2019年06月15日
高校数Ⅱ「式と証明」、４次式の展開と二項定理。
数Ⅱの学習に入り、まずは３次式の展開、そして３次式の因数分解と学習しました。
今回は、４次以上の式の展開に進みます。
例題 (ａ＋ｂ)4 を展開しなさい。
これは「二項定理」を用いて解いていくのですが、「二項定理」を理解し活用するためには、数Ａで学習した「同じものを含む順列」という学習内容が身についていることが必要です。
そして、「同じものを含む順列」を理解するためには、「組合せ」の基本を理解していることが前提となります。
前回の３次式の因数分解でもそうでしたが、数Ⅰ・数Ａの学習内容が身についていないと、新しい定理の学習が上手く進みません。
授業では、「二項定理」を説明する前に、「同じものを含む順列」や「組合せ」について確認することが多いです。
以下は、順列と組合せの復習です。
例題 ａ、ｂ、ｃ、ｄから３つを選んで順番に並べる方法は何通りあるか。
これが「順列」です。
樹形図をイメージして考えていきます。
１番目にくる候補は４通り。
２番目は、そのそれぞれから樹形図の枝が３通りに広がります。
３番目は、さらにそこから２通りに広がっていきます。
したがって、式は、４×３×２＝２４
高校数学では、
4Ｐ3＝４・３・２＝２４
と表します。
答は２４通りです。
したがって、順列の一般式は、
nＰr＝ｎ(ｎ－１)(ｎ－２)・・・・(ｎ－ｒ＋１)
となります。
最後の(ｎ－ｒ＋１)の意味がよくわからないという生徒がときどきいますが、要するに、ｎから順番に１ずつ小さくなる数を全部でｒ個かけていくということです。
上の4Ｐ3ならば、４から始めて、４・３・２と全部で３つの数をかけました。
それに対して「組合せ」は選ぶ順番は関係ない選び方です。
例題 ａ、ｂ、ｃ、ｄから３つを選ぶ方法は何通りあるか。
３つ選ぶだけなので、順番は関係ないですね。
ａｂｃという選び方も、ａｃｂという選び方も、同じ選び方です。
順番が関係ないことが「順列」との違いです。
ですから、上の4Ｐ3の計算方法では、同じ選び方を何回もダブって数えてしまうことになります。
具体的には、どれくらいダブって数えてしまうでしょう。
ａｂｃを例にとれば、そのａｂｃ３つの並べ方だけダブって数えているでしょう。
ａｂｃ、ａｃｂ、ｂａｃ、ｂｃａ、ｃａｂ、ｃｂａの６通りです。
この計算方法は、３つから３つを選んで並べる順列です。
すなわち3Ｐ3＝３・２・１＝６ です。
よって、組合せは、上の4Ｐ3を3Ｐ3で割れば求められます。
(４・３・２)÷(３・２・１)＝４
答えは４通りです。
一般式としては、
nＣr＝nＰr÷rＰrです。
「組合せ」の基本の復習が終わったところで、次は「同じものが含まれる順列」の復習に進みます。
例題 ａ、ａ、ａ、ｂ、ｂの５文字の並べ方は何通りあるか。
これは、普通の順列5Ｐ5ではダメです。
普通の順列の計算では、３個あるａや２個あるｂをそれぞれ区別して並べてしまうことになりますが、見た目が同じものは、同じ並べ方です。
このａとあのａは実は違うと言われても、見た目が同じですから、同じ並べ方として数えるしかありません。
5Ｐ5では、同じ並べ方を何回もダブって数えてしまうことになります。
では、どうするか？
同じものが含まれる順列は、これらの文字を入れる箱をまずイメージします。
この問題では、５個の箱が横に並んでいると考えます。
その箱のどれにａ３個を入れるかを考えます。
