2018年05月31日
中学生は、英語のどこでつまずくのか。
本日は中学生の英語の話を。
英語が苦手という子の中には、単に覚えるのが苦手でなかなか覚えられないけれど、授業はまあまあわかるという、普通に英語が苦手な子も多いです。
しかし、なかには、大人が想像もしないようなところでつまずいて、その先に進めない子もいます。
まず、単語のスペルのルールが理解できなくておろおろしている子。
パソコンを扱える子は、パソコン方式のローマ字の打ち込みはできますから、ヘボン式とは多少異なるとはいえ、英文字と音とのつながりを理解しています。
ところが、英単語のスペルは、ローマ字とはかなり違います。
そこで混乱する子がいます。
英単語のスペルはどんなルールがあるのだろう。
なぜ、先生は、そのルールを教えてくれないのだろう。
教える必要もないくらいの常識なのだろうか。
自分だけが理解できないのだろうか。
かなり頭の良い子が、こういう混乱を起こすことがあります。
周囲は、その子の頭の良さを知っていますので、まさかそんなことが原因で英語不振に陥っているとは思ってもいません。
本人は勉強に関してプライドが高く、自分のそういう悩みを相談できません。
英語に関するもやもやが晴れず、どんどん英語が苦手になっていきます。
場当たり的な勉強や丸暗記の勉強は嫌いで、理屈が勝ってしまうタイプの子は、英単語のスペルにもルールを発見しようとし、そして発見できずに挫折してしまうのです。
他の科目と比べて英語だけ成績が悪く、これはちょっとおかしいという状態の子に、以下のことを説明するだけで、はっと覚醒し、その後、英語も他の科目と同じように理解することがあります。
英単語のスペルは、本当はルールがあるけれど、とても複雑だし、例外が物凄く多いから、今は、単語１つ１つのスペルを覚えていくといいよ。
日本語の漢字を覚えるようなものだよ。
そう助言するだけで、今までの霧が全て晴れ、英語がわかるようになっていくことがあります。
今は文法を全面に出して英語を教えるのは悪いことであるかのような風潮がありますが、理屈が好きな子には、文法で英語を教えたほうが効果があります。
文法用語を使わず何の文法事項を扱っているのか伏せた状態で、基本例文というのを暗記させられ、その文の意味を覚えていく学習を中１・中２とやっていくと、英語に対してモヤモヤしてしまう子は多いです。
そういう子に、例えば中３の「現在完了」などをゴリゴリの文法で解説するとバキッと開眼することがあります。
➀I have been in this town for two years.
➁She has kown the man since he was a child.
➂He has read the book three times.
➃I have already finished my homework.
問題 上の４つの文のうち、同じ用例のものはどれとどれか。
答えは①と②です。
文法的にこれをとらえる場合、使われている語句に着目します。
➀はfor two years 、➁はsince he was a child と、期間を表す語句が使われています。
いずれも、現在完了の「継続」の用法であることを示す語句です。
ちなみに、➂はthree times という回数表現があるので、現在完了の「経験」の用法。
➃はalreadyが使われているので、「完了」の用法です。
文法的なアクセスができない子は、４つの文をいちいち和訳して解きます。
➀私は２年間この町に住んでいます。
➁彼女は彼が子どもの頃から彼を知っています。
➂彼はその本を３回読んだことがあります。
➃私はすでに宿題を終えてしまいました。
この日本語訳から、同じ用法のものを選ぶのです。
「完了」「継続」「経験」「結果」という現在完了の４つの用法という観点はなく、日本語の意味から、同じ意味あいのものを選ぶのです。
・・・・何てまだるっこしい。(-_-)
訳し方をちょっと失敗したら、終わりです。
「同じ意味あい」ってどういうことなのか、かなり曖昧ですし。
「完了」「継続」「経験」「結果」という、文法事項を正確に指し示すキーワードと、それに付随する語句をセットで覚えればはるかに楽ですし、正確に分析できます。
理屈が好きな子は、文法で解く解き方を教えると覚醒し、
「わかりやすい」
「初めて英語がわかる」
と感動します。
成績も急上昇します。
他の科目もそうですが、英語の問題には、出題者の意図があります。
何の文法事項を問う問題なのか、その出題意図を見抜けば、答えは楽に出せます。
そうした出題意図を見抜くためにも文法からの分析は有効です。
上の問題でいえば、ああ、現在完了の用法の識別だなと把握し、サクサク解けば短時間で終わります。
しかし、何の問題なのか、何を問われているのかわからないまま、漠然と日本語に直し、何となくこれが答えなんじゃないかと判断して解いている子もいます。
まさか、そんな、バカな。
そんなことがわからないはずがない。
大人はそう思うのですが、文法が苦手ということは、そういうことです。
英語学習が常に曖昧な状態で進み、英語の問題をどう解いていいかわからず、ぼんやり解いている子は、案外どこにでもいます。
文法を理解することは、文法問題を解くのに有利なだけではありません。
上の問題でいえば、ああ、現在完了の用法の識別だなと把握し、サクサク解けば短時間で終わります。
しかし、何の問題なのか、何を問われているのかわからないまま、漠然と日本語に直し、何となくこれが答えなんじゃないかと判断して解いている子もいます。
まさか、そんな、バカな。
そんなことがわからないはずがない。
大人はそう思うのですが、文法が苦手ということは、そういうことです。
英語学習が常に曖昧な状態で進み、英語の問題をどう解いていいかわからず、ぼんやり解いている子は、案外どこにでもいます。
文法を理解することは、文法問題を解くのに有利なだけではありません。
英文をいちいち日本語に訳さずに読んでいく癖がつきます。
英文を英文のまま読んでいくというのはどういうことなのか、言葉で説明してもわからない子は多いのです。
文法問題のような短文を訳さないで読んでいく習慣が身につくと、長文を読んでいく際にも、訳せと言われない限りはいちいち日本語にしない習慣がついていきます。
日本語に訳さず、しかし意味のまとまりごとに英文を区切って読んでいくには、文法知識が必要です。
文法は教えない。
だが、意味のまとまりに区切って英語のまま理解しろ。
そんな要求をされた場合、そもそも意味のまとまりに区切る、その区切り方がわかりませんよと生徒が不満を持つのは当たり前のことだと思います。
文法がわからないと、英文の構造が把握できないので、どこで意味が区切れるのかもわからないのです。
文法を知れば、意味のまとまりは自明の理です。
そんなの、Ｓ、Ｖ、Ｏ、Ｃ、Ｍのことなんですから。
ところが、文法を教えても英語が得意にならない子も確かに存在します。
「現在完了の見分けがつかない」
というので、
➀完了の用法
「すでに～してしまった」「ちょうど～したところだ」の意味。
already,yet,justなどを伴うことが多い。
➁経験の用法
➁経験の用法
「～したことがある」の意味。
once,twice,three time,many times,beforeなどの語句を伴うことが多い。
といった文法事項を説明すると、そんなに覚えることが多いのは嫌だ、もっと簡単に分類できる方法を訊いたのに、と不満を感じる子もいます。
文法用語に対する拒否感が強いのです。
覚えることが多いのは苦痛を感じる。
理屈が好きじゃない。
もっと簡単で、もっと楽しいことがやりたい。
そういう要求の強い子は、文法をいくら説明しても、覚えてくれませんし、活用してくれません。
何を教わっても、１文１文を日本語に訳して意味を取ってからでないと解かないのです。
出題者の意図を汲み取りなさいといっても、そういう視点を持ったことがない様子で、ぼんやりしています。
何の文法事項を問われているのか考えてみてと問いかけても、そんなのわからない、と言います。
全てモヤモヤし、ぼんやりしている中で、意味だけを頼りに解いていこうとし、やがて英文の意味を読み取れなくなり、英語に挫折していきます。
修飾語句が多くなり日本語に訳すのが難しくなる中２の「不定詞」あたりから、英語がわからなくなっていく子が多いのはそのためでしょう。
英文の構造が複雑になればなるほど、意味だけで英文を理解していくのは難しくなります。
文法重視が悪いことのようになってしまうと、文法からアプローチすれば高度な英文も理解できるタイプの子から、その機会を奪うことになります。
文法が理解できる子には、今まで通り文法を教えるのが最善です。
勿論、進学校はそれを承知していますので、「過度な文法重視を排し」と言われようがどうしようが、文法をきちんと教えていくと思います。
