たまりば

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2020年06月16日

2020年度夏期講習のお知らせ。


2020年度夏期講習のお知らせです。

書面でも今週より配布を始めましたが、今年度の夏期講習は中止といたしました。
7月・8月ともに通常授業を行います。

学校が休みなので、早い時間帯に変更したい。
1学期の総復習、あるいは受験勉強をしたいので、コマを増やしたい。
そうした方のために、コマ移動・コマ追加を承ります。
移動・追加可能なコマは、火曜日から金曜日までの、
11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30
となります。
移動された方の夜の時間帯のコマも移動可能なコマとして、随時このページでお伝えいたします。

7月1日よりお申込みを承ります。
メールまたはLINEでお申込みください。
受付順にご予約となります。

◎費用
月額 1コマ90分4,000円×受講回数+諸経費5,000円

◎指導科目
小学生 一般算数・受験算数・国語・英語
中学生 数学・英語
高校生 数学・英語

◎中3受験講座
土曜教室を今年は8月より開きます。
都立高校受験を目指す中学3年生限定です。
科目は、国語・社会・理科の3教科です。
英語・数学で個別指導を受講されている方限定の講座ですので、土曜教室だけの受講はできません。
時間は、
毎週土曜日
国語 12:00~12:50
社会 12:55~13:45
理科 13:50~14:40
費用は、
3科目 月額15,000円となります。
お申込みは、メールでお願いいたします。
ご不明な点は、お気軽にお問合せください。


◎空きコマ状況 7月6日現在
7月7日(火)
11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30
7月8日(水)
11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30,18:20~19:50
7月9日(木)
11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30
7月10日(金)
11:40~13:10 , 13:20~14:50
7月14日(火)
11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30
7月15日(水)
11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30
7月16日(木)
11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30
7月17日(金)
11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30
7月21日(火)
13:20~14:50 , 15:00~16:30
7月22日(水)
11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30
7月23日(木)
11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30
7月24日(金)
11:40~13:10 , 13:20~14:50
7月28日(火)
13:20~14:50 , 15:00~16:30
7月29日(水)
11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30
7月30日(木)
11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30
7月31日(金)
11:40~13:10 , 13:20~14:50
8月4日(火)
13:20~14:50 , 15:00~16:30
8月5日(水)
11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30
8月6日(木)
11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30
8月7日(金)
11:40~13:10 , 13:20~14:50
8月11日(火)
13:20~14:50 , 15:00~16:30
8月12日(水)
11:40~13:10 , 13:20~14:50
8月13日(木)
11:40~13:10
8月14日(金)
11:40~13:10 , 13:20~14:50
8月18日(火)
13:20~14:50 , 15:00~16:30
8月19日(水)
11:40~13:10 , 13:20~14:50
8月20日(木)
11:40~13:10
8月21日(金)
11:40~13:10 , 13:20~14:50
8月25日(火)
13:20~14:50 , 15:00~16:30
8月26日(水)
11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30
8月27日(木)
11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30
8月28日(金)
11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30



  


  • Posted by セギ at 13:50Comments(0)大人のための講座

    2020年02月05日

    料金改定のお知らせ。2020年度。


    2020年4月分より、諸経費を改訂いたします。
    消費税が8%になった際には、そのままの料金で何とか踏ん張ってまいりましたが、昨年10月より消費税10%となったことに伴い、教室家賃・光熱費・教材費などが軒並み高騰し、この度、諸経費を月額5,000円に改めさせていただきます。
    大変申し訳ありませんが、ご理解ください。
    2月末に、春期講習のお知らせとあわせ、書面にて改めてお知らせいたします。
    改訂は、2020年4月分よりとなります。
    授業料は今まで通り、1コマ90分、4,000円です。

    週1回通塾の方は、
    4,000円×4+諸経費5,000円で、月額2万1000円。
    週2階通塾の方は、
    4,000円×8+諸経費5,000円で、月額3万7000円。
    となります。
    よろしくお願いいたします。

