それを読むと、広い石尾根の防火帯に咲くヤナギランの中を歩いたことがあるような気がしてきます。
いや、しかし、思い出の山というだけなら、途中で飽きてしまったのかもしれません。
結局、その頃の奥多摩を、私は知りません。
挿しはさまれる現代の奥多摩の描写が、さらに興味深いのです。
この数年、奥多摩にはさまざまなことがありました。
例えば、２０１４年２月半ばの大雪。
山梨県周辺は未曽有の大雪で電車も高速道路上の車も立ち往生となり、大変な数日を過ごされた方が多かったと思います。
奥多摩も雪に閉じ込められ、全てが不通となりました。
２０代の小屋番が１人で留守番をしていた雲取山荘は、ひと月ほど孤立したそうです。
３月になってようやく青梅警察署の山岳救助隊が丸２日をかけて雲取山荘にやってきたとのこと。
この記述を読んで、私はこの直後に雲取山に登ったことを思い出しました。
３月５日(水)、奥多摩～丹波間のバスが復旧。
３月７日(金)、警察関係者３０名ほどが訓練のため山に入り、雲取山の鴨沢コースにトレースがついた。
山の情報サイトでそれを知って、私は３月９日(日)・１０日(月)に登りました。
あれは訓練ではなく、山岳救助だったんだ・・・。
ちらっと『山と渓谷』の記事で読んだことはあったのです。
雲取山荘の小屋番からのＳＯＳは、まず小屋関係者に届きました。
しかし、鴨沢コースは登山口に行くことすら困難。
そこで、三峰神社から小屋関係者が登ろうとしたけれど、胸までの雪に断念。
その後、警察が出動した。
そうした経緯を記事で読んでいました。
やはり、訓練ではなく、本番だったんですね。
訓練を兼ねて小屋番の様子を見に行こう、ということだったのかもしれませんが。
本当に緊急のことなら、ヘリで救助したでしょうから。
雲取山まで、３０人規模で交替でラッセルしても２日がかりだったそうです。
あのとき、七ツ石山手前から雲取山の山頂までは、青空の下、素晴らしく広いトレースが続いていました。
あの雪道は楽しかったと今も思い出します。
雲取山荘に宿泊しましたが、スタッフも何人もいて、客が少ない以外は、普段通りの雲取山荘でした。
警察関係者と一緒に、スタッフも登ったのかもしれません。
２０１４年３月の終わりに、私は川苔山も歩きましたが、それでもまだ凄い雪で、山頂の道しるべは、文字板のすぐ下が雪に埋まっていました。
鳩ノ巣駅からの一番易しいコースで登っても、やはり人が少なく、静かな山でした。
あの年、川乗橋からの谷沿いのコースは、木橋が崩落し、また雪崩の恐れもあり、長く通行禁止でした。
あの大雪で多くの鹿が死に、その年の春は、奥多摩にも珍しい花がぽつぽつと見られたそうです。
鹿は、雪が深いと歩くことができず、死んでしまうのだそうです。
読み進めていくと、ここ数年の山のことが思いだされます。
自分の体験と本の記述とがしばしばオーバーラップします。
そういえば４月に雪が降った年がありました。
街でも毎朝氷点下になった冬もありました。
午前中は給湯器が凍結して、お湯が出なくて困りましたっけ。
ここ数年のことなのに忘れかけていたことが、よみがえってきます。
２０１４年の大雪。
そして、２０１９年の台風。
自然の猛威により登山道は崩落し、しばしば通行止めとなりました。
それでも、人気のある登山道はその都度修復されていきました。
しかし、修復が難しいこともあるようです。
道だけでなく、さまざまなことが変わりました。
２０１９年、奥多摩町が、老朽化した奥多摩小屋の撤去に伴う予算を計上したとの記述があります。
鴨沢から雲取山へと向かう登山道の中でも広く歩きやすく風景が圧巻の場所に立つ奥多摩小屋がもう機能していないのだそうです。
では、テント場も、使用禁止となるのでしょうか？
管理人がいない場所でのテント泊は禁じられることが多いのです。
今は若い人を中心にテント泊が流行しています。
コロナ禍が収束しない限り山小屋泊りは難しいですから、１人用テントで泊まる計画を立てている人は多いと思います。
あそこが使用できないとなったら、どうなるのでしょう。
私自身は、雲取山に登るときには毎回雲取山荘に泊まっていましたが、いつか、春秋の気候の良いときに奥多摩でテント泊をしたいと思っていました。
そんなに困難な計画でもないので、老後の楽しみのような気持ちでいました。
そのときのテント場は奥多摩小屋前と決めていたのですが。
奥多摩小屋で「仙人」と呼ばれた名物管理人のことも、この本には書かれています。
登山者の様子をよく見ている人だったのだと短い記述でも感じます。
私は小屋前を通りかかったときに作業中のその人と目があって挨拶した思い出があります。
明らかに雲取山荘に泊まって下山する時間帯に小屋の前を通り、普通のサイズのザックに普通の山服で普通に歩いている登山客に対しては、会釈もしてくれなかったですが。
しかし、興味を持たれなかったのは、この場合、良いことだと思っています。
登山客として問題なかったということですから。
以前、奥多摩の警察関係者の方の書いた本で読んだのですが、この仙人は、管理人を辞めた後、奥多摩の山中に独りで小屋を建ててひっそり暮らしていたとのこと。
でも、それが関係者に見つかって、また行方がわからなくなったとのことでした。
知り合いに対してすら、それなりに気難しい・・・。
この方が管理人を辞めて以後の奥多摩小屋のことを、この本で初めて読み、つらい気持ちになりました。
でも、また何か新しい動きが起こらないかな。
あのテント場は、奥多摩町にとっても貴重なもののはずだから。
そんな少しの希望も抱いて、本を読み終えました。
2020年06月24日
高校英語。関係代名詞。関係代名詞としての than。
今回は、関係代名詞の than の話。
しかし、これは as とは違い、空所補充問題ではそんなに悩まない人もいるかもしれません。
例題で確認しましょう。
問題 次の空所を埋めよ。
(１) The next war will be more cruel ( ) can be imagined.
次の戦争は想像もできないほど残酷なものだろう。
(２) There is more space ( ) is needed.
必要以上のスペースがある。
正解は、
(１) The next war will be more cruel (than) can be imagined.
(２) There is more space (than) is needed.
です。
空所の前に比較級があるので、答は than だろうと推測し、それで正解できる人も多いと思います。
むしろ、( )の後ろをいちいち見ない雑な解き方をする人のほうが、簡単に正解するということもありそうです。
文法的な見方をある程度する人のほうが、案外こうした問題で悩んでしまうでしょう。
何だ、いつもの than じゃないか、と埋めようとして、手が止まります。
いつもの than は接続詞です。
接続詞は、ＳやＯにはなりません。
( )の後に、主語がない・・・。
これは、than ではないのでは？
あれこれ悩んで、
(１) The next war will be more cruel (that) can be imagined.
(２) There is more space (that) is needed.
としてしまう人もいます。
先行詞を最上級の形容詞が修飾するときは that だから、比較級でも that かな？
そんなふうに誤解してしまうのでしょう。
than という関係代名詞があることを知っていれば、そんな誤答をせずに済みます。
関係代名詞は、従属節の主語の働きをしますから。
細かい文法分析はどうでもいい、正解できればいいという考え方もあると思いますが、空所補充問題ならそれで良くても、乱文整序問題では、 than が関係代名詞のときもあることを知らないと、上手く並べられないかもしれません。
まして、以下のような問題の場合、かなり困惑すると思います。
問題 次の英文に文法的に誤りがあれば指摘して改めよ。誤りがない場合は解答欄に〇をつけよ。
(１) The next war will be more cruel than can be imagined.
(２) There is more space than is needed.
空所を補充しろと言われたら深く考えずに than を入れる人も、この英文を改めて読むと違和感があるかもしれません。
あれ？
何かおかしくない？
than の周辺に何か単語が足りなくない？
そうだ。主語が足りないんだ。
わかった。
(１)は、(誤) than (正) than we
(２)は、(誤) than (正) than it
そう思う気持ちもわかります。
(１) The next war will be more cruel than we can be imagined.
(２) There is more space than it is needed.
は、これはこれで正しい文です。
これらの than は接続詞の than です。
しかし、than には関係代名詞の than があります。
関係代名詞節の中で、主語の働きをします。
だから、主語を補わなくても良いのです。
したがって、上の問題の正解は、(１)〇 (２)〇 です。
もっとも、こんなひどいひっかけ問題は通常作られません。
こういう問題こそ、ひっかけ問題というのです。
ただ、than が関係代名詞として使われることを知らないと、長文を読む際にも、このあたりのことでモヤモヤして、文意が上手く取れない人もいるかと思います。
やはり、知識を身を助けます。
なお、さらに面倒くさいことを述べるなら、
(１) The next war will be more cruel than can be imagined.
(２) There is more space than is needed.
の than も、接続詞と見ることが可能です。
従属節では、代名詞の主語は省略できるのです。
だから、この文の than は接続詞で、その後の we や it が省略されているだけとみなすこともできます。
その見方でも、上の問題の正解は、(１)〇 (２)〇 です。
上の２つは、than が関係代名詞の中で主語の働きをしていましたが、than は目的語の働きもします。
He didn't accept more money than he really needed.
彼は、本当に必要なお金以上は受け取らなかった。
この than は、目的格の関係代名詞と見ることもできますし、接続詞と見ることもできます。
どちらにしても文意は同じですので、こんな場合は、接続詞と関係代名詞の区別をしなくてもよいのです。
ここからは余談ですが、上の説明の途中で、than とthat とが同じに見えて、「うん？」となった人はいるでしょうか。
実は私も書いていて、うっかり書き間違い、慌てて直しました。
than と that はスペルが似ているので、四択問題で目が迷う、という人もいるようです。
than と then とを見間違う中学生にも多く出会います。
then とthem とを見間違う子もいます。
英語は似ている単語が多いから嫌だと言う子がいます。
アルファベットは２６文字しかないので、その順列で考えたら似ているものが多数あって当然です。
一瞬見間違っても、すぐに気がつくのなら特に問題はありません。
たいていは、文脈上こういう単語が出てくるだろうと推測しながら読むので、正しい単語に見える場合が多いです。
difficult と different。
invite と invent。
これらも見た目が少し似ているので混同しやすいですが、文脈判断で読み分けることがおおむね可能です。
むしろ、こうした単語は、意味を取り違えて覚えてしまい、以後ずっと誤用し続けることのほうに注意が必要です。
また、見た目は全く似ていないのに、中学生が混同しがちなのが、famous と popular。
popular を訳すときに「有名な」としてしまう子は多いです。
popular は「人気がある」で、famous が「有名な」です。
「それ、同じじゃね？」
と生徒に言われたことがあります。
いや、人気は全くないけど有名な人はいますよ。
大きな事件の犯人とか。
そう説明すると、こちらが逆にびっくりするほど覚醒した表情になり、納得していました。
本当は、大きな事件の犯人に famous という形容はしないと思いますが、「有名人」イコール「人気者」ではないので、そこらへんの混同は避けたいところです。
英語と日本語と、その単語の語義の範囲が完全に一致することはまれなので、popular を「有名な」と訳すのは本当にダメなのかというところから考えを深めてくれたら、それはむしろ嬉しいことですが。
似通ったスペルの単語や、似通った意味の単語は沢山あります。
混乱しやすいのはわかります。
しかし、それも程度問題で、以前、father と family の識別のできない子に出会ったことがあります。
fa しか同じじゃない・・・。
ここまでくると、英単語を識別する意思の問題なのか能力の問題なのかと、教えていて悩むところです。
house を「ホーム」と読む子もいました。
house というスペルのどこに「ム」と読む要素があるの？
そう問いかけ続けても、あまり効果がありませんでした。
一度混同してしまうと、本人の意思とは関係なく、混乱は続くのです。
最初に正しく覚えることが、きわめて重要です。
スペルをよく見なさい、というのもまた誤解のもととなることがあります。
should を「ショウルド」、could「コウルド」、would を「ウオウルド」と読む子もいました。
それは、スペルに沿いすぎる・・・。
そのエルは読まないエルなんですよと説明しても、なかなか治りませんでした。
英検などの面接試験で、あるいは今後実施される予定の都立高校入試の英語スピーキング試験で、発音のことを苦にして悩んでいる子もいるかもしれません。
面接試験があるから英検は受けない、と断言する子もいます。
子どもだけでなく、日本人はおおむね英語の発音に自信がない・・・。
しかし、スピーキングテストで問われるのは、発音だけではないのです。
発音は、採点対象のほんの一部分です。
採点基準が発音だけになったら、大半の子は得点できません。
ギリギリ通じる音であればよいのです。
問われるのは、should を「ショウルド」とは読まない英語力。
house を「ホーム」とは読まない英語力。
father と family を読み分けることのできる英語力。
そして、発音よりも、問われたことに正確に返答できる英語力。
自分の伝えたいことをある程度の内容のある英語で説明できる英語力。
スピーキングテストは、内容を重視すれば大丈夫なのです。
しかし、発音を気にする子は、一刻も早くテストの場から逃れたいと思うのか、本来の能力よりも数段劣る「痩せた英語」でその場をごまかしてしまうことがあります。
得点が低いのは、発音のせいではなく、内容のせいなのです。
しかし、これは as とは違い、空所補充問題ではそんなに悩まない人もいるかもしれません。
例題で確認しましょう。
問題 次の空所を埋めよ。
(１) The next war will be more cruel ( ) can be imagined.