残る２個の箱には自動的にｂが入ります。
３個の箱の選び方は、
5Ｃ3＝(５・４・３)÷(３・２・１)＝１０
答えは１０通りです。
ちなみに、ａを入れる箱を選んでから、残る２個の箱からｂを入れる箱２個をあえて選んでも同じ結果となります。
5Ｃ3・2Ｃ2＝(５・４・３)÷(３・２・１)×(２・１)÷(２・１)＝１０
同じです。
さて、以上で復習が終わりました。
いよいよ、ここから一番上の問題を解いていきます。
例題 (ａ＋ｂ)4 を展開しなさい。
( )を全て書いていけば、この式は、(ａ＋ｂ)(ａ＋ｂ)(ａ＋ｂ)(ａ＋ｂ)
となります。
これを、まずは公式を使わず、逐一展開してみましょう。
４つの( )から、１つずつ文字を選んで順番にかけていくことで展開できます。
(ａ＋ｂ)4
＝ａａａａ＋ａａａｂ＋ａａｂａ＋ａａｂｂ＋ａｂａａ＋ａｂａｂ＋ａｂｂａ＋ａｂｂｂ＋ｂａａａ＋ｂａａｂ＋ｂａｂａ＋ｂａｂｂ＋ｂｂａａ＋ｂｂａｂ＋ｂｂｂａ＋ｂｂｂｂ
同類項をまとめると、
＝ａ4＋４ａ3ｂ＋６ａ2ｂ2＋４ａｂ3＋ｂ4
となります。
( )の中の文字ａとｂのどちらか１つを選んで４つ並べていくことで１つの項が形成されるのをご理解いただけるでしょうか。
地道に展開すると、このように解いていくことになります。
これを、このように逐一展開するのではなく、計算で解いていく方法はないでしょうか。
同類項ごとに、同じ同類項が何回出てくるのか考えてみます。
ａａａａすなわちａ4という項は１つしかないですね。
ａａａｂ、すなわちａ3ｂは、逐一展開する中で何回か同じものが出てくることが予想されます。
それは、何回出てくるのでしょうか？
その回数がａ3ｂの係数となるでしょう。
その計算方法はないでしょうか？
それは、ａａａｂの４文字の並べ方と同じ数ではないでしょうか。
何番目の( )からｂを選んだかの数と同じという言い方もできます。
「同じものを含む順列」の考え方をここで利用します。
ａａａｂの４文字を並べる順列。
４つの箱をイメージします。
ｂを入れる箱を選びましょう。
4Ｃ1＝４です。
ちなみに、ａを入れる箱３つを選んでも、同じ答えになります。
4Ｃ3＝(４・３・２)÷(３・２・１)＝４です。
次に、ａａｂｂ、すなわちａ2ｂ2の係数はどうなるでしょう。
ａａｂｂの４文字を並べる順列の数と同じでしょう。
すなわち、4Ｃ2＝(４・３)÷(２・１)＝６です。
ａｂｂｂ、すなわちａｂ3の係数はどうでしょう。
ａｂｂｂの４文字を並べる順列の数と同じでしょう。
すなわち、4Ｃ3＝4Ｃ1＝４です。
最後にｂｂｂｂ、すなわちｂ4は、１回しか出てこないとすぐに判断できますが、これも組合せの考えを使うならば、
4Ｃ4＝１とみなすことができます。
ならば、最初のａａａａすなわちａ4の係数も、4Ｃ0＝１とみなすことができますね。
ｂを１回も選ばないということです。
よって、
(ａ＋ｂ)4
＝4Ｃ0ａ4＋4Ｃ1ａ3ｂ＋4Ｃ2ａ2ｂ2＋4Ｃ3ａｂ3＋4Ｃ4ｂ4
＝ａ4＋４ａ3ｂ＋６ａ2ｂ2＋４ａｂ3＋ｂ4
逐一展開したときと同じ結果になりました。ヽ(^。^)ノ
これを一般化したものが「二項定理」です。
二項定理をここに書こうかと思いましたが、このブログの形式では、上の式でも読みにくいのに、ｎだのｒだと文字ばかりになると最悪の読みにくさなので、公式の確認はお手元のテキスト等をご覧いただけますと幸いです。
