たまりば

  地域と私・始めの一歩塾 地域と私・始めの一歩塾  三鷹市 三鷹市

2019年08月29日

高校英語。分詞 その1。現在分詞と過去分詞。


分詞の学習。
まずは中学の復習でもある、限定用法から。
限定用法は、制限用法とも呼ばれ、中学時代は「分詞の形容詞的用法」と呼ばれていたものです。
すなわち、名詞を修飾する用法です。

ここで問題となるのは、用いる分詞は現在分詞か、過去分詞かという点。
さらに、名詞の直前に置く前置修飾なのか、直後に置く後置修飾なのかという点。
中学時代もそこがスッキリせず、結論として「分詞は嫌い」となってしまった人は多いのではないでしょうか。

まずは基本を。
分詞というのは、動詞が分詞化したものです。
現在分詞は、動詞の原形に ing をつけたもの。
見た目は動名詞と同じですが、使い方が違うので、現在分詞と動名詞は区別します。
過去分詞は、中学時代から現在完了や受動態でおなじみの、あの過去分詞です。
規則動詞は過去形と同じ形。
不規則動詞は不規則に変化するので、1つずつ覚えます。
中学時代に、不規則動詞を覚えなかった人は、今度こそちゃんと覚えましょう。
毎日暗唱しているうちにだんだん慣れて、自然に使えるようになりますから。

現在分詞と過去分詞との使い分けは。
修飾される名詞がその分詞の示す動作を行う主体のときは現在分詞。
動作される側のときは過去分詞を用います。

問題、次の空所を埋めよ。
(1) The girl (   ) a picture over ther is my sister.
むこうで写真を撮っている女の子は、私の妹です。
(2) The picture (   ) by my sister won the contest.
私の妹が撮ったその写真が、コンテストで優勝した。

(1)では、the girl が写真を撮っています。
修飾される名詞がその動作をしているので、現在分詞を用います。
The girl (taking) a picture over ther is my sister.

(2)では、the picture は、撮られるもの、つまり動作される側です。
修飾される名詞がその動作をされる場合、過去分詞を用います。
The picture (taken) by my sister won the contest.

文法的にとらえることをせず、日本語訳との1対1の対応にこだわる人は、これを、「~ている」のときは現在分詞、「~された」のときは過去分詞と覚えてしまいます。
すると、以下のような問題で、正答できなくなります。

The languages (  ) in Canada are English and French.
カナダで話されている言語は、英語とフランス語です。

あ、「話されている」は「~ている」だ。
だから、現在分詞だ。
The languages (speaking) in Canada are English and French.

・・・いいえ。これは間違いです。
languages は、話されるもの。
だから過去分詞を用います。
The languages (spoken) in Canada are English and French.
が正解です。

和訳に頼って日本語と英語を無理に1対1対応にするのではなく、文法的に把握したほうが簡単で精度も高いのです。


現在分詞と過去分詞の使い分け。
中学生の間は、上の説明で全てですが、高校生になると、文法知識が少し増える分、さらに深い説明が可能です。
上の話は、実は他動詞に限ってのことなのです。

自動詞と他動詞。
この区別がよくわからない人もいると思いますので、説明しましょう。

自動詞と他動詞の話は、文法学習の最初のほうの「5文型」で学習していることなのですが、高校に入学した途端に文法ばかりゴリゴリ学習することの意味がよくわからないこともあって、気持ちの上で全く受け付けず、そこが曖昧に終わってしまう人は多いです。
5文型と品詞の種類、そして自動詞・他動詞は、理解しておかないと、その後の文法学習に大きな禍根を残します。

他動詞は、目的語をとる動詞。
自動詞は、目的語をとらない動詞です。

ですから、同じ動詞が、この文の中では自動詞、この文では他動詞、ということもあります。
しかし、動詞によっては、常に自動詞であるもの、常に他動詞であるものもあります。
例えば、discuss は常に他動詞です。
後ろに目的語がきます。
We discussed the poblem.  のように。
こうした他動詞は、辞書を引いて日本語訳をよく見ると、「~を議論する」と、「~を」がついているのですが、そこまで細かく見ている人は少ないと思います。
それどころか、「議論する」という覚え方すらせず、「議論」と、まるで名詞のように覚える人が多いのです。
そうした人は英語が苦手な人の中に極めて多いのが実状です。
「何で英文が読めるようにならないんだろう・・・」
そういう相談をもちかけられることがありますが、そんな覚え方をしているのも一因でしょう。
動詞なのに名詞のように覚える・・・。
品詞に対する感覚が欠如しているのだと思いますが、その覚え方だと、discuss が動詞であるか名詞であるかすら記憶することができず、英文は全て名詞の羅列に見えて意味がとれず、自分で英文を作ることもできない、・・・と悪いことしか先に待っていません。
必ず、動詞は動詞、名詞は名詞として覚える必要があります。
さらに言えば、「~を議論する」のように「~を」つけて覚えておくと、それが他動詞の証拠となります。

