2020年08月18日
高校数Ⅱ「図形と方程式」。直線の方程式の求め方。その５。
さて、今回は、こんな問題です。
問題 直線ｙ＝３ｘに関して、直線ｙ＝ｘ＋２と対称な直線の方程式を求めよ。
前回は、対称の軸である直線１本と、与えられた点から、その直線に関して対称な点の座標を求める問題でした。
今回は、対称の軸である直線が１本あるのは同じですが、与えられたのは、点ではなく、もう１本の直線です。
その直線と対称な関係の直線の式を求めるのです。
これも、グラフを描いて、具体的に考えたほうがわかりやすいでしょう。
対称の軸は、ｙ＝３ｘ。
そして、もう１本、与えられた直線 ｙ＝ｘ＋２ も描きましょう。
前回説明した通り、大体で大丈夫です。
その直線と対称の関係にある、もう１本の直線も、大体のイメージでよいので描いてみましょう。
線対称ですので、対称の軸との交点は一致しているでしょう。
上の画像の、黒い直線が、対称の軸である ｙ＝３ｘ。
青い直線が、与えられた直線 ｙ＝ｘ＋２。
赤い直線が、おおよそのイメージで描いた、求めたい直線です。
どうすれば、この赤い直線の式を求めることができるでしょうか？
まずは、画像で板書したのとは異なる、基本的な求め方を解説します。
直線の式は、２点の座標がわかれば求めることができます。
だから、赤い直線上の２点の座標を求めることが目標となります。
対称の関係があるので、黒い直線と青い直線との交点を、赤い直線も通ります。
まずは、その座標を求めましょう。
ｙ＝３ｘ と ｙ＝ｘ＋２ とを連立すれば、求めることができます。
３ｘ＝ｘ＋２
２ｘ＝２
ｘ＝１
これをｙ＝３ｘに代入して、
ｙ＝３
よって、交点の座標は(１,３)。
赤い直線も、この交点を通ります。
残る１点は？
ｙ＝ｘ＋２ 上の任意の点と対称な点の座標を求めたらどうでしょうか？
ｙ＝ｘ＋２ 上の点であれば、どんな点でもいいのです。
それと対称な点が、必ず求めたい赤い直線上にあるでしょう。
どんな点にしましょうか？
そこで、悩んで、いつまでも答が出ない人がたまにいるのですが、本当にどうでもいいのです。
ｘの値を適当に決めましょう。
今回は、０にしてみましょうか。
本当に、何でもいいんです。
ｘ＝０のとき、ｙ＝０＋２＝２となります。
すなわち、点(０,２) は、直線ｙ＝ｘ＋２上の点です。
これと対称な点は？
前回、対称な点の求め方を学習しました。
今、求めた点をＰ(０ , ２)とし、求めたい対称な点をＱ(ｐ , ｑ)とおきましょう。
点Ｐと点Ｑを結んだ直線ＰＱは、対称の軸ｙ＝３ｘと垂直に交わります。
すなわち、傾きの積は、－１です。
(ｑ－２)/(ｐ－０)・３＝－１
これを変形しておきましょう。
３(ｑ－２)＝－ｐ
３ｑ－６＝－ｐ
ｐ＋３ｑ＝６ ・・・①
点Ｐ(０ , ２)と点Ｑ(ｐ , ｑ)の中点(ｐ/２ , ｑ＋２ /２)は、対称の軸を通りますから、
ｙ＝３ｘ に代入して、
ｑ＋２ /２＝３・ｐ/２
ｑ＋２＝３ｐ
－３ｐ＋ｑ＝－２・・・②
①と②を連立すれば、点Ｑ(ｐ , ｑ)の座標を求めることができます。
①×３＋②
３ｐ＋９ｑ＝１８
＋)－３ｐ＋ ｑ＝－２
１０ｑ＝１６
よって、ｑ＝８/５
これを①に代入して、
ｐ＋２４/５＝３０/５
ｐ＝６/５
よって、Ｑ(６/５,８/５)とわかりました。
求めたい赤い直線は、点(１,３)、(６/５,８/５)を通ります。
２点を通る直線を求める公式に代入して、一気に求めることができますが、今、傾きの分母も分子も分数になるので、先に傾きを計算しておきましょうか。
ｘの増加量は、６/５－１＝１/５
ｙの増加量は、８/５－３＝－７/５