次の戦争は想像もできないほど残酷なものだろう。
(２) There is more space ( ) is needed.
必要以上のスペースがある。
正解は、
(１) The next war will be more cruel (than) can be imagined.
(２) There is more space (than) is needed.
です。
空所の前に比較級があるので、答は than だろうと推測し、それで正解できる人も多いと思います。
むしろ、( )の後ろをいちいち見ない雑な解き方をする人のほうが、簡単に正解するということもありそうです。
文法的な見方をある程度する人のほうが、案外こうした問題で悩んでしまうでしょう。
何だ、いつもの than じゃないか、と埋めようとして、手が止まります。
いつもの than は接続詞です。
接続詞は、ＳやＯにはなりません。
( )の後に、主語がない・・・。
これは、than ではないのでは？
あれこれ悩んで、
(１) The next war will be more cruel (that) can be imagined.
(２) There is more space (that) is needed.
としてしまう人もいます。
先行詞を最上級の形容詞が修飾するときは that だから、比較級でも that かな？
そんなふうに誤解してしまうのでしょう。
than という関係代名詞があることを知っていれば、そんな誤答をせずに済みます。
関係代名詞は、従属節の主語の働きをしますから。
細かい文法分析はどうでもいい、正解できればいいという考え方もあると思いますが、空所補充問題ならそれで良くても、乱文整序問題では、 than が関係代名詞のときもあることを知らないと、上手く並べられないかもしれません。
まして、以下のような問題の場合、かなり困惑すると思います。
問題 次の英文に文法的に誤りがあれば指摘して改めよ。誤りがない場合は解答欄に〇をつけよ。
(１) The next war will be more cruel than can be imagined.
(２) There is more space than is needed.
空所を補充しろと言われたら深く考えずに than を入れる人も、この英文を改めて読むと違和感があるかもしれません。
あれ？
何かおかしくない？
than の周辺に何か単語が足りなくない？
そうだ。主語が足りないんだ。
わかった。
(１)は、(誤) than (正) than we
(２)は、(誤) than (正) than it
そう思う気持ちもわかります。
(１) The next war will be more cruel than we can be imagined.
(２) There is more space than it is needed.
は、これはこれで正しい文です。
これらの than は接続詞の than です。
しかし、than には関係代名詞の than があります。
関係代名詞節の中で、主語の働きをします。
だから、主語を補わなくても良いのです。
したがって、上の問題の正解は、(１)〇 (２)〇 です。
もっとも、こんなひどいひっかけ問題は通常作られません。
こういう問題こそ、ひっかけ問題というのです。
ただ、than が関係代名詞として使われることを知らないと、長文を読む際にも、このあたりのことでモヤモヤして、文意が上手く取れない人もいるかと思います。
やはり、知識を身を助けます。
なお、さらに面倒くさいことを述べるなら、
(１) The next war will be more cruel than can be imagined.
(２) There is more space than is needed.
の than も、接続詞と見ることが可能です。
従属節では、代名詞の主語は省略できるのです。
だから、この文の than は接続詞で、その後の we や it が省略されているだけとみなすこともできます。
その見方でも、上の問題の正解は、(１)〇 (２)〇 です。
上の２つは、than が関係代名詞の中で主語の働きをしていましたが、than は目的語の働きもします。
He didn't accept more money than he really needed.
彼は、本当に必要なお金以上は受け取らなかった。
この than は、目的格の関係代名詞と見ることもできますし、接続詞と見ることもできます。
どちらにしても文意は同じですので、こんな場合は、接続詞と関係代名詞の区別をしなくてもよいのです。
ここからは余談ですが、上の説明の途中で、than とthat とが同じに見えて、「うん？」となった人はいるでしょうか。
実は私も書いていて、うっかり書き間違い、慌てて直しました。
than と that はスペルが似ているので、四択問題で目が迷う、という人もいるようです。
than と then とを見間違う中学生にも多く出会います。
then とthem とを見間違う子もいます。
英語は似ている単語が多いから嫌だと言う子がいます。
アルファベットは２６文字しかないので、その順列で考えたら似ているものが多数あって当然です。
一瞬見間違っても、すぐに気がつくのなら特に問題はありません。
たいていは、文脈上こういう単語が出てくるだろうと推測しながら読むので、正しい単語に見える場合が多いです。
difficult と different。
invite と invent。
これらも見た目が少し似ているので混同しやすいですが、文脈判断で読み分けることがおおむね可能です。
むしろ、こうした単語は、意味を取り違えて覚えてしまい、以後ずっと誤用し続けることのほうに注意が必要です。
また、見た目は全く似ていないのに、中学生が混同しがちなのが、famous と popular。
popular を訳すときに「有名な」としてしまう子は多いです。
popular は「人気がある」で、famous が「有名な」です。
「それ、同じじゃね？」
と生徒に言われたことがあります。
いや、人気は全くないけど有名な人はいますよ。
大きな事件の犯人とか。
そう説明すると、こちらが逆にびっくりするほど覚醒した表情になり、納得していました。
本当は、大きな事件の犯人に famous という形容はしないと思いますが、「有名人」イコール「人気者」ではないので、そこらへんの混同は避けたいところです。
英語と日本語と、その単語の語義の範囲が完全に一致することはまれなので、popular を「有名な」と訳すのは本当にダメなのかというところから考えを深めてくれたら、それはむしろ嬉しいことですが。
似通ったスペルの単語や、似通った意味の単語は沢山あります。
混乱しやすいのはわかります。
しかし、それも程度問題で、以前、father と family の識別のできない子に出会ったことがあります。
fa しか同じじゃない・・・。
ここまでくると、英単語を識別する意思の問題なのか能力の問題なのかと、教えていて悩むところです。
house を「ホーム」と読む子もいました。
house というスペルのどこに「ム」と読む要素があるの？
そう問いかけ続けても、あまり効果がありませんでした。
一度混同してしまうと、本人の意思とは関係なく、混乱は続くのです。
最初に正しく覚えることが、きわめて重要です。
スペルをよく見なさい、というのもまた誤解のもととなることがあります。
should を「ショウルド」、could「コウルド」、would を「ウオウルド」と読む子もいました。
それは、スペルに沿いすぎる・・・。
そのエルは読まないエルなんですよと説明しても、なかなか治りませんでした。
英検などの面接試験で、あるいは今後実施される予定の都立高校入試の英語スピーキング試験で、発音のことを苦にして悩んでいる子もいるかもしれません。
面接試験があるから英検は受けない、と断言する子もいます。
子どもだけでなく、日本人はおおむね英語の発音に自信がない・・・。
しかし、スピーキングテストで問われるのは、発音だけではないのです。
発音は、採点対象のほんの一部分です。
採点基準が発音だけになったら、大半の子は得点できません。
ギリギリ通じる音であればよいのです。
問われるのは、should を「ショウルド」とは読まない英語力。
house を「ホーム」とは読まない英語力。
father と family を読み分けることのできる英語力。
そして、発音よりも、問われたことに正確に返答できる英語力。
自分の伝えたいことをある程度の内容のある英語で説明できる英語力。
スピーキングテストは、内容を重視すれば大丈夫なのです。
しかし、発音を気にする子は、一刻も早くテストの場から逃れたいと思うのか、本来の能力よりも数段劣る「痩せた英語」でその場をごまかしてしまうことがあります。
得点が低いのは、発音のせいではなく、内容のせいなのです。
2020年06月21日
高校数Ⅱ「図形と方程式」。直線の方程式の求め方。
今回の学習内容は、数Ⅱ「図形と方程式」の中の、直線の方程式です。
直線の方程式の求め方は、中学２年の「１次関数」で学習しています。
例えば、こんな問題。
問題 点(６,－１)を通り、傾きが－１/２の直線を求めよ。
まずは、中学生の解き方で解いてみましょう。
直線の式は、１次関数です。
１次関数の一般式は、ｙ＝ａｘ＋ｂ。
このａとｂには具体的な数字が入り、個々の直線の式を表します。
ａは傾き。ｂは切片。
今は傾きが－１/２とわかっていますので、ａ＝－１/２です。
これを一般式に代入して。
ｙ＝－１/２ｘ＋ｂ。
ところで、点(６,－１)はこの直線上の点なのですから、この点のｘ座標とｙ座標は、上の式の関係を満たします。
ｘ＝６、ｙ＝－１ を代入して、上の式が成り立つということです。
では代入しましょう。
－１＝－１/２・６＋ｂ
－３＋ｂ＝－１
ｂ＝２
よって、求める直線の式は、 ｙ＝－１/２ｘ＋２ です。
数学が苦手な子は、こういう問題の作業手順だけ覚える傾向があり、しかも、１つ１つ手順を踏まず、一気に全部代入して解く子も多いです。
最初は意味がわかったうえでそうするのでしょうが、意味はたちまち後退し、単なる作業手順になります。
「１次関数」が範囲の定期テストが終わってひと月も経てば、こんな基本問題も、どうやって解くのか曖昧になります。
復習しようと自分のノートを見直しても、何もかも一気に代入した、
－１＝－３＋ｂ
という式が唐突に書いてあるだけなので、何をどうしたのか、自分でもわからなくなってしまいます。
また、応用問題を解くときに、上の問題と同じ考え方で、点の座標がわかれば直線の式を求められるという発想を持つことができず、座標平面と図形の問題は歯が立たない子も多くいます。
手順だけになってしまい、意味がわかっていないからなのでしょう。
「意味がわかるようにノートをとっておくといいよ」
「代入は一気にやらず、まずｙ＝－１/２ｘ＋ｂの式を立てて、それから点の座標を代入すると、後で意味がわかるよ」
と繰り返し助言しますが、聞いてくれない子もいます。
説明を聞いた直後なので、そのときは意味がわかるから大丈夫と思うのでしょう。
今はわかっても、明日はわからないかもしれないのに。
記憶なんて、すぐに消えてしまいます。
単なる操作は、意味を伴っていなければ記憶に残ることは少ないのです。
意味がわかるように答案を作っていくこと。
数学の記述答案で必要とされているのは、とりあえず、それです。
どういう考え方で、何の定理や公式を用いて、どう解いているのかを示しながら解いていく。
中学の間はそれがなくてもある程度許されますが、高校数学になると記述答案としての体裁が整っているかが答案として重要となります。
数学の答案なのに日本語が多くなり、「何で式と答えだけじゃダメなんだろう？」と不満を感じる子もいると思います。
しかし、１週間も経てば、自分の立てた式の意味さえ自分でわからなくなるのが高校数学の答案です。
塾の宿題の答えあわせでも、
「どうやって解いたの？」
と質問すると、絶句する高校生が多いのです。
「・・・とにかく、答案を１行目から読んでみて」
と声をかけても、絶句しています。
書いた本人が全く意味がわからないので、読み上げることもできない。
そんな状態の様子です。
そんな状態なのに、答案を読む採点者に、「式の意味はおまえが判読しろ」、「そして採点しろ」、「部分点くらいよこせ」、と言っても、無理です。
ヒントをください。
どういう考え方でその式を立てたのか、式の前に１行でいいから説明をください。
そうすれば、たとえ誤答だとしても、全くの勘違いによる式なのか、代入ミスなのか、判断することができます。
採点者が求めているのは、そういうことです。
そして、それが記述答案の根本です。
記述答案を書かねばならないと納得しても、今度は、ルールがわからない、ここはどう書くの、ここはどうするの、と不安になり、１行も書けない子がいますが、絶対の形式があるわけではありません。
大切なのは、読む人の立場になって書くこと。
それは、結局、時間が経過した後の自分が読んでも意味がわかるということ。
ルールは、究極、それです。
さて、問題に戻りましょう。
問題 点(６,－１)を通り、傾き－１/２の直線の式を求めよ。
高校数Ⅱは、これを一気に解く公式を学びます。
点(ｘ1,ｙ1)を通り、傾きがｍの直線の式は、
ｙ－ｙ1＝ｍ(ｘ－ｘ1)
この公式の証明は簡単です。
求める直線の式を、
ｙ＝ｍｘ＋ｎ ・・・➀
と表します。
この直線は、点(ｘ1,ｙ1)を通るのですから、
ｙ1＝ｍｘ1＋ｎ ・・・➁
が成り立ちます。
➀－➁をすると、
ｙ－ｙ1＝(ｍｘ＋ｎ)－(ｍｘ1＋ｎ)
ｙ－ｙ1＝ｍｘ－ｍｘ1
ｙ－ｙ1＝ｍ(ｘ－ｘ1)
これが公式です。
点(６,－１)を通り、傾き－１/２の直線だから、
ｙ－(－１)＝－１/２(ｘ－６)
ｙ＋１＝－１/２ｘ＋３
ｙ＝－１/２ｘ＋２
これで、公式のバージョンアップが行われたことになります。
しかし、これがなかなか厄介で、中学時代の解き方を手放せない子が現れます。
作業手順だけ丸暗記するタイプの子なら、この新しい公式も丸暗記して使えば良いようなものですが、なかなかそう簡単にはいきません。
