たまりば

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2019年06月29日

高校英語。不定詞その2。動名詞と不定詞の両方をとる動詞。


不定詞と動名詞の使い分け。
今回はこんな問題から。

問題 ( )内の正しいものを選べ。
(1) Don't forget (1. to post 2.posting ) this letter on yuor way to school.
(2) I remember (1.to see 2.seeeing ) him when he was a little boy.
(3) I tried (1.to talk 2.talking ) to her, but I couldn't.
(4) My bike needs (1.to repair 2.repairing).

これも、よく勉強している人なら中学生でも正答できると思います。
不定詞のみを目的語にとる動詞と、動名詞のみを目的語にとる動詞があることを前回確認しました。
それ以外は、不定詞と動名詞と両方を目的語にとる動詞です。
とはいえ、動詞によって不定詞と動名詞とどちらかが好まれたりしますが、そういう曖昧なものは入試問題に出されることはほとんどありません。
試験に出るのは、使い分けが明瞭な場合です。
つまり、どちらを目的語にとるかによって意味が明確に変わるものがあるのです。

それは、前回まとめた、不定詞と動名詞の基本的な意味の違いに由来します。
不定詞は、時間的に未来を指向し、動名詞は、時間的に中立であるか過去を指向する。
この観点で見分ければ、上の(1)~(3)は正解できます。

(1)の forget は、「忘れる」という意味の動詞です。
forget +to 不定詞で、「これから~することを忘れる」という意味になります。
forget +動名詞は、「過去に~したことを忘れる」という意味です。
だから、全体の文意を把握して、どちらが適切かを判断します。
(1)は、「この手紙を学校に行く途中で、忘れずに投函して」という意味でしょう。
投函するのは、未来のこと。
だから、答えは 1.to post です。

(2)のremember は「覚えている」という意味の動詞です。
remember+to 不定詞 で、「これから~することを覚えている」。
remember+動名詞 で、「過去に~したことを覚えている」。
(2)の文は、「私は、彼が子どもだったときに会ったのを覚えている」という内容です。
会ったのは過去のことですから、答えは 2.seeing です。

(3) の try は、「挑戦する」という、何だか立派な訳で覚えている人もいるのですが、もう少し気軽な訳を知っておいたほうが使い回しが効きます。
try+to 不定詞 で、「~しようとする」。
try+動名詞で、「試しに~する」。
未来と過去というよりも、実現されたのか、されなかったのか、としたほうがわかりやすいでしょうか。
不定詞のほうは、~しようとするだけで、実現しない可能性があります。
未来のことは不定なのです。
いえ、だから不定詞というわけではないですが、それでこじつけると覚えやすいですね。
動名詞のほうは、実際にやっています。
過去は常に事実です。
(3) の文は、「私は彼女に話しかけようとしたが、できなかった」という意味です。
できなかったのですから、事実としては話しかけていません。
しようとしただけです。
だから、答えは、1. to talk です。

ここまでは、1つの観点で判断できましたが、(4) はちょっと傾向が異なります。
これは、前回述べた不定詞と動名詞の使い分けの原則の3つ目に由来します。
すなわち、不定詞の意味上の主語は明記しない限りはその文の主語と一致するが、動名詞の意味上の主語は必ずしも文の主語と一致しないのです。
この観点から、もう一度(4) の英文を見てみましょう。

(4) My bike needs (1.to repair 2.repairing).

主語は「私の自転車」です。
私の自転車は、repair 「修理する」という動作を行うでしょうか?
自転車が使われていない間に自らを修理する・・・。
うーん、便利で未来的。
・・・しかし、そんな自転車はまだ開発されていません。
自転車は、修理するのではなく、修理されるものです。
ですから、この文の主語が自転車である限り、不定詞はこのままでは用いることができません。
答えは、2. repairing となります。
この文は、「この自転車は修理が必要だ」という意味です。
もしも不定詞を用いるのならば、不定詞の受動態を使います。
My bike needs to be repaired.
私の自転車は、修理される必要がある。
これなら意味が通ります。


今回は、to不定詞と動名詞の使い分けにしぼっていますが、実際の問題は、4択問題が普通です。
to 不定詞、動名詞(または現在分詞)、原形不定詞、過去分詞。
この4択の使い分け問題が、センター試験の定番です。
英検やTOEICでも必ず出題される問題です。

出るとわかりきっているのに苦手とする人が多いのは、勘で解いてしまっているからです。
使い分けの根拠は文法です。
英語ネイティブではない日本人は、これを感覚で解くことはできません。
「こんな英語は見た覚えがない」
と、狭い知見で判断する人は、上の(4)は正答できないと思います。
need to という言い方のほうをむしろ沢山見たことがあると感じるでしょう。
しかし、それは、主語が人間のときです。
need ~ing の用法をまだ学習していなかったから知らないだけなのです。
自分はまだ英語を学び始めたところで、知らない用法が沢山あるから、感覚で英語を解くのは無理。
そのことを自覚して、1つ1つ確実に知識を身につけていけば、このような文法問題は、むしろ得点源になります。
  


  • Posted by セギ at 12:53Comments(0)英語

    2019年06月26日

    数学Ⅱ「式と証明」多項定理。


    今回は、「多項定理」の学習です。
    例えば、こんな問題です。

    問題 (a+b+c)7の展開式におけるa3b2c2の係数を求めよ。

    まずは、(a+b+c)7を逐一展開することをイメージしましょう。
    考え方の基本は二項定理のときと同じです。
    (a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)
    と書いてみるとわかりやすいと思いますが、この7つの( )から文字を1つずつ選んでかけたものが、展開した際の1つ1つの項となります。
    aaaaaaaすなわちa7は1度しか出てきませんので、係数は1だとすぐわかりますが、aaabbccすなわちa3b2c2は、何回も同じものが出てくるでしょう。
    どの( )からaを選び、どの( )からbを選び、どの( )からcを選ぶのか。
    それらを選んで並べた順番だけ、同じ項が出てきます。
    aaabbccだったり、aababccだったりと、文字の順番はそれぞれ違うでしょうが、まとめるとa3b2c2となることに変わりはない同類項です。
    そしてそれの出てきた回数が、a3b2c2の係数となるでしょう。

    それは、aaabbccを並べる順列の数と同じです。

    すなわち、ここでも用いるのは「同じものを含む順列」です。
    「同じものを含む順列」の考え方は2通りあります。
    前回は並んだ箱をイメージして、特定の文字を入れる箱をそこから選ぶという考え方を用いました。
    今回は別の考え方を用いてみましょう。
    aaabbccで言えば、まずは7つの文字の順列を単純に考えます。
    すなわち、7P7=7!ですね。
    しかし、これは、同じ文字を別のものとして数えています。
    aについて考えれば、aの後ろに番号をつけて区別して、3つのa1,a2,a3をそれぞれ別の文字として数えていることになります。
    しかし、表面的には、それらは同じ文字です。
    a1,a2,b,a3,b,c,c も、a2,a3,b,a1,b,c,c も、実質は同じ並べ方で、区別する必要がありません。
    7!では、同じ並べ方を何度もかぶって計算していることになります。
    どれだけかぶって計算しているでしょうか?
    上の例で言えば、
    〇〇b〇bcc
    の〇の位置にaがあります。
    その3つの〇にa1,a2,a3を並べる順列だけ、同じ並べ方を何度もかぶって計算しているでしょう。
    すなわち、aに関しては、7!を3!で割ることで本当の順列の数が出てきます。
    次に、bについてはどうでしょう。
    これも同じで、2つのbの位置にどちらのbを入れても実質は同じなので、bの並べ方だけかぶって計算していますから、2!で割ることで本当の順列の数が出てきます。
    最後のcについても同様に、2!で割ることで本当の順列の数が出てきます。
    すなわち、7!/(3!2!2!) をすることで、正しい順列の数が導かれます。
    7!/(3!2!2!)
    =(7・6・5・4・3・2・1)/(3・2・1・2・1・2・1)
    =7・6・5
    =210

    これがa3b2c2の係数です。

    ところで、前回のようなCを使った求め方はできないでしょうか。
    上の問題で言えば、まず7つの並んだ箱をイメージします。
    その7つから、aを入れる3つの箱を選びます。
    すなわち、7C3です。
    次に、残った4つ箱からbを入れる箱を選びます。
    これは、4C2です。
    上の2つは積の関係が成り立ちますから、7C3・4C2で全体の数を求めることができます。
    ここで、残った2つの箱には自動的にcが入ります。
    だから計算しなくても良いのですが、2つの箱から2つを選ぶ、すなわち2C2をやるとしても、同じ結果になります。
    2C2=1ですから。
    それをあえて書くと、
    7C3・4C2・2C2
    =(7・6・5/3・2・1)×(4・3/2・1)×(2・1/2・1)
    分数で表記するとよりわかりやすいと思いますが、これは上の解き方の、
    (7・6・5・4・3・2・1)/(3・2・1・2・1・2・1)
    と全く同じ式です。
    結局、この2つは同じ式になるのです。
    だとしたら、上の解き方のほうが、簡単に立式できそうです。
    7!/3!2!2!
    の分子の「7」はどこから来た数字かというと、(a+b+c)7の「7」です。
    分母の3!2!2!の「3」「2」「2」は何の数字かというと、a3b2c2という項のそれぞれの文字の指数です。
    与えられた式の指数と求める項の指数を見ただけでささっと立式できます。
    そのようにして公式化されたもの。
    それが多項定理です。


