たまりば

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2019年07月26日

高校数Ⅱ「式と証明」。分数式の計算。



今回は「分数式の加法・減法」。
例えば、こんな問題です。

x-3         x-1
x2-6x+8  -  x2-2x-8

分数をこのブログに書き込んでいくのは難しいのですが、大体の感じはつかめていただけたかと思います。

計算の基本は、数の計算と同じです。
分数は、分母が等しくなければ引き算できません。
すなわち、通分が必要となります。
このまま、(x2-6x+8)(x2-2x-8)という分母にすることでも通分はできます。
しかし、それは、普通の分数の計算で、例えば分母が6と8だったときに、それを通分するのに48としてしまうようなものです。
後の計算が煩雑になる悪手です。
互いの共通因数を考えて通分しましょう。
それにはまず、分母をそれぞれ因数分解してみます。
x2-6x+8=(x-2)(x-4)
x2-2x-8=(x+2)(x-4)
(x-4)が共通因数であることがわかります。
よって、通分した後の分母は、(x-2)(x+2)(x-4)
このように通分するのですから、それぞれの分子は、それまでの分母にはなかった因数をそれぞれにかけて、
(分子)=(x-3)(x+2)-(x-1)(x-2)
この後、分子の計算を行います。
(分子)=x2-x-6-(x2-3x+2)
    =x2-x-6-x2+3x-2
    =2x-8

これで、分子は2x-8、分母は(x-2)(x+2)(x-4)
というところまで整理できました。
普通の分数の計算でもそうですが、計算後は、約分できるかどうかを確認します。
分子は2(x-4)と整理できます。
分母の(x-4)と約分できることがわかります。
よって、解答は、2/(x-2)(x+2)

単純な計算ばかりなので、前回の多項式の除法とこの分数式の計算は、数Ⅱの学習内容の中では理解しやすいところです。
ここが最後のオアシスだったと後になって降り返る人も少なくありません。
しかし、そのオアシスさえ、計算ミスを繰り返して得点には至らない人も多いのです。
理解できることと、実際に得点できることとは別のことです。
途中で一度でも書き間違いや符号ミス・計算ミスをしたら、正解には至りません。

ミスをなくすには、どうしたら良いか。

ミスは、学力的に安定した状態ではないために起きている場合があります。
試しに中学数学の計算問題を解き直してみてください。
心の中でやってみて判断するだけではダメです。
実際に中学時代の正負の数の計算、文字式の計算、方程式などをそれぞれ20題ほど解いてみてください。
簡単過ぎる問題ではなく、多少は複雑な計算過程が必要な問題が妥当です。
そういう問題は全くミスしないのに、高校の数学の問題を解くとケアレスミスが多いという場合は、高校数学の理解が不十分である可能性が高いです。
高校数学の基本問題を中心に反復し、基礎力を鍛えれば、基本問題での妙なケアレスミス・計算ミスは減っていくでしょう。

一方、中学時代の計算問題を解いてもやはりミスがあるという場合は、どういうミスをしているのか分析し、過剰書きにしてみてください。
符号ミス。
指数の書き洩らし。
数字の書き間違い。
問題の写し間違い。
ひき算ミス。
たし算ミス。
「正」の字を書いて、どのミスが多いのか確認すると良いと思います。
自分のミスを可視化することで、意識し、改善できるかもしれません。

ただ、おそらくは、どのミスも同じように分散し、多様なミスが多発している場合が一番多いのではないかと思います。
特にどこが苦手というのではなく、全般的にミスをしやすい。
それを直視するのはつらいことかもしれませんが、そうであるなら、ミスを含み込んで得点を読んでいきましょう。
テストの8割の問題を解けるようになっておけば、ミスを含み込んで、6割は得点できる。
そのようにミスを織り込み済みの得点の読み方をしたほうが、気持ちが安定します。
そうすることで、むしろ、ミスは減ると思います。

英語のスペルミスや時制ミスはほとんどないし、古文の助動詞や助詞の紛らわしいのも識別できるし、日本史や世界史の人名や国名も正確に覚えられるけれど、数学は基本問題でもケアレスミスをするので正解できないなあ・・・。
高校生になれば、そういうことがはっきりと見えてくる人もいます。
まあ、何というか、数学と相性が悪い。
数学の正確さとそりが合わない。
そういうこともあると思います。

「数学が世の中の役に立っていることを否定するつもりはない。でも、自分が数学を勉強しなければならない意味はわからない」
昔、極端な文系秀才の生徒からこのように言われて、さすがに言っていることの筋が通っていると感心したことがあります。
後は、教育システムの問題です。
数学に関しては、高校卒業に必要な単位のために最低限の勉強をする。
受験には使わない。
そういうやり方もあると思います。

では、どの段階で文系・理系の判断をするのか?
極端な文系秀才ならば判断しやすいでしょうが、普通の高校1年は自分が文系か理系かの判断はつかない場合がほとんどです。
高校1年までは、「数学と歴史が得意。国語と理科が苦手」といった判断に窮する傾向の子のほうがむしろ多いです。
しかし、高校2年で学習する科目は専門性が高まります。
「得意なつもりでいたけど、ここまでやるとなると、何かもう訳がわからない。無理だな」
という判断もあるでしょうし、
「皆は苦手だ嫌いだと言うけど、自分はこの科目好きだな。何か急に面白くなってきた。これを大学で勉強するためなら、受験に必要な他の科目も頑張れる気がする」
という判断もあると思います。
高校2年まで数学をやることでようやく判断がつく人が多いと思います。
この話をすると、さすがは秀才。それもすぐに理解してくれました。

理系秀才にとって、古文・漢文の授業もまた、
「古典を貶める気持ちはないが、自分が古文・漢文を学ぶ意味はわからない。自分が原文を読めるようになる必要はないし、読めるようにはならないと思う。内容だけなら知りたいが、それなら現代語訳で十分だ」
とも言えます。
高校2年生まで同じ教育課程であるのは、壮大な無駄のような気もする一方、しかし、全ての子どもに平等な機会を与えるという点では、文系・理系の判断は遅いほうが良いでしょう。
以前も書きましたが、効率だけを考えたあげく、例えば12歳で学力テストを行い、学力が基準に満たない者にはそれ以上の教育は与えず、基準を満たした者はその能力にあわせ、選抜して専門科目のみ教育する、などという仕組みが素晴らしい社会を生むとは到底思えません。
そんなのは、悪夢でしかありません。
自分には必要なさそうな数学や古文も勉強するのは、義務じゃなくて、権利です。
数Ⅱ・Bに対するあまりの違和感に、これはもうダメだと感じる人も、少し距離をおいて、これを学ぶのも自分の権利と考えて楽しんでくれれば、少し光が見えてくるのではないかと思います。

話は分数式の計算に戻って。


2x-5    2x2+9x-28
x-4  -  x2+2x-24

さて、これも、上の問題と同じように計算していくこともできるのですが、それぞれの分子と分母を見比べて、分子の係数や次数が分母より大きい場合、もっと整理してからのほうが計算が楽にできます。
普通の分数の計算で言えば、仮分数を帯分数に直して計算するような感覚です。
ここで、前回学習した(多項式)÷(多項式)の計算が活きてきます。

(2x-5)÷(x-4)=2あまり3
(2x2+9x-28)÷(x2+2x-24)=2あまり(5x+20)

よって上の分数式は、


      3          5x+20
2 + x-4  -2 - x2+2x-24 

と整理されます。

普通の分数の仮分数を帯分数に直すのと全く同じことをやっています。
そうすることで、整数は整数同士で、分数は分数同士で引けばよいので、かなりスッキリします。
その後の計算方法は上の問題と同じです。
分子の次数が抑えられて、計算しやすくなります。

  


  • Posted by セギ at 22:54Comments(0)算数・数学

    2019年07月24日

    高校英語。不定詞の副詞的用法。


    不定詞には3用法があることは、中学2年で最初に不定詞を学習したときにまず習ったことと思います
    しかし、中学のときは、SVOCといった文の要素についての学習をあまりしないこともあって、急に3用法と言われても、文の構造からの把握よりも意味からの把握になりがちです。
    名詞的用法は、「~すること」と訳す不定詞。
    形容詞的用法は、「~する〇〇」「~するための〇〇」「~するべき〇〇」と訳して、名詞を修飾する不定詞。
    副詞的用法は、「~するために」と訳して、動作の目的を表す不定詞。

    意味に頼って判断する結果、「~するための〇〇」という形容詞的用法と、「~するために」という副詞的用法の区別がつかない子も出てきます。

    高校に入りますと、SVOCという文の要素からこれらの3用法を見直すので、もう少しわかりやすくなります。
    名詞は、文の中で、S、O、Cとなります。
    その役割を果たしているのが、名詞的用法の不定詞です。

    形容詞は、名詞を修飾します。
    文の中ではM(修飾語)です。
    文の中でCとなることもでき、不定詞についてもそのように分析している文法書もありますが、その話になると、では名詞的用法とどう識別するのかという難しい問題になります。
    それは大学入試にも高校の定期テストにも出題されるような問題ではないので、文法が好きで、そこを突き詰めたいという人以外は、あまり深追いしなくて良いと思います。
    名詞を修飾していれば、形容詞的用法。
    その把握で大丈夫です。

    副詞は、名詞以外を修飾します。
    具体的には、動詞、形容詞、副詞、そして文全体。
    文の中ではMです。
    それ以外にはなりません。
    名詞以外の語句を修飾するのが、副詞的用法の不定詞です。


    ところで、副詞的用法は、さらに6通りに分類されます。
    ①動作の目的。
    I went to the library to read books.
    私は本を読むために図書館に行った。
    中2で最初に学習する副詞的用法の不定詞です。
    to read books は、動詞 went を修飾しています。
    動詞を修飾するのは、副詞的用法です。
    副詞的用法は意味が多様なので、すぐにこの用法であるとわかるように、in order to ~、so as to ~という形を用いることもあります。

    ②感情の原因。
    I was surprised to hear the news.
    私はその知らせを聞いて驚いた。
    「驚いた」「喜んだ」「悲しんだ」といった感情が語られ、その後ろに不定詞がついている場合、それは感情の原因です。
    文の構造がそのように単純なので、これは比較的理解しやすいと思います。
    中3で学習している内容ですが、教科書のLesson丸ごとではなく、1ページ分だけ使われる文法事項として扱われることが多いので、あまり記憶に残らない人もいるようです。