何度も忘れては覚え直すことを繰り返してようやく作業手順を覚えた中学生の解き方を、そう簡単には手放せないのでしょう。
高校の公式を使えば秒殺の問題を、何だかあれこれ迷い、思い出しながら解いているので、何をしているのかなあとノートを覗くと、中学の解き方で解いている。
そういう光景に何度も遭遇しました。
本人にバージョンアップしたい気持ちがないわけではないのです。
でも、覚えられない。
中学の頃は、この直線の式の求め方だけで学校の授業は１～２時間使ったし、学校のワークもそれだけで２ページくらいぎっしり問題があって沢山練習できました。
高校の授業は、新しい公式がさっと出てきて、スッとすぐに次の公式に進んでしまいます。
高校から配られている問題集も、この公式の練習問題は小問が５～６問程度です。
定着しないうちにスルスルと先に進んでしまいます。
定期テスト前にまとめて丸暗記しよう、あるいは、中学の解き方でも答は出るからいいじゃん、と思って先に進んでいくと、しかし、えらい目にあいます。
その先、問題が複雑になったときに、学校の問題集の解説を読んでも、意味がわからないのです。
何でこんな式が唐突に立てられているのか、意味がわからない。
解説が３行くらいすっ飛んでいるような気がする。
記述答案は意味がわかるように書けって言ったくせに、模範答案であるはずの問題集の解答解説の意味がわからないってどういうこと？
・・・・公式を覚えていないからなのです。
応用問題の中で、基本公式の意味を逐一解説することはありません。
点(６,－１)を通るから。
丁寧な解説でも、それくらいの１行しか書いてありません。
それで記述答案としては十分です。
それで意味がわからないのは、公式を覚えていないからなのです。
解説を読んでも意味がわからない場合の大半は、本人が公式や定理を覚えていないことに原因があります。
高校数Ⅱはこれから、怒涛の公式ラッシュが始まります。
数学が苦手だけれど、大学受験のために数Ⅱのマスターがどうしても必要な場合、独りで勉強するのが苦しいのはこの点です。
公式の解説だけなら、塾に行かなくても、ネットに沢山解説が上がっていますし、動画もあります。
しかし、いざ自分で問題に取り組むと、その問題集の解答解説を読んでも意味がわからないことが多いのです。
模試の問題も、解説を読んでも意味がわからない。
使っている公式が何なのか、わからないからなのです。
どの公式を覚えていないから、その状態なのか。
どこからつまずいているのか。
それすら、自分では、わからないのです。
そうして、今度こそ、意味をしっかり理解しようとしても、意味がわからない。
今まで、意味を無視してきたのですから、高校数学になって急に意味を読みとろうとしても、理解するための基盤がないのです。
数Ⅱ「図形と方程式」がわからない高校生の多くは、中学の図形分野だけでなく関数でもつまずいている場合が多いです。
そうした場合は、点の座標と直線の式との関係など、根本が理解できていない可能性があります。
なぜ点の座標を直線の式に代入できるのか、その根本がわかっていない子は沢山います。
今回、公式はもう１本。
点(ｘ1,ｙ1),(ｘ2,ｙ2)を通る直線の式は。
ｙ－ｙ1＝ｙ1－ｙ2/ｘ1－ｘ2 (ｘ－ｘ1)
これは、上の ｙ－ｙ1＝ｍ(ｘ－ｘ1) という公式の傾きの部分を、
ｙ1－ｙ2/ｘ1－ｘ2 としたものです。
中学で学習した直線の公式 ｙ＝ａｘ＋ｂ のａは、直線の傾きでした。
直線の場合、傾きは、「変化の割合」と等しいのでした。
「変化の割合」は、 ｙの増加量 / ｘの増加量 で求めることができました。
だから、直線の傾きは、ｙ1－ｙ2/ｘ1－ｘ2 です。
この説明がすんなり理解できない場合、中２「１次関数」で忘れていることが多いと思います。
やり方や作業手順だけ覚えているが、意味を忘れている・・・。
そのような状態であるため、高校数学の公式の意味や説明が理解できないのです。
本当は、そうなる前、出来れば中学生のうちに、数学の学習姿勢を変えてほしかった。
でも、それが出来ないまま、高校２年になってしまったなら。
何もかもがわからない状態であると、気づいたのなら。
戻りましょう。
答の多くは、中学数学にあります。
2020年06月18日
高校英語。関係代名詞。関係代名詞としての as。
今回もマイナーな内容。
そんな関係代名詞あったっけ？と思う人もいるかもしれません。
本来は接続詞である単語が、関係代名詞として用いられることがあります。
これを疑似関係代名詞といいます。
as, than, but がそうです。
今回は、as を見ていきましょう。
◎the same Ａ as ～ 「～と同じＡ」
これが一番メジャーですので、これだけでも覚えてください。
This is the same watch as my father gave me.
これは、父が私にくれたのと同じ時計だ。
as は、関係代名詞節の中で、主語・目的語・補語の働きをします。
また、as は that で言い換えることが可能です。
自分で英文を作る場合は that でもいいですが、四択問題の選択肢の中に that がない場合、何を入れてよいかわからなくなる人は多いと思います。
the same Ａ as ～ で覚えましょう。
◎such Ａ as ～ 「～のようなＡ」
I want to paint such a beautiful picture as I saw in the museum.
私はその美術館で見たような絵を描きたい。
これは、so を使って言い換えることも可能です。
I want to paint so beautiful a picture as I saw in the museum.
「such a 形容詞＋名詞」＝「so 形容詞 a 名詞」の語順は、今回の文法事項と直接関係はないのですが、乱文整序問題になると繰り返し間違う人が多く、メインの文法事項とは関係ないところで失点してしまいます。
such は、名詞を修飾していますが、so は形容詞を修飾する副詞なので、直後に形容詞を伴うのです。
そのような細かい理屈はさておき、正しい語順を幾度も口慣らしして、覚えてしまうのが良いと思います。
自分の作った間違った語順の英文の記憶のほうが強くなる前に正しく覚えてしまうのがコツです。
such は名詞を修飾するので、形容詞が使われていない用法もあります。
Choose such friends as will listen to you quietly.
あなたの言うことを静かに聞いてくれるような友人を選びなさい。
いずれの場合も、関係代名詞 as は that に書き換えが可能です。
◎前の節の一部または全部を受ける as
He was in the hospital for two weeks, as was expected.
予測されたことだったが、彼は２週間入院した。
これは、
He was in the hospital for two weeks, which was expected.
と書き換え可能です。
前の節全体を受ける which です。
which を用いたときは、このように必ず主節の後ろに置きますが、as を用いた場合は、主節よりも前に置くことが可能です。
むしろ、主節よりも前にくるほうが多いと思って大丈夫です。
As everyone knows, it is harder to write interestingly about a good person than about a bad person.
誰もが知っていることだが、悪人についてよりも善人について興味深く書くのは難しい。
こうなると、この as は接続詞の as と何が違うんだろう、と思いますね。
上の文を「誰もが知っているように」と訳しても、文脈上も特に違和感は起こりません。
◎ as is often the case with Ａ 「Ａにはよくあることだが」
これはテストによく出ます。
慣用表現として覚えるべき重要表現ですが、この as も関係代名詞です。
上で説明した、主節の一部または全部を受ける as です。
As is often the case with Tom , he was late for school today .
トムにはよくあることだが、彼は今日学校に遅刻した。
これは、as is usual with Ａ という慣用表現もあります。
同じ意味です。
あわせて覚えてください。
◎as Ａ as Ｂ 「Ｂと同じくＡである」
He is as wise a man as ever lived.
彼はとびぬけて賢い男だ。
・・・うん？
どこかで見たような？
そうです。
「比較」のところで学習した as ～as ever です。
この後ろのほうの as は、文法的には関係代名詞だったのです。
では、前のほうの as は何か？
副詞です。
so と同じ働きをする as です。
関係代名詞の as は、このように他の文法事項で出てくることもあります。
また、文法学習として「関係代名詞」の章ではそんなにスペースを割いて説明されないため、記憶に残りにくいかもしれません。
しかし、高校２年や３年になって、入試演習的な学習に入ると、解けなかった問題の答がたいてい as で、正体がよくわからず困惑することがあるようです。
そういう as があるとしっかり認識し、あとは慣用表現的に覚えてしまえば大丈夫と思います。
as が苦手な人を見ると、学習者としての視野、ということを考えます。
「こんなのテストに出ない」
「どうせこれが答だろう」
といった決めつけで問題を解くので、繰り返し間違っているにも関わらず記憶に残らない。
学習する際の視野が狭いのだと思うのです。
答えは as の可能性もあると思って問題を解いている人と、関係代名詞 as が念頭にない状態で解いている人とでは、正答率が違って当然です。
こうしたことは、英語を学習したばかりの頃から起こります。
中学英語で確認してみましょう。
問題 次の空所に適切な語句を補充しなさい。
(１) ( ) you playing tennis with your friend at that time?
(２) ( ) you visit the town yesterday?
(３) ( ) you reading a book now?
英語が得意な人にとっては、何でもない問題です。
正解は、
(１) (Were) you playing tennis with your friend at that time?
(２) (Did) you visit the town yesterday?
(３) (Are) you reading a book now?
です。
ところが、過去進行形を学習したばかりの中学生がこの問題を解くと、
(１) (Were) you playing tennis with your friend at that time?
(２) (Were) you visit the town yesterday?
(３) (Were) you reading a book now?
と、全部 were を入れてしまいがちです。
今は過去進行形の勉強をしているんだから、全部過去進行形だろう、と決めつけて問題を解いているのです。
本人の中で、問題に対するそうした決めつけがあるのだと思います。
解答を考える際の視野が狭いのです。
どうせ were だと思って解いているので、did や are が視野に入っていないのです。
小学校で学習する問題はどの教科も何の癖もなく平易であるため、中１や中２では、まだそこから脱却できていないのかもしれません。
中学校から配布される教科書準拠ワークも、何でも were を入れれば正解になるような単純な問題が並んでいるものもあります。
せいぜいで、were と was の使い分け問題。
どのような学力の子でも解答集を見れば意味がわかる教材というと、そういうレベルになってしまうのも否定できません。
簡単過ぎて練習にならない・・・。
そんな問題ばかり解いていると、勉強しているときに頭を使わなくなる子がいます。
勉強しているときに頭を使わない。
単純作業としてただ空所を埋める。
そんな学習姿勢になってしまう子がいます。
後に都立自校作成校に合格した子で、中２の段階ではまだ上のように何でも were を入れている子がかつていました。
小学生のような心の在り方からなかなか脱皮できず、ハキハキと間違い続け、正解を聞くと、
「ひっかけだ・・・」
とぼやくことを繰り返していました。
まだ、ゆとり教育の気配が濃厚な頃でした。
ひっかけだ。
騙された。
こういう問題は、問題が悪い・・・。
そのような認識をしている間は、何度でも「新手の詐欺」にあいます。
答は全部 were かもしれないけれど、そうではないかもしれない。
そのように意識を変え、視野を広げて問題に取り組めば、were ばかりが答とは限らないことに気づくのです。
時制を学習しているのですから、新しい時制を学んだら、それまで学習した時制との使い分け問題も出題されます。
精神的成長とともに、どうにかそうしたことを理解できるようになり、高校入試に間にあいました。
学力的に、全部 were を入れるので精一杯なのではないか？
そのように思われる子でも、問題を解く前に、
「これは、いろいろな時制の使い分け問題ですね。答は過去進行形とは限りません」
とヒントを出すと、全問正解できます。
そのヒントを出されなくても、自力でその判断ができれば良いだけなのです。
それは、本人の意識の問題、視野の問題です。
それこそが学力ということでもあるのですが。
勉強しているときは、頭を使いましょう。
単純作業で問題を解かず、あらゆる可能性を考えましょう。
関係代名詞には、as もあります。
そのように視野を広げて問題を解けば、正答が増えていくと思います。
そんな関係代名詞あったっけ？と思う人もいるかもしれません。
本来は接続詞である単語が、関係代名詞として用いられることがあります。
これを疑似関係代名詞といいます。
as, than, but がそうです。
今回は、as を見ていきましょう。
◎the same Ａ as ～ 「～と同じＡ」
これが一番メジャーですので、これだけでも覚えてください。
This is the same watch as my father gave me.