      


  • Posted by セギ at 13:33Comments(0)大人のための講座

    2019年03月11日

    大人のための数学教室、個別指導のご案内。


    大人のための個別指導コースのご案内です。
    3月中にご参加いただいた授業料は、東日本大震災の震災遺児に返済不要の奨学金を提供する財団法人「みちのく未来基金」に募金をいたします。
    昨年は6000円を募金させていただきました。
    ご協力ありがとうございました。

    ◎日時
    月曜日・水曜日・木曜日・金曜日の13:20~14:50 , 15:00~16:30
    土曜日の11:40~13:10 , 13:20~14:50
    からお好きな日時を選び、ご予約ください。
    ◎内容
    中学・高校の数学(テキストはこちらで指定いたします)。
    就職試験対策など別教材での授業をご希望の場合は、内容等を具体的にお問い合わせください。
    ◎費用
    90分1回 4,000円。
    週1回、隔週、月1回など、ご希望のペースでご予約ください。
    ◎予約方法
    メールまたはLINEでお申込みください。
    ご予約は前日までにお願いいたします。
    初めてのお問い合わせは、左側「お問い合わせ」ボタンからお問い合わせください。
    初めてのお問い合わせの際は、返信に時間がかかることがありますので、1週間前を目途にご予約ください。


      


  • Posted by セギ at 12:21Comments(0)大人のための講座

    2019年03月07日

    セギ英数教室、入試結果が出ました。2019年3月。



    本年度の入試結果が出ました。

    ◎大学受験の部
    東京外国語大学 合格

    ◎高校受験の部
    都立新宿高校 合格

    本年度は受験生2名と、人数は少なかったですが、それぞれ高い合格結果となりました。
    ひとえに、受験生の努力の賜物です。
    合格おめでとうございます。

    ちなみに、昨年度の入試結果は、

    ◎大学受験の部
    早稲田大学 合格
    中央大学  合格
    成蹊大学  合格
    東洋大学  合格
    デジタルハリウッド大学 合格(推薦入試)

    ◎高校受験の部
    都立西高校   合格
    都立南平高校 合格
    女子美術大学付属高校 合格(推薦入試)

    ◎中学受験の部
    恵泉女学院 合格

    息つく間もなく、新年度の受験指導が始まっています。
    新入生を募集しています。

    現在の成績は、問いません。
    未来の秀才を求めています。
    小さな個別指導塾ですが、1人1人の成績を確実に上げることを目標に、実績を上げています。
    担当は、受験指導30年のベテラン。
    「上手な授業」を行うパフォーマーよりも、受け持った生徒の成績を本当に上げることが目的の「学習トレーナー」でありたいと常に思っています。
    必要な時期に必要な学習内容を提示します。


      


  • Posted by セギ at 13:10Comments(0)大人のための講座

    2018年10月24日

    11月10日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    10月20日(土)の大人のための数学教室は延期となりました。
    次回は、3週間後の11月10日(土)に開催予定です。

    さて、授業が進みませんでしたので、今回も余談です。
    今回は対称式の話。
    対称式とは、文字式で、文字の値を入れ替えても式全体の値が変わらないものをいいます。
    例えば、x2+y2などがそうです。

    対称式の問題は、多くの単元に登場します。
    平方根と対称式。
    三角比と対称式。
    虚数と対称式。
    新しい事柄を学習する度に、それとからめて対称式の値に関する問題を演習します。
    しかし、対称式の問題を苦手とする高校生は多いです。

    対称式の計算は、発展的なテキストでは中学3年から登場します。
    例えば、こんな問題です。

    問題 x+y=3、xy=2であるとき、x2+y2の値を求めよ。

    x2+y2
    =(x+y)2-2xy
    =32-2・2
    =9-4
    =5

    上の式の1行目から2行目への転換がわからないという子は案外多いのです。
    無いものを足して、その後同じものを引いて辻褄を合わせる、その考え方が難しいのだろうと私は思っていました。