    ③判断の根拠。
    He must be stupid to do such a thing.
    そんなことをするなんて、彼は愚かに違いない。
    「賢い」「親切だ」「無礼だ」「愚かだ」「頭がおかしい」といった人物評価を示す形容詞の後に続く不定詞は、そうした人物評価の根拠を示す不定詞です。
    これも文の構造は単純なので、覚えておきさえすれば大丈夫ですが、このあたりからは高校新出の文法事項ということもあり、何1つ覚えていない人もいます。
    一度にわっと色々な文法事項が出てきて覚えきれない。
    定期テスト前に一夜漬けで覚えただけなので、もう忘れてしまった。
    そういう人が多いのですが、高校1年で学習したことは、高校2年の英語表現では演習中に当たり前に使う知識ばかりです。
    いちいち学校の授業で復習したり整理してくれたりすることは、もうありません。
    一夜漬けをして覚えたらすぐ忘れていると、高校2年になって英語で行き詰まります。

    ④結果。
    He woke up to find that the window was broken.
    彼は目覚めて、窓が割れていることに気づいた。
    目覚めたその結果、窓が割れていることがわかった、という意味です。
    He lived to be eighty.
    彼は80歳まで生きた。
    彼は生きて、その結果、80歳になった、ということは、80歳まで生きたということです。

    She disappeared from the town , never to be seen again.
    彼女はその町から消えて、2度と姿を見られることはなかった。
    「never to ~」の用法として、結果の不定詞の中でも別に覚えておくと良いです。
    テストによく出ます。
    空所補充問題で、never のところが抜けている場合、この知識がなければ答えられません。
    「~してその結果2度と・・・なかった」という意味です。

    I run to the store only to find it closed.
    私はその店へと走ったが、閉まっているとわかっただけだった。
    「only to ~」の用法として、これも結果の不定詞の中でも別に覚えておきましょう。
    テストによく出ます。
    「~してその結果、ただ・・・しただけだった」という意味です。

    結果の不定詞は、前から順番に訳していくことになり、他の副詞的用法とは意味の順番が逆であることから強い違和感を抱き、毛嫌いして覚えない、という人もいます。
    このあたりをちゃんと身につけているかどうかで勉強しているかどうかを判断できるので、定期テストにはよく出ます。
    例によって、出るとわかりきっているのに勉強しない人が多いところです。

    ⑤形容詞を修飾する用法。
    This book is easy to read.
    この本は読みやすい。
    特に違和感のない用法だと思います。
    easy は形容詞で、形容詞を修飾するのは副詞なので、これは副詞的用法である、という程度のことです。

    ⑥仮定
    To hear him speak , you would take him for an American.
    彼が話すのを聞けば、あなたは彼をアメリカ人と思うだろう。

    高校で最初に「不定詞」を学習するときには、「仮定法」はまだ学習していないので、この用法は除外されていることも多いです。
    仮定法の中で、if 節を使わない仮定法として、この不定詞を学習します。

    副詞的用法には6つの意味がある。
    それを知っておき、整理しておくだけで、このあたりのことはかなりスッキリすると思います。

    分類し整理することは、知識を定着させるコツです。
    繰り返し見直して、頭に入れてください。

      


  • Posted by セギ at 23:44Comments(0)英語

    2019年07月20日

    期末テスト結果出ました。2019年1学期末。


    2019年1学期末テストの結果が出ました。
    高校生は、コミュニケーション英語と英語表現の平均を英語として、数学2科目の平均を数学として記してあります。

    数学 80点台 2人  60点台 1人  40点台 2人
    英語 80点台 1人  50点台 2人  40点台 1人 30点台 1人

    定期テスト得点は、上がったら下がる、下がったら上がるを繰り返す子が大半です。
    上がると気が緩んで次は下がる、下がると危機感を抱いて次は上がる。
    そうした中で、数回の推移が上昇基調であるか下降基調であるかを見通すと、その子が伸びているのか下っているのかを判断できます。
    上がったときの最高点が、上昇し続けているか。
    下がったときの最低点が、下降し続けているか。

    前回の中間テストで大幅に上昇した子が、予期した通りに下がりました。
    次は、頑張りましょう。

    特に高校生の場合、英語も数学もそれぞれ2科目ありますので、週1回90分の個別指導では全てをカバーしきれない場合もあります。
    英語で言えば、文法がわからない、独りでは勉強できないという場合、英語表現の学習に当面集中し、コミュニケーション英語は自力で学習してもらうこともあります。
    全訳プリントも、穴埋め式の重要表現をまとめたプリントも、教科書準拠ワークも解答付きで学校からもらっている場合は、あとは本人がそれで勉強するだけです。
    勉強のやり方は説明してありますし、入塾した頃には、それらを使ってどのように勉強するのか、手取り足取り練習してもいます。
    あとは、それを自分で継続するだけ。
    塾では独りではできない勉強をしたほうが合理的と思いますし、本人も「大丈夫」と安請け合いします。
    しかし、蓋を開けてみるとほとんど勉強していないことがあり、私は天を仰ぐことになります。
    「今回は、同じ日に世界史があったから」
    ( 一一)
    何で一夜漬けすることが前提なんでしょう。

    「塾に行くことにしたから大丈夫」
    と本人が思っている場合、塾の宿題しかしなくなる、果ては塾の宿題もしなくなる、塾でしか勉強しなくなるという、勉強嫌いな小学生みたいな学習姿勢になることがあります。
    塾に行かないほうがまだ危機感を維持できて、自分でそれなりに勉強するのでは?
    塾講師である私がそれを言うのは矛盾ですが、そう言わざるを得ない子もいないわけではありません。

    学習意欲が低く、学習習慣がほとんどない子の多くは、基礎学力や思考力が低い子ではありません。
    小学生の頃は、家で勉強しなくても学校の勉強は楽にこなしていただろうと思われる子たちです。
    勉強ができないわけではないのに、何でそんなに勉強しないのだろう・・・。

    特に中高一貫校の子の中には、公立・私立を問わず、勉強ができないわけではないのに勉強しない子がいます。
    中学受験が終わった後、伸び切ったゴムみたいになり、もう勉強しなくなる子たちです。
    保護者の方も、まあ受験勉強は頑張っていたし、多少無理もさせたから、少し休むのも良いだろうと思ってしまいます。
    すると、そのまま休む休む。
    頭は悪くないので、テスト前だけちょこちょこっと勉強するのでも、良い成績とは言いませんが、それなりの点数はとります。
    中高一貫校は進度も速くレベルも高いから、こんな成績でも仕方ないのかなと、本人も保護者も思ってしまうこともあります。
    全力を出してもいないのに、まあこのくらいで・・・と思ってしまいます。

    ただ、まあこのくらいで・・・のレベルは、年々下がっていきます。
    勉強していませんし、しても一夜漬けですから、積み上げ科目である英語や数学はジリジリ下がっていきます。
    中1の頃は、70点くらいで、まあこのくらいで・・・。
    中2の頃は、60点くらいで、まあこのくらいで・・・。
    中3の頃は、50点くらいで、まあこのくらいで・・・。
    高1の頃は、40点くらいで、まあこのくらいで・・・。
    高2の頃は、30点くらいで、まあこのくらいで・・・。
    もっとこれよりも一気に下がっていく子もいますが、遅かれ早かれ30点台が見えてきます。

    なぜ、こんなに学習意欲が低いのだろう?
    なぜ、モチベーションが低いのだろう?
    どうしたら、モチベーションは高まるのだろう?
    どうしたら、やる気になってくれるのだろう?

    日々、そうしたことを考えていたところ、先日、興味深いネット記事を読みました。
    教育関係のネット記事ではなく、ビジネス関連の記事でした。
    「いちいちモチベーションという概念にふりまわされている人は生産性が低い」という内容でした。
    目からウロコが落ちました。

    生産性が低く、仕事のできない人の特徴は、
    ①自発的に動かない。
    ②当事者意識に欠けている。
    ③危機感がない。
    の3つなのだそうです。

    うわあ・・・。
    それは、成績不振の生徒に対して丸ごとあてはまることです。
    自発的に勉強しない。
    自分の人生だし自分の成績だという当事者意識に欠けている。
    このままいくとどうなるという危機感がない。

    では、そうした人のモチベーションをどう上げるか?
    あるいは、そういう本人がどうやって自分のモチベーションを上げるのか?
    答えは明快。
    そもそも、モチベーションという概念をいちいちもちだしてくる人は行動できない。
    モチベーションがむしろ言い訳になり、そこでワンクッションある人は、行動できない。

    朝ごはんを食べることは、モチベーションの問題ではないから、誰にでもできます。
    朝起きて顔を洗って身支度を整えることも。
    定刻に家を出ることも。
    昼ごはんを食べることも。
    家に帰ってとりあえずテレビをつけることも。
    着替えてベッドに寝転んでスマホをいじることも。
    モチベーションの問題ではないから、毎日行うことができる。
    それは、「習慣」。
    モチベーションがなくても、習慣になっていれば、それはできる、というのです。

    一方、そうしたことをモチベーションの問題にしてしまったら、そのいちいちでやるかやらないかを判断することになり、多大な精神力が必要となる。
    いちいちやるかやらないかを判断していたら、できない。
    やりたいかやりたくないかを考えていたら、できない。
    だから、やるべきことをモチベーションの問題にしないこと。
    生活習慣とすること。

    勉強することを生活習慣とすること。
    勉強したくないなあとか、モチベーションが上がらないなあとか考えないこと。
    考えそうになったら、
    「はいはい。それはモチベーションの問題じゃない。習慣習慣。考えない。考えない」
    と自分に言い聞かせ、とにかくいつもの時間になったらいつも通りに勉強する。
    半年も経てば、それは習慣になり、今日は勉強したいとかしたくないとか、そんなことは関係なくなる。
    勉強する時間が毎日の生活習慣の中にある。
    それが大事。

    そう考えますと、中学受験というのは罪深い側面もあります。
    受験勉強をしている3年間だけ、小学生としてはありえないほどの時間を使って勉強します。
    学校から帰ったら、毎日5時間、6時間。
    その反動で、中学入学後は全く勉強しなくなるという事態が起こり得ます。
    それに対して、親が強く言えない。
    受験期に無理をさせ過ぎたという後ろめたさがあると、特に言いづらいかもしれません。
    受験をしていなかったら、「もう中学生なんだから、しっかり勉強しないと」という当たり前の忠告ができます。
    「高校入試があるんだから」と言えます。
    それが言えないのです。
    学習習慣が消え去っていくのを手をこまねいて見ていることになります。