これは、父が私にくれたのと同じ時計だ。
as は、関係代名詞節の中で、主語・目的語・補語の働きをします。
また、as は that で言い換えることが可能です。
自分で英文を作る場合は that でもいいですが、四択問題の選択肢の中に that がない場合、何を入れてよいかわからなくなる人は多いと思います。
the same Ａ as ～ で覚えましょう。
◎such Ａ as ～ 「～のようなＡ」
I want to paint such a beautiful picture as I saw in the museum.
私はその美術館で見たような絵を描きたい。
これは、so を使って言い換えることも可能です。
I want to paint so beautiful a picture as I saw in the museum.
「such a 形容詞＋名詞」＝「so 形容詞 a 名詞」の語順は、今回の文法事項と直接関係はないのですが、乱文整序問題になると繰り返し間違う人が多く、メインの文法事項とは関係ないところで失点してしまいます。
such は、名詞を修飾していますが、so は形容詞を修飾する副詞なので、直後に形容詞を伴うのです。
そのような細かい理屈はさておき、正しい語順を幾度も口慣らしして、覚えてしまうのが良いと思います。
自分の作った間違った語順の英文の記憶のほうが強くなる前に正しく覚えてしまうのがコツです。
such は名詞を修飾するので、形容詞が使われていない用法もあります。
Choose such friends as will listen to you quietly.
あなたの言うことを静かに聞いてくれるような友人を選びなさい。
いずれの場合も、関係代名詞 as は that に書き換えが可能です。
◎前の節の一部または全部を受ける as
He was in the hospital for two weeks, as was expected.
予測されたことだったが、彼は２週間入院した。
これは、
He was in the hospital for two weeks, which was expected.
と書き換え可能です。
前の節全体を受ける which です。
which を用いたときは、このように必ず主節の後ろに置きますが、as を用いた場合は、主節よりも前に置くことが可能です。
むしろ、主節よりも前にくるほうが多いと思って大丈夫です。
As everyone knows, it is harder to write interestingly about a good person than about a bad person.
誰もが知っていることだが、悪人についてよりも善人について興味深く書くのは難しい。
こうなると、この as は接続詞の as と何が違うんだろう、と思いますね。
上の文を「誰もが知っているように」と訳しても、文脈上も特に違和感は起こりません。
◎ as is often the case with Ａ 「Ａにはよくあることだが」
これはテストによく出ます。
慣用表現として覚えるべき重要表現ですが、この as も関係代名詞です。
上で説明した、主節の一部または全部を受ける as です。
As is often the case with Tom , he was late for school today .
トムにはよくあることだが、彼は今日学校に遅刻した。
これは、as is usual with Ａ という慣用表現もあります。
同じ意味です。
あわせて覚えてください。
◎as Ａ as Ｂ 「Ｂと同じくＡである」
He is as wise a man as ever lived.
彼はとびぬけて賢い男だ。
・・・うん？
どこかで見たような？
そうです。
「比較」のところで学習した as ～as ever です。
この後ろのほうの as は、文法的には関係代名詞だったのです。
では、前のほうの as は何か？
副詞です。
so と同じ働きをする as です。
関係代名詞の as は、このように他の文法事項で出てくることもあります。
また、文法学習として「関係代名詞」の章ではそんなにスペースを割いて説明されないため、記憶に残りにくいかもしれません。
しかし、高校２年や３年になって、入試演習的な学習に入ると、解けなかった問題の答がたいてい as で、正体がよくわからず困惑することがあるようです。
そういう as があるとしっかり認識し、あとは慣用表現的に覚えてしまえば大丈夫と思います。
as が苦手な人を見ると、学習者としての視野、ということを考えます。
「こんなのテストに出ない」
「どうせこれが答だろう」
といった決めつけで問題を解くので、繰り返し間違っているにも関わらず記憶に残らない。
学習する際の視野が狭いのだと思うのです。
答えは as の可能性もあると思って問題を解いている人と、関係代名詞 as が念頭にない状態で解いている人とでは、正答率が違って当然です。
こうしたことは、英語を学習したばかりの頃から起こります。
中学英語で確認してみましょう。
問題 次の空所に適切な語句を補充しなさい。
(１) ( ) you playing tennis with your friend at that time?
(２) ( ) you visit the town yesterday?
(３) ( ) you reading a book now?
英語が得意な人にとっては、何でもない問題です。
正解は、
(１) (Were) you playing tennis with your friend at that time?
(２) (Did) you visit the town yesterday?
(３) (Are) you reading a book now?
です。
ところが、過去進行形を学習したばかりの中学生がこの問題を解くと、
(１) (Were) you playing tennis with your friend at that time?
(２) (Were) you visit the town yesterday?
(３) (Were) you reading a book now?
と、全部 were を入れてしまいがちです。
今は過去進行形の勉強をしているんだから、全部過去進行形だろう、と決めつけて問題を解いているのです。
本人の中で、問題に対するそうした決めつけがあるのだと思います。
解答を考える際の視野が狭いのです。
どうせ were だと思って解いているので、did や are が視野に入っていないのです。
小学校で学習する問題はどの教科も何の癖もなく平易であるため、中１や中２では、まだそこから脱却できていないのかもしれません。
中学校から配布される教科書準拠ワークも、何でも were を入れれば正解になるような単純な問題が並んでいるものもあります。
せいぜいで、were と was の使い分け問題。
どのような学力の子でも解答集を見れば意味がわかる教材というと、そういうレベルになってしまうのも否定できません。
簡単過ぎて練習にならない・・・。
そんな問題ばかり解いていると、勉強しているときに頭を使わなくなる子がいます。
勉強しているときに頭を使わない。
単純作業としてただ空所を埋める。
そんな学習姿勢になってしまう子がいます。
後に都立自校作成校に合格した子で、中２の段階ではまだ上のように何でも were を入れている子がかつていました。
小学生のような心の在り方からなかなか脱皮できず、ハキハキと間違い続け、正解を聞くと、
「ひっかけだ・・・」
とぼやくことを繰り返していました。
まだ、ゆとり教育の気配が濃厚な頃でした。
ひっかけだ。
騙された。
こういう問題は、問題が悪い・・・。
そのような認識をしている間は、何度でも「新手の詐欺」にあいます。
答は全部 were かもしれないけれど、そうではないかもしれない。
そのように意識を変え、視野を広げて問題に取り組めば、were ばかりが答とは限らないことに気づくのです。
時制を学習しているのですから、新しい時制を学んだら、それまで学習した時制との使い分け問題も出題されます。
精神的成長とともに、どうにかそうしたことを理解できるようになり、高校入試に間にあいました。
学力的に、全部 were を入れるので精一杯なのではないか？
そのように思われる子でも、問題を解く前に、
「これは、いろいろな時制の使い分け問題ですね。答は過去進行形とは限りません」
とヒントを出すと、全問正解できます。
そのヒントを出されなくても、自力でその判断ができれば良いだけなのです。
それは、本人の意識の問題、視野の問題です。
それこそが学力ということでもあるのですが。
勉強しているときは、頭を使いましょう。
単純作業で問題を解かず、あらゆる可能性を考えましょう。
関係代名詞には、as もあります。
そのように視野を広げて問題を解けば、正答が増えていくと思います。
2020年06月14日
高校数Ⅱ「図形と方程式」。座標平面上の点の座標と内分・外分。
数Ⅱ「図形と方程式」、今回は２回目です。
前回は、数直線上の内分点、外分点の座標の求め方を学習しました。
今回は、座標平面上の線分の内分点・外分点の座標の求め方です。
まずは上の左の図を見てください。
座標平面上に点Ａ(ｘ1,ｙ1)、点Ｂ(ｘ2,ｙ2)があります。
この２点を結んだ線分ＡＢをｍ:ｎに内分する点Ｐの座標を考えます。
斜めになっているけど、何とかして線分ＡＢの長さを求めて、それを内分するのかな？
三平方の定理を使えば、長さは求められるから・・・。
そういう考え方もわからなくはありませんが、もっと簡単に求めることができます。
これ、まずはｘ座標のことだけ考えましょう。
点Ａ、Ｂのｘ座標をｘ軸に記してみます。
それぞれの点から真下に点を下ろしていくイメージです。
上の図の赤で記したものがそれです。
赤で示した３本の点線は全て平行です。
したがって、平行線と線分の比から、線分ＡＢ上でｍ：ｎだったものは、ｘ軸上でもｍ:ｎであることがわかります。
つまり、求めたい点Ｐのｘ座標は、点ＡとＢのｘ座標を内分の公式に当てはめて求めることができます。
すなわち、点Ｐのｘ座標は、
ｎｘ1＋ｍｘ2
ｍ＋ｎ
となります。
同様に、点Ａと点Ｂのｙ座標をｙ軸上に記して考えるなら、点Ｐのｙ座標は、ＡとＢのｙ座標を内分の公式に当てはめれば求めることができます。
点Ｐのｙ座標は
ｎｙ1＋ｍｙ2
ｍ＋ｎ
となります。
以上の説明でわかりにくいところがある場合、以前に学習したことが曖昧になっている可能性があります。
おそらく、「平行線と線分の比」のことを忘れているのではないかと思うのです。
中３「相似」の単元で学習している定理です。
高校で図形に関係した問題がよくわからない人は、中３の「相似」をマスターできていない場合が多いです。
平行線と線分の比。
三角形の相似条件。
中点連結定理。
角の二等分線の定理。
三角形の辺の比と面積の比。
これらの基本の定理を復習すると、少なくとも、問題集の解答解説を読んでも意味がわからない・・・ということが今までよりは減ってくると思います。
問題 ４点Ａ(－２,０),Ｂ(－３,－２),Ｃ(０,－１),Ｄを頂点とする平行四辺形ＡＢＣＤがある。頂点Ｄの座標を求めよ。
座標平面について初めて学習する中学１年生の数学でも、これと同じ問題は存在します。
中１では、点Ｂから点Ａへの座標上の移動を読みとり、同じように点Ｃから点Ｄへ移動していることからＤの座標を求めます。
点Ｂから点Ａへは、ｘ軸の正の方向に１、ｙ軸の正の方向に２だけ移動しています。
したがって、点Ｃから点Ｄへも同じだけ移動します。
点Ｃ(０,－１)をｘ軸の正の方向に１、ｙ軸の正の方向に２だけ移動すると、(１,１)。
よって、Ｄ(１,１)です。
その求め方でも構わないのですが、対角線の中点の座標を利用して求める方法もあります。
この平行四辺形の対角線はＡＣとＢＤです。
そして、平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わります。
これは、中２「三角形と四角形」の単元で学習した、平行四辺形に関する定理です。
この定理を利用します。
Ａ(－２,０),Ｃ(０,－１)の中点の座標はｘ座標、ｙ座標をそれぞれ足して２で割れば良いのですから、(－１,－１/２)となります。
対角線ＢＤの中点も同じ座標です。
中点の座標の求め方も既習ですが、内分の公式で解いても構いません。
これを利用して、方程式を立てます。
Ｄ(ｘ,ｙ)とすると、
－３＋ｘ /２＝－１
－３＋ｘ＝－２
ｘ＝１
－２＋ｙ /２＝－１/２
－２＋ｙ＝－１
ｙ＝１
よってＤ(１,１) となります。
ここまで書いていて、自分でもただし書きが多い、と感じます。
ただし書きが多くなるのが、この「図形と方程式」という単元の特徴です。
中学・高校の数学でこれまで学習したことを忘れていると、そこでいちいちつまずくことになるのがこの単元です。
覚えてはすぐ忘れる学習を繰り返してきた人が、高校２年で数学が全くわからなくなる最大の理由はそれです。
中学で学習したことも含め、これまで学習したすべてを使わないと理解できないし問題を解けない。
そういうことが多いのです。
次に学習する重心の座標も、そうです。
三角形の重心。
三角形には外心・内心・重心・垂心・傍心の５種類の点が存在します。
それを三角形の五心と呼びます。
中３数学でも発展的なテキストには載っていますし、高校数Ａの「図形の性質」でも学習する内容です。
外心は、三角形の外接円の中心。
内心は、三角形の内接円の中心。
重心は？
三角形の頂点と対辺の中点を結ぶ線分を中線という。
三角形の３つの中線は１点で交わる。
この点を三角形の重心という。
これが、重心の定義です。
また、重心は、各中線を２:１に内分します。
これも非常に重要です。
中３か数Ａのテキストに戻って復習すると、理解が深まると思います。
今回学習するのは、重心の座標の求め方です。