問題は、文法に拒否反応が強く、文法をいくら教えても文法を活用しないタイプの子に、どのように英語を教えるか、です。
教えても活用しないのですから、それこそ「過度の文法重視を排し」ていかなければなりません。
文法を教えていないふりで、文法を教える。
文法を教えていないふりで、英文の構造を教える。
そうした面倒くさい作業が必要となります。
当然、英語学習の時間を今までより多くし、触れる英文の数を増やさないといけませんし、文法で骨組みを補強できない分だけ語彙力を鍛える必要が生じます。
それでも、相手によって教え方を変えないと、その子は伸びません。
その見極めが重要です。
2018年05月28日
陣馬山から高尾山を歩きました。２０１８年５月。
２０１８年５月２７日(日)、奥高尾を歩いてきました。
前日まで天気予報は曇りがち。
ならば、いつもの奥高尾をちょっとトレーニング気分で歩こうと予定していたら、いざ当日になると意外に晴れていました。
この天気なら、もっと早起きして、遠くの山に行けば良かったかなあ。
でも、奥高尾、好きなんです。
近場なのに１日たっぷり歩けますから。
よし、予定通り、奥高尾を歩こう。
ＪＲ高尾駅北口。８:３５。
陣馬高原行きのバスはいつも通りの長い行列でした。
小仏行きのほうは、いつもより過激に長い行列となり、蛇行しています。
「小仏行き最後尾」の看板を掲げた職員さんが整理にあたっていました。
陣馬高原行きバス発車。８:５２。
バスは２台同時発車。
座席を畳んでバスの収容人数を増やす、ラッシュ時の形態となっていました。
座ることはできず、畳まれた椅子に寄りかかり、車窓を眺めていきました。
初夏の明るい車窓は、山に着く前から緑があざやかです。
終点、陣馬高原下。９:３５。
トイレを済ませて、さて出発です。
茶店の前を通りかかると、店頭でスタンプを押している人がいました。
高尾・陣馬スタンプハイクですね。
毎年やっているのは知っていたのですが、参加したことがありません。
プレゼント応募にはあまり興味がないけれど、ちょっとやってみようかな。
試しにそこにあった用紙にスタンプを押してみました。
あ。花のスタンプです。
陣馬高原下・山下屋のスタンプは、カシワバハグマ。
これはちょっと楽しいかも。ヽ(^。^)ノ
用紙を畳んでザックに入れ、さて出発。
まずは舗装された林道を登っていきます。
歩き出しは日向で暑いのですが、途中から沢の冷気が上がってきて、気持ちよく歩いていけました。
道しるべに従い、左の登山道へ。
歩きやすい道だなあ。
奥高尾くらい整備された登山道は、ちょっと他で見ないですよね。
登り坂は急ですが。
これはどうしようもありません。
前を行く親子連れに追いつきました。
お父さんと男の子２人。
弟くんのほうは、結構嬉しそうに歩いているのですが、小学校高学年くらいのお兄ちゃんは、やる気ゼロの様子で遅れながら歩いています。
お父さんがしょっちゅう振り返ってはっぱをかけます。
「ほら、早く来い。そんなだらだら歩くから余計に疲れるんだ」
でも、男の子はやっぱり辛そうです。
これは、山が嫌いになるパターンですね。
山は、自分が来たいと思って来るのでなければ、楽しくありません。
それに、自分のペースで歩けないのは辛く不愉快なだけです。
こんな急坂は、もっとゆっくり歩いたら楽しいのに。
私も、子どもの頃は遠足の山歩きは大嫌いでした。
息を切らしながらずっと歩き続けて、好きなときに休憩することもできませんでしたから。
しかも、水分は子ども用の小さな水筒に入っているぬるい水だけでした。
そんなのはすぐに飲み干してしまいますし、昔のことですから「水分を取りすぎるとバテる」といった迷信が横行していて、喉の渇きを我慢して歩くのが普通のことでした。
子ども用のナップザックは肩に食い込んで痛いし、体操着は登山用のものじゃないから汗をかくと不愉快だし。
靴は普通の運動靴だから、基本歩きにくいし。
あの頃の記憶のまま、今も山歩きに我慢・忍耐・苦痛のイメージしか持てない人も同世代には多いのかもしれません。
息切れしないペースでのんびり歩き、水分取り放題、おやつ食べ放題、立ち止まり放題、ザックも靴も装備は全て快適。
それが大人の山歩き。
山頂にはかき氷にビール。
下山したら温泉。
こんな楽しい山歩きを知ったら目からウロコが２～３枚バリバリ剥がれ落ちる人も多いと思うのですが。
さて、前半の急登が終わって、いったん道はゆるやかになります。
もう新緑のシーズンは終わり、すっかり緑が濃くなりました。
涼しい木陰でひと休み。
ここからさらなる急登が待っています。
広い尾根は、ジクザグに切られた正規の道があるのですが、すっかり複線化して直登気味の道が何本もできています。
淡々と登っていくと、急坂のてっぺんに。
ここにはベンチ代わりの丸太も置かれています。
さて、ここから、短い距離ですが崖っぷちの道。
これくらいの道幅があると、安心だなあ。
と、いまだに先月の細い道幅の山歩きの記憶がよみがえります。
大きなカエデの木のところで左に曲がり、いよいよ最後の登りです。
春先は泥んこ道になるところですが、さすがにこの季節はよく乾いて快適な道でした。
坂が少し緩くなり、歩きやすい道をたどって、最後の石段を数段登ると、陣馬山山頂。１０:５５。
白馬のモニュメントがお出迎えです。
スタンプハイクの旗の下、押したスタンプは、センニンソウ。
空は霞んで富士山は見えませんでしたが、奥多摩方面の眺望はありました。
生藤山の左に三頭山。右奥に雲取山、そして、少し離れて肩をいからせた大岳山。
山頂周辺のベンチは人で一杯でしたので、木段を下って、芝生のほうに向かいました。
あれ？
芝生を園芸用の緑色の細いパイプや白いビニールテープで囲ってあります。
何か植物でも植えたのでしょうか？
芝生は芝生のまま、ほったらかしてくれたほうがいいのになあ。
そこは富士山の眺望が特によい一等地なのになあ。
少し離れ、暖簾のように並ぶ鯉のぼりとその向こうに大岳山が見える芝生にレジャーシートを敷いて、ちょっと長めの休憩を取りました。
さて、出発。１１:１５。
高尾へと歩き慣れた道を進みます。
まず木段を下り、広い道をのんびり歩きました。
足許にはフタリシズカが沢山咲いていました。
白い小さな花が集まって咲いている木は、マルバウツギでしょうか。
道が乾いているので、この時期の奥高尾は本当に歩きやすいです。
いつもならまき道を選ぶのですが、今日は時間に余裕があるので、尾根道を選んで歩きました。
道の北側は広葉樹の雑木林。
南側は、植林。
この季節、尾根道を歩くと、高尾の南面と北面の植相の違いが林の明るさの違いになってはっきり感じられます。
まき道は植林の中を歩くそっけない道ですが、尾根道は雑木林の明るさに心が浮きたちます。
伐採地。
何かの苗が植えられた他、丈の高い草が伸びて、ワサワサしていました。
何年かして、苗の背が高くなっていくと、日影となって草は生えなくなり、また植相が変わっていくのでしょうか。
景信山。１３:１０。
ここのスタンプは、ホタルブクロ。
晴れているのに、空は高層ビルも見えないほど霞んでいました。
夏空のようです。
山頂直下の急な下りから、岩がちな下り、Ｓ字の下りとさまざまな下りをたどって、小仏峠。
そこから登り返して、相模湖を見晴らせるベンチ。
あれ？
相模湖脇の道路が見たことがないほど渋滞しています。
車が列をなし、ほとんど動いていないのです。
先客のグループも、この大渋滞をいぶかしみ、スマホで渋滞情報をチェックしていました。
上の画像がそれです。
ネットに上げた段階で画素数を大きく減らしたのでボケてしまいましたが、オリジナル画像では、車一台一台がくっきり見えています。
しばらく平坦な道を進んで後、木段の登り、木の根の作る段差の道を登って、小仏城山。１４:０５。
城山のスタンプは、イチリンソウ。
城山の茶店は今日は２軒とも開店していました。
名物のかき氷の販売も始まっていました。
今日は、凍らせてきたゼリー飲料を飲めば平気でしたが、この夏またお世話になると思います。
城山から、木段木道の道を降りていくと、一丁平。
ヤマボウシが満開でした。
眺望がないので、今日は紅葉台には登らず、まき道を行きます。
まき道とはいっても、登りは登りなんだなあ。
気温が高いと、ちょっとした登りも案外負荷がかかり、ああ、ここは登り坂だと感じます。
高尾山直下。１５:００。
ひと息ついて、ここからもまき道を行きました。
トイレのところで右に曲がり、６号路に入ります。
ベンチに座って、少し休憩。
林に向かって座り、水分補給。
柔らかな日差しに、広葉樹の林は薄緑色に光っています。
その林の中で、白い蝶がヒラヒラしているのが見えました。
柔らかな日差しに、広葉樹の林は薄緑色に光っています。
その林の中で、白い蝶がヒラヒラしているのが見えました。
あれは・・・・。
さて、下山。
まずは木段をどんどん降りて、平坦な道をしばらく行くと、沢の中の飛び石。
こんな時間なのに、登ってくる人が案外多いです。
もうビアガーデンをやっているのかな？