よって、傾きは、－７/５÷１/５＝－７
点(１,３)を通り、傾き－７の直線は、
ｙ－３＝－７(ｘ－１)
ｙ＝－７ｘ＋７＋３
ｙ＝－７ｘ＋１０
これが求める直線です。
学習の順序として、まずこの求め方を理解するのが順当ですが、この単元で少し後に学習する「軌跡」の考え方をこの段階で少し利用するなら、以下のような求め方もあります。
おそらく、軌跡を学習した後では、むしろその求め方のほうがピンとくると思います。
もう一度、問題に戻りましょう。
問題 直線ｙ＝３ｘに関して、直線ｙ＝ｘ＋２と対称な直線の方程式を求めよ。
ここで、ｙ＝ｘ＋２上の点をＰ(ａ , ｂ)、それと対称な求める直線上の点をＱ(ｘ , ｙ)とします。
ＰとＱは逆のほうが良かったなあと画像の板書を撮影した後で気づきましたが、まあ、そんなのは大したことではありません。
この点Ｑ(ｘ , ｙ)の ｘ と ｙ の関係を表す式を求めることができれば、それが求める直線の式となるのです。
・・・はあ？
まだ軌跡を学習していない生徒にこの説明をすると、たいていポカンとした顔をします。
よく意味がわからない・・・。
そういう顔です。
軌跡を学習した後でも、この説明の意味がわからず、だから軌跡に関する問題を解けない子もいます。
点Ｑ(ｘ , ｙ)は、求めたい直線上の点です。
直線上(曲線でもそうですが)の点のｘ座標とｙ座標には固有の関係があり、その関係を表したものが、その直線の式です。
１つの直線上のどの点も、ｘ座標とｙ座標との関係は同じです。
同じ関係を持っている点の集合が直線ということです。
その、ｘ座標とｙ座標との関係を表した式が、その直線の式です。
この説明が最初にされたのは、中２の「１次関数」の中での、「連立方程式とグラフ」の学習のときです。
理解できないままで終わる人、理解したような気はするが、どうせ大した内容ではないと忘れ去った人が多いところです。
しかし、これが理解できないと、関数の応用問題はほとんど解けないのです。
一番大切なことを、理解していない・・・。
そのため、関数が作業手順の丸暗記のまま終わってしまうのは、とても残念なことです。
直線上の点のｘ座標とｙ座標には、全てその直線の式の関係があります。
例えば、ｙ＝２ｘ＋１ という式なら、その直線上の全ての点のｘ座標とｙ座標には、ｙ＝２ｘ＋１の関係があります。
逆に、その直線上のある点のｘ座標とｙ座標との関係を求めることができれば、それがその直線の式なのです。
だから、目標は、点Ｑ(ｘ , ｙ)の、ｘ と ｙ の関係を求めることです。
どうやって？
ｘ と ｙ に関する式を立てればよいでしよう。
・・・いや、だから、それが答で、それがわからないんでしょう？
そんなツッコミが聞こえてきそうです。
確かに。
いきなり ｘ と ｙ との関係を表す式は立てられません。
でも、点Ｐ(ａ , ｂ)があります。
ａ と ｂ と ｘ と ｙ に関する式なら、何か立てられそうな気がしませんか？
わからない文字が４つある場合、式が３本あれば、ｘ と ｙ だけが残る式を作ることができます。
まず、一番簡単で、しかし、案外気がつかない人もいるのが、ａ と ｂ に関する式です。
点Ｐ(ａ , ｂ) は、与えられた直線 ｙ＝ｘ＋２ 上の点です。
だから、ｙ＝ｘ＋２ の関係を満たします。
すなわち、
ｂ＝ａ＋２ ・・・①
これで１本。
あと２本です。
直線ＰＱは、対称の軸 ｙ＝３ｘ と垂直に交わります。
すなわち、傾きの積は－１です。
直線ＰＱの傾きは、どう表せるでしょうか。
座標は、Ｐ(ａ , ｂ)、Ｑ(ｘ , ｙ)ですから、変化の割合の公式に当てはめると、