Ａ(ｘ1,ｙ1),Ｂ(ｘ2,ｙ2),Ｃ(ｘ3,ｙ3)の三角形ＡＢＣの重心の座標は？
まず、頂点Ａから辺ＢＣに中線を引きましょう。
頂点Ａと、ＢＣの中点Ｍとを結んだ線分です。
Ｍの座標は、(ｘ2＋ｘ3 / ２ , ｙ2＋ｙ3 / ２)。
重心Ｇは、線分ＡＭを２:１に内分する点ですから、内分点の公式にあてはめ、整理すると、
Ｇ(ｘ1＋ｘ2＋ｘ3 / ３ , ｙ1＋ｙ2＋ｙ3 / ３)
となります。
問題 △ＡＢＣの頂点Ａ、Ｂの座標はそれぞれ(４,－４),(－１,４)で、重心Ｇの座標は(－１,２)である。頂点Ｃの座標を求めよ。
Ｃ(ｘ,ｙ)とします。
公式にあてはめると、ｘ座標に関しては、
４－１＋ｘ / ３＝－１
３＋ｘ＝－３
ｘ＝－６
ｙ座標に関しては、
－４＋４＋ｙ / ３＝２
ｙ＝６
よって、Ｃ(－６,６) です。
繰り返しますが、図形問題が苦手という人は、それまでに学習した定理が身についていないために問題を解けないのです。
説明されれば定理を思い出せるというのでは自力で発想することはできません。
まして、説明されても「そんな定理ありましたか？」とポカンとしてしまうのでは、問題を解けるわけがないのです。
センスも勿論あります。
二等辺三角形を横たえた途端に、それが直角三角形に見えてしまう。
正方形を斜めにすると、それがひし形にしか見えなくなってしまう。
見取り図が平面のままに見え、立体的に把握することができない。
三角形が線分で分割されていると、もとの三角形を認識できない。
そうした、視覚的な課題を抱えている場合は、そうではない場合と比べれば、図形問題を解くまでに解決すべき課題が多いです。
しかし、努力で解決できることもまた多いのです。
図形問題が苦手な人は、図形問題を自力で解いた経験があまりないまま高校生になってしまっています。
中学の図形問題を解いたことがないのに、高校の図形問題が解けない、解けない、と苦しんでいます。
中学の図形に戻って復習すれば、スッキリします。
「図形は苦手だから、捨てます」
文系の生徒の場合、そういう決断をしてしまう人もいます。
大学入試共通テストでは、数Ａは３つの単元のうち２つを選択すればいいから、図形は捨てて、「確率」と「整数の性質」で受験します。
そういう人は多いです。
本当に図形が苦手で、何の望みもないのならそれでもいいのですが、「確率」も「整数の性質」も、数学センスが必要です。
決まりきった定理を使うだけの図形問題よりも、「確率」や「整数の性質」のほうが発想力が必要で、攻略が難しく、半分も得点できない場合があります。
特に「整数の性質」は、むしろ私はこの単元が得意な生徒に会ったことがほとんどないのですが、図形と異なり、苦手を自覚していない人が多いのです。
「確率が苦手」「図形が苦手」という声は聴きますが、「整数の性質が苦手」という声は聞きません。
しかし、現実には、最も得点が低いのは「整数の性質」で、ほとんど０点に近いのです。
図形で半分得点することのほうが、むしろ可能なのではないか？
少なくとも、図形問題を選択することが視野に入っていたほうが良いのではないか。
そう思うことも多いのです。
しかし、その決断をするには、図形アレルギーとでもいうものからは脱却しておく必要があります。
普通に図形問題に対処できるようになっていないと、やはり「図形は苦手」という呪縛からは逃れられないようなのです。
前回は、数直線上の内分点、外分点の座標の求め方を学習しました。
今回は、座標平面上の線分の内分点・外分点の座標の求め方です。
まずは上の左の図を見てください。
座標平面上に点Ａ(ｘ1,ｙ1)、点Ｂ(ｘ2,ｙ2)があります。
この２点を結んだ線分ＡＢをｍ:ｎに内分する点Ｐの座標を考えます。
斜めになっているけど、何とかして線分ＡＢの長さを求めて、それを内分するのかな？
三平方の定理を使えば、長さは求められるから・・・。
そういう考え方もわからなくはありませんが、もっと簡単に求めることができます。
これ、まずはｘ座標のことだけ考えましょう。
点Ａ、Ｂのｘ座標をｘ軸に記してみます。
それぞれの点から真下に点を下ろしていくイメージです。
上の図の赤で記したものがそれです。
赤で示した３本の点線は全て平行です。
したがって、平行線と線分の比から、線分ＡＢ上でｍ：ｎだったものは、ｘ軸上でもｍ:ｎであることがわかります。
つまり、求めたい点Ｐのｘ座標は、点ＡとＢのｘ座標を内分の公式に当てはめて求めることができます。
すなわち、点Ｐのｘ座標は、
ｎｘ1＋ｍｘ2
ｍ＋ｎ
となります。
同様に、点Ａと点Ｂのｙ座標をｙ軸上に記して考えるなら、点Ｐのｙ座標は、ＡとＢのｙ座標を内分の公式に当てはめれば求めることができます。
点Ｐのｙ座標は
ｎｙ1＋ｍｙ2
ｍ＋ｎ
となります。
以上の説明でわかりにくいところがある場合、以前に学習したことが曖昧になっている可能性があります。
おそらく、「平行線と線分の比」のことを忘れているのではないかと思うのです。
中３「相似」の単元で学習している定理です。
高校で図形に関係した問題がよくわからない人は、中３の「相似」をマスターできていない場合が多いです。
平行線と線分の比。
三角形の相似条件。
中点連結定理。
角の二等分線の定理。
三角形の辺の比と面積の比。
これらの基本の定理を復習すると、少なくとも、問題集の解答解説を読んでも意味がわからない・・・ということが今までよりは減ってくると思います。
問題 ４点Ａ(－２,０),Ｂ(－３,－２),Ｃ(０,－１),Ｄを頂点とする平行四辺形ＡＢＣＤがある。頂点Ｄの座標を求めよ。
座標平面について初めて学習する中学１年生の数学でも、これと同じ問題は存在します。
中１では、点Ｂから点Ａへの座標上の移動を読みとり、同じように点Ｃから点Ｄへ移動していることからＤの座標を求めます。
点Ｂから点Ａへは、ｘ軸の正の方向に１、ｙ軸の正の方向に２だけ移動しています。
したがって、点Ｃから点Ｄへも同じだけ移動します。
点Ｃ(０,－１)をｘ軸の正の方向に１、ｙ軸の正の方向に２だけ移動すると、(１,１)。
よって、Ｄ(１,１)です。
その求め方でも構わないのですが、対角線の中点の座標を利用して求める方法もあります。
この平行四辺形の対角線はＡＣとＢＤです。
そして、平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わります。
これは、中２「三角形と四角形」の単元で学習した、平行四辺形に関する定理です。
この定理を利用します。
Ａ(－２,０),Ｃ(０,－１)の中点の座標はｘ座標、ｙ座標をそれぞれ足して２で割れば良いのですから、(－１,－１/２)となります。
対角線ＢＤの中点も同じ座標です。
中点の座標の求め方も既習ですが、内分の公式で解いても構いません。
これを利用して、方程式を立てます。
Ｄ(ｘ,ｙ)とすると、
－３＋ｘ /２＝－１
－３＋ｘ＝－２
ｘ＝１
－２＋ｙ /２＝－１/２
－２＋ｙ＝－１
ｙ＝１
よってＤ(１,１) となります。
ここまで書いていて、自分でもただし書きが多い、と感じます。
ただし書きが多くなるのが、この「図形と方程式」という単元の特徴です。
中学・高校の数学でこれまで学習したことを忘れていると、そこでいちいちつまずくことになるのがこの単元です。
覚えてはすぐ忘れる学習を繰り返してきた人が、高校２年で数学が全くわからなくなる最大の理由はそれです。
中学で学習したことも含め、これまで学習したすべてを使わないと理解できないし問題を解けない。
そういうことが多いのです。
次に学習する重心の座標も、そうです。
三角形の重心。
三角形には外心・内心・重心・垂心・傍心の５種類の点が存在します。
それを三角形の五心と呼びます。
中３数学でも発展的なテキストには載っていますし、高校数Ａの「図形の性質」でも学習する内容です。
外心は、三角形の外接円の中心。
内心は、三角形の内接円の中心。
重心は？
三角形の頂点と対辺の中点を結ぶ線分を中線という。
三角形の３つの中線は１点で交わる。
この点を三角形の重心という。
これが、重心の定義です。
また、重心は、各中線を２:１に内分します。
これも非常に重要です。
中３か数Ａのテキストに戻って復習すると、理解が深まると思います。
今回学習するのは、重心の座標の求め方です。
Ａ(ｘ1,ｙ1),Ｂ(ｘ2,ｙ2),Ｃ(ｘ3,ｙ3)の三角形ＡＢＣの重心の座標は？
まず、頂点Ａから辺ＢＣに中線を引きましょう。
頂点Ａと、ＢＣの中点Ｍとを結んだ線分です。
Ｍの座標は、(ｘ2＋ｘ3 / ２ , ｙ2＋ｙ3 / ２)。
重心Ｇは、線分ＡＭを２:１に内分する点ですから、内分点の公式にあてはめ、整理すると、
Ｇ(ｘ1＋ｘ2＋ｘ3 / ３ , ｙ1＋ｙ2＋ｙ3 / ３)
となります。
問題 △ＡＢＣの頂点Ａ、Ｂの座標はそれぞれ(４,－４),(－１,４)で、重心Ｇの座標は(－１,２)である。頂点Ｃの座標を求めよ。
Ｃ(ｘ,ｙ)とします。
公式にあてはめると、ｘ座標に関しては、
４－１＋ｘ / ３＝－１
３＋ｘ＝－３
ｘ＝－６
ｙ座標に関しては、
－４＋４＋ｙ / ３＝２
ｙ＝６
よって、Ｃ(－６,６) です。
繰り返しますが、図形問題が苦手という人は、それまでに学習した定理が身についていないために問題を解けないのです。
説明されれば定理を思い出せるというのでは自力で発想することはできません。
まして、説明されても「そんな定理ありましたか？」とポカンとしてしまうのでは、問題を解けるわけがないのです。
センスも勿論あります。
二等辺三角形を横たえた途端に、それが直角三角形に見えてしまう。
正方形を斜めにすると、それがひし形にしか見えなくなってしまう。
見取り図が平面のままに見え、立体的に把握することができない。
三角形が線分で分割されていると、もとの三角形を認識できない。
そうした、視覚的な課題を抱えている場合は、そうではない場合と比べれば、図形問題を解くまでに解決すべき課題が多いです。
しかし、努力で解決できることもまた多いのです。
図形問題が苦手な人は、図形問題を自力で解いた経験があまりないまま高校生になってしまっています。
中学の図形問題を解いたことがないのに、高校の図形問題が解けない、解けない、と苦しんでいます。
中学の図形に戻って復習すれば、スッキリします。
「図形は苦手だから、捨てます」
文系の生徒の場合、そういう決断をしてしまう人もいます。
大学入試共通テストでは、数Ａは３つの単元のうち２つを選択すればいいから、図形は捨てて、「確率」と「整数の性質」で受験します。
そういう人は多いです。
本当に図形が苦手で、何の望みもないのならそれでもいいのですが、「確率」も「整数の性質」も、数学センスが必要です。
決まりきった定理を使うだけの図形問題よりも、「確率」や「整数の性質」のほうが発想力が必要で、攻略が難しく、半分も得点できない場合があります。
特に「整数の性質」は、むしろ私はこの単元が得意な生徒に会ったことがほとんどないのですが、図形と異なり、苦手を自覚していない人が多いのです。
「確率が苦手」「図形が苦手」という声は聴きますが、「整数の性質が苦手」という声は聞きません。
しかし、現実には、最も得点が低いのは「整数の性質」で、ほとんど０点に近いのです。
図形で半分得点することのほうが、むしろ可能なのではないか？
少なくとも、図形問題を選択することが視野に入っていたほうが良いのではないか。
そう思うことも多いのです。
しかし、その決断をするには、図形アレルギーとでもいうものからは脱却しておく必要があります。
普通に図形問題に対処できるようになっていないと、やはり「図形は苦手」という呪縛からは逃れられないようなのです。
2020年06月11日
オンライン授業を始めています。
２０２０年６月８日(月)、教室にようやく光回線が通りました。
これで、全授業をオンライン化することが可能となりました。
咳・くしゃみ・微熱などの症状がある場合は、オンライン授業をお申込みください。
オンライン授業への変更は当日で可能です。
コロナ対策だけでなく、普通の風邪やインフルエンザ対策としても、お願いいたします。
せっかく通塾いただいても、そのまま帰宅していただく場合があります。
ご了承ください。
なお、今まで通り、前日までのご連絡ならば振替が可能です。
また、台風や大雪の場合は、こちらからオンライン授業への変更を提案いたしますが、休講も承ります。
今までと同様、台風当日・大雪初日の場合は、当日のご連絡でも欠席扱いはせず振替が可能です。
台風の翌日や大雪の２日目以降の当日欠席は、振替授業はできませんので、ご了承ください。
ゲリラ豪雨による欠席は振替授業の対象ではありませんが、オンライン授業への変更のご希望は承ります。
よろしくお願いいたします。
オンライン授業初回は、さまざまな連絡が必要となります。
遅くとも授業の当日２時間前にはオンラインへの変更をご連絡いただけると助かります。
また、その際にはオンタイムで会話できるよう、LINEで「友だち」になりましょう。
これまで、初回の授業はトラブルが起こることが多く、授業開始が１０分ほど遅れています。
原因の第一は、音声が通じないことです。
私のパソコンやスマートフォンでそのような事態が発生したことがないので、原因はよくわかりません。
「パソコンのオーディオを使用する」にチェックが入っていないことが主な原因と考えられます。
ソフトをあらかじめ使用し、操作に慣れておかれることをお勧めします。
近年、LINE利用が普通になっていることもあり、教室にご登録いただいているメールアドレスは、すぐには御覧にならないアドレスが多くなってきています。
台風や大雪で休校の連絡をこちらからする場合に、なかなか返信がなく心配なことがあります。
オンライン授業では、即レスできるツールでの連絡が必要となります。
よろしくお願いいたします。
なお、私のパソコンアドレスは、数日に一度チェックするアドレスです。
急を要するご連絡は、携帯アドレスまたはLINEにお願いいたします。
オンライン２回目以降は、授業開始１５分前までにご連絡いただければ何とかなります。
授業時間帯は、通常の授業時間帯と同じです。
さて、ここからは雑感です。