    実際、この考え方を利用する2次関数の平方完成でも最初は苦労する子がいます。
    例えば、2次関数 y=x2+4x+7 を、
    y=(x2+4x)+7
    =(x+2)2-4+7
    =(x+2)2+3 
    と平方完成する際にも、最初は何をやっているのか理解できず、かなり補助が必要な子はいます。

    しかし、習得まで時間がかかることはありますが、2次関数の平方完成に関しては最後まで理解できないということは少なく、大抵の高校1年生ができるようになる作業です。
    平方完成に関する練習問題は豊富にあるので、自力でできるようになるまで練習できるから、ということもありますが、それだけでなく、対称式の値に関する問題ほどの激しい抵抗感を示さずに理解するのです。

    この2つは、わかりやすさという点で、何が違うのでしょう?
    不思議です。
    つまずきやすい理由がわかっていれば、事前にそこを強調し、
    「そこに石がある。そこにつまずくから注意して」
    と促していけるのです。
    しかし、教える側には、平らな道に見えるところでつまずく子がいるように感じることがあります。
    平らな道なのにそこでつまずく子が多いことだけは現象としてわかっているのです。
    なぜなのかはわかりません。
    目を凝らしても、つまずく石は見えない。
    教えることの難しさの1つです。

    これは以前、中学3年生に理科を教えたときのこと。
    「塩化銅水溶液が青く見えるのは、あるイオンが原因です。そのイオン名を答えなさい」
    という問題を解いたときのことです。
    正解は銅イオンです。
    その子の誤答は「水素イオン」でした。
    しかし、その子は納得しませんでした。
    「水素イオンじゃないんですか?水素イオンは必ずあるって学校で言われた」
    「・・・・水素イオンは水溶液中にあるけど、青く見える原因ではないですよ」
    「酸性は青いって学校で言われた」
    「うん?どういうこと?」
    「・・・・銅イオンが青いのは、覚えなければならないことですか?」
    「まあ、そうですね」
    「何だよ、いちいち覚えるのかよ。学校では、理科は暗記するなと言われた」
    「・・・・うん?」
    その子の言うことは一言一言の飛躍が激しく、あっという間に怒り出していました。

    彼の中で、いくつかの知識が頭の中で癒着し、妙なつながり方をしているようでした。
    水溶液の中には水素イオンがある。
    水素イオンがあるものは酸性。
    酸性は青い。
    最後の「酸性は青い」が特に謎なのですが、とにかくこの論法でいくと、塩化銅水溶液を青く見せているものの正体は水素イオンということになってしまうのでした。
    この誤解を解くのはかなり大変でした。

    「わからない」というのは、論理を追えないことではないのかもしれません。
    少し複雑な論理だから途中で迷子になっているのだろうとこちらは思い、ゆっくり説明したり繰り返したりしても、生徒の理解が進まないときがあります。
    「どこからわからない?」と質問します。
    板書の1行ずつを示しながら、あるいは、論理を細かく段階に区切りながら、「ここまではわかる?」と確認しようとします。
    どこからわからないのか、どこから説明すればいいのか。
    しかし、こうした指示に反応してくれず、生徒が何か別のことをずっと言い続けることがあります。
    論理の癒着がその子の中で起きている場合に、そうなることが多いようです。
    他人にはその論理は追えません。
    でも、その子は論理的なことのつもりで話しているので、私が怪訝な顔をすればするほど、むしろ私を説得しようとします。


    対称式の問題でも、先日、そんなことが起こりました。

    問題 x+y=3、xy=2のとき、x2+y2の値を求めよ。

    x2+y2
    =(x+y)2-2xy
    =32-2・2
    =9-4
    =5

    「それ、最初に入れたらダメ?」
    この問題を解説していたとき、そう質問されたのです。
    最初に入れる・・・・?
    「最初に入れるって、どういうこと?」
    「最初に2乗したらだめ?」
    「うん?どういうこと?式を言ってみて」
    具体的な式を言ってくれれば、最初に入れる、最初に2乗するとは何をすることなのか、わかるかもしれません。
    しかし、それには答えてくれず、何かをずっと説明しているのですが、よく意味がわからないのです。