今回は、４次以上の式の展開に進みます。
例題 (ａ＋ｂ)4 を展開しなさい。
これは「二項定理」を用いて解いていくのですが、「二項定理」を理解し活用するためには、数Ａで学習した「同じものを含む順列」という学習内容が身についていることが必要です。
そして、「同じものを含む順列」を理解するためには、「組合せ」の基本を理解していることが前提となります。
前回の３次式の因数分解でもそうでしたが、数Ⅰ・数Ａの学習内容が身についていないと、新しい定理の学習が上手く進みません。
授業では、「二項定理」を説明する前に、「同じものを含む順列」や「組合せ」について確認することが多いです。
以下は、順列と組合せの復習です。
例題 ａ、ｂ、ｃ、ｄから３つを選んで順番に並べる方法は何通りあるか。
これが「順列」です。
樹形図をイメージして考えていきます。
１番目にくる候補は４通り。
２番目は、そのそれぞれから樹形図の枝が３通りに広がります。
３番目は、さらにそこから２通りに広がっていきます。
したがって、式は、４×３×２＝２４
高校数学では、
4Ｐ3＝４・３・２＝２４
と表します。
答は２４通りです。
したがって、順列の一般式は、
nＰr＝ｎ(ｎ－１)(ｎ－２)・・・・(ｎ－ｒ＋１)
となります。
最後の(ｎ－ｒ＋１)の意味がよくわからないという生徒がときどきいますが、要するに、ｎから順番に１ずつ小さくなる数を全部でｒ個かけていくということです。
上の4Ｐ3ならば、４から始めて、４・３・２と全部で３つの数をかけました。
それに対して「組合せ」は選ぶ順番は関係ない選び方です。
例題 ａ、ｂ、ｃ、ｄから３つを選ぶ方法は何通りあるか。
３つ選ぶだけなので、順番は関係ないですね。
ａｂｃという選び方も、ａｃｂという選び方も、同じ選び方です。
順番が関係ないことが「順列」との違いです。
ですから、上の4Ｐ3の計算方法では、同じ選び方を何回もダブって数えてしまうことになります。
具体的には、どれくらいダブって数えてしまうでしょう。
ａｂｃを例にとれば、そのａｂｃ３つの並べ方だけダブって数えているでしょう。
ａｂｃ、ａｃｂ、ｂａｃ、ｂｃａ、ｃａｂ、ｃｂａの６通りです。
この計算方法は、３つから３つを選んで並べる順列です。
すなわち3Ｐ3＝３・２・１＝６ です。
よって、組合せは、上の4Ｐ3を3Ｐ3で割れば求められます。
(４・３・２)÷(３・２・１)＝４
答えは４通りです。
一般式としては、
nＣr＝nＰr÷rＰrです。
「組合せ」の基本の復習が終わったところで、次は「同じものが含まれる順列」の復習に進みます。
例題 ａ、ａ、ａ、ｂ、ｂの５文字の並べ方は何通りあるか。
これは、普通の順列5Ｐ5ではダメです。
普通の順列の計算では、３個あるａや２個あるｂをそれぞれ区別して並べてしまうことになりますが、見た目が同じものは、同じ並べ方です。
このａとあのａは実は違うと言われても、見た目が同じですから、同じ並べ方として数えるしかありません。
5Ｐ5では、同じ並べ方を何回もダブって数えてしまうことになります。
では、どうするか？
同じものが含まれる順列は、これらの文字を入れる箱をまずイメージします。
この問題では、５個の箱が横に並んでいると考えます。
その箱のどれにａ３個を入れるかを考えます。
残る２個の箱には自動的にｂが入ります。
３個の箱の選び方は、
5Ｃ3＝(５・４・３)÷(３・２・１)＝１０
答えは１０通りです。