    勿論、保護者の方は危機感を抱いているのですが、中学受験のときほどには、子どもは親の言う通りには動かなくなります。
    「受験勉強のときだけだと思っていたのに、中学に入ったら入ったで、また勉強しろと言っている」
    口にはしなくても、そんな目で見返されると、ついひるむということもあると思います。
    あるいは、ひるまず「勉強しなさい」と言っても、もう言うことを聞いてくれない・・・。
    6年先の大学入試について何を言っても、子どもに当事者意識を持たせるのは難しいこともあります。

    中学受験をしていなかったら・・・。
    公立中学に通い高校受験をしたのであれば、少なくとも学習習慣は身についたのではないか?
    中高一貫校の中で成績が悪くても「みんな勉強ができるから」と言い訳できるけれど、地元の公立中学で自分が劣等生というのはあり得ない。
    勉強は普通にするでしょう。
    5教科「5」はマストだよね。
    そういう気持ちになっていたかもしれません。

    しかし、中学受験をしたのだし、その結果中高一貫校に通っているのですから、そのことについて今更どうこう言っても意味がありません。

    中高一貫校には良い面も多いのです。
    大学受験について学校側が強く意識していますから、全体の流れに乗っていればそれなりに何とかなります。
    中1の最初から大学受験に向けたカリキュラムが組まれ、どの程度頑張ればどの大学に入れるのか、そうした数値的なデータもそろっています。
    土曜日も授業。
    7限もあり。
    繰り返される小テスト。
    単元テスト。
    追試。
    放課後の補講。
    学校の夏期講習。
    山のような宿題。
    それをこなしていれば何とかなるのは、将来の目標を持って学習できていない子にはありがたいシステムです。
    高2までで高校の学習内容が終わるので、高3は受験勉強に集中できるのも強みです。

    全く学習習慣のない子も、高2になって周囲がざわつけば、意識もちょっと変わります。
    ずっと先だと思っていた大学入試はすぐそこ。
    中学受験のときには、もっと早くから準備していましたよね?
    そんな話が案外心に響くことがあります。

    さあ、ここから。
    そう思います。
      


  • Posted by セギ at 12:47Comments(0)講師日記

    2019年07月17日

    小学算数。EXテストの衝撃。


    先日、小学生が教室にEXテスト(エクストラ・テスト)を持ってきてくれました。
    「こんなテストを、前にも受けたことある?」
    と質問しましたところ、去年も何回かこのテストを学校で受けたとのことでした。

    しかし、こうした口頭の情報は、不確かになりがちです。
    私の質問の意図を子どもは正確に把握できない可能性があるからです。
    普通のカラーテストと混同しているかな?
    それとも、本当に去年も何回かEXテストは受けたのかな?
    謎のままです。
    他の学校の小学生に尋ねると、受験生もそうでない子も、
    「知らない」「受けてない」
    という返答ばかりでした。

    それは中3でもまだそうで、例えば、
    「都立高校入試の模試に似ている学力テストを学校で受けましたか?」
    と質問しても、その子は、それがどのテストを指す何であるかを正確に把握できないことが多いです。
    質問の意図がわからないし、都立高校入試の模試というのをまだ受けたことがないので、それに似ているものと言われてもわからない。
    結局、国が実施する学力調査と誤解してしまう子もいましたし、何を訊かれているのかわからないからか、
    「ない」
    と適当に答える子もこれまで何人も見てきました。
    あった、と答えて、では点数は?とさらに問われるのが嫌なので、テストの存在をなるべく隠そうとする気持ちもあるのかもしれません。
    点数を見せたくないという防衛心が働くのか、こちらが訊かない限りどんなテストのことも言わないのです。
    実物を示して、
    「これをもう受けた?」
    と訊かない限り、明確な答えは得られない。
    しかし、私の手元に実物があるわけではないので、質問もあやふやにならざるを得ず、返答はさらにあやふやになるということが繰り返されます。
    とはいえ、中3が学校で受ける模試に似たテストのことは、私が知らなくてもどうということはないので、近年は質問もしないのですが。
    秋以降、校外で受ける本当の模試の結果を見せてもらえれば問題はありません。


    話を戻しますと、EXテストの見た目は、いつものカラーテストとよく似ていました。
    両面カラー印刷で、カラフルです。
    紙の大きさもいつもと同じです。
    違うのは、テストの質。
    思考力・判断力・表現力を見るEXテスト。
    難度が高いです。

    何だろうこのテストは?
    ネットで検索すると、学校教材のサイトに簡単にいきつくことができました。
    小学校1年生から6年生までのテストがあること、国語と算数があることまでは把握できました。
    理科や社会があるのかどうかはわかりません。
    いつ頃から作られているテストであるのかもわかりませんが、今年初めて作られたテストではないようです。

    個人のブログや悩み相談サイトを見ると。
    小1の子がEXテストで0点を取ってきたとか、同じ子が、小2では15点だったとか。
    中学受験生なんだけれどEXテストでもあまり良い点が取れないとか。
    そうした情報が得られました。
    当然ですが、テストそのものがネットにアップされているようなことはありません。
    それは絶対やったらダメなことですね。

    今回、たった1枚、実際に目にした小6算数のEXテスト。
    それだけで把握できることには限りがありますが、並んでいる問題は、中学受験の受験算数の易しい典型題でした。

    受験算数としては基本問題ですが、その基本問題を解けない中学受験生が多いのが現実です。
    そうした子も、受験勉強を始める前は、学校の普通のカラーテストは満点連発だったのかもしれません。
    「算数は簡単だ」という間違った感覚を抱いていた可能性もあります。
    いや、むしろ、保護者の方が、満点連続のカラーテストを見て、この子は算数は得意だと誤解していた可能性のほうが高いかもしれません。
    「間違った感覚」というのは、カラーテストは、基本中の基本が身についているかどうかを検査するものだからです。
    計算の手順が身についているかどうか。
    公式をそのままあてはめる問題を解けるかどうか。
    非常に簡単であるため、内容を理解していなくても作業手順を覚え込むことだけで、満点が取れます。
    思考力はほとんど必要ありません。
    満点連続のカラーテストを見た保護者の方は、まさか自分の子どもの思考力が弱いとは想像もしないと思います。
    だって、現実にテストは満点なんですから。

    多くの子が、学力的に余裕を持って受けることができるのがカラーテストです。
    それが悪いということではありません。
    小学生のうちから、その子の学力的限界をそんなに突きつけなくてもいいでしょう。
    そんなことをしたら、学ぶこと自体が嫌になってしまいかねません。
    本人は「わーい、満点だー」と喜んでいればいい。
    満点のテストを見た大人も、「わあ。また満点だ。頑張ってるねえ」と褒めたらいい。
    しかし、だから、この子は数学的才能があるとか、中学に入っても数学は大丈夫とか、中学受験をしても大丈夫とか、そんなことの判断材料にはならないことを、大人は知っておいて良いと思います。

    学校の算数の問題はよくできるので、中学受験をしても大丈夫なのではないか?
    そうした誤解から起こる悲劇は、枚挙にいとまがありません。
    中学受験の受験算数は、思考力がないと対応できません。
    それ以前は、パッと見てパッと解き方がわかる問題しか解いたことがないのです。
    筋道立ててじっくり考えるということをしたことがないので、どうしたらいいのかわからない。
    パッと見てわからない問題は、その子には解けない問題です。
    結果的に、受験算数は基本問題を解くのも悪戦苦闘となります。
    それまでもじっくりとものを考えてきた子以外はそうなりがちです。

    とはいえ、今は教育技術が進歩していますから、わからないことをわかるように教えることが可能です。
    筋道立てて考えることも、一歩ずつ教えることができます。
    わからないこともねばって、1つずつ解けるようになっていく。
    じっくり考えていく。
    そういう子は、受験勉強の後半でジリジリと学力を上げていきます。

    ところが、「パッと見てパッと解き方がわかる頭のいい自分」というセルフイメージへの固執の強い子もいます。
    じっくりねばって考えるとはどういうことなのわからないだけでなく、そんなことはやりたくないと思っている子もいます。
    自分が上手くできないことは嫌い。
    苦労して考えてやっと答えがわかるなんてダサい。
    パッと見てもわからない問題を解かされると、劣等感を覚える・・・。
    自分の限界を思い知らされるようで、つらい・・・。
    勉強しているように見えても、テキストに載っている問題の解き方を丸暗記しているだけで深い理解はなく、受験算数の問題の周囲を無意味にぐるぐる回っているような状態で、問題の核心に向かってアクセスできないまま入試を迎える。
    そういう子も多いです。
    つまりは能力よりも精神力の問題になりがちですが、まだ小学生ですから、そんなに強い精神力を求めるほうがどうかしています。
    入試のような人生の一大事に直面する時期ではまだなかった。
    時期を選ぶべきだった。
    成長過程において、中学受験が向いている子もいれば、そうではない子もいる。
    誰もが中学受験をすることが有利なわけではない。
    そういうことだと思うのです。

    思考力が弱いというのは、生涯そうであるというような決定事項ではありません。
    思考力も鍛えれば強くなります。
    パッと見てパッと問題の構造をつかむ瞬発力のようなもののある子は、つまり、頭の回転は速いのです。
    ただ、深く思考したことがない。
    ものごとを筋道たててじっくり考えるということをしたことがない。
    それを要求されて応える精神力もない。
    やってもできなかったという形になるのが嫌なので、勉強しない方向に自分を誘導しがちです。
    逃げ道を探すことに頭を使ってしまう・・・。
    才能の無駄遣いをしてしまう子も多いです。

    数学で大きな結果を出している塾や学校は、「じっくり考えることのできる者が最上位」というヒエラルキーが確立されています。
    じっくり考えることでしか解けない問題を考える。
    それを解いた人が称賛される。
    そうした空気の作り方に成功しています。
    大人がそれを強制してもなかなか従わない子も、自分と同年齢の子たちがじっくり考え、そのヒエラルキーに従っている環境にいると、それに従い始めます。
    考える者が最も優れた者であり、称賛される。
    パッと思いついただけのことを言っても正答できないので、誰もが考え始めます。

    EXテスト。
    今の小学校では、思考力をちょっと試し、それを成績つけの参考にすることはあっても、それ以上の活用は難しいと思います。
    問題解説をしたところで、理解でき、類題が解けるようになる子は半分にも満たないでしょう。
    来年度からの、新しい学習指導要領の下では、どうなるのか?
    これは、そのためのテストなのか?