    授業はここで膠着するか?
    でも、この件に関して、以前に、私は大人のための教室で、重要なヒントを得ていました。

    x2+y2
    =(x+y)2
    =32
    =9

    私はそう板書して、その子に問いかけました。
    「こういうこと?」
    その子の顔がパッと輝きました。
    「そう!そういうこと」
    「・・・うーん。これは間違っています。どこが間違っているか、わかりますか?」
    「えっ?」

    その子は、何を誤解していたのか?
    x2+y2=(x+y)2
    だと思っていたのです。
    x2+y2
    =(x+y)2
    =32
    =9
    と、最初に数字を入れて2乗すれば済むことなのに、なんでまわりくどい計算をしなければならないのかと、それを訴えていたのでした。

    x2+2xy+y2=(x+y)2 です。
    因数分解の公式ですから、当然わかっていると教える側は思いこんでいます。
    しかし、当人は、x2+y2=(x+y)2 
    だと、そのときはなぜか思いこんでいるので、対称式の問題の説明が理解できません。
    x2+y2=(x+y)2 
    とすれば済むことを、なぜまわりくどい変な解き方をしなければならないのかと不思議に思い、正しい解き方が理解できないようなのでした。

    x2+2xy+y2=(x+y)2
    という因数分解の公式は知っているのです。しかし、同時に、
    x2+y2=(x+y)2
    だとも思っている。
    知識が二重構造になっていて、上の2つのことが頭の中に同時に存在している。
    それはそれ、これはこれ、になってしまっているようでした。

    乗法公式を学習する前の、例えば文字式を学習し始めたばかりの中学1年生に解かせたら、
    (x+y)2=x2+y2
    としてしまうと思います。
    そうしてしまう感覚が、乗法公式を学習した後も残ってしまうのだと思います。

    (x+y)2=x2+y2 ではありません。
    数字を代入してみるとわかります。
    (3+2)2=52=25 です。
    32+22=9+4=13 
    とは異なります。
    しかし、そう説明しても、
    それは、最初に(  )の中の3と2を足してしまうからそうなるので、別々に計算すれば、違う結果になるのでは?
    小学生ならそう思ってしまう子もいるかもしれません。

    ルールに従っている限り、どこからやっても同じ結果になる。
    それが数理の根本です。
    いや、そうではないことがあった気がする。
    自分はそうではなかった場合を経験している。
    変だなあと思ったけれど、まあ仕方ないと諦めた気がする。
    数学に対して、こうした根本の不安定さや不信感がある子は、案外多いのだと思います。

    このことは、大人のための数学教室で私が教わったことでした。
    大人のための数学教室では、2次式ではなく、
    x3+y3=(x+y)3
    という思い込みがもとで、3次式の解と係数の関係に関する問題が理解できない場面があり、長いやりとりの末、この誤解が発見されました。
    そうではないことも知っている。
    しかし、そうだとも思っている。
    あるいは、そのときだけふっとそう思ってしまう。
    そのときだけは、そう思い込んでしまっていた。
    そういうことだったようです。

    しかし、2次関数の平方完成では、普通、そのような誤解が顔を出しません。
    x2+6x+7
    =(x+3)2-9+7
    =(x+3)2-2
    という作業は誰でも比較的すんなりと理解できるのです。
    xと数字なら大丈夫だが、xとyだと誤解が顔を出す。
    同じことなのですが、違うように見えるようです。
    xと数字なら、xが主体で、数字は添え物的な見方になるが、xとyだと、対等の印象があり、見え方がまた違ってくるのでしょうか。
    そうした見え方の偏りが、数学のわかりにくさの正体なのかもしれません。

    x2+y2
    =(x+y)2-2xy

    この解き方の理解を妨げるものの正体。
    それは、この解き方の難しさにあるのではなく、本人が何か間違った思い込みをしているため、正しい理解が妨げられている。
    つまり、間違った思い込みが解消されれば、この問題は解けるようになるのです。