登山姿ではない若い子たちがどんどん登ってきます。
飛び石が終わると、木の根や岩の多い沢沿いの道。
滑らないよう、用心して通過。
下るほど道は良くなってきます。
沢の右岸に渡った頃からは本当に歩きやすい良い道になります。
どんどん下っていくと登山口に。
舗装道路の脇の林の前で立ち止まり、見上げている女性がいます。
つられて見上げると、無数の白い蝶がヒラヒラと飛んでいました。
あれは、ヤママユガ。
先程ベンチで見た、林の中の幻のようなチョウも、きっとそうだったのでしょう。
清滝駅。１６:００。
スタンプの用紙を見て、気づきました。
あ、琵琶滝でスタンプを押し忘れた。(''_'')
清滝駅のスタンプは、サルトリイバラでした。
スタンプハイクは、５月３１日までなので、今年はとびとびに５個集めただけでしたが、来年は本気で取り組んでみようかな。
もう１つ、このスタンプ用紙には、「おすすめコース」なるものが載っていて、城山北東尾根という歩いたことのないコースが掲載されていました。
ほほお？
日影沢の徒渉があるんだ。
この夏、沢の水位が下がったときに挑戦できるかな？
2018年05月24日
高校生の英語力が伸びない理由．
２０１３年に閣議決定された英語到達目標がありました。
２０１７年度までに中学３年生の５０％が英検３級程度の英語力をもつこと。
高校３年生の５０％が英検準２級程度の英語力を持つことでした。
しかし、実際には、２０１７年度に、英検３級程度以上のレベルに達した中３は全体の４０.７％。
英検準２級程度以上のレベルに達した高３は３９.３％。
目標達成はなされませんでした。
高校生に対しては、そもそも低く目標設定されていました。
英検３級は中学３年生程度の英語力を基準としていますので、学年相当の設定です。
一方、高校３年生に対する政府目標は英検準２級とされています。
英検準２級は、高校１～２年生程度の英語力です。
しかも、その目標を達成できませんでした。
数値も同じ４０％程度ですので、中学３年生のときに英検３級程度の英語力のある子は、高校３年生のときには英検準２級程度の英語力がある、という流れが見えます。
２０１７年度の中３と高３の話で、同じ学年の子どもたちの継続調査ではないのですが、継続調査をしてもその程度ではないでしょうか。
これを、英検２級で調査したら、当然、もっと数値は低くなるでしょう。
中３のときにはそれでも学年相当の英語力のあった４０％の子たちも、学年が上がるにつれて、学年相当の英語についていけなくなっていると予想されます。
どうすれば良いのか？
これは「４技能」の話とはちょっと違うのです。
「４技能」は、日本人は中学・高校と英語で秀才だった子も実際には英語を話せないという観点から、「話すこと」にも力点を置こうという話です。
「話すこと」の指導に力を入れれば英語の他の技能も上がる、ということではありません。
「話すこと」に力点を置けば、話す技能は今までよりは上がるかもしれません。
しかし、それに伴って「読むこと」「聴くこと」「書くこと」の能力が上がる保証はありません。
実際、これまでの例で言えば、中学生で英会話教室に通っている子は、「話すこと」「聴くこと」の力は標準よりあるけれど、ペーパーテストに弱いので、成績は「４」は取れても「５」はなかなか取れないのが実状でした。
高校生で英会話教室に通っている子になると、さらに効果は不明瞭で、高校の英語の授業についていくことができない子もいます。
でも英会話教室は楽しいらしいのです。
楽しいのなら何より。
もうそれはお稽古ごとの領域です。
ただ、英会話教室も今は多種多様で、昔ながらのネイティブの講師を囲んで数人のグループで会話をする形式のものは少なくなりました。
毎回自己紹介に授業の半分が費やされるという効果不明のものは淘汰されつつあります。
各種英語検定合格に特化したもの、大量のリーディングを課し速読力を強化するもの、高校受験・大学受験に対応しているものもあり、それは英会話教室というより英語教室と呼んだほうが良いのでしょう。
そして、そうした英語教室は「話すこと」が他の技能を伸ばすとは必ずしも考えてはいないのです。
４技能は、それぞれを伸ばさないと伸びないのです。
話を戻して。
中学英語にはまあまあついていけた子が、なぜ高校英語で学年相当の力がつかなくなっていくのか。
最大の原因は単語力だと思います。
高１になっても、高２になっても、高３になっても、単語力は中学生レベル。
そういう子が多いのです。
たまにわからない単語があるという程度ではなく、１文の文意を決定する単語のほとんどがわからないのです。
例えばこんな文。
She possesses a great capacity for overcoming any obstacle.
文法的にはシンプルです。
比較的短く、内容をとらえやすい英文です。
しかし、英語が苦手な高校生は、この文の意味を把握できません。
単語の意味がわからないのです。
主に以下の４単語です。
posess , capacity , overcome , obstacle
どれも高校レベルの単語です。
でも、覚えていない子は多いです。
１文に４つわからない動詞や名詞があったら、意味は把握できないですよね。
単語の意味がわからない限り、英語は謎の呪文です。
(-_-)
英単語はいきなり大量に出てくるものではないので、新出のときにしっかり覚えて２度と忘れないようにすれば、語彙は着実に増えていきます。
中学生の頃は、それがそこそこ上手くいっている子も多いのです。
しかし、高校生になると、新出単語を覚えきれなくなっていきます。
高校の英語の先生は、生徒の単語力不足を気にしていますので、単語集を配布し、週１回テストを課すことが多いです。
しかし、それも、その単語テストのために一夜漬けで覚えて、テストが終わればすぐに忘れてしまう子が大半です。
それを防ぐため、学校の先生は、そうした毎週の単語テストの範囲を定期テストの範囲に全て含めることがあります。
その場合、単語のテスト範囲は「捨てる」という暴挙に出る高校生が多いのです。
覚える単語数が多すぎるからでしょう。
他の教科の勉強もあるからと諦めてしまうのです。
定期テストでは、単語集からの出題はほぼ全滅。
身についた単語はほとんどありません。
この繰り返しで、教科書の本文も、テストに出る初見の英文も、わからない単語がどんどん増えていきます。
高校生で英語が苦手な子の大半は、そういう子ではないでしょうか。
知っている単語の数がもう少しあれば、文法力や文章の構造把握力でどうにかカバーする方法はあります。
上の英文で言えば、まずcapacity。
この単語がわかるとわからないとでは、かなり違ってきます。
そして、この単語は、半分日本語になりつつある単語です。
しかし、英語が苦手な子とは、こんな会話になりがちです。
「キャパシティは、もう半分日本語になっているね。キャパって言うじゃない？」
「言いません」
「武道館のキャパ１万２千人。東京ドームのキャパ４万人とか」
「言いません。知りません」
「・・・・」
思い出すヒント、覚えるヒントとしてこうした話を持ち出しているのですが、単語が苦手な生徒ほど、こんな反応になりがちです。
知らないことを責められていると感じてしまうのでしょうか。
他にも、
「ファッション誌に、インポート物とか書いてあるじゃない？」
「知りません」
「都知事がよくダイバーシティとか言っているじゃない？」
「知りません」
叩き返すような返答です。
「映画で、ミッション・インポッシブルってあるじゃない？」
「知りませ・・・あ・・・」
「知りませ・・・あ・・・」
「・・・・知ってるよね？」
「知ってますけど、意味とか考えたことありません」
日本語としてなじみのない音のつながりでも、映画のタイトルだと覚えられたりしますから、それを利用しない手はないですよね。
ちょっとでも語彙を増やしていく、その気持ちが大切。
ヽ(^。^)ノ
単語力をつけたいと思っている人は、１万語をまとめてスルスル覚える方法を求めている様子の人が多いです。
そのためには３か月単語漬けになるくらいの覚悟が必要ですし、その後もそれを維持するための継続的努力が必要なのですが、その人にその覚悟があるかというと、それはまた別の話。
一方、身近なところから１つでも２つでも覚えていこうということもない。
英単語は、覚えられない。
私は、英単語を覚えるのは苦手だ。
全然頭に入らない。
それは仕方ないことだ。
それを解決できないのは、私の責任ではない。
楽にスルスル覚えられる方法が開発されたら、やってみないでもないが。
そういうところで停滞し何も動かないのが、中学英語と高校英語との間に高い壁を作っている一つの原因かなと思います。
ともかくcapacityは「能力」という意味だと、それはわかっているとして。
She posseses a great capacity for overcoming any obstacle.