また、自動詞に「目的語のようなもの」をつけたいときには、間に前置詞が入ることを知っていると、それも自動詞と他動詞を明確に区別する基準となります。
例えば「~に到着する」という言い方。
I arrived at Tokyo yesterday.
I got to Tokyo yesterday.
I reached Tokyo yesterday.
同じ「~に到着する」でも、arrive は、at または in が必要です。
get は、to が必要。
しかし、reach は、前置詞は必要ありません。
前置詞がないほうが、他動詞です。

自動詞ならば、後ろにつく前置詞こみで暗記しましょう。
あるいは、幾度も幾度も音読や暗唱をすることで、自然にその前置詞が口をついて出るようにしておきましょう。
教科書本文などの全文暗唱が、苦役のように見えて効果的なのは、こうした前置詞を繰り返し繰り返し暗唱する中で当たり前に使えるようになるからです。
なお、こうした全文暗唱は、日本語訳を見ながらやるものです。
歌詞やセリフを覚えるわけではありませんので、ただの丸暗記をする必要はありません。
日本語を見て、文法・語法を考えながら正しい英語を復元する練習をすることが効果につながります。
その話を幾度しても、単なる丸暗記、しかも前置詞を省略した丸暗記をしてくる子もいて、頭の痛いところではありますが。
お経みたいな抑揚のある妙な丸暗記をしてくるが、前置詞や冠詞の大半が抜けている・・・。
何のために何を覚えているのか、意味を考えたことがなく、言われたからやっているだけなのかもしれません。

英語が苦手な人でも、
I go to school at 8:00.
のように、go の後には to がくることは覚えていると思います。
なぜ、覚えているのでしょう?
それは、その形の文を沢山練習したからです。
沢山見たり聞いたり読んだり書いたりしたので、覚えているのです。
discuss の後ろに前置詞がくるかどうかを覚えていないのは、その英文にまだあまり多く触れていないからです。
沢山見たり聞いたり読んだり書いたりすれば、覚えます。
あるいは、意識して、「discuss には、前置詞は不要」と覚えれば、覚えられます。
覚え方は、そのように沢山練習して自然に覚えるか、意識して覚えるかの2択です。


かなり話が逸れましたが、自動詞と他動詞の違いはご理解いただけたと思います。
分詞の限定用法の話に戻りますと、上の文で扱った動詞は、実は全て他動詞でした。
修飾される名詞と他動詞が分詞となったものとの関係で、現在分詞か過去分詞かを判断していました。
自動詞となると、また別の観点が必要です。
自動詞の場合、その動作が進行中であれば現在分詞、完了していれば過去分詞という使い分けとなります。

(3) He picked up a (  ) leaf.
彼は落ち葉を拾いあげた。
(4) Some of the (  ) professors are still working as part-time teachers.
退職した教授の中には、今も非常勤講師として働いている人もいる。

leaf は落ちるものだから、現在分詞の falling でしょうか。
・・・いいえ、正解は、
(3) He picked up a (fallen) leaf.
落ちるという動作が既に完了しているのが落ち葉だからです。

professors は退職しているのだから、retiring でしょうか。
いいえ。
(4) Some of the (retired) professors are still working as part-time teachers.
が正解です。
もう既に退職しているからです。

こうした自動詞は、しかし数は少ないので、出てきたらその都度覚えるので大丈夫でしょう。

  


  • Posted by セギ at 10:48Comments(0)英語

    2019年08月25日

    数Ⅱ「式と証明」。等式の証明その2。



    今回も「等式の証明」です。

    問題 a/b=c/d のとき、(a2+c2)/(b2+d2)=ac/bd であることを証明せよ。

    前回の問題よりも複雑になってきました。
    このように与えられた式が分数のときは、どう証明すれば良いのでしょうか。
    例えばaについて解いても、その結果は分数になり、しかも文字が3種類残るので、左辺=右辺を示すことは難しそうだと見通せます。
    こんなとき、別の文字に置き換えるというテクニックがあります。

    a/b=c/d=k とおく。
    すなわち、a=bk、c=dk。
    これを代入して、
    左辺=(b2k2+d2k2)/(b2+d2
       =k2(b2+d2)/(b2+d2
       =k2
    右辺=bk・dk/bd
       =k2
    よって、左辺=右辺

    このテクニックは、とても便利ですので、覚えておきたいものです。
    もう1つ問題を解いてみましょう。


    問題 x/3=y/4=z/2‡0 のとき、(x-y)2/(y2+z2) の値を求めよ。

    これも、与えられた式が分数です。
    ということで、これもkを使ってみましょう。
    x/3=y/4=z/2=k とおくと、
    x=3k、y=4k、z=2k。
    これを代入して、
    与式=(3k-4k)2/(16k2+4k2
       =k2/20k2
       =1/20
    わあ、約分でkが消えて、式の値が出てきましたー。
    やはり便利です。
    このテクニックは、忘れた頃にまた別の単元で使うことがあります。