    難しいから、わからないのかなあ・・・・。
    教える側が勝手にそう思い込んで諦めてしまうことの多くの中に、こうした単純な障壁さえ取り除けば簡単に理解できることがあるのかもしれません。



      


  • Posted by セギ at 11:44Comments(0)大人のための講座

    2018年10月07日

    10月20日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    10月6日(土)の大人のための数学教室は延期となりました。
    次回は、10月20日(土)の予定です。

    さて、前回の授業で学習しました、直線と対称な点の座標を求める問題。
    今回はこれを少し掘り下げてみます。
    こんな問題でした。

    問題 直線y=2x+1に関して、点A(3,2)と対称な点Bの座標を求めよ。

    数Ⅱ「図形と方程式」の問題です。
    前回も書きましたが、これは、線対称の性質を利用して解くのでした。
    求める点Bの座標を(p,q)とします。
    pとqに関する方程式を2本作ることができれば、それを連立して、p、qの値を求めることができます。
    1本はすぐに思いつきますね。
    直線ABは、直線y=2x+1と垂直に交わりますので、傾きの積は-1です。
    すなわち、
    q-2 / p-3 ・ 2=-1
    これを整理して、
    2(q-2)=-p+3
    p+2q-4=3
    p+2q=7 ・・・①
    さて、もう1本。
    対称な点から対称の軸までの距離は等しいです。
    言いかえれば、線分ABの中点は、直線y=2x+1を通ります。
    線分ABの中点の座標は、(p+3 / 2 , q+2 / 2)。
    この中点がy=2x+1の関係を満たすということですから、代入して、
    q+2 / 2=2(p+3 / 2)+1
    これを整理して、
    q+2=2p+6+2
    -2p+q=6
    2p-q=-6 ・・・②
    ①と②を連立して解くと、p=-1, q=4 
    よって、B(-1,4)

    そんなに複雑な問題ではないと思っていたのですが、この問題、教室では案外難渋しました。
    何をやっているのか全くわからない、という感想を参加者の方が口にしたのです。

    何をやっているのか、全くわからない?(''_'')
    え?
    何でだろう?

    後になって振り返ると、分岐点は、①の式を作るときにありました。
    垂直に交わるのだから、傾きの積は-1になりますよね?と、
    q-2 / p-3 ・2=-1
    という式を板書したとき、質問があったのです。
    「それ、直線ABの傾きは、-1/2 である、という式にしていいですか?」
    つまり、q-2 / p-3 =-1/2 という式にしたいと言うのです。
    私は、内心、何でわざわざそうするのだろう?
    と微かな違和感を抱きました。
    私が板書した式は、テキストの例題解説にも載っている式そのままでした。
    なぜ、それをアレンジするのか?
    これから式を整理するのだから、わざわざ直線ABの傾きは-1/2であることを暗算した上での式など立てなくても良いのだが?
    しかし、参加者の方が書きたい式は、間違った式ではありません。
    その式にして良いかと問われて、ダメという理由はないのです。
    「あ。いいですよ」
    と、私は軽く受け流したのですが、後から考えれば、ここが分岐点だったのです。

    どういうことだったのか?
    参加者の方は、そのとき、p、qに関する式を求めようとしていたのではなく、直線ABの式を求めようとしていたのです。
    直線ABの式を求めようとしているのに、解説される答案がその方向にいかず、pとqの式を整理したりしている。
    何のために何をやっているのか、全くわからない・・・。
    その誤解がようやく理解でき、解決してから、私は、その方に尋ねました。
    「何で直線ABの式を求めるんですか?」
    「今まで、ずっと直線の式を求めていたから」
    「・・・・なるほど」