    蓋を開けてみなければわからないことが、まだ多いです。

      


  • Posted by セギ at 11:40Comments(0)算数・数学

    2019年07月14日

    高校英語。不定詞その4。原形不定詞。


    不定詞の学習。
    今回はこんな問題から。

    問題 (  )内の正しいものを選べ。
    (1) I heard you (1.play 2.to play 3.played) that song on the flute.
    (2) I saw her (1.to try 2.trying 3.tried) to remove a stain from the carpet.
    (3) I had him (1.translate 2.to translate 3.translating 4.translated) the letter.
    (4) He was made (1.do 2.to do 3.doing 4.done) it against his will.
    (5) He had his salary (1.raise 2.to raise 3.raising 4.raised) last month.

    この問題をざっと眺めて、「全て知覚動詞と使役動詞の文だ」とわかる人は、勉強している人です。
    そのことに気づくことができず、この問題がどういう問題なのかを把握できないまま勘で解いてしまうと、もうグチャグチャになってしまうのがこのあたりのところです。
    あるとき、生徒に、
    「この文の動詞は知覚動詞ですよね?」
    と問いかけたら、ポカンとしていたので、「知覚動詞」と板書すると、
    「ああ!」
    と声を上げたことがあります。
    「違うチカクをイメージしていました」
    と言うのです。
    その子は、「地殻動詞」だと思ったらしく、どういうことだろうと悩んでしまったらしいのです。

    その子はそのとき高3で、知覚動詞を初めて習ったわけでもなかったのですが、「チカクドウシ」と言われても正しく漢字変換できないほど、この動詞のことが意識にありませんでした。
    それでは、この問題がどういう文法問題であるかを把握するのは難しいと思います。

    文法用語は、別に覚えなくても大丈夫なものも多いですが、覚えておけば容易にカテゴライズできるのでむしろ楽なものも多いのです。
    知覚動詞と使役動詞は、その中でも、覚えておくととても楽になる知識です。
    そのグループはこう対処すれば良い、というしっかりとしたルールがあります。

    知覚動詞は、一般動詞の中で、五感を使った動詞を指します。
    see , hear , feel , notice , taste , smell などがそうです。
    これらを動詞として使った文の中で、SVCは特に問題ないと思います。
    You look happy.
    楽しそうだね。
    など、中学2年で学習する内容です。

    (1)は、SVOCで、Vが知覚動詞の文です。
    このとき、Cには原形不定詞を用いるというルールがあります。
    例えば、
    I heard someone shout in the distance.
    私は、誰かが遠くで叫ぶのを聞いた。
    この shout がC(補語)で、原形不定詞です。

    原形不定詞は、動詞の原形と同じ形をしています。
    to 不定詞の to のないものです。
    じゃあ、それは動詞なんじゃないの?
    そのような疑問を抱かれることもあるかと思いますが、動詞はC(補語)にはなりません。
    その文の中でV(述語動詞)の働きをしているものを動詞と呼びます。
    一方、Cになるのは、形容詞か名詞、またはその働きをする語句です。
    だから、この文の shout はVでないのです。
    Vでないものは、動詞ではありません。
    そのような文法的な分析から、このshout は原形不定詞とされます。

    こういうことを「意味がわからない。どうでもいい」と思うか「面白い。うふふ」と思うかが、文法好きかどうかの違いかもしれません。
    興味がなかったら、「原形不定詞というのは、要するに動詞の原形のことだな」と思っても、別に構いません。
    要は正しく使えるかどうかです。
    この観点から、上の問題の(1)を見てみましょう。

    (1) I heard you (1.play 2.to play 3.played) that song on the flute.

    知覚動詞を用いた、SVOCの文です。
    正解は、原形不定詞の 1.play です。

    ところで、この問題、4択ではなく3択問題になっています。
    なぜか、playing という選択肢が外されている。
    どうしてでしょう?

    実は、playing でも、正解となってしまうので、あえて除外してあるのです。
    I heard you play that song on the flute.
    I heard you playing that song on the flute.
    このどちらも正しい英語です。
    上の文は、「私はあなたがあの曲をフルートで演奏するのを聞いた」という意味。
    下の文は、「私はあなたがあの曲をフルートで演奏しているのを聞いた」という意味。
    え?どう違うの?

    Cに原形不定詞を用いた場合は、動作の一部始終を知覚したことを表します。
    上の文では、あなたがあの曲を演奏し始めてから演奏し終わるまで、一曲全部聞いたことを表します。
    Cに現在分詞を用いた場合は、一瞬だけ知覚したことを表します。
    上の文では、通りかかったときに、あなたがあの曲を演奏しているのをちょっと聞いたことを表します。

    この知識があると、(2)の問題も簡単ですね。

    (2) I saw her (1.to try 2.trying 3.tried) to remove a stain from the carpet.

    正解は、現在分詞の 2.trying です。
    I saw her trying to remove a stain from the carpet.
    私は、彼女がカーペットの染みを取ろうとしているのを見た。

    こういう文を見たときに、
    「あれ?trying to~という言い方はないんじゃないの?」
    という謎ルールを持ち出し、そんなルールはないですよと説明しても納得しない高校生もいます。
    try という動詞は、to 不定詞と動名詞の両方をとりますが、意味が異なります。
    try+to 不定詞は、「~しようとする」。
    try+動名詞は、「試しに~してみる」。
    不定詞と動名詞の使い分けのところでも説明しました。
    その知識と混線して、「trying to~という言い方はない」という謎ルールになってしまうようです。
    try という単語自体は、文の中の働きによって、to try にも trying にもなります。
    to try to~もあれば、trying to~もあります。
    to try~ing もあれば、trying ~ing もあります。
    try の後ろがどうなるかで意味が変わるという文法事項なのですが、その前後関係を混線してしまう様子です。
    「とうもろこし」が「トウモコロシ」になってしまう音韻転変と似たようなことが、その子の頭の中で起きているのだろうと想像されます。

    英語初学者が自らの頭の中で作りだす「謎ルール」は他にも色々あります。
    ~ing は連続して使ってはいけないとか。
    to は1つの文の中で2回使ってはいけないとか。
    そんなルールはありません。
    中2で不定詞を学習した最初の頃、「to+動詞の原形」ということがどうしても理解できず、「動詞+to」 を不定詞と思いこんでしまう子もいます。
    want to~、like to~、という覚え方も良くないのでしょうが、それだけでもないようです。
    副詞的用法や形容詞的用法になっても、語順の混乱がなくなりません。
    中1の頃によく見るgo to school などの動詞と to との位置関係から脱却できず、to は動詞の後ろにくるものという思い込みが強くて、不定詞を含む乱文整序問題ではほとんど正答できない子もいます。
    文法が嫌いなわりに「謎ルール」を自ら作り出す子は多いです。
    人はルールを見出さずにいられないのかもしれません。
    ならば、正しいルールを見出したいですね。


    (3) I had him (1.translate 2.to translate 3.translating 4.translated) the letter.

    この文の動詞 have は使役動詞です。
    使役動詞は3つしかないので、それを覚えるだけです。
    make は、主語が、目下の人を使役して「~させる」という意味です。
    have は、主語が、対等または目上の人に「~してもらう」という意味です。
    let は、主語が、目下の人がやりたがっていることを「~させてやる。~することを許す」という意味です。
    使い分けも明瞭ですね。

    使役動詞もSVOCの文のVになり、このときのCは原形不定詞となります。
    したがって、(3)の答えは、1.translate です。
    文の意味は、「私は彼にその手紙を翻訳してもらった」となります。
    使役動詞は、Cに現在分詞をとることはありません。


    (4) He was made (1.do 2.to do 3.doing 4.done) it against his will.

    あ、これも使役動詞だ。
    じゃあ、答えは原形不定詞かな?
    ところが、そうではないのです。
    上の文は、よく見ると受動態の文ですね。
    使役動詞 make は、上のように受動態を作ることができる動詞です。
    他の使役動詞には、このような受動態はありません。
    そして、使役動詞 make の受動態は、能動態で原形不定詞だったところがto 不定詞になるというルールがあります。
    したがって、正解は、2.to do です。
    He was made to do it against his will.
    「彼は、意志に反してそれをやらされた」という意味になります。

    使役動詞 make の他に、知覚動詞もこのような受動態を作ることができます。
    The man was seen to go into the house.
    「その男は、その家に入るのを見られた」という意味です。

    受動態のときは to 不定詞。
    例によって、些末な文法事項として無視する人が多いですが、テストに出やすいのはこういうところです。
    見るからにテストに出そう。
    テストに出るとわかりきっている。
    そういうところを無視せず、丁寧に学習しましょう。

    make の受動態の作り方はわかったけれど、他の使役動詞はどうやって受動態を作ったら良いのでしょうか?
    let の場合は、そのままでは受動態は作れませんので、同じ意味の別の動詞に変えます。
    使役動詞ではないけれど、意味は使役動詞に近い動詞があるのです。
    let に意味が近いのは、allow 。
    それを利用します。
    例えば、let を用いた能動態の文は、
    My mother let me go abroad.
    allow を用いると、
    My mother allowed me to go abroad.
    使役動詞ではないので、SVOCのCは to 不定詞をとります。
    これを受動態にすると、
    I was allowed to go abroad by my mother.

    使役動詞 have の場合はどうしましょうか?
    ここで(3)の文を振り返ってみましょう。
    (3) I had him translate the letter.

    この文の本来のOである him を主語に変えた受動態の文を作ることはできません。
    日本語でも、そのような意味あいの受け身の文を作ることはできないですね。
    「彼は私のためにその手紙を翻訳してくれた」
    それは、能動態の文です。
    しかし、Oを the letter に変えた文なら、作ることができます。
    I had the letter translated by him.
    私は彼にその手紙を翻訳してもらった。
    これも使役動詞 have を用いたSVOCの文ですが、Cは原形不定詞ではなく、過去分詞となります。
    OとCの関係から、Cが過去分詞になる例は、他の動詞でもありますね。
    we found the road blocked by heavy snow.
    [道路は大雪でふさがれていた」
    知覚動詞でも、この構造の文は作れます。
    She heard her name called from behind.
    「彼女は背後から自分の名前が呼ばれるのを聞いた」
    OがCされる関係のときは、Cは過去分詞を用います。
    これが、(5)の問題です。

    (5) He had his salary (1.raise 2.to raise 3.raising 4.raised) last month.