    別の問題も解いてみましょう。

    問題 (a-b+2c)7 の展開式におけるa2b3c2の係数を求めよ。

    まず、7!/(2!3!2!) は必要ですが、これだけではありません。
    それぞれの項に1以外の係数がありますので、それも考えます。
    bの係数は-1ですので、-bを3回かけたのですから、(-1)3も係数としてかけなければなりません。
    cの係数は2ですので、22もかけなければなりません。
    したがって、
    7!/(2!3!2!)・(-1)3・2
    =-210・4
    =-840
    これが答えとなります。


    二項定理も多項定理も、一度出てくるとまたしばらく出てこないせいか忘れやすく、忘れてしまうと公式の意味がわからないので使えなくなり、また公式の意味を一から説明しなければならなくなることが多い定理です。
    公式というのは不思議なもので、「この公式は以前に自分は理解した」「証明も理解した」という記憶が残っていれば、今、その証明を覚えていなくても、自信をもって使用できます。
    しかし、公式自体を完全に忘れてしまい、学習した記憶すらないようだと、急に「この公式を使って」と言われても、気持ちが硬直し、手が止まってしまって使えない人が多いです。
    その都度、なぜその公式で解けるのか、基礎の基礎に戻らなければなりません。
    多項定理の場合、説明しようとすると順列や組合せの基礎にまで戻らないといけないですし、実は順列と組合せもよく理解できていなかったことが掘り起こされてしまったりします。
    そうした復習は一度で済めば「良い機会だった」「良い復習ができた」という感想を教える者も教わる者も抱きますが、多くの場合、一度では済まない覚悟が互いに必要です。
    そのときはわかったような気がしても、また忘れてしまう人が多いのです。
    苦手なことを得意にするというのは、生易しいことではありません。
    どうせまた忘れてしまうのだから、諦めて丸暗記して使えばいいのに・・・というわけにはいきませんし。

    記憶が残るようになるまでは何度でも説明。
    そうする覚悟が教える側に必要となります。

    とはいえ、教わる側にも遠慮が生じるようです。
    個別指導だから、わからないことは何度でも質問していいはずだけれど、センセイがちょっと変な顔をしているなあ・・・。
    以前に説明したのに・・・という顔だなあ。
    きっと説明されたんだろうなあ。
    覚えてないけど。
    ということはあるようです。

    そんなときは、教科書や参考書、こうしたネットの記録や動画を利用するのをお薦めします。
    応用問題の解き方などは調べてもわからない場合が大半と思いますが、基本の公式の意味と証明は、すぐに調べることができます。
    何度でも復習できます。


    少し話が変わりますが、先日、高校生から「英語のリスニング力を強化したい」という相談があり、それはリスニング教材で実際に練習するのも勿論だけれど、NHKのラジオ講座がいいよと話しました。
    そのとき、その子は、問い返しました。
    「え?NHKはラジオもそういうのをやっているんですか?英語もやっているんですか?」
    「・・・うん?どういうこと?」
    「高校の物理の先生がNHKの物理講座がいいというので、録画して見てるんで。あれはかなり助かります」
    「・・・ああ。それは、NHK高校講座の番組ですね。テレビやラジオで番組を見たり聞いたりして、レポートを書いたり、テストを受けたり、スクーリングに参加したりすると、高校卒業の資格を得ることができるんですよ」
    「・・・え?何ですか、それ」
    「・・・ていうか、私の勧めるラジオ講座は、それじゃないんだけど」
    「・・・え?」
    といった、かなり混線した会話を交わしました。

    NHK語学講座のことも、それとは別系統のNHK高校講座のことも、知らない子は全く知らない。
    勿体ないことだと思います。
    NHK高校講座数学Ⅰはテレビで、数学Ⅱはラジオで通年放送中です。
    非常に易しいので、基本中の基本を理解したい人にお薦めです。
    急に授業が空いて、午後7時台にぽつんと1人教室にいるときなど、ラジオ講座数学Ⅱを聴くことがあります。
    テキストがなくても聴き取れるほど易しいです。
    テキストがあればさらに易しいでしょう。
    お薦めです。

      


  • Posted by セギ at 14:49Comments(0)算数・数学

    2019年06月24日

    ピグマリオン効果と、その否定と。



    ピグマリオン効果とは、教師がその生徒は高い能力を持っていると信じ、期待し、そのように接すると、実際に生徒の成績は上がっていくという効果のことです。
    この説には異論も多く、学術的に立証された説というのではありません。
    教師の期待が、実際に生徒にどのように伝わっていくものなのか、具体的に立証する術もないですし。

    「褒めて育てる」という考え方と混同されがちなのも批判される一因だと思います。
    確かに、褒めることがテクニックになってしまい、しかも「褒めて育てる教育」という教育論を子ども自身が見聞きしていては、褒めることも逆効果になってしまいかねません。
    当然注意されるべきことを注意されただけでも、
    「褒めなければ人は伸びないのに、叱るなんておかしい」
    と子ども本人が考えるようでは、褒めても叱っても、伸びる可能性は低いでしょう。
    大した結果も出していない子を褒め続ければ、こんな程度でいいのかと子どもの中での基準が低くなり、それ以上を目指さなくなることもあります。

    私の思うピグマリオン効果は、そういうものとは少し異なります。
    褒めるのではなく、ただ秀才として信じ、遇する。
    現在の成績は悪くても、目の前の問題を今は解けなくても、この子の中には才能が眠っていると確信して接しているとき、実際秀才になった例は多いというのが私の手ごたえです。

    それは、ピグマリオン効果ではなく、実際にその子に素質があって、それが開花しただけではないのか?
    そう言われたらそうかもしれないのですが。

    そしてその逆もあります。

    もう随分前のこと。
    私が大手の個別指導塾に勤めていた頃のことです。
    小学生の男の子の算数を担当したことがありました。
    受験算数ではなく、普通の算数でした。
    算数は苦手とのことでしたが、基本をしっかり学習していくことで、学校の算数の授業やテストに対応していくことができるようになりました。
    カラーテストも満点を取ることが多くなりました。

    数か月して、その子の態度が変わっていきました。
    必ず持ってきて見せてくれた学校のテストを、持ってこなくなったのです。
    「テスト・・・?ああ、100点、100点」
    と、結果は言うのですが、持ってこないのです。
    「テストは昨日あった。まだ返ってこないけど、どうせ100点」
    そう言うこともありました。

    計算問題を解くのを嫌がるようにもなりました。
    以前は、上手くできる自信がなくて嫌がるのを励ますと何とか出来るようになり、少しずつ自信を得ていったのですが、
    「こんなの簡単だし」
    と口にするようになりました。
    なめてかかれば失敗します。
    すると、
    「俺様としたことが」
    と言ったりもしました。
    そんなキャラクターの子ではなかったのに、どうしたのだろう?

    塾では、学校よりも少し先を予習します。
    初めて学ぶ内容を学習するときの態度も少しずつ変わっていきました。
    私の説明をよく聞かず、やたらと話を遮りました。
    「わかった。こういうことでしょう?」
    と自分の考えを口にしますが、まだ若かった私にとってはちょっと対処に困るほど見当外れなのでした。
    「いやいや、そういうことじゃない。とりあえず、この説明だけは聞いてから、その先を考えよう」
    そう制して、基本の説明を聞いてもらおうとしましたが、それもすぐにさえぎられました。
    「わかった。こういうことだ」
    「いや、違うよ」
    「えー・・・」
    露骨にがっかりした顔をします。
    そんなとき、その子は、
    「学校の授業はわかりやすくて面白いのになあ」
    とつぶやくこともありました。
    「・・・うーん。それは、塾で予習して問題も完璧に解けるようになってから学校の授業を受けているからでしょう」
    塾で既に学習済みのことを、学校では初めて自分で気づいたように発言したり問題を解いたりしているんだから、それはわかりやすくて楽しいでしょう?
    その子は、私の指摘が理解できたのかできなかったのか、黙ってしまい、その話はそれきりになりました。

    学校のテスト問題を楽に解けるよう、塾ではそれより少し難しい問題も解きます。
    そうした問題を解く際のその子の姿勢は、しかし、筋道立てて考えるというものではありませんでした。
    「これ、かけ算?」
    「・・・え?」
    「わり算?」
    「・・・いや、そういうことを言い出したら、ただの四択問題になって、いつかは当たるでしょう。そうじゃなくて、かけ算ならかけ算で、どうしてなのかを説明して」
    「じゃあ、わり算だ」
    「・・・今の話、聞いてた?」
    その子には、沈黙し、思考する時間が、5秒もありませんでした。
    かけ算?わり算?
    とすぐに言い出し、私の顔色を見てどれが正しいか判断する。
    筋道立てて考えるのではなく、相手の反応を見て正解を探る。
    そういう学習姿勢が表に出るようになっていました。

    その子は、私に褒めてほしかったのかもしれません。
    学校で「よくできる子」と遇されるようになったから、私にもそのように接してほしかったのだろうかと、今になって思います。
    パッと正解を出して、「わあ、よくできたね」と褒めてほしくて、即答にこだわった。
    その即答を疑問視され、よく考えなさいと押し戻される・・・。
    褒めてほしくてやっていることのいちいちを疑問視される・・・。

    それでも、学校で褒められるために予習を一所懸命やろうというモチベーションは高いようだったので、それでも良いと思っていたのですが、少しずつ色々なことが軋み始めていました。