    大人のための教室はいつも示唆的です。
    数学の問題を解説していて、これは誤解の余地などないはずだと私が思っていることも、誤解の余地はあるのだということを教えてもらっています。
    数学が苦手な子どもの多くは、何がわからないのかを語る言葉を持ちません。
    日常のルーティンではおしゃべりな子も、論理的なことを正確に語るのは難しいことも多いです。
    「どこがわからない?」
    という質問は、その字面通りの質問なのですが、どんなに柔らかい口調で尋ねてもなお、責められているように感じることがあるようです。
    もともと言葉で説明するのが苦手な子どもが、さらに責められていると感じたら、黙り込んでしまうのも道理。
    板書を1行ずつ指差しながら、
    「ここはわかる?ここはわかる?何行目がわからない?」
    と、私は、わからなくなっている行をまずは明確にしようとするのですが、こちらのそういう意図を理解してくれず、黙り込んでしまう子もいます。
    「まあ、いいや。次いこう、次」
    などと、勝手に諦める子もいます。

    生徒がどこでつまずくのかを知りたい。
    何がわからないのかを知りたい。
    何を誤解しているのかを知りたい。
    今回も、大きな答えを1ついただきました。

    直線の式に関するさまざまな公式など、直線の式を求めることをずっとやっていると、応用問題でも、絶対に直線の式を求めるものだと思い込んでしまう。
    わからない原因はそれだったのです。

    板書に書いてあること・テキストに書いてあることと違うことを生徒がやろうとしているとき、生徒の頭の中で何か異変が起きている可能性を考えること。
    微かな違和感を大切にすること。
    それを改めて感じました。

    ところで、上の問題ですが、では、直線の式を求めてはいけないのか?
    いえ、いけないことはありません。
    そうやって解く方法もあります。

    もう一度問題に戻って考えてみましょう。

    問題 直線y=2x+1に関して、点A(3,2)と対称な点Bの座標を求めよ。

    線対称の性質から、直線y=2x+1と直線ABとは垂直に交わります。
    それを利用して、直線ABの式を求めてみましょう。
    傾きは-1/2で、点A(3,2)を通る直線ですから、公式に代入して、
    y-2=-1/2(x-3)
    これを整理して、
    y=-1/2x+3/2+2
    y=-1/2x+7/2
    次に、直線ABと、y=2x+1の交点を求めましょう。
    2本の式を連立して、
    -1/2x+7/2=2x+1
    これをxについて解きます。
    -x+7=4x+2
    -5x=-5
    x=1
    これをy=2x+1に代入して、
    y=2・1+1
     =3
    よって、2本の直線の交点の座標は、(1,3)。
    さて、ここからどうするか?
    点Aとこの交点との距離は、この交点と点Bとの距離と等しいです。
    すなわち、点Aからこの交点への移動は、この交点から点Bへの移動と等しくなります。
    点A(3,2)から交点(1,3)へは、x軸方向に-2、y軸方向に1だけ移動しています。
    よって、交点の座標を同じだけ移動させると、
    x座標は、1-2=-1。
    y座標は、3+1=4。
    よって、点B(-1,4)

    あれ?
    この解き方のほうがわかりやすいし、解きやすい。
    そう思うでしょうか?
    今回は、確かにそうでした。
    しかし、中点の座標が分数になったりすると、途端に計算が面倒くさくなります。
    さらに、今後のさらなる応用問題の解き方とのつながりがありません。
    ABの中点の座標が直線を通ることを用いる解き方は、汎用性があります。
    この先の学習のために身につけておきたい解き方です。
    ただ、そういうことも理解した上で、この問題をこのように解いてはダメなのかといえば、そんなことはありません。
    この解き方、ありです。