    答えは、4.raised です。
    給料は上げられるものだからです。
    「彼は、先月給料を上げてもらった」という意味です。

    このhave は、「受け身・被害のhave」と呼ばれるもので、意味内容によって、主語にとって良い意味のこともあれば被害のこともあります。
    I had my bag stolen.
    という文のときに「私はカバンを盗んでもらった」とは訳しません。
    これは被害だから「私はカバンを盗まれた」と訳します。
    しかし、(5)の文を「彼は給料を上げられた」とは訳しません。
    給料を上げられたことが不満であるかのようなニュアンスになってしまうからです。
    けれどそれは日本語の都合で、英語としては、OとCとの関係からCが過去分詞になっているだけです。

    さて、ここまでのところをまとめると。
    知覚動詞のSVOCの文のCは、原形不定詞・現在分詞・過去分詞のどれかになる。
    OとCとの関係から選択する。
    ただし、受動態の文の場合は、to 不定詞・現在分詞のどちらかになる。

    使役動詞のSVOCの文のCは、make , let の場合は原形不定詞。
    ただし、make の文の受動態は to 不定詞になる。
    have の場合は、原形不定詞・過去分詞のどちらかになる。
    OとCとの関係から選択する。

    多少複雑ですが、テストに非常に出やすいところですので、しっかり身につけておくと得点源になります。
    範囲は無限と感じられる熟語問題よりは、分析可能なこうした問題のほうがはるかに易しいです。
    センター試験にも、英検にも、TOEICにも、必ず出題されています。

      


  • Posted by セギ at 14:55Comments(0)英語

    2019年07月10日

    数Ⅱ「式と証明」。多項式の除法。


    今回は「多項式の除法」です。
    中学数学でやっているような気がするのに、意外に一度もやっていないのが、多項式の除法です。

    問題 (x3+3x2-5)÷(x-2) を計算し、商と余りを求めよ。

    これは筆算していくことができます。
    やり方・考え方は数字のわり算の筆算と同じです。

    例えば、764÷6を筆算してみましょう。

    6 )764

    の7と6を見比べて、7の上に「1」という商が立つと判断します。
    その後、1と6をかけたものを7の下に書いていき、そして7からそれを引きます。
       1
    6 )764
       6  
       1

    これと同じことをやっていきます。

    x-2 )x3+3x2   -5

    x3とxを見比べて、x3の上に「x2」という商が立つと判断します。
    そのx2と「割る数」であるx-2とをかけたものを元の式に下に書いていきます。

        x2
    x-2 )x3+3x2   -5
         x3-2x2

    そして、元の式から、今書いたものを引いていきます。

        x2
    x-2 )x3+3x2   -5
         x3-2x2
            5x2

    次に、引き算の結果である「5x2」とx-2を見比べで、商を立てます。
    「5x」という商が立ちます。
    その5xとx-2をかけたものを下に書いていきます。
    そして、上の行から下の行を引きます。

        x2+5x
    x-2 )x3+3x2     -5
         x3-2x2
            5x2
            5x2-10x
                10x -5

    次に、引き算の結果である「10x」とx-2を見比べて、商を立てます。
    「10」という商が立ちます。
    その10とx-2とをかけたものを下に書き、上の行から下の行を引きます。

        x2+5x  +10
    x-2 )x3+3x2     -5
         x3-2x2
            5x2
            5x2-10x
                10x -5
                10x-20
                    15

    よって、商は x2+5x+10、余りは15です。

    「本当にこんなやり方で割ったことになるの?」
    「何でそれで答えが出るのか、意味がわからない」
    という感想の多いところです。

    そこで、ちょっと検算をしてみましょう。
    わり算は、(割る数)×(商)+(余り)=(もとの数)
    で検算することができるのでした。

    (x-2)(x2+5x+10)+15
    =x3+5x2+10x-2x2-10x-20+15
    =x3+3x2-5

    はい。
    もとの式に戻りました。

    やり方は理解できても、最初のうちはなかなか正答できない高校生が多いです。
    ミスしやすい箇所としては、多項式の書き写し間違い。(特に指数と符号)
    上の式の-5-(-20)のような箇所の符号ミス。

    符号ミスは、中学生になって負の数の計算をするようになると同時に始まります。
    答えが負の数になる問題は決して正答できないというくらいに符号を書き忘れる子もいます。
    これを「ケアレスミス」ととらえ、本人が注意すれば解決すると思うのは、しかし、誤りだと思います。
    そもそも、俗にケアレスミスと呼ばれるものが多い子ほど、ケアレスミスの意味を「ちょっとしたミス」などととらえています。
    ケアレスミスは不注意なミスという意味だよと教えると、嫌な顔をします。
    不注意と指摘されることにも傷ついてしまうようです。
    しかし、問題はもっと深刻で、符号ミスは単なる不注意なミスではないと思ったほうが良いと思います。

    小学校では必要なかった負の符号が中学数学では必要になるのに、そのことが知識として身についていない。
    そうとらえたほうが現実に即していると思います。
    つまりは、本人の脳内の根本のところで知識がバージョンアップされていず、いつまでもいつまでも、ついつい気がつくと負の数など存在しないような感覚で数学を解いてしまっているのだと思うのです。
    バージョンアップは、簡単にできる人もいますが、非常に時間のかかる人もいます。

    傍で見ていると、何でそんなに安易に負の符号を書きもらすのか、意味がわからない・・・。
    ぼんやりしているから、そんなことになるのではないか?
    ・・・ついついそう思ってしまいがちですが、本人もミスなどしたくないから一所懸命やっているはずです。
    それで書きもらすとなると、符号に関するバージョンアップがされていないと見るほうが自然です。
    それは、本人が自覚すれば治るというものではなく、脳内でアップデートされない限り同じミスが繰り返されます。

    では、どうすればアップデートされるのか?
    それは脳次第であるところが歯がゆいところです。
    人間の脳は自力ではコントロールできません。
    何で覚える必要があることを覚えられないの?
    何でアップデートできないの?
    そういうこととの闘いです。
    ただ、「数学なんか嫌い」「数学なんかやっても意味ない」と思っている人のアップデートは当然遅いです。
    せめて、自ら数学から遠ざかることだけは避けたいところです。
    結局、練習を重ねることで、脳がアップデートの必要を感じるのを待つしかありません。

    上の多項式の除法でいえば、引き算であるところをたし算してしまうミスも多いです。
    商を立てた後、例えば3x2の下に-2x2という項を書くところまでは上手くできるのですが、下の項に負の符号がついていると、そのままたし算してしまうミスは多いです。
    指摘してもピンとこない様子で、正しい筆算をしてみせるとようやく理解するということがあります。
    これが繰り返されるのは、もはやケアレスミスというものではなく、そこが明らかに理解不足の弱点となっているのです。
    ケアレスミスじゃないぞー。
    明らかな理解不足だぞー。
    そのミス、何度目だー。
    ・・・そのような指摘をするまでもなく、ほぼ全問どこかでひっかかって誤答しますので、さすがに本人の顔色が悪くなってくるところではあります。
    やり方はわかっているのに、幾度解き直しても正解に至らない。
    解き直す度に違う答えは出るけど、正解でないのはなぜ・・・?
    解答が間違っているんじゃないの?
    数Ⅱに入ると、そういうことが本当に増えてくると思います。
    練習不足なんです。
    数Ⅱの問題を正確に解ける計算力が身についていないのです。
    一度でパッとできるようになる人もいます。
    でも、沢山練習する必要のある人もいます。
    そんなのは、スポーツでも何でも普通のことです。

    こういう話をすると、何だ才能の話かと諦めてしまう人もいると思います。
    これは、努力の話です。
    例えば、目の前でやられると非常に煩わしいペン回し。
    小学校高学年から中学生の頃、特に男子の大半は、あれに夢中になります。
    数回で器用にできるようになる人もいますが、なかなか上手くできなかった不器用な人もきっといたはずです。
    なのに、諦めない。
    学校の授業中、延々とペン回しの練習をしましたよね。
    そして、ついに習得しました。
    努力の成果です。
    努力って、実は誰でもできるのですよ。
    努力の方向性はともかく。


    さて、もう1問。

    問題 (a3+2abc+b3-c3)÷(a+b-c) をaに着目して行い、商と余りを求めよ。

    最初の問題との違いは、文字が1種類ではないこと。
    「aに着目して」ということは、aについての文字式とみなし、他の文字は係数や定数項として扱いなさい、という意味です。
    これは、筆算として書くときから順番を意識し、他の文字はaの係数や定数項であるとわかるようにしておくことで解きやすくなります。
    aについて降べきの順に整理して書いてみましょう。

    a+(b-c) )a3     +2bca+(b3-c3)

    a3とaを見比べると、まずa2という商が立ちます。
    その商と「割る数」であるa+(b-c)をかけていきます。

           a2
    a+(b-c) )a3        +2bca+(b3-c3)
             a3+(b-c)a2 

    上の行から下の行を引きます。
    上から次に使う項も下ろしておきます。

           a2
    a+(b-c) )a3        +2bca+(b3-c3)
             a3+(b-c)a2
              -(b-c)a2+2bca

    ここでは、2次の項はもともと存在しなかったところから(b-c)a2を引くので、
    0-(b-c)a2
    =-(b-c)a2
    となることに注意が必要です。
    上からおろしてくる項は、あえて書けば、
    2bca-0
    =2bca
    となりますので、符号は変わりません。
    0から引くことと、0を引くこととは大違いですね。

    次に-(b-c)a2とaを見比べて、-(b-c)aという商が立ちます。

           a2-(b-c)a
    a+(b-c) )a3        +2bca+(b3-c3)
             a3+(b-c)a2
              -(b-c)a2+2bca
              -(b-c)a2-(b-c)2a

    例によって、上の行から下の行を引くのですが、ちょっと複雑で引きにくいですね。
    こういうときは、ノートの横の空欄などを利用して、そこの部分だけ計算すると良いでしょう。
    係数だけのひき算をすれば良いですね。
    すなわち、
    2bc+(b-c)2
    =2bc+b2-2bc+c2
    =b2+c2

    上から定数項も下ろしてくると、

           a2-(b-c)a
    a+(b-c) )a3        +2bca+(b3-c3)
             a3+(b-c)a2 
              -(b-c)a2+2bca
              -(b-c)a2-(b-c)2a
                      (b2+c2)a+(b3-c3)

    次の商は、(b2+c2) ですね。

           a2-(b-c)a +(b2+c2)
    a+(b-c) )a3        +2bca   +(b3-c3)
             a3+(b-c)a2 
              -(b-c)a2+2bca
              -(b-c)a2-(b2+c2)a+(b3-c3)
                      (b2+c2)a+(b-c)(b2+c2)

    最後の定数項のひき算も複雑ですね。
    ノートの空いているスペースで計算しましょう。
    (b3-c3)-(b-c)(b2+c2)
    =b3-c3-(b3+bc2-b2C-c3)
    =b3-c3-b3-bc2+b2C+c3
    =-bc2+b2c

    これが余りとなります、
    よって、商は  a2-(b-c)a+(b2+c2)
    となりますが、整理したほうが見た目がきれいですね。
    ( )を外しておきましょう。
    従って、商 a2+b2+c2-ab+ca
        余り -bc2+b2c
    となります。