    こうしたテクニックを覚えておきましょうと話すと、
    「でも、数学は暗記科目じゃないし、解き方の暗記じゃダメだと言っていたくせに」
    という反論もあるかと思います。
    勿論、意味もわからず丸暗記しているのではダメです。
    意味を理解した上で、でも暗記もしましょうということなのです。

    意味がわからないのに暗記だけする。
    小学生の頃から、算数・数学はそのような勉強をしてしまう子は多いです。

    例えばこんな問題の場合。

    問題 5/3dLで2/3㎡の壁を塗れるペンキがあります。2dLでは、何㎡の壁を塗ることができますか。

    かけ算なのか、わり算なのか、問題文を見てもわからない・・・。
    この問題は2段階の計算が必要だということもわからず、一度で答えが出ると思い込んでしまう子も多いです。
    この問題は、まず、1dLあたりの面積を求めます。
    2/3÷5/3=2/3×3/5=2/5(㎡)
    だから、2dLでは、
    2/5×2=4/5
    答は、4/5㎡ です。

    このように単位量あたりの問題の数値が分数になると、かけ算なのかわり算なのか、式の立て方が全くわからない場合。
    こうした問題は、わかりにくかったら整数に直して考えてみましょう。
    「4dLで2㎡の壁を塗れるペンキがあります。3dLでは、何㎡の壁を塗れますか」
    1dLあたりの面積を求めるには、
    2÷4
    これがピンとくるようなら、それは整数でも分数でも同じなのだから、単位量あたりを求めるにはわり算だと判断できます。
    ただ、整数に置き換えても、この式が立てられない子もいます。
    わり算は、大きい数を小さい数でわるものと丸暗記している子たちです。
    その子たちは、2÷4 の式を立てることができません。
    小学生の段階で既に、算数は意味を考えて解くものではなく、解き方を暗記して解くものになっている子は案外多いです。
    単位量あたりの学習をするのが、5年生。
    それに分数のかけ算・わり算が加わるのが、6年生。
    それまでに、もう何年も、算数は解き方を暗記するだけになっているのです。

    丸暗記ではなく、意味を考えて解きましょう。
    そういう子に、そのように声をかけても、ほとんど定着しません。
    そのようなアプローチをしたことがないからでしょうか。
    意味を考えて解くということが、よくわからないようなのです。
    いえ。
    それは話が逆で、意味を考えて解くことができないから解き方を丸暗記し、算数がわかっているふりを長い間続けてきたと見るべきなのかもしれません。
    教科書に載っている、2本の半直線に目盛りをつけたもので説明すると、それが整数の間は何とか理解できるのですが、分数になると目が泳ぎ始める子は多いです。
    その半直線の示す、2倍、3倍ということは理解できても、3/2倍、4/5倍といったことが、そもそも理解できない気配も感じます。
    しかし、学校のテストは明日。
    そんなとき、まずいとは知りつつも、私もこんな教え方をしてしまうことがあります。

    まず、2dLで、8㎡の壁をぬるペンキは、1dLでは何㎡の壁を塗れるかという問題を考えてみて。
    それは、8÷2だよね?
    それはわかるよね?
    8÷2をよく見て。
    2は、2dLの2だね。
    1dLあたりの量を求めるとき、dLのついている数字で割っているね。
    単位あたり量を求めるときには、その単位のついている数字で、割るんだよ。
    1dLあたりの量を求めるなら、dLという単位のついている数字で、割るんだよ。
    もしも、1㎡あたりの量を求めるなら、㎡という単位のついている数字で、割るんだよ。
    そうすると、単位量あたりが出るよ。
    それは、いつでも必ずそうなるよ。

    意味を幾度説明しても理解できなかった子が、この説明で見違えるように正答できるようになります。
    わり算は、大きい数÷小さい数。
    そうした、誤った丸暗記からもバージョンアップできます。
    しかし、これもまた新たな丸暗記に過ぎないのかもしれません。
    暗記の魔力は本当に恐ろしい。
    低学年から丸暗記で算数をこなしてきた子は、理解を促してもほとんど進歩しない一方、単なる解き方だけを教えた途端に異様なほど定着するのです。

    今は仕方ない。
    また、復習のときに。
    忸怩たる思いが胸をよぎります。
    あるいは、幾度復習しても、小学生の間は理解できないかもしれません。
    この解き方の意味を理解するのは、もしかしたら大人になってからかもしれません。
    でも、正しい解き方を知っていたら、いつか、必ず理解できる日がきます。


