2020年07月23日
高校数Ⅱ「図形と方程式」。直線の方程式の求め方。その３
高校数Ⅱ「図形と方程式」の学習の続きです。
前回学習した、直線の方程式に関する公式は次のものでした。
傾きがｍで、点(ｘ1,ｙ1)を通る直線の方程式は、
ｙ－ｙ1＝ｍ(ｘ－ｘ1)
また、２点(ｘ1,ｙ1)、(ｘ2,ｙ2)を通る直線の方程式は、
ｙ－ｙ1＝ｙ2－ｙ1/ｘ2－ｘ1 (ｘ－ｘ1)
平行な２直線は、傾きが等しい。
垂直な２直線は、傾きの積が－１。
今回は、それの応用編です。
問題 直線２ｘ＋ｙ＋２＝０ に平行で、点(１,２)を通る直線の式を求めよ。
まず与えられた式を、ｙ＝・・・・の形に直して傾きを求め、その上で、点(１,２)を代入して解くという方法を思いつけたら、それはそれでよいのです。
ただ、これを瞬時に解く公式もあります。
点(ｘ1,ｙ1)を通り、直線 ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ に平行な直線の方程式は、
ａ(ｘ－ｘ1)＋ｂ(ｙ－ｙ1)＝０ です。
ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ という式の形に最初は戸惑う人もいるかもしれません。
中学時代は、直線の式は、ｙ＝・・・・の形でなければダメと言われましたが、高校では、右辺が０になる式も用います。
この後、この形のほうが利用しやすい別の事柄があるからなのです。
ａ、ｂ、ｃは具体的な数字が入ります。
上の公式は、ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０ をｙ＝・・・に変形してみれば理解できます。
ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０
ｂｙ＝－ａｘ－ｃ
ｙ＝－ａ/ｂ・ｘ－ｃ/ｂ
よって、この直線の傾きは、－ａ/ｂ です。
前回学習した公式を利用すると、傾きが－ａ/ｂで、点(ｘ1,ｙ1)を通る直線は、
ｙ－ｙ1＝－ａ/ｂ(ｘ－ｘ1)
両辺をｂ倍して、
ｂ(ｙ－ｙ1)＝－ａ(ｘ－ｘ1)
左辺に移項して、
ａ(ｘ－ｘ1)＋ｂ(ｙ－ｙ1)＝０
これが、上の公式です。
この公式を用いると、上の問題は瞬時に解けます。
直線２ｘ＋ｙ＋２＝０に平行で、点(１,２)を通る直線だから、
２(ｘ－１)＋(ｙ－２)＝０
このまま答えとするのではなく、整理します。
２ｘ－２＋ｙ－２＝０
２ｘ＋ｙ－４＝０
これが上の問題の解答です。
この公式とセットで覚えるとお得な公式は、
直線ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０に垂直で、点(ｘ1,ｙ1)を通る直線は、
ｂ(ｘ－ｘ1)－ａ(ｙ－ｙ1)＝０
この公式も、上のような変形の仕方で導くことができます。興味がありましたら、上と同じようにしてやってみてください。
これらの公式は覚えにくいです。
別にこんな公式を覚えなくても、まず傾きを求める解き方でも解けます。
ただ、困るのは、この先、問題集の解説で、この公式を当然のように使い、特に説明も加えていないものがあることです。
何で急にこんな式が立っているのか、わからない・・・。
そうならないために、こういう公式もあると頭の隅に置いておきましょう。
自分では使わなくても良いので、問題集の解説を読んで意味がわからなかったとき、
「あれ？あの公式を使っているのかな？」
と考えることができれば、学習が先に進みます。
こうした公式のメリットは、問題を解く時間を短縮できることです。
直線の式１本求めるのに、まず傾きを求める解き方では、２分～３分かかります。
この公式を使えば、３０秒もかからないのです。
逆に言えば、それ以外には特にメリットはないので、どうしても覚えられなかったら、覚えなくても大丈夫です。
高校生としては、このあたりの内容でどうしても覚えてほしいのは、冒頭に書いた４つの内容。
これらは使う機会が多いので、いちいち中学生の解き方で時間をかけていると、テストでは時間が足りなくなります。
それ以上の公式は、使う機会も限られているので、本人の覚える力に応じてで構わないと思います。
問題 直線ａｘ－６ｙ－５＝０が直線２ｘ－３ｙ＋６＝０に平行であるとき、定数ａの値を求めよ。
これも、傾きを求めれば解ける問題です。
それぞれの直線を、ｙ＝・・・・の形に変形し、傾きを比較すれば、定数ａを求めることができます。
やってみましょう。
ａｘ－６ｙ－５＝０より
－６ｙ＝－ａｘ＋５
ｙ＝ａ/６ｘ－５/６
よって、この直線の傾きはａ/６です。
２ｘ－３ｙ＋６＝０
－３ｙ＝－２ｘ－６
ｙ＝２/３ｙ＋２
よって、この直線の傾きは２/３です。
この２直線は平行なので、傾きは等しいですから、
ａ/６＝２/３
ａ＝２/３ ×６
ａ＝４
これにも、公式があります。
２直線ａ1ｘ＋ｂ1ｙ＋ｃ1＝０、 ａ2ｘ＋ｂ2ｙ＋ｃ2＝０ が、
平行なとき、ａ1ｂ2－ａ2ｂ1＝０
垂直なとき、ａ1ａ2＋ｂ1ｂ2＝０
上の問題にこの公式を用いると、
ａ・(－３)－２(－６)＝０
－３ａ＋１２＝０
－３ａ＝－１２
ａ＝４
与式をいちいちｙ＝・・・の形に変形せずにすぐに式を立てることができます。
覚える余力のある人は、覚えておくと良い公式です。
なぜこの公式が成り立つのか、考えてみましょう。
直線ａ1ｘ＋ｂ1ｙ＋ｃ1＝０ の傾きを求めましょう。
ｂ1ｙ＝－ａ1－ｃ1
ｙ＝－ａ1/ｂ1－ｃ1/ｂ1
よって、傾きは、－ａ1/ｂ1
また、ａ2ｘ＋ｂ2ｙ＋ｃ2＝０ は、
ｂ2ｙ＝－ａ2ｘ－ｃ2
ｙ＝－ａ2/ｂ2－ｃ2/ｂ2
よって、傾きは、－ａ2/ｂ2
この２直線が平行なとき、傾きは等しいので、
－ａ1/ｂ1＝－ａ2/ｂ2
ａ1/ｂ1＝ａ2/ｂ2
両辺に ｂ1ｂ2 をかけて、
ａ1ｂ2＝ａ2ｂ1
ａ1ｂ2－ａ2ｂ1＝０
となります。
この２直線が垂直なとき、傾きの積は－１ですから、
－ａ1/ｂ1・－ａ2/ｂ2＝－１
両辺に ｂ1ｂ2 をかけて、
ａ1ａ2＝－ｂ1ｂ2
ａ1ａ2＋ｂ1ｂ2＝０
となります。