    秋になり、高校3年生には、同じ入試問題を解くのでも、どう解けば時間を短縮できるのか、どの解き方が計算ミスが少なく楽なのかという方針で授業を進めるようになってきました。
    基礎学力はあるので、普通の解き方ならもう説明は不要なのです。
    どうブラッシュアップしていくかが今後の課題です。
    例えば、反復試行の確率に関する条件付き確率の問題などで、
    「私もこれを自分で解いたとき、うっかり数値をそのまま代入しちゃって、計算がウザくてウザくて大変だったんだけど、ここは数値をいったん文字にして式を整理すると、すぐにスッキリするよね」
    といった解説をしますと、
    「ははあー。文明開化の音がしますね」
    といった反応があり、手応えを感じています。
    解き方は1つではない。
    より洗練された解き方は、どういうものか?
    それを模索していくのも、数学の楽しみの1つです。




      


  • Posted by セギ at 14:35Comments(0)大人のための講座

    2018年09月26日

    10月6日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    9月22日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    高校数Ⅱ「図形と方程式」の学習の続きです。
    前回学習した、直線の方程式に関する公式は次のものでした。

    傾きがmで、点(x1,y1)を通る直線の方程式は、
    y-y1=m(x-x1)

    また、2点(x1,y1)、(x2,y2)を通る直線の方程式は、
    y-y1=y2-y1/x2-x1 (x-x1)

    平行な2直線は、傾きが等しい。
    垂直な2直線は、傾きの積が-1。

    今回は、この続きです。

    問題 直線2x+y+2=0 に平行で、点(1,2)を通る直線の式を求めよ。

    中学の解き方なら、まず与えられた式を、y=・・・・の形に直して傾きを求め、その上で、点(1,2)を代入して解くと思います。
    高校では、これを瞬時に解く公式があります。

    点(x1,y1)を通り、直線 ax+by+c=0 に平行な直線の方程式は、
    a(x-x1)+b(y-y1)=0 です。

    まずは、ax+by+c=0 という式の形について。
    中学時代は、y=・・・・の形に式を直さないとダメと言われましたが、高校では、右辺が0になる式を用いることがあります。
    a、b、cは具体的な数字が入ります。
    上の公式は、それをy=・・・に変形してみることで証明できます。
    ax+by+c=0
    by=-ax-c
    y=-a/b・x-c/b
    よって、この直線の傾きは、-a/b です。
    前回学習した公式を利用すると、傾きが-a/bで、点(x1,y1)を通る直線は、
    y-y1=-a/b(x-x1)
    両辺をb倍して、
    b(y-y1)=-a(x-x1)
    左辺に移項して、
    a(x-x1)+b(y-y1)=0
    これが、上の公式です。

    この公式を用いると、上の問題は瞬時に解けます。
    直線2x+y+2=0に平行で、点(1,2)を通る直線だから、
    2(x-1)+(y-2)=0
    このまま答えとするのではなく、整理します。
    2x-2+y-2=0
    2x+y-4=0
    これが上の問題の解答です。

    この公式とセットで覚えると得なのは、
    直線ax+by+c=0に垂直で、点(x1,y1)を通る直線は、
    b(x-x1)-a(y-y1)=0

    この公式も、上のような変形の仕方で導くことができます。
    こうした公式は覚えにくいので、つい暗記を後回しにしたり、別にこんな公式覚えなくても、中学のときの解き方でも解けるし・・・・と思いがちなのですが、困るのは、この先、参考書の例題解説も問題集の解説も、この公式を当然のように使い、特に説明も加えないことです。
    解説を読んでもわからないのは、こうした公式が普通に使われているからです。
    何で急にこんな式が立っているのか、わからない。
    そうならないために、公式は覚えましょう。

    もう1つのメリットは、問題を解く時間の短縮。
    直線の式1本求めるのに、中学の解き方では、2分~3分かかります。
    この公式を使えば、30秒もかからないでしょう。
    センター試験の数学は、時間との闘いです。
    60分で解くにはちょっと多いなと感じる問題量です。
    中学の解き方でもたもた解いている時間はないと思います。


