2022年03月28日
２０２２年度から高校数ⅠＡは新課程。「期待値」の学習が加わります。
２０２２年度から、高校１年生の数ⅠＡが新課程になります。
ただ、数ⅠＡに関しては、単元名こそ変更されるものの、いくつか細かい学習内容の追加があるのみで、それほどの大移動はない印象です。
来年度から、数Ｂ「ベクトル」が消え、数Ｃに移行されるのは衝撃的変更ですが。
文系の生徒は、「ベクトル」を学習せずに高校課程を修了するのか・・・。
まあ、過去にも、文系の生徒は複素数平面を学習しなくなったり、理系生徒でも「行列」を高校で学習しなくなったりといった驚愕の変更はありましたが。
一方、学習内容で新たに追加されたものは、すべて統計関係のものであるのが、時代を感じさせます。
データの整理は、コンピュータがやってくれる。
人間は、そのデータを分析する能力が必要。
それは、文系の生徒でも。
そういう明確な指向が見えている改革です。
で、数Ａ「場合の数と確率」に新たに加わった「期待値」の学習。
これは、旧課程では、数Ｂ「確率分布と統計的な推測」の学習内容だったのが下りてきた形です。
ただ、旧課程では、この単元を実際には数Ｂで学習しない学校が多かったのです。
数Ｂは、大きな単元が３つありました。
「数列」と「ベクトル」は学習するが、「確率分布」はやらない。
単位数(＝週あたりの授業時数)から考えて、そんなことをやる時間がない。
そういう高校が多かったのです。
だから、期待値を学ばずに大人になった人も結構います。
「確率分布」を学校で学習しないので、センター試験も共通テストも、数Ｂの選択問題は、自動的に「数列」と「ベクトル」しか選べない。
どちらも、物凄く苦手なのに・・・。
そういう追い込まれ方をした受験生も多かったと思います。
「確率分布」のほうが問題が素直で易しいとささやかれてはいたのですが、学校で学習しなかった大きな単元を自学しようとする受験生はさすがにあまりいませんでした。
大学に入れば、社会科学系の学部は統計学が必修のことが多いのに、生徒の多くは確率分布の基礎を学んでいない。
そういう矛盾もありました。
今回、その補正が行われた形です。
さて、今回の改訂で、文科省の望む通り、すべての高校が「確率分布と統計的な推測」も数Ｂで学習するようになるのか？
現場には現場の論理があり、そんなに思うようには動かないのかもしれません。
それは来年度以降に判明すること。
今回は、まずは数ⅠＡの改定です。
期待値。
これは、さらに前の旧旧課程では数Ａ「確率」で普通に学習する内容だったので、それが復活しただけとみなすこともできます。
実際、そんなに難しい内容ではないです。
期待値とは何か？
１回の試行の結果期待される数値の大きさ。
確率変数のすべての値に確率の重みをつけた加重平均。
これが期待値の定義です。
・・・何を言っているのかわからない・・・。
そんな感想も予想されますが、このような定義とは裏腹に、具体的に考えればとても簡単です。
例えば、当たれば賞金がもらえるくじを想定してみましょう。
そのくじは、１枚１００円。
１等１０,０００円があたる確率は、１/１０００。
２等１,０００円があたる確率は、１/１００。
３等１００円があたる確率は、１/１０。
このくじの期待値は？
１００００×１/１０００＋１０００×１/１００＋１００×１/１０
＝１０＋１０＋１０
＝３０
よって期待値は３０円。
このくじを１枚買ったときに、実際に戻ってくるお金の平均は、３０円。
このくじを買って、戻ってくると期待できる金額は、３０円。
それが期待値です。
何か結構あたりそうな確率のくじなのに、それでも、実際に買ったら損をする可能性が高いなあとわかります。
これは、上の式だけでピンとくる人が多いとは思いますが、一度、より丁寧に考えてみましょう。
このくじが、全部で１０００枚販売されるとします。
すると、確率から考えて、１０,０００円のあたりはその中で１枚。
１０００円のあたりはその中で１０枚。
１００円のあたりはその中で１００枚です。
あたり金額は総額で、
１００００×１＋１０００×１０＋１００×１００
＝１００００＋１００００＋１００００
＝３００００
くじは全部で１０００枚ですから、あたり金額の平均は、