文法の基本がわかっていれば、わからない英単語は英語のまま、意味を取っていくことができます。
「彼女はどんなobstacleもovercomeする大きな能力をpossessしている。」
何のこっちゃわからん、と言うこともできますが、とにかく能力の話なのだとわかります。
そして、英文というのはこの１文だけポツンと書いてあるのではなく、これは長文の一部分です。
この文の前後、大抵はその後ろに、その能力についてもっと具体的な描写があるはずです。
その能力は、どんなobstacleもovercomeする能力だそうですが、その後に具体例が書いてあり、それが読み取れれば、obstacleもovercomeもわからなくても大丈夫でしょう。
修飾部分ですから。
具体例のほうがもっとわかりやすく説明してあるはずです。
逆に、その後ろの具体例が読み取れなくても、あと一語、overcomeの意味がわかるなら、おおよその文意は把握してその先を読み進めることができます。
「彼女はどんなobstacleも克服する能力をpossessしている」
ここまでわかれば、ほぼわかったようなものです。
その後に、何かを克服した具体例が書いてあるのでしょう。
ただし、こうした読み方はかなりの集中力と推理力を必要とします。
単語の意味がもっとわかれば、こんなに苦労をしなくて済むものを。
せめてこの単語の意味だけでもわかれば。
そうした経験から、１つ１つ増えていくのが生きた語彙です。
単語集による単語暗記も並行して行う中で、覚えたはずの単語が長文中に出てきて、それなのに意味が取れないとき。
この単語の意味がわかれば、この文の意味はわかるのに。
覚えたはずなのに。
悔しいなあ。
そうして、その単語の意味を確認し、ああ、そうだった知っていたのにと感じます。
その単語は自分の語彙になるまで、あともうほんの少しです。
もう自分の語彙になっているかもしれません。
単語集の中の単語の羅列が、文章の中で生きた使われ方をした瞬間に、驚くほどすんなり頭に入ってきて忘れないことがあります。
だから、単語暗記と多読とを並行して行うことが効果的です。
重要な単語は本当に高い頻度で英文の中に出てきますので、英文を多く読めば読むほど、頭に残ります。
しかし、英語が苦手な高校生は、単語暗記も多読もしません。
教科書の英文だけは予習しようとしても、新出単語以外にもわからない単語が多く、いちいち辞書をひくだけで時間がかかります。
文法も苦手なので、単語の意味は調べられても、１文が長いと構造を把握できません。
関係代名詞とか分詞とか、学校の授業で説明されても、意味がわからない。
中学でちょっと勉強して終わると思っていたのに、何で毎回文章に関係代名詞とかいうのが出てくるんだろう？
全然わかんない。
教科書の予習だけでも、もう手が回らない。
そもそも英語にそんなに時間をかけていられない。
そう考えて、やがて諦めていきます。
そういう子が多いと思います。
この状態で、塾で、学校の英語の授業の予習復習を希望し、それ以外のことはやりたくないしやらないとなると、問題の解決はほとんど不可能です。
わからない単語は辞書を引かなくても教えてもらえるので、コミュ英の予習は一見順調となります。
教科書の問題を一緒に解いてくれるので、英語表現の予習も順調。
英語の予習がとりあえず楽になります。
わかってきたような気がします。
これなら、定期テストの点数も上がるかなあと本人は期待するのですが、その高校の定期テストが単語集からの出題や初見の英文の出題が多い場合、得点の伸びはあまり期待できないでしょう。
むしろ、長期的にはじりじり下がっていく可能性のほうが高いと思います。
自力で英語と対峙する機会がむしろ減っているのですから。
間口の狭い勉強にこだわっていると英語力は永遠に中学生のままです。
根本の英語力を鍛えることが必要です。
まずは単語力。
学校がせっかく与えてくれている単語集。
繰り返し繰り返し暗記してみてください。
学校が指示するよりも早く、何周でもしてください。
英語学習の間口を広げましょう。
2018年05月21日
棒ノ折山から岩茸石山へと縦走しました。２０１８年５月。
２０１８年５月２０日(日)、棒ノ折山を歩いてきました。
以前にこの山を歩いたのは、５年前の４月。
久しぶりです。
三鷹発７:１４。
国分寺・東村山・所沢と乗り継いで、飯能着。８:１４。
改札を抜けると、北口と南口の両方にバスのマークがあり、ちょっと悩みましたが、「名郷」の地名に従って左側へ。
それで間違いありませんでした。
名郷行きバス停は既に大行列。
バスは臨時増発がもうすぐ来るということでしたが、１台目に乗りました。８:３０。
バスの車窓からは、道路の清掃をしたり川辺の草を刈っている人がずっと見えていました。
町内会の清掃日なんでしょうか。
日曜の朝らしい、すがすがしい光景でした。
「さわらびの湯」で下車。９:００。
まずは、バス停からちょっと敷地内の奥のほうにあるトイレに行き、準備をして出発。
再びバス停まで戻り、バスの進行方向のまま、舗装道路の坂道を登っていきます。
やがて、広い堤防を歩く先行者やバイクや自転車の人たちが見えてきます。
名栗湖を巡る道路を進み、白谷橋。９:３０。
ここから登山道です。
杉林の道は、やがて白谷沢を高巻く道へと変わりますが、崖っぷちでも道幅は十分ありました。
前回も前々回も、登山道の幅が異様に狭い道を歩いたせいか、ありがたいほど歩きやすいと感じる道です。
登山道が岩の上をまたぐところや、木の根に気をつけなければならないところもありますが。
私の感覚が少しおかしくなっているかもしれません。
５年前の記録では、ここは案外難しいと書いていましたから。
私の感覚が少しおかしくなっているかもしれません。
５年前の記録では、ここは案外難しいと書いていましたから。
新緑の棒ノ折山は、人気の山。
登山道が渋滞気味になって、さていよいよ沢沿いの道です。
２段・３段の滝を左に右にと見ながら、飛び石で繰り返し沢を渡ります。
やがて、沢歩きのハイライト、両方から岩壁が迫る狭い谷筋、ゴルジュに突入。
５年前に歩いたときは親子連れが多く大渋滞が起こっていましたが、今回は山慣れている中高年と若い人ばかりで、スムーズに進んでいけました。
写真を撮るタイミングを見つけにくく、逆にそれが困ったくらいです。
２つのゴルジュを越え、ロープのかかった斜めの壁を越えると、沢も登山道も穏やかになっていきました。
道が少し広くなった沢のほとりでちょっと休憩。
今日は気温も２０℃程度で、新緑の木陰は涼しい風が通っていました。
林道を横切ると、そこからは急登です。
ジグザグに切られた道を息を切らして登りきりました。
その先は、スキップしたいほど歩きやすく平坦な道がしばらく続きます。
やがて岩茸石。１０:４０。
直方体っぽい形の岩で、後ろに回れば登っていくこともできるようです。
てっぺんに立っている人もいました。
ベンチもあり、ここも休憩適地です。
そこからは木段の急登でした。
木段は壊れかけていて歩きにくく、それを避けて登山道は複線化していました。
５年前は、複線はなく、ハードルのように高く斜めに飛び出した木段から木段へと跳び移って歩いていったものでしたが、今は倒れてバラバラに粉砕された木段が無造作に転がっています。
５年前、木段から木段へと跳び移って歩いたのは、木段がハードルのように飛び出していてまたぐのが大変だったからですが、考えればあれは木段に余計な負荷のかかる行為でした。
多くの人がそうやって歩いたことで木段は粉砕されてしまったのでしょう。
大雨や大雪の影響もあるかもしれません。