    ある日、教務からとんでもない指示がきました。
    「あの子、中学受験をすることになったから、次の授業から内容を受験算数に変えて」
    「・・・え?」
    文章題の内容を汲み取って考えることをせず、「これ、かけ算?わり算?」と訊いてくる子にとって、受験算数は難しいです。
    しかし、無理だと言って通る話ではないのが当時の大手の個別指導塾でした。
    私が嫌だと言えば、私はその授業を下ろされ、他の講師がその授業に入るだけでした。

    1回目の「植木算」から、授業は困難を極めました。
    実際に絵を描いて考えよう。
    慣れるまではそうしよう?
    そのように呼びかけても、その子はただ呆然としていました。
    私が実際に植木を4本描き、間の数は3個だねと数えてみせても、何のことかわからない様子でした。
    問題文の意味が読み取れないのかと、本人に音読してもらい、私からも範読し、噛み砕いて説明しても、何も理解していないのが見てとれました。
    何のために何をやっているのか、まるでわからないようなのです。
    見たことのない問題が並んでいる。
    見たことのない問題への違和感に、ただ恐怖しているように見えました。
    こんなのは、自分の知っている算数じゃない。
    こんな問題は許せない。
    こんな問題は不当だ。
    受験算数に初めて接したときの多くの小学生が感じることを、その子も感じていたのかもしれません。
    簡単に解くことのできる問題が1題もないのです。
    中学受験生向けの月列テストは、惨憺たる結果となりました。
    塾で予習できないので、やがて学校の算数の授業にも上手くついていけなくなっていったようです。
    学年が上がり、学校の算数も単元によっては難しくなっていったのも一因でしょう。
    数か月後、その子は塾を辞めていきました。


    何がいけなかったのだろう?

    分岐点は沢山あったと思いますし、色々と弁明したいこともありますが、それでも、根本の原因の1つに、私がその子の素質を信じていなかったことは大きいのではないかと思います。
    学校のカラーテストで満点を取れるようにすることはできる。
    しかし、それ以上のことは、できないと感じていました。
    小学校の頃はそれで済んでも、中学に進学すれば、成績は「2」に近い「3」。
    それを維持するのも大変だろうと予測していました。
    伸びることを期待していませんでした。

    なぜ、私はその子の素質を信じなかったのか?
    素質の無さが垣間見える言動が多かったから・・・。
    特に、思考力。
    文章題への姿勢に、疑問を感じたから。

    しかし、そこに言い訳はなかったろうかと考えます。
    その子の素質のせいにすれば、自分の責任から逃れられると無意識に考えてはいなかったろうか?

    私が思う「素質」は、そのときの計算力や理解力ではありませんでした。
    算数や数学の問題を考えないでやり過ごそうとする姿勢が垣間見えると、その子の素質を疑う気持ちが生じていました。

    例えば、かけ算でなけりゃわり算だ、という姿勢が見えたときです。
    あるいは、文章題で、文章に出てきた数字を順番にかけ算しているだけなのが見てとれたとき。
    それは間違っていると言われると、今度は、文章に出てきた大きい数を小さい数で割る式を立てるのを見たとき。
    その子は、段階を踏んで考えていかなければならない文章題は解けませんでした。
    式をまず1つ立て、その結果を使って次の式を立てる問題は解けないのです。
    「考えなさい」と促しても、考えている様子がなく、無制限に喋り続けました。
    「えー?かけ算?わり算?ヒントは?ヒントを出して」
    というように。
    黙って考えなさいと注意しても、考えている気配がありませんでした。
    考えるということが何をどうすることかわからないのか、困惑した様子でした。
    時間が過ぎるのを待っているのか、時計をチラチラ見たりします。
    思索するとき特有の目の表情になりませんでした。
    自分で何か式を立てない限り、この無言の時間は終わらないのだと悟ると、何か式を立てましたが、自分が立てた式の意味を説明できません。
    「この式はどういう意味?」
    と、私が訊くと、慌てて消していました。
    式について話し合いにならず、算数の問題についての対話ができませんでした。
    私が問題について解説を始めると、私の言葉の端々をヒントに一刻も早く正しい式を自分が先に言おうと、それにばかり必死になりますが、深い理解をしていないことは明白でした。

    つまり、考えるということは何をどうすることなのか、そのことを学びそこねているのでした。
    そういう子を見ると、これは無理だ、と判断してきました。
    この子は、伸びない。

    これを学校の算数教育のせいにするのも家庭教育のせいにするのも可能だとは思いますが、それだけではない気がしていたのです。
    ほおっておいても、人というものは、何かを考えるものではないのか?
    なぜ、こんなにも考えることを学びそこねているのだろう?
    まるで空洞のように、そこが欠落している。
    一方で、考えずに算数の点数を取る方法を、なぜこんなに身につけているのだろう?
    それのせいで、まともに考えることから日々遠ざかっていたのです。
    表面上、学校の算数はそこそこできるように見えるので、抜本的な改革の必要を本人も保護者も感じていませんでした。
    算数・数学への理解は、こんなにも空洞化しているのに。
    これでは、中学の数学は理解できない・・・。


    しかし、考えることを知らないことは、素質ではないのではないかと、この頃は思います。
    それは、ただ知らないだけです。
    考えないことが習い性になっている子に、考えることを教えるのは難しい。
    困難を極めます。
    でも、可能なことなのではないか?

    来年度から、小学校の学習指導要領は新しくなり、対話的な深い学びが要求されます。
    考えることが今までよりも重視されます。
    今の小学校で、算数の問題を考えて解くことができない子は、大人が想像する以上に多いのに、です。
    考えることを知らない子は、実は算数をほとんどわかっていません。
    かけ算・わり算の意味すら本当にはわかっていない。
    だから、どんなときにどちらをやるのか、判断できない。
    それを露呈させ、明らかにする力が、その新しい授業にあるのかどうか、今のところはわかりません。
    ただ、考えることを体感的に理解していない子にとって、その授業は空洞化したものにはなると思います。
    これまでも学習を空洞化してきたように。
    その空洞化をごまかすテクニックを、生きる知恵として彼らはまた発見するのか?
    それとも、算数の根本が理解できていないことが、今度こそ露呈されるのか?
    そこから、考えることを学び直すことは可能なのか?

    考えることを知らない子は、今も多いです。
    しかし、少なくとも、考えることを体感として理解していない子を「素質がない」と断じるのをやめてから、伸びない子はいなくなりました。
    人間にとって、思考することは、快楽の1つです。
    考えることは、誰にでもできるのです。
    それは、才能ではない。
    そう信じます。

      


  • Posted by セギ at 15:33Comments(0)講師日記

    2019年06月20日

    高校英語。不定詞その1。動名詞との使い分け。


    今回は高校レベルの不定詞。
    まずはこんな問題から。

    問題 ( )内の正しい語句を選べ。
    (1) I have enjoyed (1.to talk  2.talking ) to you.
    (2) Have you finished (1.to write 2.writing) the letter ?
    (3) Would you mind (1.to shut 2.shutting) the door ?

    これは易しい。
    よく勉強している子なら、中学生でも正答できます。
    これは、動名詞と不定詞の使い分けに関する問題です。

    動名詞は、動詞に~ing をつけて動詞を名詞化したもの。
    「~すること」という意味です。
    不定詞にも、名詞的用法があります。
    「~すること」という意味です。

    意味が重なるので、用法も重なり、どちらを用いても良い場合も多いです。
    しかし、使い分けもあります。
    どのように使い分けるか?
    それにはまず、不定詞と動名詞が持つ本来の意味を把握しておくと区別しやすくなります。

    ①不定詞は時間的に未来を指向するが、動名詞は時間的に中立または過去を指向する。
    She promised to come to the party.
    彼女はそのパーティーに来ると約束した。
    時間的に未来とは、現在から見て未来という意味ではなく、その文の動詞の時制において未来であるということです。
    上の文で、promise すなわち約束したときよりも、パーティーに来ることは未来のこと。
    だから、不定詞が用いられます。
    一方、
    I have enjoyed talking to you.
    あなたと話して楽しかったです。
    enjoy したときと talk したときは同時です。
    あるいは、
    Most men enjoy watching soccer games.
    たいていの男性はサッカーの試合を見るのが好きだ。
    この場合は、watching するのは時間的に過去か未来かは問題ではなく、中立です。
    だから、動名詞が用いられます。
    Have you finished writing the letter ?
    finish したときから見て、write したのは過去のことです。
    だから、動名詞が用いられます。

    ②不定詞だけを目的語にとる動詞は、動作の実現に対して積極的な意味あいがあるが、動名詞のみを目的語にとる動詞には、動作の実現に対して消極的な意味合いがある。
    動作の実現に対して積極的な意味あいがある動詞とは、要求・希望・意図・決心・賛成・援助・約束などの意味をもつ動詞です。
    He claimed to be the owner of the land.
    彼は自分がその土地の持ち主であると主張した。
    「クレーム」なんて否定的だ、とは言わないでください。
    主張することは、自分が地主であることに対して積極的な行動です。
    一方、
    Let's avoid wasting time.
    時間の浪費は避けよう。
    何か文の意味が積極的なんだけど・・・、とは言わないでください。
    時間を浪費するということに対して、「避ける」のだから、消極的です。
    Would you mind shutting the door ?
    ドアを閉めていただけませんか。
    mind の本来の意味は、「気にする・気にさわる」です。
    上の英文の直訳は?
    「あなたは、ドアを閉めることが気にさわりますか」となります。
    動作の実現に対して消極的意味あいの動詞ですから、後ろは動名詞がきます。