３００００÷１０００＝３０
よって３０円。
これを、いったん総額を出すのではなく計算したのが上の式で、それが期待値の公式となっています。
では、実際の問題を解いてみましょう。
問題 目の数が２、２、４、４、５、６である特製のさいころが１個ある。このさいころを繰り返し２回投げて、出た目の数の和を５で割った余りをＸとする。確率変数Ｘの期待値Ｅ(Ｘ)を求めよ。
急にややこしくなりましたね。
こういうのは、表にして整理すると楽です。
１回目のさいころの目をａ、２回目のさいころの目をｂとすると、目の出方は６×６で３６通り。
目の２と２や４と４は、それぞれ別の目として把握し、表に書いていきます。
６×６のマスに、ａ＋ｂを５で割ったあまりを書き込んでいき、すべてのＸの出方を把握していきます。
Ｘは５で割った余りですから、０から４までとなります。
３６通りのうち、０は５通り。
１は１０通り。
２は５通り。
３は８通り。
４は８通り出てきます。
よって、それぞれの確率は、
Ｘ＝０の確率は、５/３６
Ｘ＝１の確率は、１０/３６
Ｘ＝２の確率は、５/３６
Ｘ＝３の確率は、８/３６
Ｘ＝４の確率は、８/３６
このあたり、小学校から折り目正しい学習をしてきて、「約分しないと気持ち悪い」という人がいますが、今後の計算を考えれば、ここは約分しないほうが楽ですね。
求める期待値
Ｅ(Ｘ)＝０×５/３６＋１×１０/３６＋２×５/３６＋３×８/３６＋４×８/３６
＝１/３６(１０＋１０＋２４＋３２)
＝７６/３６
＝１９/９
最終解答は勿論約分します。
ただ、数ⅠＡに関しては、単元名こそ変更されるものの、いくつか細かい学習内容の追加があるのみで、それほどの大移動はない印象です。
来年度から、数Ｂ「ベクトル」が消え、数Ｃに移行されるのは衝撃的変更ですが。
文系の生徒は、「ベクトル」を学習せずに高校課程を修了するのか・・・。
まあ、過去にも、文系の生徒は複素数平面を学習しなくなったり、理系生徒でも「行列」を高校で学習しなくなったりといった驚愕の変更はありましたが。
一方、学習内容で新たに追加されたものは、すべて統計関係のものであるのが、時代を感じさせます。
データの整理は、コンピュータがやってくれる。
人間は、そのデータを分析する能力が必要。
それは、文系の生徒でも。
そういう明確な指向が見えている改革です。
で、数Ａ「場合の数と確率」に新たに加わった「期待値」の学習。
これは、旧課程では、数Ｂ「確率分布と統計的な推測」の学習内容だったのが下りてきた形です。
ただ、旧課程では、この単元を実際には数Ｂで学習しない学校が多かったのです。
数Ｂは、大きな単元が３つありました。
「数列」と「ベクトル」は学習するが、「確率分布」はやらない。
単位数(＝週あたりの授業時数)から考えて、そんなことをやる時間がない。
そういう高校が多かったのです。
だから、期待値を学ばずに大人になった人も結構います。
「確率分布」を学校で学習しないので、センター試験も共通テストも、数Ｂの選択問題は、自動的に「数列」と「ベクトル」しか選べない。
どちらも、物凄く苦手なのに・・・。
そういう追い込まれ方をした受験生も多かったと思います。
「確率分布」のほうが問題が素直で易しいとささやかれてはいたのですが、学校で学習しなかった大きな単元を自学しようとする受験生はさすがにあまりいませんでした。
大学に入れば、社会科学系の学部は統計学が必修のことが多いのに、生徒の多くは確率分布の基礎を学んでいない。
そういう矛盾もありました。
今回、その補正が行われた形です。
さて、今回の改訂で、文科省の望む通り、すべての高校が「確率分布と統計的な推測」も数Ｂで学習するようになるのか？
現場には現場の論理があり、そんなに思うようには動かないのかもしれません。
それは来年度以降に判明すること。
今回は、まずは数ⅠＡの改定です。
期待値。
これは、さらに前の旧旧課程では数Ａ「確率」で普通に学習する内容だったので、それが復活しただけとみなすこともできます。
実際、そんなに難しい内容ではないです。
期待値とは何か？
１回の試行の結果期待される数値の大きさ。
確率変数のすべての値に確率の重みをつけた加重平均。
これが期待値の定義です。