早めに土嚢を入れるなどの整備がされていれば木段は守られたのでしょうが、予算の問題か、手が回らないのか。
とにかく、木段が飛び出ていても、乗らないようにしよう。
反省。
反省。
ちょっと気持ちがシュンとして、うつむいて歩いていくと、権次入峠。１１:０５。
「ゴンジリとうげ」と読みます。
何か力強い、インパクトのある名前です。
ベンチに座って水分補給。
そこから、しばらく道は平坦でした。
登山道に白い花が散っていました。
ニセアカシアの花に似ているけれど、違うのかな。
咲いている木は確認できませんでした。
ウツギの一種かもしれません。
ニセアカシアは外来種で、強く根を張るので周りの木が枯れてしまいます。
養蜂のためのニセアカシアの林なら今もあるようですが、それ以外は伐採が進み、街で見ることは少なくなりました。
平坦な道が終わると、また登り。
最後の登りが案外長く苦しいです。
誰しも同じ気持ちなのかペースが落ちてきて、数珠つながりになりながら登っていきました。
行く手に青空だけが見えてきて、棒ノ折山山頂。１１:２０。
山頂は横に広く、眺望抜群です。
右手、白く光る西武ドームと多摩湖。
奥に東京の街並み。高層ビル群。スカイツリー。
さらに遠く筑波山。
双耳峰の青い影が見えます。
左手、近景は大持山、子持山。
その向こうに、遠く雪を頂く山。
幻のように姿を見せていました。
案内板によれば、どうやら谷川岳のようです。
空気が澄んで、春にしては驚くほど遠望がききました。
春から夏の山では、おにぎりがなかなか喉を通らないので、本日はゼリー飲料を２つと行動食を持参。
ベンチに座り、遮るものない眺望を楽しみながらゼリー飲料を１つ飲んで、さて出発です。
まずは先ほどの権次入峠に戻りました。
そこから、小沢峠の道しるべに従い、縦走開始です。１１:４０。
穏やかな道から始まりますが、すぐに急な下りに。
トレッキングポールがなかったらちょっと厄介だったかもしれません。
小石まじり・砂まじりの急な下りが一番苦手です。
何とか通過。
道幅は十分で、怖いと感じる箇所はありませんでした。
石の階段の急な登りを行くと、黒山。１２：００。
ベンチがあり、休憩適地です。
先客が２人いました。
水分補給をして、道しるべをよく見て、右手の「岩茸石山」のほうへ。
ここを誤って直進すると、小沢峠に出てしまうようです。
その先も、痩せ尾根と言える箇所もありますが、道幅が１メートルより細くなることはなく、快適な歩きやすい道が続きました。
ここは関東ふれあいの道で、５年前と比べて整備も進んでいるようです。
ちょっとした展望地は「山びこ広場」と名付けられ、ベンチも設置されていました。１２:２５。
道は小さなアップダウンが繰り返されます。
ときどき逆方向から登ってくる人がいます。
身軽そうな男性に追い越されたりもします。
権次入峠から岩茸石山まで、そうやって出会った登山者は１０人ほど。
５年前よりは多いのですが、それでもやはり静かな道でした。
５年前の道の記憶はほとんどなかったのですが、歩いてみると、ちょっと歩きにくかった箇所は記憶が戻るのを感じました。
登山道に岩が埋まっている痩せ尾根。
岩が塞ぐ急な下り。
中でも覚えていたのは、林の中の何でもない下りなのですが、倒木が目の錯覚でよく整備された人工的な何かに見える箇所。
あれ、コテージでもあるのかな、こんな所に？と感じるのです。
５年前もだまされたなあ。(^-^;
新緑の中の木段を登りきると、道しるべがあり、岩茸石山まで０.７ｋｍとありました。
ここからが長かったです。
気持ちの問題なのでしょう。
さらに小ピークが繰り返されます。
中でも、岩がちで今までと印象の違う急な登りがありました。
いよいよ岩茸石か？と期待していると、登り切ったらすぐにまた急な下り。
何て無駄な。
騙された感が強いです。(^-^;
しかし、その先、道は三方向に別れ、いよいよ山頂直下の印象が濃くなってきました。
岩茸石山までの上り坂は、全体にザレていて、上からの崩落で登山道が砂で不明瞭になっている箇所もありました。
道を判断しながら最後の登りを行きます。
もう空しか見えないので、あそこが山頂で間違いありません。
段差のある最後の急な登りを行くと、岩茸石山山頂。１３:３５。
山頂は、奥多摩で人気の高水三山にしては人が少なく静かでした。
朝から登ってきた人はもう下山している時間帯だからかもしれません。
ベンチの一つに座って休憩。
棒ノ折山からここまでの尾根道が見通せました。
あそこを通って来たんだなあ。
ゼリー飲料を１袋のみ、スニッカーズ・ミニを頬張って、さて出発。
次は高水三山のもう一つの山である惣岳山を目指します。
まずは山頂直下の急な下り。
ここが今日一番の急な下りでした。
高水三山は奥多摩入門の山とか言われる割にここが一番難しいじゃないのとぼやきながら通過。
急な下りが終われば、あとは平坦で歩きやすい道でした。
惣岳山が近づくと、道は岩がちの険しい登りになりました。
注意深く登っていくと、神社。
ここが山頂でした。
奥の院ですが、境内らしい落ち着いた平らな場所でした。
ここが山頂でした。
奥の院ですが、境内らしい落ち着いた平らな場所でした。
読図ツアーでしょうか、講師を囲んで数人が円陣を組んでいました。
「さあ、ここからが難しいですよ」
と講師のよく通る声が聞こえてきます。
私も参加したことがあるのですが、生徒は交替してリーダーとなり、地形図を読んで、皆を先導するのです。
一度行ったり戻ったりして、そのパーティは、正規の登山道ではないほうに消えていきました。
私も参加したことがあるのですが、生徒は交替してリーダーとなり、地形図を読んで、皆を先導するのです。
一度行ったり戻ったりして、そのパーティは、正規の登山道ではないほうに消えていきました。
地図を確認すると、なるほど波線が描かれています。
ちょっと心惹かれましたが、読図講習にお金も払わずついていくのはあまりよろしいことではないので、私は普通の登山道を。
足元に注意しながら下りていくと、小さな鳥居。
それをくぐったあたりから、道は歩きやすくなり、どんどん下っていきました。
５年前、もうここからは下りだけだと思っていたら、登りが現われて、心が折れたのを覚えています。
最後に登りがあるぞと力をセーブしながら歩いていったせいか、実際に最後の登りが現れると意外と大したことない登りと感じました。
登りは３か所。
それを終えると、また急な下り。
もう車の音、踏切の音が聞こえてきます。
ぽんと神社脇に出て、道なりに直進します。
踏切を渡ると道路に出て、右に行くと、御嶽駅。１５:５５。
次の電車は１６:０６。
良いタイミングです。
いっぱい歩いて充実感があるのに、下山時刻は案外早い。
お薦めのコースです。
ヽ(^。^)ノ
2018年05月16日
途中式のほどよい省略。
数学の答案を見ていますと、無駄なくらいに途中式を書く子と、途中式を省略しすぎて計算ミスをする子とがいます。
本人の計算力にもよるので、どの程度の省略がいいかは一概には言えないのですが。
例えば、こんなとき。
－８＋３－７＋５
＝－８－７＋３＋５
＝－１５＋８
＝－７
上の式の２行目、要らないですよね？
あるいは、こんな例。
２ｘ＋３＝５ｘ－６
２ｘ－５ｘ＝－６－３
－３ｘ＝－９
ｘ＝３
上の２行目、要らないですよね？
やり方の説明のため、最初に学習するときには教科書に書いてある式です。
とはいえ、絶対に書かなければならない式ではありません。
慣れるまでは書いていくのもいいでしょう。
でも、慣れれば、特に頭に負荷のかかることなく暗算できることです。
書かなくて良いものです。