４月、コロナ禍で通塾を断念された方から、試験的にオンライン授業を始めていました。
自転車で通うことが不可能な遠距離からの電車通学の方。
小学生で、通塾に本人や保護者の方が不安を抱いた方。
ウィルスの流行が収束するまで塾を休みたいという連絡があった方に、オンライン授業のご提案をしておりました。
オンライン授業は午後の早い時間に私の自宅で行い、夜は教室で授業をするという形をとっていました。
基本はそのようにしていたのですが、私立は普段よりむしろ遅い時間まで学校のオンライン授業があったり。
公立も、５月後半になると、登校日が増えていきました。
時間割は日々複雑化し、迷走しました。
私のための教材は１部しかありませんので、自宅と教室と教材の行き来も必要で、神経を遣いました。
教室でオンライン授業をできれば、こんな苦労はないのだが。
しかし、その決断が遅かったのに加え、光回線の申し込みから開設までも１か月かかりましたので、完全オンライン化が遅くなりました。
もう必要ないのでは？
いいえ。
これまでは、学校が休校し、さまざまな店も自粛していたので、生徒の感染の可能性は低かったのです。
怖いのはこれからです。
ワクチンが開発されたわけでも、治療法が確立されたわけでもないのに、なぜか気が緩み始めている人が多数。
学校でクラスターが発生し休校という事態は、これから十分に起こり得ること。
少しでも異変を感じたら、オンライン授業をお申し込みください。
オンライン授業で、現時点の欠点は。
英語の授業時にリスニングを行うことができません。
英文科受験の高校３年生など、リスニングに重点をおいている授業では、オンライン化は現状難しいです。
たまの１コマなら、その日だけリスニングは行わないということで大丈夫でしょう。
音声ファイルを送り、授業時間外にリスニングを行うことは可能かと思いますが、受験学年以外は、そこまでしなくても、ＮＨＫラジオ講座などを活用して、授業とは別にリスニング力を鍛えていただければと思います。
オンライン授業の欠点、２つ目。
機動性。
宿題の結果や授業中の演習の様子から判断してプリント教材をすぐに追加、ということは難しくなります。
あらかじめ郵送したテキストやプリントでの授業となります。
オンライン授業で「タイムラグ」を欠点に挙げる方もいらっしゃるかもしれませんが、私はあまり気になりません。
Ｗｉ－Ｆｉ環境によりますが、０.５秒ほどタイミングがズレることがあるのは事実です。
しかし、対面授業でも、「タイムラグ」は起こるのです。
例えば、こんな問題の答を生徒に音読してもらうとき。
問題 次の空所を埋めなさい。
I ( ) play tennis tomorrow.
正解は、
I (will) play tennis tomorrow.
です。
しかし、こういう問題の答えあわせは、通常大変な「タイムラグ」があり、私はそれを待つのが日常です。
I ・・・・・・・・・・・・ will・・・・・・・play tennis・・・・・・・・tomorrow.
宿題で解いたときにはそれでいいと思っていても、答を音読するときにまた不安になって、もう一度答を考えて確かめているのか、will を言うまでに約５秒。
言い終わった後、本当にそれで良かったのかと、また考えているのか、次の単語を読み始めるまでに約３秒。
そこまでは、まだ気持ちを理解できます。
なぜか、解答とは直接関係のない最後の単語を読む前に２秒ほどのためらいがある子もいます。
tomorrow が読めないために、ためらってしまうのでしょうか？
しかし、他の単語のときも、最後の単語を読む前に長い間が空くことが多いのです。
本当にこれで良かったのか、頭の中で最後の確認をしているのかもしれません。
できれば、タイミングよく「正解！」と言ってあげたい。
しかし、生徒がこの１文を言い終わるまでに呼吸をしないで待っていると、私は窒息します。
生徒が、絶妙な間の悪さで tomorrow を言い終わったとき、私は、息を吐いた直後かもしれず、その後、息を吸ってからでなければ「正解」とは言えないのです。
しかし、生徒は、自分の不可解なタイムラグには自覚がなく、一方、私が「正解」と言うタイミングが遅いと、「えっ？」と顔を上げます。
いやいやいや、そんな顔をするのなら、もっとスラスラ読んでください。
いつ読み終わるかわからないので、呼吸のタイミングを計れないのです。
１０代はまだ主観で生きていますから、自分のタイムラグには無自覚。
一方、他人のタイムラグは気になるかもしれません。
私の感想としては、普段からそうなので、オンラインのタイムラグには、特に問題を感じません。
打てば響くような反応が必要とも思いません。
私が指示する前に答を読み、私が「正解」と言う前に丸をつけるような子には、むしろ注意をします。
ゆっくりでいいから、正確に。
それで大丈夫です。
オンライン授業の長所。その１。
生徒の忘れ物がありません。
これは重要なことで、例えば英語の授業で学校の教科書を忘れてきたら、その日、予習は進みません。
数学の授業で、塾テキストを忘れてきたら、授業が先に進みません。
学校は長い休校に入っていたので、今のところ予習ストックはありますが、学校が始まった途端、例年の倍速で進み始めています。
学校と苛烈なデッドヒートとなったときに、生徒が教科書・テキストを忘れてきたら、そこで完全に追い抜かれます。
コロナ禍以前ならば、私のテキストを一緒にのぞき込みながらの授業が可能でした。
現在、生徒と私との間には、２メートルの距離があり、テキストを共有することができません。
オンライン授業の長所。その２。
学校の数学の進度を明瞭に把握でき、また、生徒からの質問が具体的です。
学校の数学の教科書は、塾の授業では使わないので、持ってこない子が大半です。
私もそのことを特に注意しません。
進度さえわかればよいのです。
しかし、進度を正確に説明できない子もいます。
「『式の計算』をやっている・・・」
うん。知っていますよ、それは。
「式の計算」のどこをやっているの？
しかし、その問いかけに正確に答えられない子もいます。
学校がどこまで進んだかを覚えていない子もいれば、覚えてはいるのだがそれを正確に説明できない子もいます。
言葉に詰まると、適当な説明でお茶を濁す子もいます。
また、せっかくテスト範囲表が学校から配られても、それを忘れてきたら、次の授業は１週間後。
情報の共有が何より大切と、どれだけ説明しても、子どもにはなかなかピンとこない話なのです。
オンタイムで私が情報を得るには、生徒が家にいるのが一番です。
そこには、すべての情報があります。
また、教科書のこの問題がわからない、学校の問題集のこの問題がわからない、と事前に画像を送ってくれると、今までよりも質問対応がやりやすいです。
オンライン授業の長所。その３。
マスクなしで授業が可能です。
室温・湿度なども本人の好みの状態の家庭内で、感染に怯えることなく、快適に授業を受けられます。
通塾時間が不要なので、今までは無理だった早い時間の授業、または遅い時間の授業も可能と思います。
オンライン個別指導。
結構長所も多いのです。
2020年06月10日
高校英語。関係代名詞。注意すべき which 非制限用法。
関係代名詞の学習の中でも、今回は超マイナーで、定着しないことが多い内容です。
非制限用法の which の話。
勿論、which は、普通の非制限用法があります。
My father gave me some books, which were not so interesting.
私の父は私に何冊かの本をくれたが、それらはあまり面白くなかった。
しかし、これとは別の用法があるのです。
◎前の節の一部または全体を先行詞とする which の非制限用法
今回の中で、これが最も重要です。
これだけでも覚えてください。
Some school children take no breakfast, which is not good for the health.
朝食を食べない生徒がいるが、それは健康に良くない。
この which は、前の節全体、すなわち、「朝食を食べない生徒がいる」という内容全体を受けて、そしてそのことは健康によくないと言っています。
この which 節は、主節の中に挿入することもできます。
They had, which was important to them, a heroic past to boast of.
彼らにとっては重要なことだったが、彼らは自慢するべき勇敢な過去を持っていた。
この which は、主節全体、すなわち「彼らは自慢するべき勇敢な過去を持っていた」を指します。
これらの which は、読解にはあまり影響しないと思います。
意味を読み取ることは難しくありません。
しかし、文法問題になると、苦戦する人が多いのです。
空所補充問題で、which を入れることを発想できないのです。
it や that を入れてしまいます。
関係代名詞の問題である、という枠組みがないと特にそうなります。
知識としてしっかり身につけておきたいところです。
◎関係形容詞の which
名詞を修飾するのが形容詞。
名詞を修飾しつつ関係詞の働きをするのが、関係形容詞。
そんな面倒くさいものは、日常会話ではそんなに使わないですが、書き言葉では目にします。
She was appointed ambassader to the country, which post she filled with honor.
彼女はその国の大使に任命され、その職を立派に務めた。
which post の post は名詞で、which はそれを修飾していますから、関係形容詞です。
まあ、特にそんなことを難しく分析しなくても意味は取れますが、これも文法問題だと苦労する人がいます。
上の日本語を関係詞を用いて英語に直しなさいという問題だった場合。
She was appointed ambassader to the country, which she filled post with honor.
と、which と post を引き離してしまう人は多いです。
このレベルの単語を使用する能力があるのなら、そんな些細な語順ミスは実に勿体ない。
これは、疑問詞でもよく起こる現象です。
中学１年生で、How many ～？ の文を学習した際、
「あなたは何冊の本を持っていますか」という日本語を英語に直すと、
How many do you have books ?
という間違った語順の英文を書く人は多いです。
How many books do you have ?
ですよ、と何度解説しても、直らないのです。
中学３年生で、「疑問詞＋不定詞」を学習する場合も同じです。
「どのバスに乗ればよいか、私はわからない」という日本語を英語に直す際に、
I don't know which to take bus.
という間違った語順の英文を書いてしまいます。
正しくは、
I don't know which bus to take.
です。
疑問詞には疑問形容詞の働きをするものがあり、後ろに名詞を伴うことがあるんですよと、ごつい文法用語で中学生に説明するのも無理があるのですが、柔らかく説明しても、定着しない・・・。
一度本人が思い込んでしまった間違った英語の語順は、恐ろしいほどの定着をみせ、その人を一生縛りかねません。
英語は、間違った練習をすると、間違った語順が定着しがちです。
間違った英文を書くと、その記憶のほうが深く脳に残り、それが本人の「英語の語順」として強化され、永遠に再生され続けるのです。
文法的な分析があまり好きではなく、「英語は大体こういう語順のもの」という感覚に頼る人ほどそうなりがちです。
日本に住む日本人は、そもそもそんなに英語に触れていないです。
それなのに、本人の中の英語の語順の感覚に頼ろうとする。
その感覚の源の大部分は、本人の書いた間違った英文だというのに・・・。
本人の英語の語順の感覚が、間違った自分の英語を書いたり見たりした記憶で拡大再生産され、強化され続けるのです。
感覚に頼るのはやめましょう。
知識で正しい英文を作りましょう。
これは、学習習慣が確立していない早い時期に間違った英語の練習をたくさんやってしまうこととも関係があるのかもしれません。
小学校で学習する内容は、どの教科もおおむね単純で、学校の授業をちゃんと受けて、授業中にちゃんと演習もしていれば、覚えようと意識しなくても覚えられることが多いのです。
すると、家に帰って復習する習慣のある子でも、授業ノートや教科書を読み返すといったことはせず、いきなりワークやドリルを解いてしまう子が大半だと思います。
別にそれで間違うわけでもないので、勉強とはそういうものという形が出来上がってしまいます。
中学生になっても、それをそのままやり続ける子が多いのですが、中学で学ぶ内容は、小学校ほど量が少ないわけでもないし内容が単純なわけでもありません。
覚えきれないこともあります。
それなのに、自分が覚えきれていないことに対してまだ無自覚なので、ノートを見直すことも教科書を読みなおすこともせず、いきなり問題練習をする子が多いです。
そして、間違った練習をたくさんやってしまいます。
自分の間違いに敏感な子は、そこで気づきます。
ああ、ここは訂正するべきだ、ここが重要だ、と。
しかし、勉強が下手な子は、自分の間違った答が正答と違っていることに気づかず、全部マルをつけてしまうことがあります。
違っていることに気づいても、鉛筆で書き直して赤丸をつけ、間違ったことを記憶ごと封印してしまう子もいます。
そして、大事なテストでしくじる。
間違った語順が高校生になっても記憶に残り、しくじり続ける・・・。
高校生は、自分の間違いに、そろそろ耐性があってもよい頃。
自分の間違いを正視し、直せるはずです。
そして、ちゃんと学習事項を復習してから演習をするという手順を踏めるはずです。
疑問詞や関係詞は名詞を伴うものがある、という知識を定着させましょう。
上の文に戻ります。
She was appointed ambassader to the country, which post she filled with honor.