    この筆算は複雑ですが、この先、「分数式の計算」や「因数定理」を学習する際にまた利用しますので、必ず身につけておきましょう。
    とはいえ、ネットでは罫線を上手く引けないので、物凄く見にくいと思います。
    全体の板書が上の画像です。

      


  • Posted by セギ at 12:58Comments(0)算数・数学

    2019年07月06日

    ケアレスミスと数学不安症。


    例えば、都立高校の数学の入試問題で、大問3「関数」、大問4「平面図形」、大問5「空間図形」のそれぞれ一番最後の小問は難しいから解けないので、各5点×3=15点は失点するとして、残る85点は取れる。
    そういう得点の読み方をすることがあります。
    あるいは、定期テストは基本問題だけで80点は取れる。
    これに共通しているのは、「基本問題を解くだけで十分な得点」という夢物語です。

    「夢物語」とあえていうのは、現実はそんなに甘くはないからです。
    基本問題をきっちり得点できる学力の人は、応用問題も解けます。
    基本問題しか解けない人は、基本問題もある程度は失点します。
    それは避けられません。

    しかし、基本が身についていないのに、やたらと応用応用という子には、私も冒頭のような説明をすることがあります。
    定期テストで、公式を代入するだけの基本問題や、出題されるとわかりきっている典型題をポロポロ失点しているのに、最後の応用問題がわからなかったことをやたらと残念がる子もいるからです。
    実際の得点は30点台、40点台なのに、最後の応用問題がわからなかったことを、テストが終わると強調するのです。
    テストが返ってきたら反省が大切なのですが、反省ポイントがズレていては、次回も似たような結果になってしまいます。
    正しい反省を促さなければなりません。
    最後の7点の応用問題が解けなくても、他の問題で正答していたら93点です。
    あなたの現実の点とは50点以上差がありますよ。
    その50点は、どこで失っていますか?
    そういう話をします。

    基礎を固めないうちは、応用問題の解説を聞いても、その問題の解き方を「わかったような気がする」だけで、類題を自力で解けるようにはなりません。
    まして、タイプの異なる応用問題には全く対応できません。
    出るとわかっている典型題なら解説もしますし、練習もします。
    しかし、何でこんな応用問題を出すのか出題意図もよくわからない、ただただ難しいだけの問題を解説するのは時間が惜しい。
    今は、そんな勉強をする時期ではない。
    そのことをわかってもらう必要があります。

    1つ考えられるのは、そういう子の心の中では、「わかる問題」と「解ける問題」との混同があるのではないかということです。
    公式を見て代入すれば解ける問題は、本人の中では「わかる問題」=「解ける問題」。
    解説を聞けば理解できる典型題は、本人の中では「わかる問題」=「解ける問題」。
    だから、そういう問題は、本人の中ではOKになっているのではないか?
    学校でテスト解説を聞いてもよくわからなかった、あるいは解説してもらえなかった最後の応用問題だけは、「わからない問題」。
    だから、とても気にかかる。
    とても残念である。
    そういう気持ちなのではないかと思うのです。

    「わかる問題」と「解ける問題」は違います。
    公式を見て代入すれば解ける問題なのは事実でも、その公式を覚えていないし、代入して解く練習もそんなにしていない場合、テストではもたもたし、代入ミスをしがちです。
    それは「解ける問題」にはなっていないということです。

    「わかる」だけではダメで、「解ける」ようにしなければ。
    基本問題だけでも全部解ければ、定期テストは80点ですよ。
    今、目指すのは、まずはそこですよ。
    基本に目を向けてもらうため、そのように言います。


    ただ、私は、基本問題だけ解ける子が実際に80点を取れるとは思っていません。
    その状態では、80点は無理だとわかっています。
    定期テストなら、基本問題だけで配点は80点になる。
    それは事実です。
    しかし、基本問題しか解けない子は、基本問題を全て正答することはできません。
    学力的に余裕がない子は、ミスをします。
    現状が40点ならば、まずは50点、そして60点と順番に上を目指しましょう。
    60点を越えたら、より発展的な学習も行いましょう。


    学校の定期テスト前日に、数学の授業を振替設定することがあります。
    そんなとき、テスト範囲の演習はひと通り終わっていますので、前日に行うのは最終調整です。
    しかし、単なる確認と調整のために解いている基本問題を計算ミスでぽろぽろ失点する生徒もいます。
    テストに必ず出る、易しい問題で失点します。
    解き方はわかっているのに、計算ミスを繰り返し、正答できないのです。
    計算ミスをすればするほど目に見えて動揺していきます。
    そして、さらにミスを重ね、続く簡単な問題もやはり正答できなくなっていきます。
    目の前で見る見る精神的に崩れていく・・・。
    テスト当日だけではないんだ。
    前日で、既にこういう精神状態なのか・・・。


    『しくじり先生』というバラエティ番組があります。
    ゲスト出演する「先生」役が自身の失敗を語る番組です。
    以前、その番組にG・G・佐藤選手が先生役で出演しました。
    北京オリンピックでエラーを繰り返し、日本代表チームが銅メダルすら取れなかった原因の1つと言われている野球選手です。
    日本代表になるほどのプロ野球選手が、ゴロをトンネル。
    さらに、簡単なフライを落球すること2回。
    なぜそのようなことが起こったのかを本人自らが分析し語っていました。

    G・G・佐藤選手は、1つ目のトンネルの後、もうどんな球も取れる気がしない精神状態に陥ったそうです。
    だから、球が飛んでこないことをひたすら願った。
    オリンピックという大舞台。
    自分のエラーのせいでチームが負けてしまうことに怯えた。
    しかし、怯えるほどにそれは明確なイメージになった。
    あんなゴロもトンネルしてしまった自分は、フライなんか取れるわけがないと思ってしまった。
    そして、実際、もう取れなかった。
    プロ野球選手が・・・・・。

    本番に弱い人の精神状態が赤裸々に語られ、しかも、その精神状態のときに技術的にはどのように失敗するのかVTRを見ながら具体的な説明がありました。
    バラエティ番組のはずなのに、ホラーかと思うほど怖い内容でした。

    1つ目のフライは、緊張で手がガチガチに硬まっていた。
    しかも慌てているため、グローブを出すのが早かった。
    そのため、グローブの土手に当たって球を弾いてしまった。
    さらに、サングラスを帽子の上にかけたまま、目にかけるのをずっと忘れていた。
    球をよく目視できていないのに、そのことにすら気がつかなかった。

    2つ目のフライは、大事に行き過ぎて両手で取ろうとした。
    片手のほうが可動域が広く操作しやすいのに、両手で取ろうとして、結局、球をこぼした。
    普段とは違うことをそのときだけやってしまったのです。
    子どもの頃からフライなんかいくらでも取ってきたプロ野球選手が。


    生徒の数学の答案を見ても、テストのときだけ不可解な答案を書く子がいます。
    普段したことがない計算の工夫をして間違えたり。
    普段は、単なる移項すらいちいち丁寧に書いているのに、テストのときだけ左辺と右辺をひっくり返しながら部分的に移項もして、結果、符号ミスをしたり。
    テストでそういうことをしたいのなら普段から練習しておけば良いのに、なぜか普段は丁寧なやり方を変えない子がテストのときだけそんなことをします。
    あるいは、テスト中だけその解き方が正しいのだとなぜか思い込んで、間違ったやり方をしていたり。
    テストのときだけなぜか普段と違うことをしてしまうのです。
    後で冷静になれば何でそんなことをしていたのか本人も理解できないような考えにとりつかれてしまうようです。
    理解不足だった問題をやっぱり間違えているというような、ある意味で安定感のあるものとは印象の異なる、不安定な数学の答案を見ることがあります。


    「数学不安症」という言葉があります。
    1950年代に確認され、近年、アメリカのスタンフォード大学で、数学の問題を見ると脳の恐怖中枢の活動が高まる人が存在することが実証されました。
    イギリスでは全人口の4分の1が数学不安症であると推測されているそうです。
    理解できない数学の問題を見るとき、ヘビを見たときに感じるような恐怖や不安を感じる。
    不安ばかりでなく、実際に身体に痛みを覚える人もいます。
    数学の問題を見ると頭が痛くなったり、お腹が痛くなったりします。
    他の科目ではそのようなことはないのに、なぜ数学だけそのような不安症が出るのでしょうか?

    正解・不正解があまりにも明確で、到達度に関して数値目標が明示されやすいこと。
    子どもの頃から計算スピードや到達度に関して具体的に強い期待をされ、要求されること。
    そうしたことが他の科目とは異なる点ではないかと分析されています。

    確かに、私がこれまでに見てきた、テスト前日で異様に動揺してしまう子は、本人や保護者が漠然と期待している実力と、本当の実力との乖離の激しい子たちでした。
    子どもの頃から強く期待され要求され、特に計算ミス・ケアレスミスについては強めに指摘されてきたのかもしれません。
    お子さんの小学校の算数を見るお母さんは、計算ミス・ケアレスミスに厳しくなりがちです。
    解けない文章題のことを問題視して叱るお母様は少ないと思うのですが、計算ミス・ケアレスミスは問題視する傾向があると思います。
    ここは得点できるのに、と思ってしまう。
    ついつい、そこを強めに指摘してしまう・・・。

    しかし、毎度毎度計算ミスのことを強めに指摘されてきた小学生が計算ミスをしなくなるかというと、そうでもないのです。
    字が雑で、勉強に対する心構えも甘くて、それでミスばかりしているような小学生ならば、中学・高校と本人が成長するにつれて意識が高まり、計算ミスをしなくなることが期待できます。
    しかし、小学生の頃から、字は丁寧だし、ノートの取り方もしっかりしているのに、なぜか計算ミス・ケアレスミスが多いという子の場合、中学・高校と進むにつれて、指摘されればされるほど、むしろミスは増えていくように感じます。
    学年が上がるにつれて、本人が余裕をもって解くことができる問題は減っていきます。
    期待に応えてテストで高い得点を取ることは、年々難しくなっていきます。
    親からの期待。
    本人のプライド。
    そうしたものが混沌としている中で、
    「失敗してはいけない」
    となったとき、むしろミスをする土壌が出来上がってしまうのでしょう。