    ➂不定詞の意味上の主語は、明示されていない場合は文の主語と一致するが、動名詞の意味上の主語は必ずしも文の主語とは一致しない。
    She began to smoke.
    この場合、喫煙するのは彼女です。
    She doesn't allow smoking in her room.
    彼女は、自分の部屋で喫煙するのを許さない。
    これは、彼女が吸うことだけでなく、他の人が吸うことも許していません。

    この3つを全て満たす必要はなく、どれか1つ当てはまればそれで使い分けます。
    しかし、そんなことをいちいち判断するのは面倒でもあります。
    そこで、動名詞のみを目的語にとる動詞を覚えてしまえば、上のような問題に対する対策は万全となります。

    動名詞のみを目的語にとる主な動詞は以下の通りです。
    admit , advise , appreciate , avoid , concider , delay , deny , enjoy , escape , finish , imagine , mind , miss , permit , postpone , practice , prohibit , quit , recall , recollect , recomend , resisit , risk , stop , understand , give up , leave of , put off

    ・・・多過ぎる・・・。
    これらの動詞の最初の1文字をつなげて、メガフェプスダイリキなどと覚えたりします。
    昔は、メガフェプスで終わっていたのですが、入試にそれ以外の動詞を狙って出題する大学もあり、以後それが加わり、どんどん長くなっています。
    なお、これらは、後ろに不定詞はこないというだけで、that 節はくるものが多いということも理解しておいてください。

      


  • Posted by セギ at 11:24Comments(0)英語

    2019年06月17日

    1学期中間テストの結果が出ました。2019年。


    1学期中間テストの結果が出ました。

    数学 70点台 1人 60点台 1人 50点台 2人
    英語 80点台 1人 50点台 1人 40点台 2人

    受験が終わり、新学期になり、塾生の顔ぶれもかなり変わりました。
    さあ、まずはここから。
    前回、数学が40点台、英語が30点台だった人は、順調に上昇しました。


    数学の成績が思うように伸びない高校生の保護者の方からこんなふうな相談をされることがあります。
    「数学はこつこつ勉強しているようなんですが」

    数学をこつこつ・・・。
    それは、数学を勉強している時間は長いのだろうけれど、質や量の面はどうなのかなあ・・・。
    つい、そう考えてしまいます。

    大半の高校は、問題集を生徒に配っています。
    定期テスト範囲としてその問題集からページ指定があり、テスト当日の朝にそのページの問題を解いたノートを提出することになっている高校が多いです。
    数Ⅰと数A、数Ⅱと数Bのように、高校数学は2科目あります。
    1回のテスト範囲でそれぞれ15ページから20ページのテスト範囲が指定されます。

    数学が苦手な子は、高校数学の問題集を1ページ解くのに、2時間から3時間かかります。
    数学2科目で合計30ページの問題集を1回解くのに最低で60時間かかる計算になります。
    確かに数学をこつこつ勉強しているでしょう。
    けれど、それでもテスト範囲の問題集を1回解いただけなのです。

    その1回の中身も、質的にかなり怪しいのが実状です。
    公式を覚えていないので、教科書や問題集の解答解説と首っぴきで解いているのではないでしょうか。
    公式を代入するだけの基本問題ですら、教科書でその公式を見ながら代入しています。
    定期テスト必出の典型題も、解答解説を見ながら解いているだけです。

    そのように解答解説を見ながら解いても、時間はかかります。
    式を書き写した後は、自分で計算しようとする子が大半だからです。
    答えを書き写しているという意識が本人にはなく、わからないところだけ参考にしているつもりですから、そうなります。
    そうやって計算し終わって解答を見ると、間違っている・・・。
    どこかで計算ミスをしているのです。
    どこで計算ミスをしたのか?
    その発見と直しに、また時間がかかります。
    問題集を1回解き終わる頃には定期テスト前日になっています。

    その状態で定期テストを受けると結果はどうなるか?
    公式だけは、直前に暗記して、テスト用紙の上のほうに急いでメモしたとしても。
    どの問題でその公式を使うのか、よくわからない。
    その公式の代入の練習をしたのは随分前なので、どう代入するのかよくわからない。
    他の科目と比べて随分勉強時間を使ったのに、どうしてこんなに解けないんだろう・・・。
    そういうことになりがちです。

    少しの解決策としては。
    最初に公式を覚え、重要事項を復習し、その後、教科書や解答解説を見ないで問題を解くことです。
    せっかくこつこつ勉強している時間は、有効に使いましょう。
    「あとで覚えよう」
    と思っていたら、高校の公式は覚えきれません。
    忘れるのも早いです。

    抜本的な解決策としては。
    学校の問題集で少しでも解答解説を見て解いた問題は、必ずチェックを入れ、時間をおいて解き直しましょう。
    別の問題集でも復習するとなお良いでしょう。

    しかし、それには、それだけの勉強をする時間の確保が必要です。
    問題集1ページに2時間も3時間もかかっているのを何とかしないといけません。

    何で1ページに2時間も3時間もかかるのか?
    解き方を考えているから時間がかかっているわけではありません。
    それならむしろ良いのですが、大抵は、1分と考えずに解答解説を見ているはずです。
    それでも、2時間から3時間かかるのは、計算が遅いからです。
    遅い上に計算ミスもするので、その直しにさらに時間がかかり、結果、1ページに2~3時間かかってしまうのです。

    数学は頭脳のスポーツと言われるくらいですから、若いほうが有利です。
    理系に進む子は、高校生の段階で、私よりも計算は速くなります。
    文系でも、最低限、私と同程度のスピードでなければ、センター試験を時間内に最後まで解くことができません。

    しかし、現実には、何にそれほど時間がかかっているのだろうと疑問なほどに計算の遅い子が多いのです。
    しかも、ノートを覗き込んでも、何をしているのかよくわからないのです。
    計算過程が数学が得意な子とは違うため、何をしているのか見てもわからない・・・。
    なぜ、( )をそこで開くの?
    なぜ、そことそこを約分するの?
    なぜ、そんな順番で計算するの?
    なぜ、そこで同類項の整理をしないの?

    それは、やり方が間違っていることもありますし、間違ってはいないけれど遠回りになっていることもあります。
    そういうことの積み重なりが計算ミスをしやすい原因の1つであり、解くのにも直すのにも時間がかかる原因となっています。
    数学が頭脳のスポーツであるならば、計算には正しいフォームが必要です。
    合理的な正しいフォームで計算すれば、案外ゆっくり解いていても、答えは速く出ます。

    しかし、計算フォームというのは癖になっていて、きわめて直しにくいことの1つです。
    本人が強く自覚した上でも、矯正に時間がかかります。
    最初から正しいフォームを身につけていれば、こんなことにならないのに、と思います。

    また、そもそもかけ算・わり算の暗算が上手くできない人は、速く計算できません。
    そんなに凄い暗算をしろといっているわけではありません。
    ×1桁、÷1桁を暗算する力を持っていてほしいのです。
    もっと言えば、数字を頭の中で因数分解する力が欲しいのです。
    例えば、75=25×3 であることが筆算しなくてもパっとみてわかる力。
    48=16×3 であることを見てとれる力。
    あるいは、どんな数が7で割りきれ、どんな数が9で割りきれるかを見る力。

    これができないと、小学校5年以降の分数の通分・約分にもたつきます。
    小6以降、分数のかけ算・わり算にもたつきます。
    中1以降、小数の計算がほぼ姿を消し、分数計算ばかりになるため、数学そのものに苦手意識を持ちます。
    中3以降、因数分解が上手くできません。
    中3以降、平方根の整理にもたつきます。
    中3以降、2次方程式の計算にもたつきます。
    中3以降、三平方の定理の活用にもたつきます。
    高1以降、2次関数の整理にもたつきます。
    高1以降、三角比の計算にもたつきます。
    高1以降、確率の計算にもたつきます。
    高1以降、データの計算にもたつきます。
    高1以降、不定方程式の計算にもたつきます。
    高2以降、・・・もうやめましょう。

    整数を見たときに、その整数が何かの積の形に見えること。
    それができない数は素数であることを認識していること。

    数学が得意な人にとって当たり前のそのことに、数学が苦手な人は気づいていないことがあります。

    小学校5年になって約分・通分を学習してから急に「かけ算・わり算は暗算しろ」と命令されるわけではありません。
    そうとは言われない形で練習を繰り返しているのが、わり算の筆算です。
    わり算の筆算をスムーズに行う子は、×1桁、÷1桁の暗算がスムーズにできる子です。
    さらに言えば、わり算の筆算はそれにひき算も加わりますから、総合格闘技のようなものです。

    わり算の筆算自体は、中学以降は使う機会が減っていきます。
    全て分数で処理していきますから、筆算で割るのではなく、約分していきます。
    しかし、その約分は、わり算の筆算で鍛えてきたからこそ楽にできるようになるものです。
    約分は、わり算を暗算で行うものだからです。
    約分しなければならない段階になって急に「暗算しなさい」と言われても、練習していない子には難しいのです。
    一方、わり算の筆算が得意だった子は、最初から大きな数でバッサバサと約分できます。
    ちまちまと2や3で約分することを繰り返して途中で計算ミスをしたり、答案が汚くなって自分で見誤るといった事態を避けることができます。

    将来の約分のためにも、わり算の筆算は有効。
    ところが、全く暗算しないでわり算の筆算をする小学生もいます。
    商にまず「5」を立てて、実際に筆算し、違ったら消してやり直すのです。
    何でも「5」から始めて、1ずつ数字を上げていったり、下げていったりするのです。