ｙ－ｂ / ｘ－ａ です。
傾きの積が－１であることを表す式は、
ｙ－ｂ / ｘ－ａ ・ ３＝－１
これを変形し、整理しましょう。
３(ｙ－ｂ)＝－(ｘ－ａ)
３ｙ－３ｂ＝－ｘ＋ａ
－ａ－３ｂ＝－ｘ－３ｙ
ａ＋３ｂ＝ｘ＋３ｙ ・・・②
これで２本目。
あと１本です。
線分ＰＱの中点は、対称の軸ｙ＝３ｘ上の点です。
ＰＱの中点の座標は、(ｘ＋ａ / ２ , ｙ＋ｂ / ２)。
これがｙ＝３ｘを通るから、
ｙ＋ｂ / ２＝３(ｘ＋ａ / ２)
これを整理します。
ｙ＋ｂ＝３(ｘ＋ａ)
ｙ＋ｂ＝３ｘ＋３ａ
－３ａ＋ｂ＝３ｘ－ｙ ・・・③
これで、式が３本たちました。
この３本の式を上手く組み合わせて、ｘ と ｙ だけの式にすれば、それが答です。
どうすれば良いか？
ここでの発想も、慣れるまでは「えっ？」と思う人もいるようです。
ｂ＝ａ＋２ ・・・① の式は、ｘ も ｙ も含んでいないので、一番使い道がないダメな式のようですが、一番の骨格をなす式なのです。
この式の ａ と ｂ を、ｘ と ｙ だけで表すことができれば、ａ と ｂ は消え、ｘ と ｙ だけの式になるのです。
ａ を、ｘ と ｙ だけで表す。
ｂ を、ｘ と ｙ だけで表す。
そして、①の式に代入する。
そうした指針で考えていきましょう。
①の使い道は最後。
ならば、②と③だけで、それをやればよいのです。
ａ を、ｘ と ｙ だけで表す。
つまり、ｂ を消去すればよいのです。
ａ＋３ｂ＝ｘ＋３ｙ ・・・②
－３ａ＋ｂ＝３ｘ－ｙ ・・・③
この２本の式で、ｂ を消去します。
これも中２で学習した、連立方程式が基本です。
加減法で、消去できますね。
②－③×３
ａ＋３ｂ＝ ｘ＋３ｙ
－) －９ａ＋３ｂ＝９ｘ－３ｙ
１０ａ ＝－８ｘ＋６ｙ
ａ＝－４/５ｘ＋３/５ｙ ・・・④
次に、ａ を消去した式を作りましょう。
②×３＋③
３ａ＋９ｂ＝３ｘ＋９ｙ
＋) －３ａ＋ ｂ＝３ｘ－ｙ
１０ｂ＝６ｘ＋８ｙ
ｂ＝３/５ｘ＋４/５ｙ ・・・⑤
できました。
この２本の式を①に代入すれば、ａ と ｂ を消去した、ｘ と ｙ だけの式ができます。
④、⑤を①に代入して、
３/５ｘ＋４/５ｙ＝－４/５ｘ＋３/５ｙ＋２
３ｘ＋４ｙ＝－４ｘ＋３ｙ＋１０
ｙ＝－７ｘ＋１０
できました。
ところで、前回までの直線の式に関する問題に関して、ベクトルを用いた解き方をコメントで書いてくださった方がいらっしゃいました。
数Ｂ「ベクトル」を学習すると、直線と方程式や図形と方程式に関する問題も、一般の図形問題も、ものすごく簡単に解くことができるようになります。
この数Ⅱ「図形と方程式」を学習している段階では、高校２年生は数Ｂ「ベクトル」を学習していない場合が多いので、その解説はしないのですが。
ただ、「ベクトル」を学習しても、こうした座標平面上の問題で楽に使いこなせるようになる人はそんなに多くないかもしれません。
問題集の解説を読んでも、何にもわからない。
意味がわからない。
何を根拠にどう解いているのか、一切わからない。
そうなってしまうことがあります。
ベクトルの最初のほうは、中学理科でやった力の向きと大きさみたいなものかな、何だ簡単だと思ったのに、気がついたら、とんでもないことになっている。
気がついたら、飛躍している。
ベクトル方程式なんて、定義から理解不能。
説明を聞いているだけで、死相が表れる。
そんな高校生もいます。
使えると、凄いんです。
上のような、面倒くさい計算過程の必要な問題が、簡素な手順で解けるんです。
でも、今はまだ、ベクトルは使わずに、地道に解いていきましょう。