    こんな問題もあります。

    問題 厚さ2㎝の板を用いて、ふたのない直方体の容器を作った。容器の外側の縦が28㎝、横が32㎝、高さが18㎝のとき、この容器の容積は何㎤か。

    この問題で、こういう式を立てた子がいました。
    26×30×17

    厚さが2㎝であることに気づいていないだけだと思い、
    「板の厚さは2㎝だよ」
    と助言しても、その子は、
    「え?容器のときは、縦と横は-2、高さは-1するんだよ」
    と、逆に私に説明しました。
    「・・・それは、板の厚さが1㎝のときでしょう?」
    「え?」
    その後、正しい内のりの長さの求め方を説明しても、理解してもらうまでに長い時間が必要でした。
    この問題には、実際は挿し絵がついていましたので、それを用いながら説明すれば簡単に理解してもらえそうなものでしたが、図の内のりのここからここまでがと差し示して説明しても、しきりに首をひねり、理解できないようなのでした。
    つまり、学校の教科書やテストでは、容器の内のりを自分で求める問題でも、板の厚さは1㎝と決まりきっている場合がほとんどですので、その解き方だけを丸暗記していたのです。
    だから、板の厚さが2㎝になると、もう正しい式を立てられないのです。
    板の厚さが2㎝だから、容器の内のりの縦と横は-4、深さは-2をすることが、理解できなかったのです。
    なぜ引くのか、その根本を理解せず、ただ解き方だけ暗記していたのでした。


    解き方の丸暗記は、文章題だけに限りません。
    計算も丸暗記で処理し、本質を理解していないことは多いです。
    そのため、やり方を間違って暗記している場合は、繰り返し同じことを同じように間違えてしまいます。

    例えば 1/3(9x-2)+1/2(8x-4)

    文字式の計算です。
    そんなに難しくないはずなのですが、間違える子は、ほぼ同じようにこう間違えてしまいます。
    =3x-2+4x-4
    何をどう間違えているのか?
    前半で言えば、1/3と( )の中の9xだけをかけて、-2はそのままにしてしまうのです。
    1/3が( )内の各項に平等にかかっていくことが理解できていない様子です。
    後半も同様です。

    また別の問題。

    2(3x-4)3(2x+7)
     5      2
    ちょっと見にくいですが、5や2が分母である分数だと思ってください。
    これは、分母が異なるので、通分が必要です。
    そこでは、こういうミスをしてしまう子がいます。
    =4(6x-8)-15(10x+35)

    まず、分母を払うために、全体を10倍したのだろうと想像されます。
    これが方程式ならば、左辺と右辺の両方を10倍しても関係は変わりませんが、今回は文字式ですので、全体を10倍することはできません。
    しかし、やり方を丸暗記し、なぜそれをやっていいのか理解していない子は、文字式でも同じことをしてしまいます。
    また、上の答案の場合、前半の分母の5を10にするために、分子の2を×2して4にしたのと同時に、( )の中にも、全て×2をしています。
    後半も同様に、逐一×5をした様子です。

    何でさっきの問題では、( )の中の片方しかかけないという不平等なことをやっておきながら、今度は必要もないところに逐一×2をするのだろう?
    それは、やはり、どういう性質を利用してそれをやっているのか、本質を理解せず、ただ解き方を暗記しているためだろうと思うのです。

    通分ではこのミスはしない子も、例えば方程式の「割合」に関する文章題で作った式を整理するときに、同じ性質のミスをしがちです。
    割合に関する文章題では、下のような形の式になることは多いです。
    (x-1/10)(x-2/10)=7
    これを整理するとき、
    (10x-1)(10x-2)=70
    としてしまうミスは、中学の数学の成績が「4」の子の中にも見られます。
    ( )を1つずつ10倍したということは、全体を100倍したということだから、右辺は700だよと教えても、きょとんとしてしまいます。
    何でそうなるのか、わからない様子なのです。
    説明すると、そのときは理解した表情にはなるのですが、ひと月もすれば、また同じミスをしてしまいます。
    計算上そんなことはあり得ない、ということを感覚的に把握できるほどの深い理解に至らないのです。
    こういう計算はしてもいい、これはしてはいけないと1つ1つ暗記するしかなく、覚えきれずに失敗するのでしょう。
    何かが理解できていないのです。
    しかし、それは言葉で説明してもなかなか伝わりません。
    わかった顔はしますが、忘れた頃にまた同じミスが復活します。

    数に対する正しい感覚がどうして形成されないのか。
    逆に、上のようなミスは決してしない子の、数に対する感覚は、どのように養われたものなのか。
    小学生時代に何をすれば、上のようなミスはしない子になるのか。
    あるいは、中学や高校からでも、どのような学習をすれば、数理の本質を理解できるようになるのか。
    難しい課題です。



      


  • Posted by セギ at 15:08Comments(0)算数・数学

    2019年08月22日

     高校英語。不定詞。too~to・・・構文など。


    不定詞を用いたさまざまな用法とその言い換え表現について今回は整理しましょう。

    問題 以下の文がほぼ同じ意味になるように空所を埋めよ。
    (1)This curry is so spicy that I can't eat it.
      This curry is (  ) spicy for me (  ) eat .
    (2)He was so kind that he carried my baggage.
    He was kind (  )(  ) carry my baggage.
    He was so kind (  )(  ) carry my baggage.
    He had the (  ) to carry my baggage.