    ・・・誰が教えたのだろう、こんな頭を使わない方法を。

    人間はコンピュータじゃないんですから、無駄なことを機械的に全部試すようなことは、させたらダメです。
    コンピュータはそういうことを猛スピードでできるので計算の結果は速く出ますが、人間がそれをやったら単なるわり算の筆算1問に5分もかかることがあります。
    人間を性能の悪い電卓にしてはいけない。
    わり算の筆算は、わり算をするためだけに練習しているのではありません。
    その先の学習の準備も兼ねています。
    全ての学習は、上へ上へと積み上がっていくのです。

    ただ、同じようにそれを教わっても、商に何でも「5」を立てることの無駄に早い時期で気づく子もいるでしょう。
    もっと予測を立てて、一度で正しい商を立てたら良くないか?
    わる数と予測した商との積を頭の中で暗算して、その商が正しいことを確認することは可能ではないか?
    繰り上がってくる数があるのが少しややこしいけれど、やろうと思えばできる。
    そう思う子は、商をスパスパ立て、わり算の計算問題をこなしながら、暗算力も鍛えていくのです。

    何でもまず「5」を立てて順番にやれば頭を使わなくていい。
    そんなところに安住していたら、将来、数学は相当苦しいものになると思います。

    ・・・結局、そういうことの繰り返しだったのではないか?
    例えば、中学3年になったとき、平方根の整理は、頭の中で数字を分解せず、何でも素因数分解の筆算をしてきたのではないか。
    平方根のかけ算は、平方根どうしをまずかけ算して、たとえ3桁の数になったとしても、それから素因数分解してきたのではないか。

    もっとも不器用で回り道なやり方を、それが一番頭を使わない方法だから、常に選択してきた。
    その結果が、今、高校数学の、遠回りで計算ミスだらけの答案になっているのではないか?
    工夫したやり方、頭を使うやり方を避けて、地道でも必ず答えの出るやり方を選んできたつもりが、地道過ぎて時間ばかりかかり、途中で計算ミスするため正答の出ないやり方にいつの間にかなっていた・・・。

    高校生の数学の答案に、そのような痕跡を見ることがあります。
    計算のフォームを変えましょう。
    遠回りで無駄な計算を長年やってきた分だけ、直すのに時間はかかると思います。
    それでも、改革が必要なことはあります。

      


  • Posted by セギ at 14:55Comments(0)講師日記算数・数学

    2019年06月15日

    高校数Ⅱ「式と証明」、4次式の展開と二項定理。




    数Ⅱの学習に入り、まずは3次式の展開、そして3次式の因数分解と学習しました。
    今回は、4次以上の式の展開に進みます。

    例題 (a+b)4 を展開しなさい。

    これは「二項定理」を用いて解いていくのですが、「二項定理」を理解し活用するためには、数Aで学習した「同じものを含む順列」という学習内容が身についていることが必要です。
    そして、「同じものを含む順列」を理解するためには、「組合せ」の基本を理解していることが前提となります。

    前回の3次式の因数分解でもそうでしたが、数Ⅰ・数Aの学習内容が身についていないと、新しい定理の学習が上手く進みません。
    授業では、「二項定理」を説明する前に、「同じものを含む順列」や「組合せ」について確認することが多いです。

    以下は、順列と組合せの復習です。

    例題 a、b、c、dから3つを選んで順番に並べる方法は何通りあるか。

    これが「順列」です。
    樹形図をイメージして考えていきます。
    1番目にくる候補は4通り。
    2番目は、そのそれぞれから樹形図の枝が3通りに広がります。
    3番目は、さらにそこから2通りに広がっていきます。
    したがって、式は、4×3×2=24
    高校数学では、
    4P3=4・3・2=24
    と表します。
    答は24通りです。

    したがって、順列の一般式は、
    nPr=n(n-1)(n-2)・・・・(n-r+1)
    となります。
    最後の(n-r+1)の意味がよくわからないという生徒がときどきいますが、要するに、nから順番に1ずつ小さくなる数を全部でr個かけていくということです。
    上の4P3ならば、4から始めて、4・3・2と全部で3つの数をかけました。

    それに対して「組合せ」は選ぶ順番は関係ない選び方です。

    例題 a、b、c、dから3つを選ぶ方法は何通りあるか。

    3つ選ぶだけなので、順番は関係ないですね。
    abcという選び方も、acbという選び方も、同じ選び方です。
    順番が関係ないことが「順列」との違いです。
    ですから、上の4P3の計算方法では、同じ選び方を何回もダブって数えてしまうことになります。
    具体的には、どれくらいダブって数えてしまうでしょう。
    abcを例にとれば、そのabc3つの並べ方だけダブって数えているでしょう。
    abc、acb、bac、bca、cab、cbaの6通りです。
    この計算方法は、3つから3つを選んで並べる順列です。
    すなわち3P3=3・2・1=6 です。
    よって、組合せは、上の4P3を3P3で割れば求められます。
    (4・3・2)÷(3・2・1)=4
    答えは4通りです。
    一般式としては、
    nCr=nPr÷rPrです。

    「組合せ」の基本の復習が終わったところで、次は「同じものが含まれる順列」の復習に進みます。

    例題 a、a、a、b、bの5文字の並べ方は何通りあるか。

    これは、普通の順列5P5ではダメです。
    普通の順列の計算では、3個あるaや2個あるbをそれぞれ区別して並べてしまうことになりますが、見た目が同じものは、同じ並べ方です。
    このaとあのaは実は違うと言われても、見た目が同じですから、同じ並べ方として数えるしかありません。
    5P5では、同じ並べ方を何回もダブって数えてしまうことになります。

    では、どうするか?
    同じものが含まれる順列は、これらの文字を入れる箱をまずイメージします。
    この問題では、5個の箱が横に並んでいると考えます。
    その箱のどれにa3個を入れるかを考えます。
    残る2個の箱には自動的にbが入ります。
    3個の箱の選び方は、
    5C3=(5・4・3)÷(3・2・1)=10
    答えは10通りです。
    ちなみに、aを入れる箱を選んでから、残る2個の箱からbを入れる箱2個をあえて選んでも同じ結果となります。
    5C3・2C2=(5・4・3)÷(3・2・1)×(2・1)÷(2・1)=10
    同じです。

    さて、以上で復習が終わりました。
    いよいよ、ここから一番上の問題を解いていきます。

    例題 (a+b)4 を展開しなさい。

    ( )を全て書いていけば、この式は、(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
    となります。
    これを、まずは公式を使わず、逐一展開してみましょう。
    4つの(  )から、1つずつ文字を選んで順番にかけていくことで展開できます。
    (a+b)4
    =aaaa+aaab+aaba+aabb+abaa+abab+abba+abbb+baaa+baab+baba+babb+bbaa+bbab+bbba+bbbb
    同類項をまとめると、
    =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
    となります。
    ( )の中の文字aとbのどちらか1つを選んで4つ並べていくことで1つの項が形成されるのをご理解いただけるでしょうか。
    地道に展開すると、このように解いていくことになります。

    これを、このように逐一展開するのではなく、計算で解いていく方法はないでしょうか。
    同類項ごとに、同じ同類項が何回出てくるのか考えてみます。
    aaaaすなわちa4という項は1つしかないですね。

    aaab、すなわちa3bは、逐一展開する中で何回か同じものが出てくることが予想されます。
    それは、何回出てくるのでしょうか?
    その回数がa3bの係数となるでしょう。
    その計算方法はないでしょうか?

    それは、aaabの4文字の並べ方と同じ数ではないでしょうか。
    何番目の( )からbを選んだかの数と同じという言い方もできます。
    「同じものを含む順列」の考え方をここで利用します。
    aaabの4文字を並べる順列。
    4つの箱をイメージします。
    bを入れる箱を選びましょう。
    4C1=4です。
    ちなみに、aを入れる箱3つを選んでも、同じ答えになります。
    4C3=(4・3・2)÷(3・2・1)=4です。

    次に、aabb、すなわちa2b2の係数はどうなるでしょう。
    aabbの4文字を並べる順列の数と同じでしょう。
    すなわち、4C2=(4・3)÷(2・1)=6です。

    abbb、すなわちab3の係数はどうでしょう。
    abbbの4文字を並べる順列の数と同じでしょう。
    すなわち、4C3=4C1=4です。

    最後にbbbb、すなわちb4は、1回しか出てこないとすぐに判断できますが、これも組合せの考えを使うならば、
    4C4=1とみなすことができます。
    ならば、最初のaaaaすなわちa4の係数も、4C0=1とみなすことができますね。
    bを1回も選ばないということです。
    よって、
    (a+b)4
    =4C0a4+4C1a3b+4C2a2b2+4C3ab3+4C4b4
    =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

    逐一展開したときと同じ結果になりました。ヽ(^。^)ノ

    これを一般化したものが「二項定理」です。
    二項定理をここに書こうかと思いましたが、このブログの形式では、上の式でも読みにくいのに、nだのrだと文字ばかりになると最悪の読みにくさなので、公式の確認はお手元のテキスト等をご覧いただけますと幸いです。
      


  • Posted by セギ at 13:37Comments(0)算数・数学

    2019年06月12日

    高校英語。助動詞 may と慣用表現。



    今回は、助動詞 may とその慣用表現を確認しましょう。
    may と言われて思いつくのは、
    May I help you ?