問題 直線ｙ＝３ｘに関して、直線ｙ＝ｘ＋２と対称な直線の方程式を求めよ。
前回は、対称の軸である直線１本と、与えられた点から、その直線に関して対称な点の座標を求める問題でした。
今回は、対称の軸である直線が１本あるのは同じですが、与えられたのは、点ではなく、もう１本の直線です。
その直線と対称な関係の直線の式を求めるのです。
これも、グラフを描いて、具体的に考えたほうがわかりやすいでしょう。
対称の軸は、ｙ＝３ｘ。
そして、もう１本、与えられた直線 ｙ＝ｘ＋２ も描きましょう。
前回説明した通り、大体で大丈夫です。
その直線と対称の関係にある、もう１本の直線も、大体のイメージでよいので描いてみましょう。
線対称ですので、対称の軸との交点は一致しているでしょう。
上の画像の、黒い直線が、対称の軸である ｙ＝３ｘ。
青い直線が、与えられた直線 ｙ＝ｘ＋２。
赤い直線が、おおよそのイメージで描いた、求めたい直線です。
どうすれば、この赤い直線の式を求めることができるでしょうか？
まずは、画像で板書したのとは異なる、基本的な求め方を解説します。
直線の式は、２点の座標がわかれば求めることができます。
だから、赤い直線上の２点の座標を求めることが目標となります。
対称の関係があるので、黒い直線と青い直線との交点を、赤い直線も通ります。
まずは、その座標を求めましょう。
ｙ＝３ｘ と ｙ＝ｘ＋２ とを連立すれば、求めることができます。
３ｘ＝ｘ＋２
２ｘ＝２
ｘ＝１
これをｙ＝３ｘに代入して、
ｙ＝３
よって、交点の座標は(１,３)。
赤い直線も、この交点を通ります。
残る１点は？
ｙ＝ｘ＋２ 上の任意の点と対称な点の座標を求めたらどうでしょうか？
ｙ＝ｘ＋２ 上の点であれば、どんな点でもいいのです。
それと対称な点が、必ず求めたい赤い直線上にあるでしょう。
どんな点にしましょうか？
そこで、悩んで、いつまでも答が出ない人がたまにいるのですが、本当にどうでもいいのです。
ｘの値を適当に決めましょう。
今回は、０にしてみましょうか。
本当に、何でもいいんです。
ｘ＝０のとき、ｙ＝０＋２＝２となります。
すなわち、点(０,２) は、直線ｙ＝ｘ＋２上の点です。
これと対称な点は？
前回、対称な点の求め方を学習しました。
今、求めた点をＰ(０ , ２)とし、求めたい対称な点をＱ(ｐ , ｑ)とおきましょう。
点Ｐと点Ｑを結んだ直線ＰＱは、対称の軸ｙ＝３ｘと垂直に交わります。
すなわち、傾きの積は、－１です。
(ｑ－２)/(ｐ－０)・３＝－１
これを変形しておきましょう。
３(ｑ－２)＝－ｐ
３ｑ－６＝－ｐ
ｐ＋３ｑ＝６ ・・・①
点Ｐ(０ , ２)と点Ｑ(ｐ , ｑ)の中点(ｐ/２ , ｑ＋２ /２)は、対称の軸を通りますから、
ｙ＝３ｘ に代入して、
ｑ＋２ /２＝３・ｐ/２
ｑ＋２＝３ｐ
－３ｐ＋ｑ＝－２・・・②
①と②を連立すれば、点Ｑ(ｐ , ｑ)の座標を求めることができます。
①×３＋②
３ｐ＋９ｑ＝１８
＋)－３ｐ＋ ｑ＝－２
１０ｑ＝１６
よって、ｑ＝８/５
これを①に代入して、
ｐ＋２４/５＝３０/５
ｐ＝６/５
よって、Ｑ(６/５,８/５)とわかりました。
求めたい赤い直線は、点(１,３)、(６/５,８/５)を通ります。
２点を通る直線を求める公式に代入して、一気に求めることができますが、今、傾きの分母も分子も分数になるので、先に傾きを計算しておきましょうか。
ｘの増加量は、６/５－１＝１/５
ｙの増加量は、８/５－３＝－７/５
よって、傾きは、－７/５÷１/５＝－７
点(１,３)を通り、傾き－７の直線は、
ｙ－３＝－７(ｘ－１)
ｙ＝－７ｘ＋７＋３
ｙ＝－７ｘ＋１０