ちなみに、ａを入れる箱を選んでから、残る２個の箱からｂを入れる箱２個をあえて選んでも同じ結果となります。
5Ｃ3・2Ｃ2＝(５・４・３)÷(３・２・１)×(２・１)÷(２・１)＝１０
同じです。
さて、以上で復習が終わりました。
いよいよ、ここから一番上の問題を解いていきます。
例題 (ａ＋ｂ)4 を展開しなさい。
( )を全て書いていけば、この式は、(ａ＋ｂ)(ａ＋ｂ)(ａ＋ｂ)(ａ＋ｂ)
となります。
これを、まずは公式を使わず、逐一展開してみましょう。
４つの( )から、１つずつ文字を選んで順番にかけていくことで展開できます。
(ａ＋ｂ)4
＝ａａａａ＋ａａａｂ＋ａａｂａ＋ａａｂｂ＋ａｂａａ＋ａｂａｂ＋ａｂｂａ＋ａｂｂｂ＋ｂａａａ＋ｂａａｂ＋ｂａｂａ＋ｂａｂｂ＋ｂｂａａ＋ｂｂａｂ＋ｂｂｂａ＋ｂｂｂｂ
同類項をまとめると、
＝ａ4＋４ａ3ｂ＋６ａ2ｂ2＋４ａｂ3＋ｂ4
となります。
( )の中の文字ａとｂのどちらか１つを選んで４つ並べていくことで１つの項が形成されるのをご理解いただけるでしょうか。
地道に展開すると、このように解いていくことになります。
これを、このように逐一展開するのではなく、計算で解いていく方法はないでしょうか。
同類項ごとに、同じ同類項が何回出てくるのか考えてみます。
ａａａａすなわちａ4という項は１つしかないですね。
ａａａｂ、すなわちａ3ｂは、逐一展開する中で何回か同じものが出てくることが予想されます。
それは、何回出てくるのでしょうか？
その回数がａ3ｂの係数となるでしょう。
その計算方法はないでしょうか？
それは、ａａａｂの４文字の並べ方と同じ数ではないでしょうか。
何番目の( )からｂを選んだかの数と同じという言い方もできます。
「同じものを含む順列」の考え方をここで利用します。
ａａａｂの４文字を並べる順列。
４つの箱をイメージします。
ｂを入れる箱を選びましょう。
4Ｃ1＝４です。
ちなみに、ａを入れる箱３つを選んでも、同じ答えになります。
4Ｃ3＝(４・３・２)÷(３・２・１)＝４です。
次に、ａａｂｂ、すなわちａ2ｂ2の係数はどうなるでしょう。
ａａｂｂの４文字を並べる順列の数と同じでしょう。
すなわち、4Ｃ2＝(４・３)÷(２・１)＝６です。
ａｂｂｂ、すなわちａｂ3の係数はどうでしょう。
ａｂｂｂの４文字を並べる順列の数と同じでしょう。
すなわち、4Ｃ3＝4Ｃ1＝４です。
最後にｂｂｂｂ、すなわちｂ4は、１回しか出てこないとすぐに判断できますが、これも組合せの考えを使うならば、
4Ｃ4＝１とみなすことができます。
ならば、最初のａａａａすなわちａ4の係数も、4Ｃ0＝１とみなすことができますね。
ｂを１回も選ばないということです。
よって、
(ａ＋ｂ)4
＝4Ｃ0ａ4＋4Ｃ1ａ3ｂ＋4Ｃ2ａ2ｂ2＋4Ｃ3ａｂ3＋4Ｃ4ｂ4
＝ａ4＋４ａ3ｂ＋６ａ2ｂ2＋４ａｂ3＋ｂ4
逐一展開したときと同じ結果になりました。ヽ(^。^)ノ
これを一般化したものが「二項定理」です。
二項定理をここに書こうかと思いましたが、このブログの形式では、上の式でも読みにくいのに、ｎだのｒだと文字ばかりになると最悪の読みにくさなので、公式の確認はお手元のテキスト等をご覧いただけますと幸いです。
Posted by セギ at 13:37│Comments(0)
│算数・数学
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