これは、
She was appointed ambassader to the country, and she filled the post with honor.
と書き換えられます。
which post のところは、関係代名詞節では目的語の働きをしていたのですが、節の一番前にきていました。
一方、先行詞は ambasadder です。
先行詞がきたら、すぐに関係詞。
原則はそうなのですが、今回は、ambassader to the country という語句のつながりが強いので、そこには割って入り込めなかったのです。
そこに無理に挿入すると意味がとりにくくなる場合、先行詞と関係詞との間に少し距離が開くこともあります。
◎ in which case
これも関係形容詞 which の用法ですが、もうこれで熟語として覚えてしまって構わないと思います。
「そしてその場合は」という意味です。
The plain may be several hours late, in which case there is no point in our waiting.
その飛行機は数時間遅れるかもしれず、そしてその場合は、待っていても無駄です。
この文は、
The plain may be several hours late, and in that case there is no point in our waiting.
と書き換え可能です。
以上、マイナーながら、たまにテストに出ると、必ず失点原因となる which の非制限用法でした。
非制限用法の which の話。
勿論、which は、普通の非制限用法があります。
My father gave me some books, which were not so interesting.
私の父は私に何冊かの本をくれたが、それらはあまり面白くなかった。
しかし、これとは別の用法があるのです。
◎前の節の一部または全体を先行詞とする which の非制限用法
今回の中で、これが最も重要です。
これだけでも覚えてください。
Some school children take no breakfast, which is not good for the health.
朝食を食べない生徒がいるが、それは健康に良くない。
この which は、前の節全体、すなわち、「朝食を食べない生徒がいる」という内容全体を受けて、そしてそのことは健康によくないと言っています。
この which 節は、主節の中に挿入することもできます。
They had, which was important to them, a heroic past to boast of.
彼らにとっては重要なことだったが、彼らは自慢するべき勇敢な過去を持っていた。
この which は、主節全体、すなわち「彼らは自慢するべき勇敢な過去を持っていた」を指します。
これらの which は、読解にはあまり影響しないと思います。
意味を読み取ることは難しくありません。
しかし、文法問題になると、苦戦する人が多いのです。
空所補充問題で、which を入れることを発想できないのです。
it や that を入れてしまいます。
関係代名詞の問題である、という枠組みがないと特にそうなります。
知識としてしっかり身につけておきたいところです。
◎関係形容詞の which
名詞を修飾するのが形容詞。
名詞を修飾しつつ関係詞の働きをするのが、関係形容詞。
そんな面倒くさいものは、日常会話ではそんなに使わないですが、書き言葉では目にします。
She was appointed ambassader to the country, which post she filled with honor.
彼女はその国の大使に任命され、その職を立派に務めた。
which post の post は名詞で、which はそれを修飾していますから、関係形容詞です。
まあ、特にそんなことを難しく分析しなくても意味は取れますが、これも文法問題だと苦労する人がいます。
上の日本語を関係詞を用いて英語に直しなさいという問題だった場合。
She was appointed ambassader to the country, which she filled post with honor.
と、which と post を引き離してしまう人は多いです。
このレベルの単語を使用する能力があるのなら、そんな些細な語順ミスは実に勿体ない。
これは、疑問詞でもよく起こる現象です。
中学１年生で、How many ～？ の文を学習した際、
「あなたは何冊の本を持っていますか」という日本語を英語に直すと、
How many do you have books ?
という間違った語順の英文を書く人は多いです。
How many books do you have ?
ですよ、と何度解説しても、直らないのです。
中学３年生で、「疑問詞＋不定詞」を学習する場合も同じです。
「どのバスに乗ればよいか、私はわからない」という日本語を英語に直す際に、
I don't know which to take bus.
という間違った語順の英文を書いてしまいます。
正しくは、
I don't know which bus to take.
です。
疑問詞には疑問形容詞の働きをするものがあり、後ろに名詞を伴うことがあるんですよと、ごつい文法用語で中学生に説明するのも無理があるのですが、柔らかく説明しても、定着しない・・・。
一度本人が思い込んでしまった間違った英語の語順は、恐ろしいほどの定着をみせ、その人を一生縛りかねません。
英語は、間違った練習をすると、間違った語順が定着しがちです。
間違った英文を書くと、その記憶のほうが深く脳に残り、それが本人の「英語の語順」として強化され、永遠に再生され続けるのです。
文法的な分析があまり好きではなく、「英語は大体こういう語順のもの」という感覚に頼る人ほどそうなりがちです。
日本に住む日本人は、そもそもそんなに英語に触れていないです。
それなのに、本人の中の英語の語順の感覚に頼ろうとする。
その感覚の源の大部分は、本人の書いた間違った英文だというのに・・・。
本人の英語の語順の感覚が、間違った自分の英語を書いたり見たりした記憶で拡大再生産され、強化され続けるのです。
感覚に頼るのはやめましょう。
知識で正しい英文を作りましょう。
これは、学習習慣が確立していない早い時期に間違った英語の練習をたくさんやってしまうこととも関係があるのかもしれません。
小学校で学習する内容は、どの教科もおおむね単純で、学校の授業をちゃんと受けて、授業中にちゃんと演習もしていれば、覚えようと意識しなくても覚えられることが多いのです。
すると、家に帰って復習する習慣のある子でも、授業ノートや教科書を読み返すといったことはせず、いきなりワークやドリルを解いてしまう子が大半だと思います。
別にそれで間違うわけでもないので、勉強とはそういうものという形が出来上がってしまいます。
中学生になっても、それをそのままやり続ける子が多いのですが、中学で学ぶ内容は、小学校ほど量が少ないわけでもないし内容が単純なわけでもありません。
覚えきれないこともあります。
それなのに、自分が覚えきれていないことに対してまだ無自覚なので、ノートを見直すことも教科書を読みなおすこともせず、いきなり問題練習をする子が多いです。
そして、間違った練習をたくさんやってしまいます。
自分の間違いに敏感な子は、そこで気づきます。
ああ、ここは訂正するべきだ、ここが重要だ、と。
しかし、勉強が下手な子は、自分の間違った答が正答と違っていることに気づかず、全部マルをつけてしまうことがあります。
違っていることに気づいても、鉛筆で書き直して赤丸をつけ、間違ったことを記憶ごと封印してしまう子もいます。
そして、大事なテストでしくじる。
間違った語順が高校生になっても記憶に残り、しくじり続ける・・・。
高校生は、自分の間違いに、そろそろ耐性があってもよい頃。
自分の間違いを正視し、直せるはずです。
そして、ちゃんと学習事項を復習してから演習をするという手順を踏めるはずです。
疑問詞や関係詞は名詞を伴うものがある、という知識を定着させましょう。
上の文に戻ります。
She was appointed ambassader to the country, which post she filled with honor.
これは、
She was appointed ambassader to the country, and she filled the post with honor.
と書き換えられます。
which post のところは、関係代名詞節では目的語の働きをしていたのですが、節の一番前にきていました。
一方、先行詞は ambasadder です。
先行詞がきたら、すぐに関係詞。
原則はそうなのですが、今回は、ambassader to the country という語句のつながりが強いので、そこには割って入り込めなかったのです。
そこに無理に挿入すると意味がとりにくくなる場合、先行詞と関係詞との間に少し距離が開くこともあります。
◎ in which case
これも関係形容詞 which の用法ですが、もうこれで熟語として覚えてしまって構わないと思います。
「そしてその場合は」という意味です。
The plain may be several hours late, in which case there is no point in our waiting.
その飛行機は数時間遅れるかもしれず、そしてその場合は、待っていても無駄です。
この文は、
The plain may be several hours late, and in that case there is no point in our waiting.
と書き換え可能です。
以上、マイナーながら、たまにテストに出ると、必ず失点原因となる which の非制限用法でした。
2020年06月07日
高校数Ⅱ「図形と方程式」。数直線上の点の座標と内分・外分。
さて、数Ⅱ「図形と方程式」。
公式まみれの数Ⅱがいよいよ本格的に始まります。
１つ１つの公式が全て大切で次につながるものですので、理解し、整理し、活用していきましょう。
まずは数直線上の点の話から始まります。
今回扱うのは数直線です。
ｘ軸とｙ軸がある座標平面ではありません。
まずはそこからです。
数直線上にも座標は存在します。
数直線とはすなわちｘ軸のことで、それしか存在しないので、ｘ座標しかないのだと思ってください。
数直線上の３の位置に点Ｐが存在する場合、Ｐ(３)と書きます。
次に、数直線上の２点間の距離について考えます。
これは、中学生の頃にも学習しています。
座標の大きいほうの点の座標から、小さいほうの点の座標を引けば、距離が出ます。
例題 ２点Ａ(３)、Ｂ(－５)間の距離を求めよ。
３－(－５)＝３＋５＝８
よって、距離は８です。
よくあるミスが、
３－５＝－２
距離は絶対値だから、答は２、としてしまうミスです。
頭の中で思考が２回ねじれているのですが、ねじれていることに本人はなかなか気づかないので、一度このミスにはまってしまうと、解説や説得がほとんど無効状態になってしまうことがあります。
数字にマイナスがついていると、それで混乱してしまうのか、１回しかマイナスを書かない癖は、中１「正負の数」を学習した当初から始まり、永遠に解決のつかない課題となりがちです。
３から－５を引くのですから、３－(－５)が正しいのです。
うっかり、３－５という式を立てて、結果が－２なったときに、気づくことも可能です。
しかし、
「距離が－２になるのはおかしいよね？」
と問いかけても、
「それは、３－５のところで符号を処理したから大丈夫」
と不合理なことを主張し、異論は認めない、という状態になる子もいます。
数直線を描き、
「－５と３との距離は、どう見たって２じゃないよね？８だよね？」
と示すと、ようやく理解してくれます。
どうか、符号を無視せずに「引く」ということを強く意識してください。
大きい数から小さい数を「引く」のです。
７と５との距離なら、７－５＝２ と正解できると思います。
負の数になっても、それは同じこと。
３と－５との距離は、３－(－５)＝８ です。
符号を一切省略せずに「引く」のです。
それで正しい距離が出ます。
３と－５との距離は、計算をするまでもなく８である、と認識できると本当は楽なのです。
頭の中に数直線のイメージがあると、３と－５との距離は、計算するまでもなく、８です。
原点からそれぞれの距離は３と５だから、２点間の距離は８だと、頭の中の数直線でわかるのです。
この先、数Ｂで学習する「ベクトル」で、ベクトルの成分を求めていくときにも、
Ａ(－２,３)、Ｂ(４,－１)だから、ベクトルＡＢ＝(６,－４)
と、見ただけで書いていくことができます。
どちらからどちらを引いた、ではなく、ｘ成分は－２から４に移動したのだから６だ、と見たまま書いていけるのです。
ｙ成分は、３から－１に移動したのだから、－４。
頭の中の数直線で方向と距離を読み取っています。
しかし、頭の中に数直線のイメージが存在しないと、この話は通じません。
何を言っているのか全くわからない、という顔をされます。
この断絶は、暗く深く、越えられないものなのかもしれません。
頭の中の数直線は、中学に入学し数学を学び始めたときにイメージしていないと、高校２年になって急にイメージできるようにはならないようです。
数学はすべて公式を丸暗記して数字を操作しているだけで、どんなイメージとも結びついていない。
