2021年10月14日
高校数Ⅱ「三角関数」。三角関数の最大・最小。
問題 関数 ｙ＝４sin^2 θ－４cos θ＋１ (０≦θ＜２π) の最大値と最小値を求めよ。またそのときの θ の値を求めよ。
はい。
テストによく出る重要問題です。
こういう式の見た目だと、何のことやらもうわからない、となる人もいます。
関数は、ｘ と ｙ を使うもの。
こんなのは関数ではない。
そういう固定観念が強いため、そうではない見た目のものに関する抵抗感があるのだと思います。
でも、これも関数です。
これはどういう関数なのでしょう？
関数のそもそもの定義に戻りましょう。
「ｘ の値が定まると、それによって ｙ の値がただ１つに定まるとき、ｙ を ｘ の関数という」
これが定義です。
では、今回、何の値が定まると、それによって ｙ の値がただ１つに定まるのでしょうか。
θ です。
θ の値が定まると、それによって、ｙ の値はただ１つに定まるのです。
ところが、ここで厄介なのは、θ 軸とｙ 軸で座標平面にこのグラフを描くのは大変しんどいということ。
θ は角の大きさですが、この問題で ｙ の大きさと深くかかわっているのは、sin^2 θ とcos θ だということです。
ここまで学習が進んでも、・・・いや、ここまで学習が進んだからこそでしょうか、基本を忘れ、θ とsin θ とをしばしば混同してしまう人がいます。
サインやコサインを角の大きさと混同してしまうのです。
混乱したら基本に戻りましょう。
θ は角の大きさ。
サインやコサインは、三角比です。
この問題では、θ と ｙ との関係を直接見ようとすると難しすぎます。
ではどうするか？
サインやコサインの値と ｙ の値との関係なら、何か法則を見抜けるのではないか？
はあ？
・・・サインとコサインのどちらと？
両方あると、いちいち両方のことを考えなくてはならず、難しい・・・。
しかし、どちらかに統一すれば、わかりやすくなります。
そうです。
まず、式を、サインかコサインのどちらかに統一するのです。
この先、加法定理や２倍角の公式などが出てきた後の三角関数でもそうです。
サインかコサインに統一した式にすれば、関係がすっきりします。
どちらにするか？
どちらなら、もう片方に直すことは可能か？
この問題では、数Ⅰ「三角比」の頃から学習している三角比の相互関係の公式が役立ちます。
sin^2 θ＋cos^2 θ＝１
これを使えば、サインはコサインに、コサインはサインに書き換えることができます。
sin^2 θ＝１－cos^2 θ を、代入できます。
ｙ＝４sin^2 θ－４cos θ＋１
＝４(１－cos^2 θ)－４cos θ＋１
＝４－４cos^2 θ－４cos θ＋１
＝－４cos^2 θ－４cos θ＋５
このままでもいいのですが、もっと見やすくするために、cos θ を別の文字に置き換えてみましょう。
そういうときは、ｔ を使うことが多いです。
cos θ＝ｔ とおく。(－１≦ｔ≦１)
うん？
何でこんな変域が突然出てきたの？
これ、忘れがちなのですが、コサインもサインも、変域は－１から１までです。
これは、サイン・コサインの定義からきています。
半径１の単位円上の点Ｐ(ｘ , ｙ)と原点を結んだ動径ＯＰと、ｘ軸の正の方向とのなす角を θ とすると、
sinθ＝ｙ、cosθ＝ｘ
でした。
ｘ も ｙ も単位円上の座標ですから、－１から１までしか動けません。
さて、cos θ＝ｔ を先ほどの関数に代入しましょう。
y＝－４ｔ^2－４ｔ＋５
ああ、これは、普通の２次関数ですよね。
平方完成しましょう。
y＝－４(ｔ^2＋ｔ)＋５
＝－４(ｔ＋１/２)2＋１＋５
＝－４(ｔ＋１/２)2＋６
平方完成は、上のように、まず係数でくくると、やりやすくなります。
無理に一度でやって、符号ミスや( )内の定数項を間違えてしまう人は、かなり損をしています。
せっかく解き方がわかったのですから、丁寧に解いていきましょう。
平方完成したので、放物線の頂点の座標がわかりました。
これは上に凸の放物線。
頂点の座標は、(－１/２ , ６)。
ｔ＝－１/２のとき、最大値６だということです。
え？
どういうこと？
そう感じる人は、２次関数の最大・最小ということを忘れてしまっているのかもしれません。
「２次関数の最大値・最大値」というのは、ｙの値の最大値・最小値ということです。
ここでモヤモヤする場合は、数Ⅰ「２次関数」の復習をしましょう。