これが求める直線です。
学習の順序として、まずこの求め方を理解するのが順当ですが、この単元で少し後に学習する「軌跡」の考え方をこの段階で少し利用するなら、以下のような求め方もあります。
おそらく、軌跡を学習した後では、むしろその求め方のほうがピンとくると思います。
もう一度、問題に戻りましょう。
問題 直線ｙ＝３ｘに関して、直線ｙ＝ｘ＋２と対称な直線の方程式を求めよ。
ここで、ｙ＝ｘ＋２上の点をＰ(ａ , ｂ)、それと対称な求める直線上の点をＱ(ｘ , ｙ)とします。
ＰとＱは逆のほうが良かったなあと画像の板書を撮影した後で気づきましたが、まあ、そんなのは大したことではありません。
この点Ｑ(ｘ , ｙ)の ｘ と ｙ の関係を表す式を求めることができれば、それが求める直線の式となるのです。
・・・はあ？
まだ軌跡を学習していない生徒にこの説明をすると、たいていポカンとした顔をします。
よく意味がわからない・・・。
そういう顔です。
軌跡を学習した後でも、この説明の意味がわからず、だから軌跡に関する問題を解けない子もいます。
点Ｑ(ｘ , ｙ)は、求めたい直線上の点です。
直線上(曲線でもそうですが)の点のｘ座標とｙ座標には固有の関係があり、その関係を表したものが、その直線の式です。
１つの直線上のどの点も、ｘ座標とｙ座標との関係は同じです。
同じ関係を持っている点の集合が直線ということです。
その、ｘ座標とｙ座標との関係を表した式が、その直線の式です。
この説明が最初にされたのは、中２の「１次関数」の中での、「連立方程式とグラフ」の学習のときです。
理解できないままで終わる人、理解したような気はするが、どうせ大した内容ではないと忘れ去った人が多いところです。
しかし、これが理解できないと、関数の応用問題はほとんど解けないのです。
一番大切なことを、理解していない・・・。
そのため、関数が作業手順の丸暗記のまま終わってしまうのは、とても残念なことです。
直線上の点のｘ座標とｙ座標には、全てその直線の式の関係があります。
例えば、ｙ＝２ｘ＋１ という式なら、その直線上の全ての点のｘ座標とｙ座標には、ｙ＝２ｘ＋１の関係があります。
逆に、その直線上のある点のｘ座標とｙ座標との関係を求めることができれば、それがその直線の式なのです。
だから、目標は、点Ｑ(ｘ , ｙ)の、ｘ と ｙ の関係を求めることです。
どうやって？
ｘ と ｙ に関する式を立てればよいでしよう。
・・・いや、だから、それが答で、それがわからないんでしょう？
そんなツッコミが聞こえてきそうです。
確かに。
いきなり ｘ と ｙ との関係を表す式は立てられません。
でも、点Ｐ(ａ , ｂ)があります。
ａ と ｂ と ｘ と ｙ に関する式なら、何か立てられそうな気がしませんか？
わからない文字が４つある場合、式が３本あれば、ｘ と ｙ だけが残る式を作ることができます。
まず、一番簡単で、しかし、案外気がつかない人もいるのが、ａ と ｂ に関する式です。
点Ｐ(ａ , ｂ) は、与えられた直線 ｙ＝ｘ＋２ 上の点です。
だから、ｙ＝ｘ＋２ の関係を満たします。
すなわち、
ｂ＝ａ＋２ ・・・①
これで１本。
あと２本です。
直線ＰＱは、対称の軸 ｙ＝３ｘ と垂直に交わります。
すなわち、傾きの積は－１です。
直線ＰＱの傾きは、どう表せるでしょうか。
座標は、Ｐ(ａ , ｂ)、Ｑ(ｘ , ｙ)ですから、変化の割合の公式に当てはめると、
ｙ－ｂ / ｘ－ａ です。
傾きの積が－１であることを表す式は、
ｙ－ｂ / ｘ－ａ ・ ３＝－１
これを変形し、整理しましょう。
３(ｙ－ｂ)＝－(ｘ－ａ)