    (1)は、so~that・・・構文とtoo~to・・・構文と呼ばれるもので、中学で学習する内容ですが、このあたりのことをあまり覚えていない人もいるかもしれません。
    教科書の1つのLessonまるごとで学習する文法事項として、独立した例文付きでしっかり解説されている場合は少なく、リーディング教材の中にサラッと出てくるので、あまり印象に残らないようなのです。
    現行の中学の教科書では、例えばサンシャインでは、『かわいそうなゾウ』の話が中3のリーディング教材になっていて、その中で出てきます。
    そのゾウはとても賢かったので、毒入りの餌を食べませんでした。
    といった文に用いられています。
    ・・・そこで、この構文を使う?
    ちょっと引いてしまいます。
    それはあまりにもセンシティブな内容なので、私は冷静に教えることができません。
    と、動揺のあまり少しふざけてしまいます。
    ちなみに、敗戦後、民主主義を学んだ子どもたちが、日本でもう一度ゾウを見たいと運動を起こした後日談のほうが私はさらに好きです。


    ともあれ、中学で学習した印象が薄いまま、高校の文法学習では、その2つの他にも似たような文がごちゃごちゃと出てくるので、何だか混乱して上手く空所を補充できない・・・。
    そんなことにならないよう、一度きちんと整理して理解すると、ここは容易に得点源になります。
    文法問題は、何を問われているのかわからないまま、何となく感覚や勘に頼って空所を埋めて勉強した気になってしまう人が多いです。
    英語が苦手な人にそういう人が本当に多いのです。
    それをやっている限りは文法問題はいつまでも得点源になりません。
    何の文法事項を問う、どういう問題であるか、出題意図を把握しながら解きましょう。

    もう一度問題を見直してみます。
    (1)This curry is so spicy that I can't eat it.
    so ~that ・・・は、「あまりに~なので、・・・・」と前から順番に意味を取っていけば良い文です。
    このカレーはあまりにも辛いので、私は食べることができない。
    やや硬い訳ですが、そういう意味です。
    正確な文法分析はまた別ですが、この that は、「だから」「なので」といった順接の働きをしているととらえると、わかりやすいです。
    それとほぼ同じ意味にするのですから、下の文は、
    This curry is (too) spicy for me (to) eat .
    となります。
    直訳は、「このカレーは私にとって食べるには辛すぎる」となります。
    その直訳でも別に構わないですが、この文もまた前から順番に意味をとって、「このカレーはあまりにも辛いので、私は食べることができない」と訳して良いのです。

    それがわかっていれば、この問題は簡単です。


    that は順接で「~だから」という意味と書いて、ふと思い出したのですが、先日、数学の授業中、ある高校生が、こんな話をしてくれました。
    中3のときに通っていた受験塾で、数学の証明問題の答案に「ゆえに」と書いたら、他の生徒にも講師の先生にも、何だそれと笑われたというのです。
    その子は、その受験塾に中3の1年間だけ通った子で、中3で入ってきていきなりトップクラスだったので、他の生徒にあまりよく思われていなかったのかもしれません。

    それにしても、証明問題に「ゆえに」を使っただけで古いと笑う高校受験塾・・・。
    無教養だなあ・・・。
    講師も本当に若い人か、学生アルバイトだったのかもしれません。
    若さというのは、とてつもないアドバンテージですが、そこに自信を持ち過ぎると、古いことを何でも否定してあざ笑う妙な言動になってしまいます。

    「ゆえに」という言い方を教えたのは私ではありません。
    その子は、数学に関する本や数学者の人生を描いた本を読むのが好きで、そこで覚えた言い回しのようです。
    つまり、受験のためだけに数学を勉強している子たちとは、数学的教養の質が違うのです。
    数学の口語とはかけ離れた言い回しをむしろ楽しんでいたのでしょう。
    それが、受験塾で笑われて、びっくりしてしまった・・・。
    高校に入って、数学的にちょっと不振が続いてうちの教室で数学を学習することになりましたが、基本を丁寧にやったらたちまち成績が上がりました。
    指導する側としては、ええと、私は何かしたかなあという印象で、むしろ手応えがありません。
    やはり、蓄積されていたもともとの素養が違うのでしょう。

    私も「ゆえに」は使うことがあります。
    え?
    「ゆえに」ってもう古いの?
    使わないの?
    とその話を聞いて驚き、現在発行されている数学の問題集の解答解説を色々とめくってみました。
    現在は、「よって」の使用頻度が最も高いですが、「ゆえに」も現役でした。
    「ゆえに」を笑った子たちは、高校進学後、学校の数学の問題集の解答解説に「ゆえに」を見つける度に、今も爆笑しているのでしょうか。
    おのれの不明を恥じるが良い。
    若さとは、そういう恥ずかしい側面もあります。
    それは可能性と表裏一体のものです。