・・・何を言っているのかわからない・・・。
そんな感想も予想されますが、このような定義とは裏腹に、具体的に考えればとても簡単です。
例えば、当たれば賞金がもらえるくじを想定してみましょう。
そのくじは、１枚１００円。
１等１０,０００円があたる確率は、１/１０００。
２等１,０００円があたる確率は、１/１００。
３等１００円があたる確率は、１/１０。
このくじの期待値は？
１００００×１/１０００＋１０００×１/１００＋１００×１/１０
＝１０＋１０＋１０
＝３０
よって期待値は３０円。
このくじを１枚買ったときに、実際に戻ってくるお金の平均は、３０円。
このくじを買って、戻ってくると期待できる金額は、３０円。
それが期待値です。
何か結構あたりそうな確率のくじなのに、それでも、実際に買ったら損をする可能性が高いなあとわかります。
これは、上の式だけでピンとくる人が多いとは思いますが、一度、より丁寧に考えてみましょう。
このくじが、全部で１０００枚販売されるとします。
すると、確率から考えて、１０,０００円のあたりはその中で１枚。
１０００円のあたりはその中で１０枚。
１００円のあたりはその中で１００枚です。
あたり金額は総額で、
１００００×１＋１０００×１０＋１００×１００
＝１００００＋１００００＋１００００
＝３００００
くじは全部で１０００枚ですから、あたり金額の平均は、
３００００÷１０００＝３０
よって３０円。
これを、いったん総額を出すのではなく計算したのが上の式で、それが期待値の公式となっています。
では、実際の問題を解いてみましょう。
問題 目の数が２、２、４、４、５、６である特製のさいころが１個ある。このさいころを繰り返し２回投げて、出た目の数の和を５で割った余りをＸとする。確率変数Ｘの期待値Ｅ(Ｘ)を求めよ。
急にややこしくなりましたね。
こういうのは、表にして整理すると楽です。
１回目のさいころの目をａ、２回目のさいころの目をｂとすると、目の出方は６×６で３６通り。
目の２と２や４と４は、それぞれ別の目として把握し、表に書いていきます。
６×６のマスに、ａ＋ｂを５で割ったあまりを書き込んでいき、すべてのＸの出方を把握していきます。
Ｘは５で割った余りですから、０から４までとなります。
３６通りのうち、０は５通り。
１は１０通り。
２は５通り。
３は８通り。
４は８通り出てきます。
よって、それぞれの確率は、
Ｘ＝０の確率は、５/３６
Ｘ＝１の確率は、１０/３６
Ｘ＝２の確率は、５/３６
Ｘ＝３の確率は、８/３６
Ｘ＝４の確率は、８/３６
このあたり、小学校から折り目正しい学習をしてきて、「約分しないと気持ち悪い」という人がいますが、今後の計算を考えれば、ここは約分しないほうが楽ですね。
求める期待値
Ｅ(Ｘ)＝０×５/３６＋１×１０/３６＋２×５/３６＋３×８/３６＋４×８/３６
＝１/３６(１０＋１０＋２４＋３２)
＝７６/３６
＝１９/９
最終解答は勿論約分します。
Posted by セギ at 11:55│Comments(2)
│算数・数学
この記事へのコメント
文系の生徒も数Cは必須です。共通テストにも出題されます。よってベクトルは引き続き文理関わらず学習しますよ…
Posted by くを at 2023年08月14日 18:34
コメントありがとうございます。
そうですね。
国立大学文系なら、数学Ｃも必須となります。
旧過程では、進路に関係なく、文系クラスでも数学ⅡＢまでは全員が学習するカリキュラムの高校が多かったのですが、今後は、私立文系ならば、数学Ｃは選択しないでしょう。
数学Ｂも選択もしなくなることが増えていくのかもしれません。
そうですね。
国立大学文系なら、数学Ｃも必須となります。
旧過程では、進路に関係なく、文系クラスでも数学ⅡＢまでは全員が学習するカリキュラムの高校が多かったのですが、今後は、私立文系ならば、数学Ｃは選択しないでしょう。
数学Ｂも選択もしなくなることが増えていくのかもしれません。
Posted by セギ
at 2023年11月17日 11:14
at 2023年11月17日 11:14※このブログではブログの持ち主が承認した後、コメントが反映される設定です。