数学が苦手な子には、そういう子が多いです。
話を戻して。
３と－５との距離は、３－(－５)＝８
大きい数から小さい数を引くと、距離を求めることができます。
符号を省略したりしなければ、必ず正しい距離が出ます。
ところで、これは、最初から絶対値を利用する方法もあります。
|－５－３|＝|－８|＝８
|３－(－５)|＝|８|＝８
これなら、２数の大小を確認せずに済みます。
どちらの数からどちらの数を引いても同じです。
同じ答えが出てきます。
文字と数字、あるいは文字と文字との大小がわからないときは、これを用いることになりますので、こちらのほうが汎用性が高いといえます。
大切なことは、必ず引くこと。
その数についている負の符号を勝手に省略しないこと。
その数の負の符号を、引き算のマイナスに使いまわさないこと。
ちゃんと符号をつけて、そして引くこと。
それさえ守れば、どちらの点の座標から先に書いても、距離は正しく求めることができます。
続いて、内分点・外分点。
まずは内分の定義から。
下の図をご覧ください。
Ａ(１) Ｐ(３) Ｂ(７)
線分ＡＢの間に点Ｐがあります。
点Ｐは、ＡＢを内側で分けている点と見ることができます。
このような点を内分点といいます。
上の図では、ＡＰ＝２、ＰＢ＝４です。
点Ｐは、ＡＢを２:４、すなわち１:２に内分しています。
Ａ(１) Ｂ(３) Ｐ(９)
この図はどうでしょうか？
点ＰはＡＢの外側にあります。
このような点Ｐを外分点といいます。
「分けていないのに外分というのは、納得がいかない」
生徒から、このように言われることがあるのですが、内分とセットで外分という言葉を使っていると思って、そこのところは納得してください。
上の図では、ＡＰ＝８、ＢＰ＝６です。
このような場合、点Ｐは、ＡＢを８:６、すなわち４:３に外分するといいます。
Ｐ(２) Ａ(４) Ｂ(８)
この図は、点ＰがＡＢの左側にあります。
これも外分です。
ＡＰ＝２、ＰＢ＝６ です。
点Ｐは、ＡＢを２:６、すなわち１:３に外分しています。
外分点が線分の右にくるか左にくるかは、４：３や１:３といった比のどちらの数字が大きいかによります。
初めて外分を学ぶと、上手く外分できず、結局全て内分してしまうことがありますので、できるようになるまで練習しましょう。
最初の数字が大きい外分は、出発点から到達点を越えてグンと進んでから、相手の点に戻るようにすると外分できます。
最初の数字が小さい外分は、まず出発点から、到達点とは反対方向に行ってから、到達点のほうにどんと進むと、外分できます。
さて、内分・外分がわかったところで、内分点・外分点の座標の求め方に進みます。
まずは内分点。
公式は、これです。
点Ａ(ａ)、Ｂ(ｂ)をｍ：ｎに内分する点の座標は、
ｎａ＋ｍｂ
ｍ＋ｎ
です。
これは、必ず覚えるべき公式です。
今後もこの単元で出てきますし、忘れた頃、数Ｂの「ベクトル」の学習でも多用します。
なぜこれで求められるのか証明を理解しておくと、万一公式を忘れた場合に自力で復元できます。
Ａ(ａ)、Ｂ(ｂ)をｍ:ｎに内分する点をＰ(ｘ)とします。
Ａ(ａ) Ｐ(ｘ) Ｂ(ｂ)
図を参照にしながら、比例式を立ててみましょう。
(ｘ－ａ):(ｂ－ｘ)＝ｍ:ｎ
となります。
比例式は、内項の積＝外項の積 ですから、
ｍ(ｂ－ｘ)＝ｎ(ｘ－ａ) と変形できます。
これを整理していきましょう。
ｍｂ－ｍｘ＝ｎｘ－ｎａ
ｘの項を左辺に集めましょう。
－ｍｘ－ｎｘ＝－ｎａ－ｍｂ
(－ｍ－ｎ)ｘ＝－ｎａ－ｍｂ
ｘ＝(－ｎａ－ｍｂ)/(－ｍ－ｎ)
分母・分子に－１をかけて、符号を整理しましょう。
ｘ＝(ｎａ＋ｍｂ)/(ｍ＋ｎ)
公式の通りになりましたね。
次は外分点の座標の公式です。
－ｎａ＋ｍｂ
ｍ－ｎ
これが外分点の座標の公式です。
証明しましょう。
まずは点ＰがＡＢの右にある場合。
Ａ(ａ) Ｂ(ｂ) Ｐ(ｘ)
この位置関係ですね。
比例式にすると、
(ｘ－ａ):(ｘ－ｂ)＝ｍ:ｎ
ｍ(ｘ－ｂ)＝ｎ(ｘ－ａ)
ｍｘ－ｍｂ＝ｎｘ－ｎａ
ｍｘ－ｎｘ＝－ｎａ＋ｍｂ
(ｍ－ｎ)ｘ＝－ｎａ＋ｍｂ
ｘ＝(－ｎａ＋ｍｂ)/(ｍ－ｎ)
点ＰがＡＢの左にある場合はどうでしょうか？
Ｐ(ｘ) Ａ(ａ) Ｂ(ｂ)
この位置関係です。
(ａ－ｘ):(ｂ－ｘ)＝ｍ:ｎ
ｍ(ｂ－ｘ)＝ｎ(ａ－ｘ)
ｍｂ－ｍｘ＝ｎａ－ｎｘ
－ｍｘ＋ｎｘ＝ｎａ－ｍｂ
(－ｍ＋ｎ)ｘ＝ｎａ－ｍｂ
ｘ＝(ｎａ－ｍｂ)/(－ｍ＋ｎ)
ｘ＝(－ｎａ＋ｍｂ)/(ｍ－ｎ)
やはり公式の通りになりました。
点ＰがＡＢの右にあっても左にあっても、外分点の座標は同じ公式で求められることがわかりました。
あとは、この公式を正確に活用するだけです。
2020年06月03日
高校英語。関係代名詞。関係代名詞の非制限用法(継続用法)。
関係代名詞の非制限用法。
その前に、では、それとは違う「制限用法」とは何なのかから、確認しましょう。
これは、中学から学習している、先行詞である名詞を修飾する、普通の関係代名詞のことです。
「制限用法」という呼び方の他に「限定用法」という呼び方もあります。
どちらも、修飾される名詞の意味を制限する、意味を限定する、ということからつけられた呼称です。
意味を制限する・限定するのは、関係代名詞に限らず、修飾語の働きです。
「男の子」といっただけでは、人によって色々なイメージがあると思います。
「金髪の」と言われると、イメージがかなり限定されます。
「１０歳くらいの」と言われると、さらにイメージが限定されます。
このように、修飾語には、修飾される語の意味を制限し、限定する働きがあるのです。
それで、修飾する用法のことを「制限用法」または「限定用法」と呼ぶのです。
どちらの呼び方を使ってもいいのですが、私は「制限用法」を好みます。
なぜなら、「制限用法」の反対は「非制限用法」で、覚えやすいからです。
一方、「限定用法」の反対は通常、「継続用法」と呼ばれます。
・・・覚えにくい。
覚えられるのなら、どちらの用語でも大丈夫です。
さて、それでは、制限用法と非制限用法の両方の例文を見てみましょう。
(１) She has two sons who are doctors.
(２) She has two sons , who are doctors.
違いは１か所だけ。
関係詞の前に、カンマ(,)があるかないか、だけです。
(１)の日本語訳は、簡単ですね。
「彼女には、医者である息子が２人いる」
これが制限用法です。
では、(２)の日本語訳は？
「彼女には息子が２人いて、彼らは医者だ」
これが、非制限用法です。
え？
そんなに違わない気がする？
言っていることは、結局同じだと思う？
実質が同じである場合も勿論あります。
しかし、そうではない場合も考えられます。
上の２つ文のうち、どちらかは、３人目の息子が存在する可能性があるのです。
どちらでしょうか？
正解は、(１)です。
医者をやっている息子が２人いることは、文から明らかです。
しかし、他の職業の息子が、他にもまだいるのかもしれないのです。
一方、(２)は、She has two sons と、言い切っていますから、息子は２人だけです。
息子は絶対に２人だけで、その２人ともが医者なのです。
つまり、(２)のカンマ(,)以降は、sons を修飾しているわけではないのです。
文が普通に続いているのです。
(２)の文は、
She has two sons , and they are doctors.
と言い換えることができます。
ここで余談ですが、son を「ソン」と発音する中学生・高校生が多く、少し気になります。
携帯会社の社長さんじゃないんです。
son の発音は「サン」です。
太陽という意味の sun と全く同じ発音の「サン」です。
日本人の耳には同じ音に聞こえてしまうというレベルのことではなく、発音記号上も全く同じ発音です。
発音記号では、ｖが逆さになっている、あの「ア」の音です。
でも、スペルに引きずられるのか、「ソン」と読んでしまう人は多いです。
ＣＤや外国人講師の範読を聴いたときに、「あれ？これはサンと読むのか」と気づいても良さそうなのですが、例によって認知にバイアスがかかるのか、自分が読み間違えていることには全く気づかず、「ソン」と発音し続けてしまうようです。
さすがにちょっと気になるので、
「それは、ソンではなくて、サンです。太陽と全く同じ発音のサンですよ」
と一度は注意するのですが、直る場合は少ないです。
たまたまうまく直ってほっとすると、ノートを見たら san とスペルしていて、天を仰いだこともあります。
わかった、私が悪かった。
san と書くくらいなら「ソン」と読んでいてもいいです。
もう、しょうがない。
orange を「オランゲ」と読んで覚えるようなものですよね。
そんなふうに、結局、日本人の英語能力は、音声英語に関しては、昭和の頃から進歩していないのではないかと感じることがあります。
ローマ字読みが直りません。
しかし、小学校から英語教育が始まっていることは、やはりある種の変化をもたらしています。
耳から英語が入っているために、逆に発音を間違えている子に出会うことがあるのです。
例えば、have を「ハバ」と読む子に、これまでに数人出会いました。
これは、小学生の頃に、
Have a nice trip !
だの、
I have a pen.
だのを、文字を使わず、耳だけで学習するために起こっている現象だと想像されます。
have a が、リエゾンで「ハバ」と聞こえることは、否定しません。
そのように発音したほうが英語らしいかもしれません。
しかし、have の後ろに常に a があるとは限りません。
生徒に文法問題の宿題の答を音読してもらうと、
I have a two books.
というので、「え？」と思い、ノートを見ると、
I have two books.
と、正答していることがあります。
ああ、have を「ハバ」と読んでいるんだなあと、気づきます。
What do you have a in your hand ?
うん？
その a は何？
私は a を聴き取りましたが、それは何ですか？
しかし、生徒のノートを見ると、そんな a は存在しないのです。
今後、この問題に長く苦しむことになりそうな予感があります。
あまりにこなれた発音を学習すると、むしろ妙な誤解をすることがあるのでしょう。
・・・というより、小学校も、音声英語と同時に文字英語をしっかり教えたらいいのではないかと思います。
音だけで学習しているために、変な誤解をしてしまうことがあるのですから。
今後、小学校の英語学習の改革に期待します。
さて、話を戻しましょう。
非制限用法の関係代名詞は、接続詞＋代名詞 の働きをしています。
She has two sons , who are doctors.
＝She has two sons , and they are doctors.
この文では、who＝and they です。
復元される接続詞は、常に and というわけではありません。
他に but や because が考えられ、それは文脈で判断します。
He complained loudly to the storekeeper, who answered him mildly.
前半は「彼は大声で店主に文句を言った」。
後半は「店主は彼に穏やかに返答した」。
これは、and ではなく、but でつなげたほうがいいですね。
He complained loudly to the storekeeper, but she answered him mildly.
店主の性別がわからなかったので、今は she にしておきました。
I called him, who had called while I was out.
前半は「私は彼に電話をした」。
後半は「私が外出中に彼は電話をくれた」。
これは、and でも but でも、ありません。
これは、because を使いましょう。
I called him because he had called while I was out.
少し文法的な話をするなら、and, but は等位接続詞。
文と文とを対等につなぐ接続詞です。
しかし、because は、従属接続詞。
主節と従属節の区別があります。
種類の異なる接続詞を補うことは、何かちょっとモヤモヤします。
厳密にいえば、ここで書き換えるべき接続詞は、and や but と同じ等位接続詞 for であるべきでしょう。
for は、「というのは」と訳す、その後に理由を説明する等位接続詞です。
とはいえ、for の存在を知らない高校生は多いと思います。
for って、前置詞でしょう？
接続詞の for なんて知らない・・・。
そういう把握の人が大半と思います。
for を用いての書き換えはレベルが高い。
文法的な厳密さよりも、わかりやすさが大切。
だから、文法テキストでも、because での書き換えを示していることが多いです。
私も、ここは because を使って構わないと思います。
非制限用法でも、関係詞と同じ意味を表す名詞のことは先行詞と呼びます。
非制限用法の場合、先行詞は固有名詞や代名詞でも大丈夫です。
このブログの関係代名詞の最初の回で、
The man is Mr.Tanaka who is talking to my sister.
は間違いだけれど、
The man is Mr.Tanaka , who is talking to my sister.
は、正しい英語だという話をしました。
「その男性は、私の姉に話しかけている田中さんです」はおかしいけれど、
「その男性は田中さんで、私の姉に話しかけています」は大丈夫。
まずは、非制限用法の基本のお話でした。