    「May I help you ? と、Can I help you ? はどう違うの?」
    といった質問をする子は、英語がそんなに得意ではない子に案外多いです。

    本気で訊いているのかな?
    そういう質問を受けた場合、こちらがまず考えるのはそういうことです。
    個別指導の場合、その場で思いついた質問を何でも口にする子がいます。
    本人が本当に疑問を抱き、その疑問が解けないことが英語学習の妨げになっているのならこちらも本気になりますが、どうもそんな印象ではないのです。
    何でも思いついたことを質問し、答えは全て聞き流す。
    そういう不可解な質問の仕方をする生徒もいます。
    「個別指導なんだから、どんどんセンセイに質問しなさいよ」
    と保護者の方に言われている可能性もあります。

    質問するのは良いことなのですが、それは、目の前にある解かねばならない問題に関連して、その問題を解く妨げとなっていることについて質問したほうが学習効果が上がります。
    違いを明瞭に意識しなれければならないことなら、学校でも説明されているはずですし、質問を受ける前に私から説明しています。
    誰からも説明されないことは、あまり気にしなくて良いこと。
    そういう把握ができると、初期の英語学習は楽だと思います。

    しかし、質問を拒絶されるのは結構傷つくことです。
    誰しも、
    「うん。いい質問ですね」
    と言われたい。
    「それは無意味な質問だな」
    と質問内容を否定されたくはないと思います。

    だから、私のわかる範囲で質問には答えます。
    may というのは、話者が与える許可で、can は周囲の事情が許す許可というのが、基本の意味です。
    だから、May I help you ? のほうは、相手の許可を問うという意味で、相手への敬意はより強いと考えられます。
    そういう意味で、多少堅苦しい表現でもあるので、口語では、Can I help you ? のほうが好まれます。
    とはいえ、May I help you ? という表現のほうを好む人はネイティブにもなおいるので、一概に言い切れるものでもありません。

    もともと英語がそんなに得意ではない中学生にそんな解説をすると、途中で目が曇り、眠りかけているのが見てとれます。
    だから、そんな質問はしなければいいのに・・・。
    テスト前で他にやらねばならないことが沢山あるときに、そんな質問をする子には、
    「うん。そういうことに興味があるのなら、大学の英語学科に進むといいよ。そういうことを沢山勉強できるよ」
    と言うこともあります。
    「いや、別にいい。興味ない」
    という反応が返ってくることがほとんどです。
    一種の質問封じです。

    問題演習を始めると、どうにも解けない。
    「どうした?何がわからない?どこがわからない?」
    と問いかけても、反応がない・・・。
    その子が、本当に質問しなければならないのは、そのタイミングです。
    保護者の方が「質問しなさい」と言っているのもそこです。
    でも、そういうときには、言葉が出てこない。
    なぜなら、何がどうわからないのか、自分で言葉にすることもできないから。
    本当に困っているときは、質問もできないのです。

    個別指導のパワーは、ここから発揮されます。
    何がわからないのか。
    どうわからないのか。
    生徒の反応を見ながら、さぐりさぐり説明を変えます。
    わかるまで説明します。
    そういう意味で、質問すること自体はそれほど大切ではありません。
    ただ、表情は正直であってほしい。
    わかっていないのにわかったふりをする子も、案外多いのです。
    「わからない」ということが恥ずかしいのかもしれません。

    伸びる子は、沢山質問をする子ではありません。
    わからないことにわかったふりをしない子です。


    さて、大幅に話がそれました。

    今回は、高校で学習する may の用法です。

    まず、「祈願の may 」と呼ばれるものがあります。
    この may は文頭に来るのが特徴です。
    文末はエクスクラメーションマーク(!)がきます。
    May you find hapiness !
    ご多幸をお祈りします。
    これは、かなり格式ばった言い方です。


    次に、may well の用法。
    「多分~だろう」という、may 単独の場合とあまり変わらない用法もありますが、そんなのはテストに出しにくいので、もう1つの意味のほうが頻出です。
    「~するのも当然だ、~するのはもっともだ」という用法です。
    この副詞 well には、助動詞のもつ可能性や容認の意味を補強する役目があります。
    They may well be proud of their daughter.
    彼らが娘の自慢をするのはもっともだ。

    続いて、may as well は、「~したほうがいい」という用法。
    訳だけですと、had better と同じようですが、may as well のほうが意味が弱く、「したくないならしなくてもいいけど、したほうがいいのでは」という助言の意味となります。
    覚え方としては、had better と同じ2語の may well のほうは全然意味が違っていて、語数の違う3語の may as well のほうが had better と意味が似ていると、そこを強く意識して覚えると混乱を避けられます。
    You may as well tell her the truth.
    彼女に本当のことを言ったほうがいい。

    may as well A as B。
    これは、「BするよりAするほうがいい」という用法です。
    you may as well do your homework now as do it later.
    宿題を後でするよりも今やったほうがいい。
    上の文は、Aのほうがお薦めな内容で、Bはダメな内容ですが、どちらもダメな内容ということもあります。
    そのニュアンスのときは、訳し方が少し変わってきます。
    「BするくらいならAしたほうがましだ」と訳した方がぴったりきます。
    You may as well throw away the money as lend it to him.
    彼に貸すくらいなら、金を捨てたほうがましだ。
    「お金を捨てる」というA内容と、「彼にお金を貸す」というB内容のどちらもお薦めではない場合です。
    なお、この文は、結局、彼に金を貸すことも金を捨てることもしないと思います。
    実現性が乏しい場合、may よりも might のほうが使われることが多いです。


    沢山あり過ぎて覚えられない・・・。
    そうやってこのような熟語や慣用表現をすぐ捨てる人がいるのですが、それは愚挙です。
    中学英語レベルの基本なんか、ほとんど出ないのです。
    テストに出るのは、ここです。
    テストに出るのがわかりきっている、こういうところを覚えましょう。
    英文法問題攻略の鉄則です。


    さて、ここでこんな問題を考えてみましょう。

    問題 ( )に適語を補充せよ。
    (1) She spoke loudly so that the people in the back (  ) hear.
    (2) She spoke loudly in order that the people in the back (  ) hear.

    どちらも「彼女は、後ろの人に聞こえるように大きな声で話した」という意味です。
    主節が spoke と過去形なので、従属節も時制の一致で過去形にしましょう。
    では、どちらも答えはcould かな?
    ・・・いいえ。
    (1)は、could 。
    (2)は、might です。

    ・・・何それ。( 一一)

    これが、私立大学入試レベルです。
    重箱の隅とはこういうことを言います。

    so that も in order that も、「~のために」と目的を表すthat 節を導く用法です。
    so that は口語的で、文意の通りの助動詞を入れればよいのですが、in order that は文語的で、may を入れます。
    ただ、so that にmay を用いることもあります。
    後半は堅苦しい文語表現になってしまいますが、間違っているわけではないので、(1)でmight は、別解としてはありえます。
    難関私立の問題で、どうも助動詞を入れる空所で何を入れたら良いかわからないときは、とりあえず might を入れましょう。
    時制ミスをクリアできる点でも、might はさらに正答率が上がります。
    時制の一致のときも、現在形だが文意を和らげるときも、どちらでも使えますから。
    might 最強。
    ヽ(^。^)ノ

    私は、こういう重箱の隅はあまり好きではありません。
    勿論、センター試験などの文法の基本問題は得点しなければなりません。
    文法知識は、英語の基本の構造を把握する意味でも重要です。
    でも、こんな難問は解けなくても、読解で多数正答できれば、どこの入試も資格試験も合格します。
    こんな問題に振り回されて、英語がわからない、英文法が苦手、などと思う必要はないと思っています。

    ただ、重箱の隅とはいえ、これは、高校生が学校から渡されている文法の参考書には載っています。
    学校の授業では使わないので、学校のロッカーの中や部屋の本棚の隅においやられている文法参考書。
    あれには、こういう「重箱の隅」が沢山載っています。
    索引から may で引いても、出てこないかもしれません。
    しかし、in order that で引けば、どの参考書にも載っているのです。
    細かいところが気になる。
    こういうレベルの問題を正答したい。
    そういう人は、なぜそれで正解なのかわからない問題を見つける度に参考書で索引を引いて調べることをお薦めします。

      


  • Posted by セギ at 13:25Comments(0)英語

    2019年06月09日

    小学校算数。円の面積に関する応用問題。



    問題 半径2㎝の円を組み合わせた上の図の灰色の部分の面積を求めなさい。
    ただし、円周率は3.14とします。

    この図をどう見るか、そして計算の工夫をどうするかで、この問題を解くスピードは大きく違ってきます。
    最短で1分とかかりませんが、計算にまごつくと10分以上かかることもあると思います。

    まずは、比較的発想しやすい普通の解き方で考えてみましょう。
    4つの円が重なっているこの図の、重なって白抜きになっている葉っぱのような形に注目します。
    受験算数では、「葉っぱ形」あるいは「ラグビーボール形」などの通称でおなじみの形です。
    4つの円の面積の和から、この葉っぱ形を引けば、求める面積が出ます。
    葉っぱ形を何個分引けば良いでしょう?
    4個?
    いいえ。
    二重に重なったものが両方の円について白抜きになって失わているのですから、1つの葉っぱにつき2個分の面積が失われていることになります。
    したがって、4つの円の面積の和から、8個の葉っぱ形の面積を引けば、求める面積が出ます。