ｔ＝－１/２のとき、最大値６
しかし、これで最終解答とするわけにはいきません。
ｔ は自分で勝手に定義した文字です。
戻しましょう。
cos θ＝ｔ とおいたのでした。
だから、cos θ＝－１/２ です。
このままでも、まだ最終解答ではありません。
求めるのは、コサインの値ではなく、θ の大きさです。
cos θ＝－１/２
すなわち、
θ＝２/３π、４/３π です。
θ＝２/３π、４/３π のとき、最大値６。
これが最大値の最終解答です。
最小値も求めるのでした。
放物線は永遠に下に向かっていくから、最小値はない？
・・・いいえ。
繰り返しますが、ｔ には、定義域がありました。
ｙ＝＝－４(ｔ＋１/２)^2＋６
という２次関数で、定義域は、－１≦ｔ≦１ です。
定義域のある最大値・最小値。
これも、数Ⅰ「２次関数」で学習した内容です。
モヤモヤしたら復習してください。
上に凸の放物線は、頂点のところが最大値。
頂点から離れると、ｙの値はどんどん小さくなっていきます。
－１≦ｔ≦１ という定義域の中で、頂点の ｔ＝－１/２ からより遠いのは、ｔ＝１ です。
このとき、ｙの値は最小になります。
この場合、
ｙ＝＝－４(ｔ＋１/２)^2＋６
という式に、ｔ＝１を代入しても、同じ値が出ますが、少し計算が面倒臭いです。
平方完成する前の式に代入したほうが計算ミスを防げます。
同じ式ですから、結果は同じです。
ｙ＝－４ｔ^2－４ｔ＋５ に ｔ＝１を代入して、
ｙ＝－４－４＋５
＝－３
ｔ＝１のとき、最小値－３
これも、ｔ＝１のままでは最終解答とはなりません。
cos θ＝１
よって、
θ＝０
これで、答が出ました。
最終解答は、
θ＝２/３π、４/３π のとき、最大値６
θ＝０ のとき、最小値－３
以上です。
そもそも、三角関数がよくわからないのに加えて、数Ⅰ「２次関数」で学習した内容を忘れているので、こういう問題が解けない・・・。
そういう人が多いです。
作業手順の暗記で済まそうとしても、手順が何段階にも及ぶので、覚えきれない・・・。
理解しましょう。
わからないことがあったら、それを解決しましょう。
数Ⅰ「三角比」や「２次関数」で学習したことは、今後も、本当によく使います。
はい。
テストによく出る重要問題です。
こういう式の見た目だと、何のことやらもうわからない、となる人もいます。
関数は、ｘ と ｙ を使うもの。
こんなのは関数ではない。
そういう固定観念が強いため、そうではない見た目のものに関する抵抗感があるのだと思います。
でも、これも関数です。
これはどういう関数なのでしょう？
関数のそもそもの定義に戻りましょう。
「ｘ の値が定まると、それによって ｙ の値がただ１つに定まるとき、ｙ を ｘ の関数という」
これが定義です。
では、今回、何の値が定まると、それによって ｙ の値がただ１つに定まるのでしょうか。
θ です。
θ の値が定まると、それによって、ｙ の値はただ１つに定まるのです。
ところが、ここで厄介なのは、θ 軸とｙ 軸で座標平面にこのグラフを描くのは大変しんどいということ。
θ は角の大きさですが、この問題で ｙ の大きさと深くかかわっているのは、sin^2 θ とcos θ だということです。
ここまで学習が進んでも、・・・いや、ここまで学習が進んだからこそでしょうか、基本を忘れ、θ とsin θ とをしばしば混同してしまう人がいます。
サインやコサインを角の大きさと混同してしまうのです。
混乱したら基本に戻りましょう。
θ は角の大きさ。
サインやコサインは、三角比です。
この問題では、θ と ｙ との関係を直接見ようとすると難しすぎます。
ではどうするか？
サインやコサインの値と ｙ の値との関係なら、何か法則を見抜けるのではないか？
はあ？
・・・サインとコサインのどちらと？
両方あると、いちいち両方のことを考えなくてはならず、難しい・・・。
しかし、どちらかに統一すれば、わかりやすくなります。
そうです。
まず、式を、サインかコサインのどちらかに統一するのです。
この先、加法定理や２倍角の公式などが出てきた後の三角関数でもそうです。
サインかコサインに統一した式にすれば、関係がすっきりします。
どちらにするか？
どちらなら、もう片方に直すことは可能か？
この問題では、数Ⅰ「三角比」の頃から学習している三角比の相互関係の公式が役立ちます。
sin^2 θ＋cos^2 θ＝１