    ここで複雑なのは、計算ミスの多い子が、それを直視し、それを自分の課題としてとらえているかというと、むしろそれは本人の中で表面化していないことが多いのです。
    自分がミスをしやすい人間であると認めることは、非常に自己評価を下げる・・・。
    そういう気持ちがあるのかもしれません。
    前述のように、計算ミスをしやすく、基本問題で得点することも心もとない子が、応用問題にこだわるのを見ると、そのように感じます。
    子どもの頃から繰り返し注意されてきたケアレスミスのことを、本人は表面的には自覚していないように見えるのです。
    自分は他人よりはミスが少ないほうだとすら思っているように感じられます。
    そして、応用問題が解けなかったことばかり、強く意識しています。

    ただ、無意識のレベルでは、自分がミスをしやすいことはわかっていると思うのです。
    その影のような不安が、さらにミスを誘い込んでいるのかもしれません。
    テストのときに、気持ちが不安定になり、さらにミスをしやすくなるのです。
    ケアレスミスは、本人が不注意に問題を解いているから起きているとは限りません。
    真剣に解いていても、計算過程で1つ指数を書き洩らしたら、もう正解には至りません。
    心が不安定であるため、正確さ・完璧さを保つことができないのです。
    問題が、本人にとって心の負担になっているほど難しい。
    実は根本のところがあまり理解できていない。
    しかし、それを認められない。
    周囲も認めてくれない・・・。

    計算ミスは、計算ミスだけが課題なのではありません。
    本人の現在の実力と、頭の中で本人が思っている理想の実力との乖離。
    そのことからくる、勉強のやり方のまずさ。
    尽きない不安。
    そこに課題があると感じます。

    多様なミスを多発している人は、ケアレスミスを除外して、「本当は何点取れた」=「自分は何点の実力」と評価する傾向があります。
    保護者の方がそのような得点の読み方をしていることもあると思います。
    だから、実際の得点と自己評価とがいつまでも一致しません。
    本来やるべき、基本問題を何も見ないで自力で解く練習を、ろくにしないでテストを受けています。
    応用問題ばかり気にしています。
    しかし、本当は基本問題を解けないことに、常に影のような不安がさしています。
    そのような状態でテストを受けて、良い結果が出るはずがありません。

    特に高校生で数学の得点が低い場合、理由は明らかに勉強不足なのです。
    学校の問題集をノートに解くことがテスト勉強の全てになっていることは、繰り返しここで書いてきました。
    基本問題すら公式や解答解説を見ながら解いているので、練習になっていません。
    そして、問題集の発展問題や章末の演習問題を何とかノートに解くことに非常に多くの時間を使っています。

    「学校の問題集のB問題の難しいもの、発展問題、章末の演習問題は、3分考えてわからなかったら、赤ペンで解答解説をノートに丸写しして提出しなさい。意味を考える必要はない。式は解説を見ても、計算だけは自分でやろうと思う必要もない。丸写しをしなさい。その代わり、例題とA問題を解答解説を見ないでもう一度解きなさい」
    高校生の場合は、たったそれだけの指示で、テストの得点が目に見えて改善していくことがあります。
    60点までなら、それで上がります。
    60点取れる力がついてから、B問題、発展問題、章末演習問題に目を向けても遅くはありません。

    それでは間にあわなくなるのでは・・・?

    ・・・何に?
    基本も身に着かない今の勉強をしていて、では何に間に合うのでしょう?

    しかし、数学不安症的な子は、このような指示に従うことができない子が多いです。
    やはり、不安なのでしょう。
    それでは、間に合わなくなる・・・。
    あるいは、そんなことをしたら学校の先生に叱られるか目をつけられると思っている子もいます。
    定期テストで30点台の子が応用問題を赤ペンで丸写ししたノートを提出することを問題視する高校の数学の先生なんていません。
    その代わりに例題やA問題をもう1度解いているならなおさらです。
    しかし、そこでも障壁となるのは、実態と乖離した高い理想自己なのかもしれません。
    そうして、解答解説を読んでも意味のわからない発展問題・章末演習問題に時間をかけ、公式を上手く使えない不安定な状態でテストを受け、指数の書き洩らしや符号ミスを多発し、基本問題が8割を占めるテストで惨敗します。
    そして、テストの後は、ケアレスミスした問題は得点できた問題として加算し、捕らぬ狸の皮算用を繰り返します。

    そんなことをしているから、内心の不安が消えない。

    誰にも彼にも基本・基本・基本という教え方には私は懐疑的です。
    小学生や中学生には、その子の現在の学力で理解できる限界まで応用問題を解かせます。
    「同じ問題集を全問3回解き直し」
    といった、写経のような学習方法は、生徒よりも先に私がうんざりしてしまいます。
    解ける問題を3回解いても意味がありません。
    特に公立中学の教科書準拠ワークの基本問題は簡単過ぎて、基本問題を3回解いても定期テストには対応できません。
    そのレベルで良いと思っていると、定期テストの問題は解けません。

    しかし、高校生は違います。
    高校生は、学校の問題集の基本問題を何も見ないで自力で解く学力に至っていない子が多いのです。
    高校数学の基本問題は、彼らにとって基本問題ではありません。
    しかも、そのことに気づいていない。
    あるいは、認められない。
    それでは、不安が消えないでしょう。

    まず自分の不安の正体を見つめましょう。


      


  • Posted by セギ at 13:35Comments(0)算数・数学

    2019年07月03日

    高校英語。不定詞その3。完了形の不定詞とseemなど。


    さて、今回は、こんな問題から。

    問題 以下の2文がほぼ同じ意味となるよう、空所を埋めよ。
    It seems that he was ill.
    He seems (  )(  )(  ) ill.

    こういう問題を目にしたとき、問題文には不定詞が全く出てこないこともあって、不定詞の文法問題であることすら気づかないということがあります。
    テスト範囲が限定されていない模試や入試では、不定詞という発想すら湧いてこないので解けない人がいます。

    学校の文法テキストの問題だけ繰り返し解いていても、何が典型題なのか気づかないということがあると思います。
    他の文法問題集もあわせて解くことで、
    「あれ、この問題、学校のテキストでも見た」
    「同じような問題を以前も解いた」
    という感覚が養われていきます。
    単語も何もかも同じ問題である場合、たまたまどこかの大学の過去問が別の問題集でも採用されているだけということもありますが、単語は違うものが使われ、文意は異なるのに、構造が同じ問題が他の問題集にも載っていることは多いです。
    結局、それが英文法の典型題です。
    典型題を把握すると、文法問題は何が出題されるのか大体わかるようになりますので、安心して解いていくことができるようになります。
    そのためにも、感覚で解くのをやめて、文法的にこれはどういう問題なのかを分析して解いていくことが大切です。

    さて、それでは上の問題は、文法的にはどういう問題なのでしょう。
    そもそも、空所がないほうの文は、どういう文なのでしょうか。

    これは、「It seems that ~.の文」として理解するのが一番簡単です。
    この it は、特に何かを意味するものではありません。
    seem の他、appear , look , happen などの動詞の主語として用いられます。
    It seems that ~.で「~のようだ。~らしい」という意味になります。

    It seems that he was ill.
    彼は病気だったようだ。
    過去に病気だったように現在見えるということです。
    病み上がりのように見えるのでしょう。
    顔色がまだ悪いとか、入院していたという話を聞いたとか、何かそういう情報があるのだと思います。
    とはいえ、現在病気であるように見えるということではなく、過去に病気だったように現在見えるのです。

    これを、he を主語に変えたのが、空所のあるほうの文です。
    まず、最も単純に書き換えてみると。
    He seems that he was ill.
    意味内容が伝わらないことはないと思いますが、he が2回も使われていて、何だか不自然ですね。
    he は一度でいいでしょう。

    He seems that was ill.
    これでいいでしょうか?
    いいえ、このように that 節の主語を省略することは、英語では認められていません。
    これは間違いです。
    that が接続詞なのか従属節の主語なのか見分けがつかないですし。
    えー、じゃあどうしよう?

    ここで登場するのが、to 不定詞です。
    to 不定詞は、that 節の代わりをすることができるのです。
    文の主語が不定詞の意味上の主語と一致する場合、主語を明示しなくても済むのも、この場合大変都合の良いことです。

    それでは、答えは、
    He seems (to)(be)(  ) ill.

    ・・・あれ?
    (  )が1つ余る・・・。
    何が違うのだろう?

    ここで時制について考えましょう。
    It seems that he was ill.
    という空所のないほうの文は、文全体の動詞 seems は現在形ですが、that 節の動詞 was は過去形です。
    時制がズレているのです。
    「時制の一致」という言葉を聞いたことがあると思いますが、それは主節が過去形のときに that 節もその時制にあわせていくことを指します。
    一方、主節の時制が現在で that 節の時制が過去なのはよくあることで、何も問題ありません。
    「~のように見える」のは現在だけれど、彼が病気だったのは過去のことです。
    だから、日本語では「彼は病気だったようだ」となります。

    しかし、上の答案では、
    He seems to be ill.
    不定詞の時制は、このままでは文全体の動詞の時制と一致してしまいます。
    彼は、現在病気であるように、現在見えるという意味になります。
    「彼は病気のようだ」と訳すことになってしまいます。

    不定詞の時制は、このままでは文全体の動詞の時制と一致してしまう・・・。
    では、時制をズラす方法はないのでしょうか?