でも、中３になっても高１になっても、永久に書き続ける子がいます。
２年も３年も書き続けていると、省略したらそこで詰まってしまうのでしょう、絶対に省略できない様子です。
正答率に影響することではないので、書きたかったら書いたらいいのですが、早めに省略を身につけていれば１行書かずに済むのになあと思わないでもありません。
とはいえ、丁寧なのはそんなに問題ではないので、そのことには触れないことが多いです。
私の板書は、省略したものを書きます。
省略しても安全に解いていけることを示しながら、解説します。
テキストを見て解説するときも、
「この１行は説明のための１行で、実際に計算するときは書く必要はないよ」
と説明します。
それでも本人が書くのなら、もうそれでいいでしょう。
やはり、問題は過剰な省略。
これは正答率に影響します。
例えば、こんな例。
(√６－√２)2
＝４－２√３
え？
何をしたの？
(√６－√２)2
＝６－２√６√２＋２
＝８－４√３
これが正解です。
(ａ－ｂ)2
＝ａ2－２ａｂ＋ｂ2
という乗法公式を利用しているのですが、これを、
＝(ａ2＋ｂ2)－２ａｂ
として、(ａ2＋ｂ2)のところは暗算で済ませるやり方は、ないわけではありません。
ただ、真ん中の負の符号に引きずられて、６－２＝４としてしまうミスが起こりやすいのです。
また、－２ａｂのところは、今回、－２√６√２＝－２・２√３
なのですが、２がかぶっているため、暗算の中で１つになってしまい、その結果、
(√６－√２)2
＝４－２√３
と誤答してしまった様子です。
途中式を書けば間違えるはずのないところで間違えてしまう勿体ないミスです。
１度このやり方を始めた子に、
「そのやり方は正答率が下がるから、やめたほうがいいよ」
と助言しても、まずやめません。
今度こそ正答してみせると逆にムキになってしまうのか、以後、このタイプの計算ではミスすることを含みこんでの得点しか期待できなくなってしまいます。
人間のやることなんて、そんなに正確じゃない。
あなたが不正確だと言っているわけではない。
人間は不正確なんですよ。
そのように諭しても、直しません。
人間の限界に思いが至るほどには精神的に成長していないからでしょうか。
ミスをすることがある自分を認められないのでしょうか。
理解は深まっているのに、同じ計算ミスが繰り返されるので得点が伸びない。
数学を指導していて感じる不条理の１つです。
そのやり方を否定しても直りません。
むしろ、本人のやりたいやり方で正解できるよう指導し応援するのが得点を上げる近道となります。
むしろ、本人のやりたいやり方で正解できるよう指導し応援するのが得点を上げる近道となります。
子どもの中には否定されることに異様に弱い子がいます。
何を注意しても「否定された！」と感じて傷つくだけで、肝心の注意されたことは直りません。
傷ついてもそれで直るのなら意味があるのですが、傷つくだけで直らないとなると、こちらも考えざるを得ません。
そんなことでは社会に出たらすぐ潰れるのではないかと老婆心ながら思うこともあるのですが、そんなにメンタルが弱いなら、せめて学力がその子の将来を守ってくれますように。
とはいえ、これは否定しないとどうにもならない省略もあります。
２５(３ｘ＋１)2－４９＝０ を解け。
√３ｘ ＝－√２５/４９－１
・・・・え？
何をやったの？
「この先は、どう計算するんですか？」
とその子は質問するのですが、私はむしろそこまでをどう計算したのか問いたい。
ノートにはその２行しかないのです。
与式の次は、もうその暗算の結果が書かれているのです。
こういう極端な暗算が癖になっている子もいます。
おそらく、中１や中２の頃は独りで勉強していて、方程式を型通りに解いたことがなく、全部暗算で出していたのではないかと想像されます。
それでもある程度の正答率は維持していたので、問題視されずにきたのでしょうか。
２次方程式になって、ついにそれでは解けなくなったということなのでしょう。
２５(３ｘ＋１)2－４９＝０
２５(３ｘ＋１)2＝４９
(３ｘ＋１)2＝４９/２５
３ｘ＋１＝±７/５
３ｘ＝±７/５－１
３ｘ＝２/５,－１２/５
ｘ＝２/１５,－４/５
これは、暗算は、ちょっと無理です。
正しい解き方を繰り返し解説したのですが、その子は、暗算が直りません。
どういうことなのだろう？
暗算は無理だと言われれば言われるほど、いや自分はできると思ってしまうのか？
正しいやり方が理解できないので、この解き方をしているのか？
本人に訊いたところ、予想外の第三の答えが返ってきました。
「言われたことはわかるし、直そうと思っているが、問題を解き始めると忘れてしまう」
「・・・・・・」
('_')
忘れてしまう・・・・。
この言葉、説得力があります。
忘れてしまうんだなあ。
その子に限らず、繰り返し間違えてしまう子たちの行動も説明してくれる言葉です。
そうか、忘れてしまうんだ。
問題を解き始めると、直したほうがいいことも、注意すべきことも、スマートな解き方も、全部忘れてしまう。
だから、間違った解き方を繰り返してしまう。
( ;∀;)
しかし、めげません。
忘れたら、また覚えましょう。
そのやり方では正解は出せないということを、まず覚えましょう。
それを思い出して、立ち止まれるようになれば、きっと変わると思います。
がんばれ、がんばれ。
がんばれ、がんばれ。
2018年05月11日
重複組合せの考え方。具体的に考えてみることから公式へ。
「組合せ」の学習の続きです。
今回は、「重複組合せ」の学習です。
問題 りんご・かき・なしをあわせて７個詰めた果物かごを作りたい。何通りの果物かごを作ることができるか。ただし、使わない果物があっても良いものとする。
ふーむ。
とりあえず、具体的に考えてみましょう。
果物の一番上のひらがな１字で表すならば、例えばこんな詰め方があります。
り・り・り・か・か・な・な
あるいは、
り・り・り・か・な・な・な
こういうのを全部書きだしていくことでも求められるけれど、もう少し一般化できないものか？
そこで、とりあえず、果物を全て〇で表すことにします。
そして、別の種類の果物との境に仕切りを入れることにします。
〇〇〇|〇〇|〇〇
これが、先ほど書いた り・り・り・か・か・な・な
を表すものとなります。
〇〇〇|〇|〇〇〇
これは、 り・り・り・か・な・な・な。
〇〇〇||〇〇〇〇
これは、 り・り・り・な・な・な・な。
仕切りを２本続けて描くことで、柿は０個であることを表します。
〇〇〇〇〇〇〇||
これは、 り・り・り・り・り・り・り。
全てりんごの場合です。
こうやってみますと、果物かごの作り方は、〇７個と仕切り２本の順列と考えることができます。
同じものを含む順列です。
同じものを含む順列は、例えば今回のように〇７個、仕切り２本であれば全部で９個のマスを考え、その９個のうち、〇を入れる７個のマスを選ぶと考えます。
それは、９個から７個を選ぶ組合せです。
9Ｃ7＝（９・８・７・６・５・４・３）÷（７・６・５・４・３・２・１）
ネットで分数を表しにくいのでこう書きましたが、これは、実際には分数で表します。
その次は、結果的には計算しなくても良いのですが、残った２個のマスから仕切りを入れる２個を選びます。
2Ｃ2＝（２・１）÷（２・１）
これらをまとめて１本の式にしますと、
(９・８・７・６・５・４・３・２・１)÷(７・６・５・４・３・２・１・２・１)＝３６
これは、９！÷(７！２！) と同じですね。
一般化しますと、全部でｎ個のもののうち、ｐ個が同じもの、ｑ個が同じもの、・・・・である順列は、
ｎ！÷(ｐ！ｑ！・・・)