これを使えば、サインはコサインに、コサインはサインに書き換えることができます。
sin^2 θ＝１－cos^2 θ を、代入できます。
ｙ＝４sin^2 θ－４cos θ＋１
＝４(１－cos^2 θ)－４cos θ＋１
＝４－４cos^2 θ－４cos θ＋１
＝－４cos^2 θ－４cos θ＋５
このままでもいいのですが、もっと見やすくするために、cos θ を別の文字に置き換えてみましょう。
そういうときは、ｔ を使うことが多いです。
cos θ＝ｔ とおく。(－１≦ｔ≦１)
うん？
何でこんな変域が突然出てきたの？
これ、忘れがちなのですが、コサインもサインも、変域は－１から１までです。
これは、サイン・コサインの定義からきています。
半径１の単位円上の点Ｐ(ｘ , ｙ)と原点を結んだ動径ＯＰと、ｘ軸の正の方向とのなす角を θ とすると、
sinθ＝ｙ、cosθ＝ｘ
でした。
ｘ も ｙ も単位円上の座標ですから、－１から１までしか動けません。
さて、cos θ＝ｔ を先ほどの関数に代入しましょう。
y＝－４ｔ^2－４ｔ＋５
ああ、これは、普通の２次関数ですよね。
平方完成しましょう。
y＝－４(ｔ^2＋ｔ)＋５
＝－４(ｔ＋１/２)2＋１＋５
＝－４(ｔ＋１/２)2＋６
平方完成は、上のように、まず係数でくくると、やりやすくなります。
無理に一度でやって、符号ミスや( )内の定数項を間違えてしまう人は、かなり損をしています。
せっかく解き方がわかったのですから、丁寧に解いていきましょう。
平方完成したので、放物線の頂点の座標がわかりました。
これは上に凸の放物線。
頂点の座標は、(－１/２ , ６)。
ｔ＝－１/２のとき、最大値６だということです。
え？
どういうこと？
そう感じる人は、２次関数の最大・最小ということを忘れてしまっているのかもしれません。
「２次関数の最大値・最大値」というのは、ｙの値の最大値・最小値ということです。
ここでモヤモヤする場合は、数Ⅰ「２次関数」の復習をしましょう。
ｔ＝－１/２のとき、最大値６
しかし、これで最終解答とするわけにはいきません。
ｔ は自分で勝手に定義した文字です。
戻しましょう。
cos θ＝ｔ とおいたのでした。
だから、cos θ＝－１/２ です。
このままでも、まだ最終解答ではありません。
求めるのは、コサインの値ではなく、θ の大きさです。
cos θ＝－１/２
すなわち、
θ＝２/３π、４/３π です。
θ＝２/３π、４/３π のとき、最大値６。
これが最大値の最終解答です。
最小値も求めるのでした。
放物線は永遠に下に向かっていくから、最小値はない？
・・・いいえ。
繰り返しますが、ｔ には、定義域がありました。
ｙ＝＝－４(ｔ＋１/２)^2＋６
という２次関数で、定義域は、－１≦ｔ≦１ です。
定義域のある最大値・最小値。
これも、数Ⅰ「２次関数」で学習した内容です。
モヤモヤしたら復習してください。
上に凸の放物線は、頂点のところが最大値。
頂点から離れると、ｙの値はどんどん小さくなっていきます。
－１≦ｔ≦１ という定義域の中で、頂点の ｔ＝－１/２ からより遠いのは、ｔ＝１ です。
このとき、ｙの値は最小になります。
この場合、
ｙ＝＝－４(ｔ＋１/２)^2＋６
という式に、ｔ＝１を代入しても、同じ値が出ますが、少し計算が面倒臭いです。
平方完成する前の式に代入したほうが計算ミスを防げます。
同じ式ですから、結果は同じです。
ｙ＝－４ｔ^2－４ｔ＋５ に ｔ＝１を代入して、
ｙ＝－４－４＋５
＝－３
ｔ＝１のとき、最小値－３
これも、ｔ＝１のままでは最終解答とはなりません。
cos θ＝１
よって、
θ＝０
これで、答が出ました。
最終解答は、
θ＝２/３π、４/３π のとき、最大値６
θ＝０ のとき、最小値－３
以上です。
そもそも、三角関数がよくわからないのに加えて、数Ⅰ「２次関数」で学習した内容を忘れているので、こういう問題が解けない・・・。
そういう人が多いです。
作業手順の暗記で済まそうとしても、手順が何段階にも及ぶので、覚えきれない・・・。
理解しましょう。
わからないことがあったら、それを解決しましょう。
数Ⅰ「三角比」や「２次関数」で学習したことは、今後も、本当によく使います。
Posted by セギ at 12:50│Comments(0)
│算数・数学
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