    ところで、葉っぱ形の面積はどうすれば求められるでしょう。
    近年は、小学校の教科書にも葉っぱ形の面積1つを求める問題は載っています。

    この葉っぱ形の求め方も、考え方は2つあります。
    1つは、まず葉っぱの半分を求めて、それを2倍する方法です。
    中心角90°のおうぎ形から、直角二等辺三角形を引くことで、葉っぱの半分の面積を求めます。
    今、この図の葉っぱ形は、1辺2㎝の正方形に囲まれている葉っぱ形です。
    半径2㎝中心角90°のおうぎ形から、直角を挟む2辺の長さが2㎝の直角二等辺三角形を引くと、
    2×2×3.14÷4-2×2÷2
    =3.14-2
    =1.14
    これが、葉っぱの半分の面積ですから、葉っぱ1つの面積は、
    1.14×2=2.28

    葉っぱ形の面積も求め方の、もう1つの考え方は。
    90°のおうぎ形を向かいあわせに重ねて正方形を作ったときの重なった部分が葉っぱ形となります。
    ということは、おうぎ形2つ分から正方形を1つ引いたものが、葉っぱ形となります。
    2×2×3.14÷4×2-2×2
    =6.28-4
    =2.28

    葉っぱ形の求め方に関する基本的な考え方はこの2つですが、中学受験では葉っぱ形はよく出てくるので、その都度いちいちこんなことをしているのは面倒です。
    正方形の中で葉っぱの面積はどのような割合になっているかを考えてみるのはどうでしょう。
    まず、数値のわかりやすい基本となる正方形で考えてみます。
    1辺1㎝の正方形に囲まれた葉っぱ形の面積は、上の求め方を用いるなら、
    1×1×3.14÷4×2-1×1
    =1.57-1
    =0.57
    面積が1㎠の正方形の中に、0.57㎠の葉っぱ形があります。
    この割合は、正方形が大きくなっても小さくなっても、変らないでしょう。
    つまり、葉っぱ形は、常に正方形の面積の0.57倍です。
    1辺2㎝の正方形に囲まれた葉っぱ形は、
    2×2×0.57=2.28 
    となります。
    0.57倍ということだけ覚えておけば、とても簡単ですね。
    「名探偵コナン」と、ごろ合わせで覚えておきましょう。
    コナンで、57です。

    0.57という数字は、中学生になって円周率がπになったらもう何の意味もない数字ですので、中学受験をするのでなければ覚える必要はありません。
    そんなものを覚えるより、葉っぱ型をどうやって求めるか、その考え方は理解しておいたほうが良いのです。
    その考え方は、中学で円周率がπになっても使います。

    ともかく、上の問題の葉っぱ1つが2.28㎠だとわかりました。
    これで問題を解くことができます。
    円4つから葉っぱ8つを引きます。
    2×2×3.14×4-2.28×8
    真面目に計算してもミスしなければ答えが出ますが、少し計算の工夫をしたほうが簡単でしょう。
    2×2×3.14×4-2.28×8
    =2×3.14×8-2.28×8
    =(6.28-2.28)×8
    =4×8
    =32
    答えは、32㎠ です。


    この解き方でも、勿論答えは出るのですが、よりスマートな解き方はないでしょうか?
    この図を見てください。






    あれ?
    直しても直しても画像が傾く・・・。
    仕方ないので、この図で説明しましょう。
    上の図を、円が4つ重なっているのではなく、東京都のマークのようなイチョウの葉が4つある図と見ます。
    その1つに着目し、葉っぱの茎の付近の部分を上の図のように長方形で囲みます。
    この長方形は、中心角90°のおうぎ形2つと、葉っぱの茎の部分とに分けられるのが見えるでしょうか。
    中心角90°のおうぎ形2つ?
    それは、茎より上の部分の半円を2つに分ければ、ちょうど、中心角90°のおうぎ形2つになります。
    つまり、イチョウの葉と、長方形とは、面積が等しいです。
    この長方形の面積は?
    2×4 です。
    求める面積はイチョウ4個分ですから、
    2×4×4=32
    答えは、32㎠。
    とても簡単に求めることができますね。

    ほんのちょっとした発想や計算の工夫で、難しい問題はとても簡単に解くことができます。
    ヽ(^。^)ノ


      


  • Posted by セギ at 14:30Comments(2)算数・数学

    2019年06月06日

    高校数Ⅱ「式と証明」。3次式の因数分解と対称式の計算。


    今回から数Ⅱの学習に入ります。
    まずは、「3次式の因数分解」です。
    例えば、こんな問題です。

    問題 27x3+8y3 を因数分解せよ。

    3乗+3乗 の因数分解の公式を使うのだと、すぐにピンとくる人が多いと思います。
    この公式は、一応数Ⅱの学習範囲なのですが、数Ⅰの教科書や参考書にも載っていますので、そこで学習済みの人が大半でしょう。
    公式は、
    a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
    です。
    この公式は、右辺を展開すると左辺と同じになることから証明できます。
    疑問を感じる人は、一度、右辺を地道に展開して、左辺になることを確認すると良いと思います。

    公式が信頼できたところで、利用してみましょう。
    27x3+8y3
    =(3x+2y)(9x2-6xy+4y2)

    できました。ヽ(^。^)ノ

    では、こんな問題はどうでしょう。

    問題 x6-64 を因数分解しなさい。

    上の類題に見えて、これが意外に難しいのです。
    3次式の因数分解の公式のもう1本は、
    a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
    です。
    直前まで、この公式の基本練習をしていると、それに引きずられやすくなります。

    xの6乗は、xの2乗の3乗。
    ということは、

    x6-64
    =(x2-4)(x4+4x2+16)
    =(x+2)(x-2)(x4+4x2+16)

    よし、できたー、と思ってしまいそうですね。

    しかし、これはまだ正解ではありません。
    x4+4x2+16 は、さらに因数分解できるのです。

    数Ⅰで学習しました。
    複2次式の因数分解というものです。

    x4+4x2+16
    =x4+8x2+16-4x2
    =(x2+4)2-(2x)2
    =(x2+4+2x)(x2+4-2x)
    =(x2+2x+4)(x2-2x+4)

    平方完成の考え方を利用する解き方です。
    存在しないものをあえて足し、その後同じものを引いて辻褄をあわせます。
    そんなことをしていいの?とキョトキョトする高校生もいます。
    答えを見たら理解できるけれど自分ではきっと発想できない、と諦めてしまう子もいます。

    それにしても、この問題、本当にこんなに難しい解き方しかないのでしょうか?
    実は、もっと易しいやり方があるのです。
    中3で学習した2次式の因数分解の公式、a2-b2=(a+b)(a-b)をまず利用します。
    その後、3次式の因数分解の公式を利用します。

    x6-64
    =(x3+8)(x3-8)
    =(x+2)(x2-2x+4)(x-2)(x2+2x+4)

    随分簡単に解いていくことができます。
    3次式の因数分解を勉強したのだから、3次式の公式だけを使うのだ。
    そういうふうに視野が狭くなっていると、一番上の解き方しか発想できません。
    6次式を2次式と4次式に分解したら、後が厄介なのではないか?
    それよりも、3次式と3次式に分解したほうが後がやりやすいのでは?
    慣れてくれば、そのように先の見当をつけて解いていくこともできると思います。


    続いては、「3次式の展開公式の利用」に関する問題。
    こんな問題です。

    問題 x+1/x=3のとき、x3+1/x3の値を求めよ。

    対称式の値に関する問題です。
    中3から既に発展的内容として学習していますし、数Ⅰでも、新しい単元になる度、その都度それに関する対称式の問題を学習してきましたから、そろそろ慣れてきている人も多いと思います。
    しかし、対称式の問題に対処する度に、同じことが同じように解けない人もいます。
    理解できなかったことがそのまま残ってしまっていたり。
    わかったつもりだったのが、結局わかっていなかったりするのだと思います。

    基本対称式に関する問題は、x+yの値と、xyの値、すなわち和と積と2本の式があるはずなのに、この問題は和の式しかない。
    これじゃ、解けない。
    あるいは、積が与えられていなかったから、基本対称式の問題だと気づかなかった。
    そういう人が多いです。
    確かに、この問題では、x+1/x=3 という和しか与えられていません。
    でも、積は計算できるのです。
    積は、x・1/x=1 です。
    これの理解が重要です。

    何年か前、数学が苦手な高校生とこんなふうな会話を交わしたことがあります。
    「積は、x・1/x=1と計算できるんですよ」
    「何でですか」
    「約分すると、そうなりますよね」
    「どうしてですか」
    「分母のxと分子のxを約分すると、1になるでしょう?」
    「でも、xって、何の数かわからないじゃないですか」
    「・・・・え?」
    「何の数かわからないのに、約分していいんですか」
    「・・・・約分していいですよ。分母のxが例えば8なら、分子のxも同じ8なのだから、約分できるじゃないですか」
    「xが8って、何でわかるんですか」
    「今、『例えば』と言いましたよ。8でも7でも、分母のxと分子のxは同じ数ですから、約分できますよ」
    「分母のxが8で、分子のxが7だったら、どうするんですか」
    「そういうことはないから、大丈夫ですよ」
    「何で大丈夫だってわかるんですか」

    ・・・・うーん、これは大変だ。
    数学が苦手な子の頭の中で、「変数x」は、こんなにも不安定なものなのだと実感しました。
    数Ⅰの復習云々ではなく、小学校の「関係をあらわす式」のあたりから、もうxとyに不信感があり、理解したふりで理解できずに高校生になってしまったのだろうと思うのです。
    方程式のときはxの値が定まったり。
    関数になるとxの値は定まらなかったり。
    数学がわからない子は、このあたりが特に混沌としているのだと思います。