重複組合せは、この「同じものを含む順列」の公式を利用して解いていきます。
果物が全部で７個で３種類のときは、〇７個、仕切り２本。
だから、全部で９個のうち同じものが７個と２個。
このように、式に代入する数値の決定までは頭を使いますが、そこから先は公式に代入して簡単に計算していけます。
問題 りんご・かき・なしをあわせて７個詰めた果物かごを作りたい。何通りの果物かごを作ることができるか。ただし、使わない果物があっても良いものとする。
ふーむ。
とりあえず、具体的に考えてみましょう。
果物の一番上のひらがな１字で表すならば、例えばこんな詰め方があります。
り・り・り・か・か・な・な
あるいは、
り・り・り・か・な・な・な
こういうのを全部書きだしていくことでも求められるけれど、もう少し一般化できないものか？
そこで、とりあえず、果物を全て〇で表すことにします。
そして、別の種類の果物との境に仕切りを入れることにします。
〇〇〇|〇〇|〇〇
これが、先ほど書いた り・り・り・か・か・な・な
を表すものとなります。
〇〇〇|〇|〇〇〇
これは、 り・り・り・か・な・な・な。
〇〇〇||〇〇〇〇
これは、 り・り・り・な・な・な・な。
仕切りを２本続けて描くことで、柿は０個であることを表します。
〇〇〇〇〇〇〇||
これは、 り・り・り・り・り・り・り。
全てりんごの場合です。
こうやってみますと、果物かごの作り方は、〇７個と仕切り２本の順列と考えることができます。
同じものを含む順列です。
同じものを含む順列は、例えば今回のように〇７個、仕切り２本であれば全部で９個のマスを考え、その９個のうち、〇を入れる７個のマスを選ぶと考えます。
それは、９個から７個を選ぶ組合せです。
9Ｃ7＝（９・８・７・６・５・４・３）÷（７・６・５・４・３・２・１）
ネットで分数を表しにくいのでこう書きましたが、これは、実際には分数で表します。
その次は、結果的には計算しなくても良いのですが、残った２個のマスから仕切りを入れる２個を選びます。
2Ｃ2＝（２・１）÷（２・１）
これらをまとめて１本の式にしますと、
(９・８・７・６・５・４・３・２・１)÷(７・６・５・４・３・２・１・２・１)＝３６
これは、９！÷(７！２！) と同じですね。
一般化しますと、全部でｎ個のもののうち、ｐ個が同じもの、ｑ個が同じもの、・・・・である順列は、
ｎ！÷(ｐ！ｑ！・・・)
重複組合せは、この「同じものを含む順列」の公式を利用して解いていきます。
果物が全部で７個で３種類のときは、〇７個、仕切り２本。
だから、全部で９個のうち同じものが７個と２個。
このように、式に代入する数値の決定までは頭を使いますが、そこから先は公式に代入して簡単に計算していけます。
(９・８・７・６・５・４・３・２・１)÷(７・６・５・４・３・２・１・２・１)＝３６
答えは３６通りです。
問題 りんご・かき・なしの果物をあわせて７個詰めた果物かごを作りたい。３種類の果物を少なくとも１つずつは必ず入れるとすると何通りの果物ができるか。
先ほどの考え方では、かごに入らない果物もありました。
仕切りが両端にあったり２本並んでしまうと、入らない果物が出てしまうことになります。
では、今回のルールは、〇７個仕切り２本は変わらないけれど、仕切りは両端に来てはいけないし、２本並んでもいけないということになります。
この場合は、〇と〇の間のスペースに着目しましょう。
〇・〇・〇・〇・〇・〇・〇
この図で書いた「・」の位置、つまりスペースに仕切りが入ったり入らなかったりすると考えます。
この「・」、つまり６個のスペースのうち、２個に仕切りが入ることになります。
言い換えると、６個の「・」のうち２個を「|」に置き換えれば良い。
４個の「・」と２個の「|」を並べると考え直すことができます。
結局、またも同じものを含む順列なのですが、先ほどとは数字が異なりますね。
４個の「・」と２個の「|」、あわせて６個を並べる順列。
６！÷(４！２！)＝１５
答えは、１５通りとなります。
これは、６個のスペースのうち２個を選んで仕切りを入れると考えることもできます。
その場合の式は、6Ｃ2＝１５
結果は同じです。
この「同じものを含む順列」の公式は、この問題だけで使うマニアックなものではなく、数Ⅱの学習でまた使う重要公式です。
問題 りんご・かき・なしの果物をあわせて７個詰めた果物かごを作りたい。３種類の果物を少なくとも１つずつは必ず入れるとすると何通りの果物ができるか。
先ほどの考え方では、かごに入らない果物もありました。
仕切りが両端にあったり２本並んでしまうと、入らない果物が出てしまうことになります。
では、今回のルールは、〇７個仕切り２本は変わらないけれど、仕切りは両端に来てはいけないし、２本並んでもいけないということになります。
この場合は、〇と〇の間のスペースに着目しましょう。
〇・〇・〇・〇・〇・〇・〇
この図で書いた「・」の位置、つまりスペースに仕切りが入ったり入らなかったりすると考えます。
この「・」、つまり６個のスペースのうち、２個に仕切りが入ることになります。
言い換えると、６個の「・」のうち２個を「|」に置き換えれば良い。
４個の「・」と２個の「|」を並べると考え直すことができます。
結局、またも同じものを含む順列なのですが、先ほどとは数字が異なりますね。
４個の「・」と２個の「|」、あわせて６個を並べる順列。
６！÷(４！２！)＝１５
答えは、１５通りとなります。
これは、６個のスペースのうち２個を選んで仕切りを入れると考えることもできます。
その場合の式は、6Ｃ2＝１５
結果は同じです。
この「同じものを含む順列」の公式は、この問題だけで使うマニアックなものではなく、数Ⅱの学習でまた使う重要公式です。
問題がこのくらい難しくなると、誤解すらできなくなるのか、
「え？こうじゃないんですか？」
と自分の間違った考え方を正しいと主張する生徒を見ることもなくなります。
授業は一見スムーズに進むようになりますが、基本問題で既にモヤモヤしていた高校生にとっては、既に理解の限界を越えているから黙り込んでいるだけかもしれません。
それはそれで授業としてピンチです。
わからないから、とにかく解き方だけ覚えよう、それで定期テストを乗り切ろうとする人が多くなります。
繰り返しますが、この考え方は、数Ⅱ「二項定理」に関する問題など、忘れた頃にまた出てきます。
理解できないままですと、この上には何も積み上がらなくなります。
まずは具体例に即して基本の考え方を理解し、公式の成り立ちを理解して、単なる暗記に終わらないようにしましょう。
忘れたら自力で復元できるくらいに理解を深めておくことが、知識の定着につながります。
2018年05月09日
場合の数。グループ分けの問題。
今回も「組合せ」の学習です。
例えばこんな問題です。
問題
６人で旅行し、ホテルに宿泊しました。３０１号室、３０２号室、３０３号室の３部屋に２人ずつ宿泊します。何通りの泊まり方がありますか。
まず、３０１号室に泊まる人から決めていきましょう。
６人から２人を選ぶ組合せでいいですよね。
だから式は、6Ｃ2です。
次に、残った４人から、３０２号室に泊まる人を決めます。
４人から２人を選ぶ組合せです。
だから式は、4Ｃ2です。
最後に、残った２人から、３０３号室に泊まる人を決めます。
２人から２人を選びます。
式は、2Ｃ2です。
この最後の2Ｃ2。
2Ｃ2＝１ですし、何より、残った２人は自動的に３０３号に泊まることになるのですから、書かなくて良いものです。