３ｙ－３ｂ＝－ｘ＋ａ
－ａ－３ｂ＝－ｘ－３ｙ
ａ＋３ｂ＝ｘ＋３ｙ ・・・②
これで２本目。
あと１本です。
線分ＰＱの中点は、対称の軸ｙ＝３ｘ上の点です。
ＰＱの中点の座標は、(ｘ＋ａ / ２ , ｙ＋ｂ / ２)。
これがｙ＝３ｘを通るから、
ｙ＋ｂ / ２＝３(ｘ＋ａ / ２)
これを整理します。
ｙ＋ｂ＝３(ｘ＋ａ)
ｙ＋ｂ＝３ｘ＋３ａ
－３ａ＋ｂ＝３ｘ－ｙ ・・・③
これで、式が３本たちました。
この３本の式を上手く組み合わせて、ｘ と ｙ だけの式にすれば、それが答です。
どうすれば良いか？
ここでの発想も、慣れるまでは「えっ？」と思う人もいるようです。
ｂ＝ａ＋２ ・・・① の式は、ｘ も ｙ も含んでいないので、一番使い道がないダメな式のようですが、一番の骨格をなす式なのです。
この式の ａ と ｂ を、ｘ と ｙ だけで表すことができれば、ａ と ｂ は消え、ｘ と ｙ だけの式になるのです。
ａ を、ｘ と ｙ だけで表す。
ｂ を、ｘ と ｙ だけで表す。
そして、①の式に代入する。
そうした指針で考えていきましょう。
①の使い道は最後。
ならば、②と③だけで、それをやればよいのです。
ａ を、ｘ と ｙ だけで表す。
つまり、ｂ を消去すればよいのです。
ａ＋３ｂ＝ｘ＋３ｙ ・・・②
－３ａ＋ｂ＝３ｘ－ｙ ・・・③
この２本の式で、ｂ を消去します。
これも中２で学習した、連立方程式が基本です。
加減法で、消去できますね。
②－③×３
ａ＋３ｂ＝ ｘ＋３ｙ
－) －９ａ＋３ｂ＝９ｘ－３ｙ
１０ａ ＝－８ｘ＋６ｙ
ａ＝－４/５ｘ＋３/５ｙ ・・・④
次に、ａ を消去した式を作りましょう。
②×３＋③
３ａ＋９ｂ＝３ｘ＋９ｙ
＋) －３ａ＋ ｂ＝３ｘ－ｙ
１０ｂ＝６ｘ＋８ｙ
ｂ＝３/５ｘ＋４/５ｙ ・・・⑤
できました。
この２本の式を①に代入すれば、ａ と ｂ を消去した、ｘ と ｙ だけの式ができます。
④、⑤を①に代入して、
３/５ｘ＋４/５ｙ＝－４/５ｘ＋３/５ｙ＋２
３ｘ＋４ｙ＝－４ｘ＋３ｙ＋１０
ｙ＝－７ｘ＋１０
できました。
ところで、前回までの直線の式に関する問題に関して、ベクトルを用いた解き方をコメントで書いてくださった方がいらっしゃいました。
数Ｂ「ベクトル」を学習すると、直線と方程式や図形と方程式に関する問題も、一般の図形問題も、ものすごく簡単に解くことができるようになります。
この数Ⅱ「図形と方程式」を学習している段階では、高校２年生は数Ｂ「ベクトル」を学習していない場合が多いので、その解説はしないのですが。
ただ、「ベクトル」を学習しても、こうした座標平面上の問題で楽に使いこなせるようになる人はそんなに多くないかもしれません。
問題集の解説を読んでも、何にもわからない。
意味がわからない。
何を根拠にどう解いているのか、一切わからない。
そうなってしまうことがあります。
ベクトルの最初のほうは、中学理科でやった力の向きと大きさみたいなものかな、何だ簡単だと思ったのに、気がついたら、とんでもないことになっている。
気がついたら、飛躍している。
ベクトル方程式なんて、定義から理解不能。
説明を聞いているだけで、死相が表れる。
そんな高校生もいます。
使えると、凄いんです。
上のような、面倒くさい計算過程の必要な問題が、簡素な手順で解けるんです。
でも、今はまだ、ベクトルは使わずに、地道に解いていきましょう。
Posted by セギ at 11:16│Comments(0)
│算数・数学
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