    「よって」は良くて、「ゆえに」は古いという感覚は、私にはよくわかりません。
    どちらも書き言葉で、日常会話で使うことはまずありません。
    そもそも数学は、言葉遣いが古いとか新しいとか、そういう次元のことは問題にしていません。
    例えば、私立中学・高校では、古めかしい言葉遣いで教わったその学校の卒業生がまた次の数学の先生になって引き継いでいるからか、三角形の合同条件はいまだに「三辺相等」といった言い回しを用いることが多いです。
    さすがに古くないか?
    と私ですら思うこともありますが、内容が正しければ、古いとか新しいとかは、どうでも良いのです。
    その学校で学ぶ子たちの数学力が跳び抜けたものであるならば、その教え方で正解でしょう。

    21世紀のこの時代に、校内での挨拶が全て「ごきげんよう」である女子校も、まだいくつも存在します。
    自分の身の回りのことだけが常識だと思ってはいけない。
    全ての挨拶が「ごきげんよう」であることは、新しいとか古いとか、そういうことでないのです。
    そういうのは、上品というのですよ。

    数学の答案に使う言葉は、「よって」でも「ゆえに」でも、順接なら何でも良いです。
    「したがって」も多いですね。
    「だから」は、くだけた印象があるからか、模範答案で見ることはまだほとんどありませんが、使用しても大丈夫でしょう。
    「なので」を接続詞として単独で用いるのは、国語の答案ではアウトですが、数学なら、許容されるかもしれません。
    随分柔らかい言葉遣いの数学の答案だなあという印象はあるでしょうが。
    「~なので」と、付属語として使用するのは、もう普通のことですね。


    話が大幅に逸れました。
    (2)を解きましょう。

    (2)He was so kind that he carried my baggage.
    He was kind (  )(  ) carry my baggage.
    He was so kind (  )(  ) carry my baggage.
    He had the (  ) to carry my baggage.

    一番上の文は、so ~that ・・・構文ですが、that 節は、肯定文です。
    「あまりに~なので、・・・・」と、後半は肯定的な内容になっています。
    直訳は、「彼はあまりにも親切なので、私の鞄を運んでくれた」。
    ちょっと不自然ですね。
    「彼は、親切にも、私の鞄を運んでくれた」と訳したほうが自然でしょう。
    さて、that 節が肯定文の場合は、too ~to・・・構文に書き換えできません。
    too~to・・・構文は、否定語は一切使っていませんが、否定的な意味になっているからです。
    He was too kind to carry my baggage.
    としたら、「彼は、私の鞄を運ぶには親切過ぎる」という意味になってしまいます。
    じゃあ、結局、運んでくれなかったの?
    え?どういうこと?
    これでは、意味が通りませんね。
    so ~that・・・のthat節が肯定文のときは、enough to 構文に書き換えます。
    He was kind (enough)(to) carry my baggage.
    直訳は、「彼は私の鞄を運んでくれるほど十分に親切だった」となります。
    つまり、「彼は親切にも私の鞄を運んでくれた」のです。

    enough は副詞で、kind という形容詞を修飾しています。
    形容詞や副詞を修飾するとき、enough は、その形容詞や副詞の直後にきます。
    だから、kind enough という語順になります。
    これを覚えられない人も多いようです。
    enough は、形容詞として用いられることもあり、そのときは、enough money のように名詞の直前に置かれますから、それと混同しやすいのでしょう。
    名詞・形容詞・副詞といった文法用語に対して拒否感が強いと、こういう説明が一切頭に入らないので、ますます苦労するようです。
    文法用語を覚えることは苦役ではなく、自分の役に立つことなので、頭から否定しないで、ゆっくりでいいですから覚えましょう。

    so~that・・・構文から enough to 構文への書き換えは理解できたとして、その後の2つの文は何でしょう?
    こういうこまごまとした内容があるから、高校の英文法は厄介ですね。
    正解は、
    He was so kind (as)(to) carry my baggage.
    He had the (kindness) to carry my baggage.

    so as to ~は、in order to ~と同じく、「~するために」という意味で用いられます。
    しかし、これは、それと似ているけれどso~ as to ・・・という別の用法です。
    意味は「あまりに~なので・・・」。
    同じようなものばかりで、覚えきれない・・・。
    さすがに、このあたりになると、そうした愚痴にも耳を傾ける気持ちになりますが、何かこんなのがあったなあと記憶の隅に置いておけば、こうした穴埋め問題で、思いだして使うことができます。
    頑張りましょう。

      


  • Posted by セギ at 13:41Comments(0)英語

    2019年08月13日

    数Ⅰ「1次不等式」、1次不等式の文章題。


    さて、お盆休みは、文章題を。
    こんな問題です。

    問題 
    25人以上50人以下の団体で目的地に向かうとする。
    電車賃は目的地まで1人420円で団体割引はない。
    バスは1人480円だが、1万円の団体券で25人まで乗ることができる。
    電車で行ったほうが料金が安いのは、人数が何人以上何人以下のときか?

