2020年07月08日
高校数Ⅱ「図形と方程式」。直線の方程式の求め方。その２。垂直に交わる直線。
ある直線と平行な直線、あるいは垂直な直線の求め方。
問題を見てみましょう。
問題
(１)直線 ｙ＝２ｘ＋１ に平行で、点(－２，３)を通る直線を求めよ。
(２)直線 ｙ＝－１/３ ｘ ＋１ に垂直で、点(１,－２)を通る直線を求めよ。
まずは(１)から。
ある直線と平行な直線の求め方は、中２でも学習しています。
平行だということは、傾きが等しいということ。
だから、求める直線の傾きも、２です。
そして、点(－２,３)を通るのですから、前回学習した直線の式、
ｙ－ｙ1＝ｍ(ｘ－ｘ1) に代入して、
ｙ－３＝２(ｘ＋２)
ｙ＝２ｘ＋４＋３
ｙ＝２ｘ＋７
これが答です。
では、(２)はどうでしょうか？
ある直線と垂直な直線。
これも、私立中学や、進学塾の学力上位クラスでは、中学生で学習している内容です。
もとの直線の傾きと、垂直な直線の傾きとの積は、－１。
それを利用すれば、求める直線の傾きは、３です。
あとは、直線の公式を利用し、
ｙ＋２＝３(ｘ－１)
ｙ＝３ｘ－３－２
ｙ＝３ｘ－５
これが答となります。
ところで、解き方自体は簡単でしたが、もとの直線の傾きと、垂直な直線の傾きとの積は、なぜ－１なのでしょう？
これは、中学で発展的な学習をしてきた人でも、案外答えられないのです。
とにかく、－１になるんだ。
そう教えられて、それを使ってきた。
理由なんか説明されなかった。
そのように主張する人もいるかもしれません。
事実、そうだったのかもしれません。
しかし、理由も説明されたのに、それを忘れているだけかもしれません。
簡単そうに思えることでも、理由を説明するとなると結構大変なことが数学にはあります。
説明するほうも大変ですが、理解するほうも大変です。
前回説明した、「分数のわり算はなぜ逆数のかけ算で計算できるのか」という件もそうでした。
今回の件も、そういうものの１種だと思います。
なぜ２直線が垂直に交わるとき、２直線の傾きの積は－１なのか、説明します。
上の図を見てください。
今、垂直な２直線を、
ｙ＝ｍ1ｘ＋ｎ1
ｙ＝ｍ2ｘ＋ｎ2
とおきます。
それぞれの直線を原点を通るように平行移動すると、式はそれぞれ、
ｙ＝ｍ1ｘ
ｙ＝ｍ2ｘ
となります。
この２直線も、垂直に交わります。
それぞれの直線上で、ｘ座標が１の点をＭ、Ｎとすると、それぞれの座標は、
Ｍ(１,ｍ1)1、Ｎ(１,ｍ2) となります。
点Ｍは、ｙ＝ｍ1ｘ上の点なので、ｘ座標が１のとき、ｙ座標はｍ1。
同様に、点Ｎの座標は(１,ｍ2)となるのです。
２直線は垂直に交わっていますから、△ＯＭＮは、上の図のように∠ＭＯＮが９０度の直角三角形です。
三平方の定理より、
ＯＭ2＋ＯＮ2＝ＭＮ2 となります。
では、それぞれの辺の長さはどう求めましょう？
２点間の距離の求め方は、この前やりましたね。
Ｏ(０,０)とＭ(１,ｍ1)との距離は、
√(０－１)2＋(０－ｍ1)2 ですから、
ＯＭ2＝１＋ｍ1の２乗 となります。
同様に、
ＯＮ2＝１＋ｍ2の２乗
ＭＮ2＝(０－０)2＋(ｍ1－ｍ2)2＝(ｍ１－ｍ2)2
これらを、ＯＭ2＋ＯＮ２＝ＭＮ2 に代入して、
(１＋ｍ1の２乗)＋(１＋ｍ2の２乗)＝(ｍ1－ｍ2)2
これを展開すると、
ｍ1の２乗＋ｍ2の２乗＋２＝ｍ1の２乗－２ｍ1ｍ2＋ｍ2の２乗
移項して整理すると、
２ｍ1ｍ2＝－２
ｍ1ｍ2＝－１
よって、２直線の傾きの積は、－１である。
どうでしょうか？
・・・これも、１つ１つ段階を踏んで論理的なので、途中で、
「もういいから、垂直な２直線の傾きの積は－１と覚えます」
とため息をつく人もいるかもしれません。
簡単そうに見えることでも、証明は結構難しく、理解するのが大変なことはあります。
証明自体がエキサイティングで、証明を理解することで数学の面白さに目覚める！
・・・それならよいのですが、こうした証明は、そんなふうではないことが多いです。
もっと面白いかと思っていたのに、テンションだだ下がり・・・。
何とかショーアップして、この手の証明をエキサイティングなものにし、生徒が数学の面白さに目覚めるようにしたらよいのでは？
それが講師の能力というものなのでは？
・・・それもわかります。
その一方、そんなふうにいちいち「濃い味」のものに調理してスプーンで口の中に入れてあげないと味がわからないのなら、自立した学習者になるのは難しいのではないかとも思うのです。
面白さは自力で発見できるようであってほしい。
その狭間で、悩む日々です。
ただ、理解できたこと自体の快感はあると思います。
難しいけれど、理解できた。
霧が晴れた。
納得できたから、この定理を使おう。
そのほうが、意味もわからずただ使うだけよりも、精神的に安定した状態で数学の問題に向き合えると思うのです。