    問題 直線ax-6y-5=0が直線2x-3y+6=0に平行であるとき、定数aの値を求めよ。

    これも、中学の解き方でも解ける問題です。
    それぞれの直線を、y=・・・・の形に変形し、傾きを比較すれば、定数aを求めることができるでしょう。

    これにも、公式があります。

    直線a1x+b1y+c1=0、a2x+b2y+c2=0 が、
    平行なとき、a1b2-a2b1=0
    垂直なとき、a1a2+b1b2=0

    これも、証明のやり方は上の公式と同じで、y=・・・の形に変形し、傾きが等しいことや、傾きの積が-1であることから等式を立てて、それを変形して導いている公式です。

    上の問題にこの公式を用いると、
    a・(-3)-2(-6)=0
    -3a+12=0
    -3a=-12
    a=4

    与式をいちいちy=・・・の形に変形せずにすぐに式を立てることができますね。
    覚える余力のある人は、覚えておくと良い公式です。


    問題 直線 y=2x+1に関して、点A(3,2)と対称な点Bの座標を求めよ。

    さて、少し応用問題に入ってきました。
    上の画像は、この問題を解いたものです。
    解き方がすぐにピンときたなら必要ありませんが、わからないときは、座標平面にグラフを描いて考えるのが得策です。
    y=2x+1 のグラフを描きます。
    これが対象の軸となります。
    点A(3,2)を打ち込みます。
    この点Aと対称な点Bを大体のイメージで良いですから、座標平面上に打ち込んでみます。

    線対称というのは、どういう性質があったでしょうか?
    「線対称・点対称」は、小学6年生で学習する内容です。
    簡単ですから、大抵の子は理解できます。
    簡単すぎるので、「だから何なの?」という疑問すら抱く単元です。
    線対称のとき、対応する点と点とを結ぶ線分は、対称の軸と垂直に交わる。
    線対称のとき、対応する点と対称の軸との距離は等しい。
    このことを利用し、
    「図の中で、垂直に交わっている直線はどれとどれですか?」
    「図の中で長さの等しい線分はどれとどれですか?」
    といった問題が出題されます。
    小学生のときも、中学1年になってからも、まるでドリルのように繰り返し解いたこの問題。
    しかし、そこで終わってしまうので、「だから何なの?当たり前じゃん」で終わった問題。
    いよいよ、この知識が結実します。

    点Bの座標を(p,q)とします。
    直線ABの傾きは、q-2/p-3 と表されます。
    直線の傾きは、変化の割合と等しいですから、yの増加量/xの増加量 ですね。
    この直線ABは、対称の軸である、y=2x+1 と垂直に交わりますから、傾きの積は-1です。
    よって、2・q-2/p-3=-1
    これを変形して、pとqの関係を表す式を1本導いておきましょう。
    両辺に p-3 をかけて、
    2(q-2)=-(p-3)
    2q-4=-p+3
    p+2q=7 ・・・①

    pとqの値を求めるには、もう1本、pとqに関する式があれば良いですね。
    線対称の性質には、もう1つ、対称の点から対称の軸までの距離は等しいというものがありました。
    言い換えれば、2点の中点は対称の軸上にあります。
    点A(3,2)と点B(p,q)の中点の座標は、(p+3 /2,q+2 /2)。
    これは対称の軸上の点ですから、このx座標とy座標は、y=2x+1 の関係を満たします。
    よって、
    q+2 / 2=2(p+3 / 2)+1
    これを整理すると、
    q+2 / 2=p+3+1
    q+2=2p+8
    -2p+q=6 ・・・②

    この①、②を連立して解くと、
    p=-1、q=4
    よって点Bの座標は(-1,4) です。


    さて、次回の数学教室のお知らせです。

    ◎日時  10月6日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数Ⅱ「図形と方程式」を続けます。p.48例題14の解説から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかLINEに、ご予約をお願いいたします。







      


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