    中学生・高校生に方程式・不等式の文章題を教えていて苦慮するのは、何年経っても最初の1行を書き出せない人がいることです。
    「求める人数をx人とする」
    これさえ書いてしまえば、その次は、ではこのxを用いて問題文の中のどんな数量を表す式を立てようかと、次の段階に進むことができます。
    この書き出しを発想できず、文章題を見た途端に意識が小学生に戻り、どうやって人数を求める式を立てよう、うーん、うーん、うーん、わかんない・・・と考え込んでしまう人は多いです。
    結局、中学の3年間、方程式の文章題の学習になる度にそれを繰り返す人は多いです。
    そのまま高校生になり、たまに出てくるこうした文章題に歯が立たない。
    そうなりがちです。

    xを用いて式を表すことは発想できても、xを定義しない人も多いです。
    文字を用いるのなら、その文字が何であるかを定義する必要があります。
    どんな文字を用いても良いけれど、その文字が何であるかを定義する。
    それは数学の答案の根本ルールの1つです。
    「えー。面倒くさい。そんなの、わかるじゃん」
    と言う人は、その式が間違っていたときに、何をxとしたのか質問されて、すぐに答えられるでしょうか。
    もう一度問題を読み直し、もう一度解き直さないと、xが何であるかわからないのではないでしょうか。
    自分でも、自分の思考の跡をたどれないのです。
    数日後には自分でも思考の跡をたどれないような答案を、他人が見てわかるわけがありません。
    数学の答案は、どのように解いたのかを相手に明瞭に説明するものです。
    それは、何か月経っても、自分の答案を見直したときに、何をどう解いたのかすぐにわかるということでもあります。
    数学答案の根本のルールはそれです。
    どう書いたら良いかわからない・・・。
    そんな質問もよく受けますが、細部の書き方にこれでなければならないという定型があるわけではありません。
    後で意味がわかるように書けば良いだけです。

    問題に戻りましょう。

    求める人数をx人とする。(25≦x≦50、xは自然数)

    とxに関する定義を書いたら、次は不等式の立式です。
    xを求めることに集中し過ぎるあまり、xの値を表す式を立てようとして苦慮する人もいますが、方程式でも不等式でも、式が表す数量は、xを表すものではありません。
    何か他の数量を表すものです。
    「え?式は関係を表すもので、何かの数量を表すものではないのでは?」
    という質問を受けることがありますが、そのように思っていると式は立てにくいです。
    関係を表す・・・というのは、間違っていませんが漠然としています。
    どうやってどんな関係を表すのか、よくわかりません。
    式が何かの数量を表すことを明確に意識していると、立式は楽になります。

    この問題では、勿論、バスを使った場合の料金の全額と、電車を使った場合の料金の全額とを比較して立式しましょう。
    まずはバス料金のほうから。
    25人分の団体料金が10000円。
    それ以外の人は、普通に1人480円を払います。
    その人数は、(x-25)人。
    よって、バス料金の全額は、
    10000+480(x-25)
    と表すことができます。
    一方、電車料金は、常に1人420円ですから、
    420x円
    電車で行くほうが安くなるのですから、不等式は、
    10000+480(x-25)>420x
    これを解きましょう。
    10000+480x-12000>420x
                  60x>2000
                    x>100/3
                    x>33+1/3 ・・・①

    ああ、じゃあ、答えは、34人以上50人以下だ。

    ・・・本当に、それで良いでしょうか?
    ここで、発想の飛躍が必要となります。
    人数分いなくても、団体券を2枚買うことも可能なのです。
    え?そんなのずるくない?
    そんなことしたらダメなんじゃない?
    ・・・いいえ、別に構わないです。
    座席指定券を買い占めて、座る人もいないのに席を確保するということではありません。
    料金は50人分を払うというだけのことです。
    そもそも、そういうモラルの話をしているのでもありません。
    これは、どちらが安いのか、という単純な計算です。
    ただ、何というか、善良な人というかお人好しというか、そういう人はこの発想がなく、この不等式の問題を間違えてしまうことがあるようです。

    団体券を2枚買うことにすれば、バス料金は20000円。
    電車賃は変わらず、420x円。
    ですから、不等式は、
    20000>420x
        x<20000/420
        x<47+13/21 ・・・②

    ①、②より、
    33+1/3<x<47+13/21
    ここで、25≦x≦50、xは自然数だから、
    求める人数は、34人以上47人以下。

    これで最終解答となります。

    気をつけたいのは、答案の最後を、34≦x≦47 で終えてしまう人もいることです。
    勝手に自分でxを使ったのに、それでは終われません。

    どんな文字を使ってもいいが、正確に定義する。
    使った文字は、最終解答には残さない。
    これを守るだけで、答案を見る先生に「お。答案の書き方がわかっているね」と思われます。
      