ところが、2Ｃ2は書かないということがスルッと理解できる人と、どんなに言葉を変えて説明しても理解できない人とがいます。
例えばこんな問題です。
問題
６人で旅行し、ホテルに宿泊しました。３０１号室、３０２号室、３０３号室の３部屋に２人ずつ宿泊します。何通りの泊まり方がありますか。
まず、３０１号室に泊まる人から決めていきましょう。
６人から２人を選ぶ組合せでいいですよね。
だから式は、6Ｃ2です。
次に、残った４人から、３０２号室に泊まる人を決めます。
４人から２人を選ぶ組合せです。
だから式は、4Ｃ2です。
最後に、残った２人から、３０３号室に泊まる人を決めます。
２人から２人を選びます。
式は、2Ｃ2です。
この最後の2Ｃ2。
2Ｃ2＝１ですし、何より、残った２人は自動的に３０３号に泊まることになるのですから、書かなくて良いものです。
ところが、2Ｃ2は書かないということがスルッと理解できる人と、どんなに言葉を変えて説明しても理解できない人とがいます。
思考の癖なのだと思います。
「選ばない」ということが、どうしてもどうしても納得できないようなのです。
しかし、そういう人には、あえて2Ｃ2＝１を書いて説明すると、問題なく理解します。
なぜなんだろう。
理解しやすさという点で何が違うんだろう。
説明する側として、むしろそのことに興味があるのですが、きっと何かが決定的に違うんだろうと思います。
残ったのが２人でも、ちゃんと選んでほしい。
しかし、そういう人には、あえて2Ｃ2＝１を書いて説明すると、問題なく理解します。
なぜなんだろう。
理解しやすさという点で何が違うんだろう。
説明する側として、むしろそのことに興味があるのですが、きっと何かが決定的に違うんだろうと思います。
残ったのが２人でも、ちゃんと選んでほしい。
選ばないままなら、それは選んでいない。
そういうことなのかなあ。
そこがモヤモヤすると、そもそも6Ｃ2の次が4Ｃ2というのがわからない、２人ずつ選ぶんだから、6Ｃ2×6Ｃ2×6Ｃ2じゃないのか、それでなぜいけないのかという話に進む可能性もあります。
そういうことなのかなあ。
そこがモヤモヤすると、そもそも6Ｃ2の次が4Ｃ2というのがわからない、２人ずつ選ぶんだから、6Ｃ2×6Ｃ2×6Ｃ2じゃないのか、それでなぜいけないのかという話に進む可能性もあります。
一度そのように混乱し始めると、言葉で説明しても到底理解してもらえるものではなくなります。
「場合の数と確率」という単元は、一度、本人の頭の中に間違った筋道ができてしまうと、それを消すのには大変な手間と時間がかかります。
思考の迷宮に陥る前に、先手を打って2Ｃ2＝１で理解してしまうのが良さそうです。
「場合の数と確率」は、理解するにも教えるにもデリケートな単元です。
先日も、中学生に「場合の数と確率」の授業をしていたのですが、その子は「順列」と「組合せ」は何が違うのかわからないと嘆いていました。
「順番が関係あるのが順列で、順番はどうでもいいのが組合せだよ」
と説明しても、
「それがわからない」
と言うのです。
「Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの５人から、ＡとＢを選ぶのと、ＢとＡを選ぶのは、同じ選び方じゃない？それが組合せだよ」
「ＡとＢを選ぶのと、ＢとＡを選ぶのとは、違うと思う」
「そう？例えば、親戚の人がお土産に色々なケーキを持ってきてくれて、その中から、イチゴのショートケーキとチョコレートケーキを選ぶのと、チョコレートケーキとイチゴのショートケーキを選ぶのは、実質同じことだよね？」
「イチゴを食べてからチョコを食べるのと、チョコを食べてからイチゴを食べるのは、口の中の感じが全然違うから、違う選び方だ」
「それは順列だよ。胃の中に入れば同じだよ。それが組合せだよ」
「そんな雑な話は、わからない(笑)」
途中から笑っていましたから、理解できたようです。
ヽ(^。^)ノ
一番上の問題の説明に戻ります。
３つの部屋に入る人を選ぶのは同時に起こることなので、「積の法則」が適用され、全体の式は、
6Ｃ2・4Ｃ2・2Ｃ2 です。
最後の2Ｃ2はどうせ答えが１なので省略されて、6Ｃ2・4Ｃ2
分数の式にすると、
一番上の問題の説明に戻ります。
３つの部屋に入る人を選ぶのは同時に起こることなので、「積の法則」が適用され、全体の式は、
6Ｃ2・4Ｃ2・2Ｃ2 です。
最後の2Ｃ2はどうせ答えが１なので省略されて、6Ｃ2・4Ｃ2
分数の式にすると、
６・５・４・３
２・１・２・１
この２行は、分数の分子・分母として読んでください。
答えは９０通りです。
しかし、このグループ分けに関する問題の最大のヤマ場は、この次にあるのです。
問題
６人を２人ずつ３つのグループに分ける。何通りの分け方があるか。
問題に余計な叙述がなくなっただけで、同じことなのでは？
答えは９０通りでしょう？
・・・・いいえ、違います。
この問題の答えは、１５通りです。
何で、最初の問題の答えは９０通りで、同じ問題のように見えるのに後のほうの問題の答えは１５通りなのか？
この２つの問題は、大きく異なる点があるのです。
分けられた３つのグループに「名称」と呼べるものがあるかないか。
最初の問題の３つのグループは「３０１号室の人」「３０２号室の人」「３０３号室の人」と名称が与えられます。
参加者６人をＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、Ｆとするなら、
３０１号室はＡとＢ、３０２号室はＣとＤ、３０３号室はＥとＦ
という部屋分けと、
３０１号室はＡとＢ、３０２号室はＥとＦ、３０３号室はＣとＤ
という部屋分けは、違う部屋分けです。
９０通りの中で、上の２つは別々の部屋分けとしてカウントされています。
では、「６人を２人ずつ３つのグループに分ける」という場合はどうなのか？
(Ａ、Ｂ)、(Ｃ、Ｄ)、(Ｅ、Ｆ)と、
(Ａ、Ｂ)、(Ｅ、Ｆ)、(Ｃ、Ｄ)は、別のグループ分けでしょうか？
これは、同じですね。
順番を変えているだけで、同じ分け方ですから。
３つのグループに名称がなく、ただ３つに分けるだけなら、順番は関係ないのです。
他にも、
(Ｃ、Ｄ)、(Ａ、Ｂ)、(Ｅ、Ｆ)
(Ｃ、Ｄ)、(Ｅ、Ｆ)、(Ａ、Ｂ)
(Ｅ、Ｆ)、(Ａ、Ｂ)、(Ｃ、Ｄ)
(Ｅ、Ｆ)、(Ｃ、Ｄ)、(Ａ、Ｂ)
これらは全て同じです。
９０通りの中で、同じ１通りのグループ分けを繰り返しカウントしていることになります。
１つについて、何回繰り返しカウントしているか？
上の例からもわかるように、３つのグループを並べる順列、
すなわち3Ｐ3＝３！＝６(回)、同じグループを繰り返しカウントしています。
ですから、答えは９０÷６＝１５(通り)となります。
ほんのちょっとした記述の違いで、解答が大きく異なる。
場合の数は、そういう意味でも難しい単元です。
センター試験のⅠ・Ａでは、「場合の数と確率」は選択問題の１つなのですが、これを避けると図形問題を選択しなければならなくなります。
図形は図形で、苦手な人が多いのです。
どちらを選ぶか。
どちらが克服可能か。
中学生の頃からの図形への苦手意識で、安易に「図形は絶対無理」と思ってしまう人も多いのですが、解いてみると「場合の数と確率」のほうが得点できないこともあります。
「場合の数と確率」の考え方とそりが合わないとでもいうのでしょうか。
それでも、本人には苦手だという自覚がない。
何となく得点できないだけ、ケアレスミスしただけと勘違いして、「場合の数と確率」に固執してしまう場合もあるようです。
どちらを選ぶべきか、客観的な判断が必要なところです。