    「方程式と関数って、何が違うんですか?」
    と問われることもあります。
    グラフを利用できる点でかなりの部分は重なるが、そもそも定義が異なるものなので違いを考える必要はないと思うが、と説明すると、しかし、彼らは余計に混乱します。
    数学がわからない人は、その学習段階では触れないほうが良い疑問に抵触しやすい人なのかもしれません。
    その一方、中学2年の「1次関数」の学習で、連立方程式をグラフで解く方法はどこの中学でも必ず学習するのです。
    また、x=3 や y=-2 といった式もグラフに表せることを学びます。
    方程式と関数はかなりの部分で重なるものであることがそのときに示され、積年の疑問が晴れて頭がスッキリするはずなのですが、その学習にそれほどの感動を示す子を見たことはありません。

    方程式と関数は、何が違うのか?
    彼らの考えている疑問の正体は、そういうことではないのかもしれません。
    方程式と関数は、同じもののようなのに、使い方が違うのはなぜなのか?
    わからないことの正体は、それなのかもしれません。
    彼らの混沌とした疑問は、言葉の数が少ないこともあって、本当に分析が難しいのです。

    数学が苦手ということは、どういうことなのか。
    その解明は、なお道半ばです。


    ともかく、上の問題をもう一度見直しましょう。

    問題 x+1/x=3のとき、x3+1/x3の値を求めよ。

    対称式の計算のとき、因数分解の公式の他に、便利な公式があります。
    a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)
    というものです。
    これなら、a+b とab さえわかれば代入して求められます。
    この式も、右辺を展開すれば左辺になることで証明できます。
    対称式の値を求めるために作られた公式です。
    使ってみましょう。

    x3+1/x3
    =(x+1/x)3-3x・1/x(x+1/x)
    =33-3・1・3
    =27-9
    =18
    これが答えです。



      


  • Posted by セギ at 11:11Comments(0)算数・数学

    2019年06月03日

    高校英語。助動詞その3。助動詞+have +過去分詞。


    さて、まずはこんな問題から。

    問題 空所に適語を補充せよ。
    The game should (  ) started at noon.

    他の問題に混ざって、ぽこっとこんな問題が出ていると、これがどのような文法事項を問う問題なのかわからず、全く解けない人がいます。
    その結果、
    The game should (to) started at noon.
    など、あり得ない答えを書いてしまうのですが、なぜそれがあり得ないのかについての知識がないので、そうなってしまいます。
    文法知識がないと、文法問題は解けません。
    勘で解くのは不可能です。

    なぜ上の答えはあり得ないのか?
    should は、助動詞です。
    助動詞の後ろは動詞原形がきます。
    to は、何がどうなろうと決してきません。

    また、( ) の後ろは、started です。
    それが過去形であるか過去分詞であるかは見た目ではわかりませんが、少なくとも、to の直後にそんなものはきません。

    ところで、これは、過去形あるいは過去分詞のどちらなのでしょう?
    これが過去形では、「助動詞の後ろは動詞原形」というルールをどのようにしても緩和できません。
    この started は過去分詞と推測できます。
    それを知っているだけで、この問題は、直接この文法事項の知識がなくても答えることが可能です。
    空所に入るのは、動詞の原形であり、かつ、過去分詞の前にくる単語です。
    これは、be か have でしょう。
    さて、どちらでしょう。


    助動詞+have +過去分詞 は、高校で学習する助動詞の中でもよく出題される文法事項です。
    使われる助動詞は、「許可・禁止」系の意味と「推量」系の意味の2系統のうち、未定着な人の多い「推量」系の意味で使いますから、それをあわせて問うことができます。
    そんなの、テストに出るに決まっています。
    なぜそれをスルーする気になれるのか、むしろそれがわからない。
    それくらいによく出題される内容です。

    まず、基本を確認しましょう。
    He may read the book.
    彼は、その本を読むかもしれない。

    これは、現在形の用法です。
    助動詞の後ろは動詞原形しかきませんので、現在の動作に対して、現在の判断をしていることになります。
    でも、過去のことをついて判断したいときもあります。
    過去の出来事について、現在の判断をする。
    すなわち、「彼は、その本を読んだかもしれない」という文を作りたいとき、どうするか?
    「かもしれない」という判断をしているのは現在ですから、may は、そのままです。
    may を過去形 might にしたところで、過去の意味にはなりません。
    意味が和らいで、柔らかい表現になるだけです。
    日常会話では、よく使われます。

    そもそも、この文は、助動詞を過去形にして解決することではありません。
    判断しているのは現在です。
    過去の出来事について、現在の判断を下しているのです。

    でも、助動詞の後ろを過去形にすることはできない。
    それは、英語の根本ルールです。
    こんなときに使われるのが、have +過去分詞です。

    He may have read the book.
    彼は、その本を読んだかもしれない。

    これで、過去の出来事を現在判断する文を作ることができました。

    これらの用法を、
    must have+過去分詞    ~したに違いない。
    should have+過去分詞   ~したはずだ。
    should have+過去分詞   ~すべきだったのに。
    cannot have+過去分詞   ~したはずがない。
    need not have+過去分詞  ~する必要はなかったのに。

    と整理して丸暗記するのがわかりやすいというのなら止めませんが、個々の助動詞の推量系の意味をしっかりと覚え、かつ、have+過去分詞は、過去の出来事についてそれらの判断をしているのだという把握をしたほうが整理しやすいと思います。
    上の丸暗記をする人は、覚えにくいせいかすぐに忘れてしまうことが多いです。

    また、この種の問題を極端に恐れ、絶対に正解できないと思い込んでいる人もいます。
    そういう人の頭の中には、こんな問題があるようです。

    You (  ) have got up at seven.
    1 may  2.must  3.should  4.need not

    和訳がついていれば別ですが、そうでないなら、こんな問題は解けるわけがありません。
    全部、正解です。
    こんな問題はありえません。

    しかし、こういう問題が出された、こういう問題がテストに出る、という謎の主張をする子がかつていました。
    英語のテストに苦しめられ過ぎたのでしょう。
    何を解いてもバツになり、もうどう解いていいのかわからない。
    それを自分に原因があることにはしたくない。
    だから、問題のせいにしたい。
    しかも、問題のせいにして勉強を怠るというのではなく、問題がこんなふうなので、その対策をしてくれと言うのです。
    説得しても、応じません。
    こういう問題が出ると言い張るのでした。

    このような問題は、テストには出ません。
    テストは、必ず1つの選択肢に絞れるように、根拠をもって作成されています。
    1つの選択肢に絞れなかったのは、知識が足りなかったからです。
    判断の根拠のない問題は、テストには出ないのです。

    このような問題ならば出題されます。
    I (  ) attend the meeting yesterday.
    1.should 2.must 3.ought to 4.had to

    上の問題と同じようなもの?
    いいえ、全然違うのです。

    I (should) attend the meeting yesterday.
    とすると、助動詞の後ろに動詞の原形がきているだけなので、これは、現在の出来事を現在判断している文です。
    「私はその会議に出席すべきだ」
    と言っています。
    それなのに、文末に yesterday がくる。
    そんな文は、おかしいです。

    I (must) attend the meeting yesterday.
    も同様です。
    ギリギリ、must を過去形として使用しているのだととらえることは可能で、他に適切な選択肢がないのならこれを選びますが。

    I (ought to) attend the meeting yesterday.
    は、should の言い換えです。
    全く同じ意味で、過去形になっているわけではありません。
    ですから、この文もおかしいです。

    I (had to) attend the meeting yesterday.
    had to は、have to の過去形。
    過去に「~しなければならなかった」という意味です。
    この文は、「昨日、私はその会議に出席しなければならなかった」という意味になります。

    したがって、最適なのは、4.had to です。

    こうして、1つ1つ選択肢を吟味すれば、ただ1つの正答を導くことができます。
    解きようのない問題があったという過去の記憶は、細部まで注意深く観察しなかったからかもしれません。
    あるいは、1つの選択肢に絞るための知識がなかった。
    だから、問題のせいではないのです。

    繰り返しますが、根拠をもって論理的に解くことのできる問題しか出題されません。
    そこを強く意識し、間違えた問題の1問1問について、正解の根拠を意識した見直しをすることで、知識を確かめていくことができます。


    さて、冒頭の問題に戻りましょう。

    問題 空所に適語を補充せよ。
    The game should (  ) started at noon.

    答えは、have です。
    「その試合は、正午に始まったはずだ」という文です。
    The game should (be) started at noon.
    としてしまうと、「その試合は始められる」という受動態の意味になります。
    一見正しいような気がしますが、英語では、そのような受動態表現はありません。
    それでも、be と答えた子がもしいたら、それは頑張った、いいところまで問題を分析したねと褒めたいです。
    少なくとも、それは当てずっぽうの答案ではありません。
    考えて解いた問題です。
    考えて解いた蓄積は、知識の蓄積となり、今後に生かされると思います。

    四択問題を根拠もなく当てずっぽうでいくら解いても、勉強したことになりません。
    最初は時間がかかるかもしれませんが、1問1問、考えて解きましょう。
    類題が極めて多い分野ですので、知識が身につき、考え方に慣れていけば、短時間で解いていけるようになります。

      


  • Posted by セギ at 13:15Comments(0)英語