  • Posted by セギ at 14:53Comments(0)算数・数学

    2019年08月04日

    高校数Ⅱ「式と証明」。等式の証明。その1。


    本日の学習内容は、「等式の証明」です。
    「等式の証明」は、その次の「不等式の証明」と比べればはるかに易しいです。
    ただ、
    「何のためにこんなことを証明しなければならないのかわからない」
    と言う子もいます。
    何のためにと言われても、これは基礎訓練ですから、証明する内容に大した意味はありません。
    この等式が何かを表しているわけではありません。
    このやり方を利用して、大切な公式や定理も証明できますから、まずその基礎訓練をしましょうということです。
    やってみましょう。

    問題 (a2-b2)(c2-d2)=(ac+bd)2-(ad+bc)2  を証明せよ。

    等式の証明は色々な方法があります。
    ①左辺を変形し、右辺と等しいことを示す。
    ②右辺を変形し、左辺と等しいことを示す。
    ③左辺、右辺をそれぞれ変形し、左辺=右辺であることを示す。
    今までの3つは、同じようなことですね。
    さらに、
    ④左辺-右辺=0であることを示す。
    ⑤左辺÷右辺=1であることを示す。
    といった方法があります。
    問題によってどの方法で示すのが楽であるかを判断します。
    上の問題は単純な構造のものですので、③のやり方で大丈夫そうですね。
    ④や⑤で解くことも勿論可能ですが、これらはもっと発展的な問題のときに利用する方法ですので、無理して使う必要はないでしょう。

    では、解いてみましょう。
    左辺=(a2-b2)(c2-d2)
       =a2c2-a2d2-b2c2+b2d2
    右辺=(ac+bd)2-(ad+bc)2
       =a2c2+2abcd+b2d2-(a2d2+2abcd+b2c2)
       =a2c2+2abcd+b2d2-a2d2-2abcd-b2c2
       =a2c2-a2d2-b2c2+b2d2
    よって左辺=右辺となり、等式が成り立つ。

    考え方は難しくないので、これは計算力の問題となります。
    高校2年ともなりますと、計算力は個人個人で大きな隔たりがあります。
    高校1年生までの数学を完璧にマスターしている子もいます。
    高校受験のための勉強は一所懸命やったので中学数学はマスターしているけれど、高校の数Ⅰ・数Aの内容が定着していない子もいます。
    中高一貫校の子や、高校受験の勉強をしてもよく理解できなかった子の中には、中学数学の内容が定着していない子もいます。

    (a+b)2=a2+2ab+b2
    という乗法公式を覚えていないため、上手く展開できない子。
    何度覚え直しても、(a+b)2=a2+b2 というふうにいつの間にか間違えている子もいます。
    中3で学習するこの乗法公式は、普通に展開しても答えが出そうということもあって、本気で暗記しない子がいます。
    次に因数分解の学習をしたときに、この公式は必要だとようやく気づいても、もう変な癖がついてしまっていて、後の祭りということがあります。
    一度間違って覚えてしまったことの訂正は、本当に難しい。
    こんな公式の1つくらい、覚えても覚えなくても大したことないと思っていたら、その後、延々と使い続けることになり、足枷となる。
    数学にはそういうことが多いです。

    また、
    (ab)2=a2b2
    などの指数法則を理解していないため、上手く展開できない子。
    やり方をその都度暗記しようと努めていても、どうしてそうなるのか根本のところで理解できていない様子の子もいます。
    ・・・いや、見たまま、そうなるでしょう?
    数学が得意な高校生にはそういう数理の感覚があるので、このあたりの断絶は大きいです。

    指数の理解の深さ浅さは、高校数学の理解に強い影響を与えます。
    中1の頃から、指数を含む計算は半分以上不正解で、でも、こういう難しいのは自分はまあいいやと思ってきたら、高校数学になって問題が指数まみれになり、にっちもさっちもいかない・・・。

    指数は特にそうですが、それ以外にも、中3の数学・高1の数学を経てきたとは思えない理解度と計算力で高2の問題を解いているように見える子がいます。
    学力が中2の「連立方程式」くらいで止まっている・・・。
    数学が苦手な子は、そういう子が珍しくないのです。
    その先で学習したことは、定期テストを切り抜けるために一夜漬けで何とかやり過ごしたけれど、身についていない。
    忘れてしまっているのです。

    高校数Ⅱで新しく教わる内容が理解できないわけではないのです。
    でも、そのはるか手前の基本となる知識が抜けている子は多いです。
    そのため、自分で問題を解こうとすると正答を出すことができません。
    一方、数Ⅱの問題集の解答解説は、この程度のことは省略し始めるので、間違えても、何をどう間違えたのかも判断できなくなります。

    夏休みなど、比較的時間に余裕があるときに、総復習できると良いですね。
    学校が出してくれる課題だけでなく、中3の薄い問題集を1冊復習。
    その後、学校の数ⅠAの問題集をもう一度解き直すと、当時よりも理解できることに気づくと思います。
    忘れてしまったのなら、反復し、思い出してください。

      


  • Posted by セギ at 16:04Comments(0)算数・数学