    そこで登場するのが、完了形の不定詞です。
    形は、「to have +過去分詞」。
    助動詞のところでも出てきましたが、「have+過去分詞」という現在完了の形を使うことで時制を1つ古くするのは、英語の基本ルールです。
    またこのルールだと気づくことで、英語全体の構造も見えてきます。

    したがって正解は、
    He seems (to)(have)(been) ill.
    となります。

    「to have +過去分詞」の完了形の不定詞は、単に「不定詞の過去形」というわけではありません。
    絶対的に過去のことを表すわけではないのです。
    これは相対的なことで、文全体の動詞の時制よりも1つ古い時制になるのです。
    主節が現在形なら、「to have +過去分詞」は過去を表します。
    主節が過去形なら、「to have +過去分詞」は、過去よりもさらに過去の大過去を表します。

    整理しますと、主節と that の両方が現在ならば、
    It seems that he is ill.
    =He seems to be ill.
    彼は病気のようだ。
    現在病気であるように現在見えるのです。

    主節が現在で、that 節が過去ならば、
    It seems that he was ill.
    =He seems to have been ill.
    彼は病気だったようだ。
    過去に病気だったように現在見えるのです。

    主節が過去で that 節も過去なのは、時制の一致で、時間的なズレはありません。
    It seemed that he was ill.
    =He seemed to be ill.
    彼は病気のようだった。
    過去のそのときに彼は病気であるように、そのときに見えたのです。
    そのときに具合が悪そうに見えたのでしょう。
    あるいは、そういう話をそのときに聞いたのかもしれません。

    主節が過去で、that 節が過去完了の場合は、時がズレています。
    It seemed that he had been ill.
    =He seemed to have been ill.
    彼は病気だったようだった。
    「~のように見えた」のは過去で、彼が病気だったのは、さらにその前の大過去となります。
    見えたときの段階では彼は病み上がりで、もう回復していたのでしょう。
    大過去に病気だったように、過去のそのとき見えたのです。

    こういうことを「英語はスッキリしているなあ」ととらえる人は文法好きな人。
    「ごちゃごちゃしていてよくわからない」と思う人は、あまり文法が好きではない人。
    大雑把にはそのように言えるかもしれません。
    文法好きにとっては、どこがごちゃごちゃしているんだろう、こんなに機械的ならむしろありがたい、と感じるところです。
    それぞれの訳を見たらわかりますが、日本語だって同じ程度には機械的で、同じ程度にはごちゃごちゃしています。

    「訳し分けがわからない」
    という人もいますが、それは、むしろ日本語能力の問題が大きいと思います。
    「彼は病気だったようだった」
    と聞いて、そのように見えたのは過去で、病気だったのはそれより古い過去と把握できるかどうか。
    日本語のネイティブでもそれを瞬間で判断するのは難しいということはあると思います。
    ただ、訳しなさい、という問題は減少傾向にあり、今後はさらに減っていくと予想されますので、そんなに心配する必要はありません。
    英語として時がズレているか一致しているかを正確に把握することに集中しましょう。
    むしろ日本語よりも英語のほうが時制の把握は楽かもしれません。


    以前も書いたことがありますが、中学生で英語の過去形や未来の文が全くわからないという子を教えたことがありました。
    練習しても、確かに、使い分けの基準が全くわかっていない様子が見られました。
    「ほら、この文は、yesterday と書いてあるから過去形でしょう?」
    と説明しても、
    「yesterday と書いてあったら過去形なの?」
    と訊き返してくるのでした。
    うん?
    これは変だな、と感じました。
    「日本語でも、『行く』が『行った』になるじゃない?過去形という言い方はしないけれど、過去の助動詞を使うと、文は過去の意味になるよね」
    「え?何それ?」
    「・・・」

    そこで、日本語の過去・現在・未来の文を並べて板書しました。

    現在の文ならば、
    「私は毎週金曜日に塾に行く」
    過去の文ならば、
    「私は昨日塾に行った」
    未来の文ならば、
    「私は明日塾に行くだろう」

    日本語も文末が変っているでしょう?
    日本語にも過去形や現在形、未来形があるんですよ。
    そのように説明すると、その子は、驚愕していました。

    日本語に過去・現在・未来の区別があることに気づいていなかったのです。
    英語だけが、過去だ未来だとこだわるから変だ、英語は変だ、よくわからない、とずっと思っていたようなのです。

    日本語の文法なんて勉強する意味あるの?
    話せるから別に平気じゃん。

    そのように言う人がいますが、日本語に時制があることすら勉強しないと気づかない場合もあります。
    日本語があまりにも自明のものとなっていて、日本語にルールがあることすら気づいていない。
    特に、日本語の助動詞・助詞の学習は、今の子どもには必須のことと感じます。

    日本語にも時制があることに気づいてから、その子は英語への抵抗が少しずつなくなっていき、普通に英語の出来る子へと成長していきました。

      


  • Posted by セギ at 13:49Comments(0)英語

    2019年07月01日

    高校数Ⅱ「式と証明」。二項定理の利用。



    前回と同じく「二項定理」の学習です。
    二項定理は、例えば、(a+b)5などを展開していく際に用いる定理ですが、全て展開しなくても、必要な項の係数だけを求めることもできます。
    例えば、こんな問題です。

    例題 (x+2)6 を展開したときの、x3の係数を求めよ。

    全て展開していくのだとしたら、二項定理を用いて、以下のようになります。
    (x+2)6
    =6C0x6+6C1x5・2+6C2x4・22+6C3x3・23+6C4x2・24+6C5x・25+6C6・26
    =X6+12x5+30x4+160x3+240x2+192x+64

    前回も解説した通り、xの6乗の項は、6個の(x+2)から全てxを選んでかけている項です。
    それは1通りしかありませんので、係数は1です。
    xの5乗の項は、6個の(x+2)から5個のxと1個の2を選んでかけている項です。
    それは、xxxxx2を並べる順列と同じ個数だけ同類項があります。
    同じものを含む順列の考え方を用いて、6C1=6。
    係数としては、2も係数となりますので、6×2=12となります。
    xの4乗の項は、6個の(x+2)から4個のxと2個の2を選んでかけている項。
    それは、xxxx2・2を並べる順列と同じ個数だけあります。
    同じものを含む順列の考え方を用いて、6C2=15。
    2・2も係数となりますので、15×4=60。
    この辺で法則が見えてきたと思います。

    例えば、6C2の「6」は、(x+2)6の「6」です。
    6C2の「2」は、(x+2)の2を「2個」選んでいることを示します。
    それはxを6-2=4(個)選んでいるということでもあります。
    では、問題のx3の係数はどう求めることができるでしょうか。
    x3ということは、6個の(x+2)から、xを3個選んだということ。
    それは、2のほうを6-3=3(個)選んだということです。
    すなわちx・x・x・2・2・2の並べ方だけ、同類項が存在します。
    6C3=(6・5・4)÷(3・2・1)=20。
    2の3乗も係数となりますから、20×23=160。
    答えは、160となります。

    二項定理は、2項のうちの前の項、(x+2)で言えばxの項を初めは6回かける項、次はxを5回2を1回かける項というように、前の項を1個ずつ減らし、後の項を1個ずつ増やしていく形をとっています。
    最後は、全て後の項、(x+2)で言えば2を6回かけて終わります。
    二項定理の一般項は、nやrやn-rといった文字を用いるためか、それで混乱する高校生がいるのですが、全体の流れを把握することで一般項の意味を理解しましょう。

    二項定理を利用する際、前の項の指数を1つずつ減らすと頭ではわかっているのに、途中から前の項の指数を逆に1ずつ増やしてしまうミスをする人は案外多いです。
    また、単純に指数を「書きもらす」「書き間違える」「計算を間違える」を繰り返す人も多いです。
    指数を1つ書きもらしたら、それ以降の計算は全て無駄になります。
    指数の書きもらしは、高校生に極めて多いミスの1つです。


    もう少し解いてみましょう。

    例題 (2x-3y)7 を展開したときのx4y3の係数を求めよ。

    基本の解き方は同じですが、xの項もyの項もそれぞれ1以外の係数がついているのに注意する必要があります。
    それらも全て項全体の係数に含まれていきます。
    x4y3の項ですから、7個の( )から、xを4回yを3回選んでかけた項ということでしょう。
    すなわち、その項の出てくる回数は、7C3。
    さらに、単純にx4y3ではなく、(2x)4・(-3y)3ということなのですから、xの係数である2の4乗、yの係数である(-3)の3乗も係数となります。
    7C3・24・(-3)3
    =(7・6・5)÷(3・2・1)×16×(-27)
    =-15120

    これが答えです。


    さて、ここからは応用です。
    考えてみましょう。

    例題(3x2+x)8 を展開したときの x10の係数を求めよ。

    この問題が今までのもとは違うのは、( )内のどちらの項にもxが含まれていることです。
    どんなときにx10になるのでしょうか?
    3x2の項を5回かけた場合?
    でも、そのとき、もう一方のxの項も3回かけますから、xの指数は合計で13になり、問題の指示とはことなる項になってしまいます。

    こうした問題では、まず、どちらの項を何回ずつかけたらx10の項になるのかを求める必要があります。

    3x2をp回、xをq回かけた項がxの10乗の項であるとします。
    全体で8乗、すなわち、8個の同じ( )から、どちらかの項を1つずつ選んでかけていくと個々の項が出てくるのですから、
    p+q=8・・・① となります。
    また、x10という結果になることを踏まえると、指数法則から、
    2p+q=10・・・② となります。
    (3x2)p・xqという項がx10の項となることから、その指数部分だけを見て②の式を立てています。
    指数法則の理解が曖昧だと、ここは少し難しいところかもしれません。
    指数法則の基本を振り返ってみましょう。
    22×23は、2の何乗でしょうか?
    22×23=(2・2)×(2・2・2)=25 です。
    すなわち、積の場合は、指数同士をたすことになります。
    また、(22)3は、2の何乗でしょうか?
    (22)3=(2・2)×(2・2)×(2・2)=26 です。
    すなわち、累乗の場合は、指数の積となります。
    したがって、上の式のは、
    (3x2)p・xq=3p・x2p・xq ですので、xの次数は、2p+qとなります。
    ①・②を連立して解くと、
    p=2、q=6
    よって、3x2を2回、xを6回かけた項がxの10乗の項であるとわかります。
    あとは、二項定理にあてはめて、係数は、
    8C6・32・16
    =(8・7)÷(2・1)×9
    =4・7・9
    =252
    これが答えです。

    さらにこのような問題はどうでしょうか。

    例題 (x2+1/x)10 を展開したときのx11の係数を求めよ。

    後の項は分母にxがある分数です。
    前の項との積は、約分されてxの次数が減ってしまいます。
    x2をp回、1/xをq回かけるとすると、
    p+q=10 ・・・① であるのは上の問題と変わりませんが、
    xの指数はたし算ではなくなります。
    約分されて減りますから、
    2p-q=11 ・・・② となります。
    (x2)p・(1/x)q を計算すると、分子はx2p、分母はxq ですから、分母にあるだけのxを約分することになります。
    約分の結果、xの次数は 2p-q となります。
    それが10だというのが、②の式です。
    ①、②を連立して、
    3p=21、すなわちp=7、q=3 です。
    x2を7回、1/xを3回かけた項がxの11乗となることがわかりました。
    二項定理より、
    10C3=(10・9・8)÷(3・2・1)=10・3・4=120
    係数は120です。

    二項定理だけでなく、指数法則の理解が必要なので、こうした問題は易しい教科書や問題集からは除外されていることがあります。
    使っている指数法則自体は中学校で学んでいる内容なのですが、pだのqだのと抽象化されると「全くわからない」と言う高校生は多いです。
    しかし、この先数Ⅱ「指数関数」を学習した後に受験勉強で解き直すと、少しは理解しやすくなるかもしれません。
    いずれにせよ、大学入試はこのレベルです。
    センター試験は基本問題ばかりとは言いますが、計算ドリルみたいな問題は出題されませんので、最低でもこのレベルとなります。

      


  • Posted by セギ at 11:53Comments(0)算数・数学