2024年12月13日
中１数学「反比例」と計算力。
中１の数学「比例と反比例」は、半分以上は小６の復習ですので、習得できない内容ではないはずなのですが、特に反比例の場合、計算力の壁が立ちはだかる場合があります。
まずは、計算力をそれほど問われない、簡単な問題から。
例えば、こんな問題です。
問題 ｙ＝６ / ｘ とする。ｘ＝２ のときの ｙ の値を求めなさい。
与えられた式に代入すればいいだけだということを、ほとんどの生徒が知っています。
ｙ＝６ / ２
＝３
と、簡単に解くことができます。
しかし、以下のような問題になると、もう解けない子が現れます。
問題 ｙ＝３ / ｘ とする。ｘ＝２/３ のときの ｙ の値を求めなさい。
数学が苦手な子は、数の扱いが不器用であることが多く、分数の分母が分数になるときにどうしたらいいのか、もうわからないのです。
分数というのは、わり算です。
分子÷分母です。
だから、
ｙ＝３÷２/３
＝３×３/２
＝９/２
と、解いていくことができます。
しかし、数学が苦手な子は、「分数は、分子÷分母のわり算である」という知識が身につきません。
分母が分数になった瞬間に、計算できなくなります。
１÷３＝１/ ３
こうした式を例に挙げ、分数は「分子÷分母」であることを実感で理解してもらおうとします。
そのときは、理解した顔をします。
しかし、宿題に出すと、またわからない。
「わからなかった」
と言って、解いてきません。
翌週の授業でも、もう忘れています。
なぜか、定着しないのです。
こんな問題も、数学が苦手な子は対応できません。
問題 ｙ＝３/ｘ とする。ｙ＝２/５のときの ｘ の値を求めなさい。
代入することはできますが、
２/５＝３/ｘ
と代入したまま、立ち往生となります。
分母が ｘ の方程式をどう解いていいのか、わからないのです。
まずは両辺をｘ倍して、
２/５ｘ＝３
両辺に５/２をかけて、
ｘ＝１５/２
このようにスマートに解いていける中１は、相当に数学が得意な子のみです。
実は、分数＝分数 の形になったときには、もっと簡単な解き方があって、互いの分母と分子をたすきにかけて、式を変形することが可能です。
比例式を解く際の、(内項の積)＝(外項の積) と同じ考え方ですが、比と分数は同じカテゴリーのものであるというのは、小学校で学習している割に定着しない学習内容です。
２/５＝３/ｘ より
２ｘ＝１５
ｘ＝１５/２
です。
慣れれば簡単です。
高校生になったら、特に、「三角比」の正弦定理を利用した問題を解くときに、この解き方を知っていると計算が速く正確になります。
しかし、これは、高校生でも数学が得意な子でないと定着しないことが多く、中１に教えるのはまだ早い解き方ではあります。
もっと数学が苦手な子になると、ｙの値が整数でも、解けなくなります。
問題 ｙ＝３/ｘ とする。ｙ＝６のときの ｘ の値を求めなさい。
６＝３/ｘ
までは、式を立てることができるのですが、その後、どうしていいかわからず、あてずっぽうで、
ｘ＝１８
といった答を書き、それが不正解となるとさらに混乱していきます。
数の扱いと方程式の解法に習熟していないのです。
特に、分数の扱い方がわかっていません。
小学校の頃から分数が苦手で、分数は「分数」という単元が終わればもう忘れていいもの、という希望的観測で生きてきたような気配を感じます。
中１の「比例・反比例」以前の単元を学習していても、その兆候は感じます。
方程式の計算のとき、答が分数になると、
「割り切れない」
と訴えてきます。
「割り切れないときは、分数ですよ」
と説明すると、ひるんだ顔をします。
そんなことがあるとは予想していなかった。
分数の単元でもないのに、分数を出してくるなんて、卑怯だ。
・・・と、そこまで思っているかどうかはわかりませんが、とにかく、分数を使わないで数学の問題を解きたいという意志を強く感じるのです。
まだ中１くらいですと、答が整数にならないときは、小数で解いてくる子も多いです。
別に間違ってはいないですが、「データ」に関する単元のとき以外は、基本的には小数は使わず、分数で処理しましょう、小数は割り切れない、という限界がありますが、分数は全ての実数を表すことができますから。
そう説明しても、乗り気でない顔をするばかりです。
余程分数に関して苦手意識があるのでしょう。
実際、本当に数学が苦手な子になると、分数の加減乗除のやり方を忘れていることがあります。
「通分」「約分」といった言葉の意味も忘れています。
それでは分数を避けたがるだろうなあとは思うのです。
やり方をただ丸暗記して、その単元が終われば忘れて、を繰り返してきた子は、分数の計算ができないのです。
分数の計算に習熟してもらうという課題は課題として。
反比例の問題は、もっと簡単に解く方法があります。
反比例の式を答えなさいという問題ならば、フォーマルな形の、
ｙ＝ａ / ｘ
で答える必要がありますが、自分で計算するときには、この形にこだわる必要はありません。
それを変形した、
ｘｙ＝ａ
を使えば、計算はどれも簡単になります。
問題 ｙ＝３ / ｘ とする。ｘ＝２/３ のときの ｙ の値を求めなさい。
この場合は、ｘｙ＝３ ということですから、
ｘ＝２/３ を代入して、
２/３ｙ＝３
両辺に３/２をかけて、
ｙ＝９/２
とすぐに答が出ます。
ただし、上の解き方は、できない子もいます。
その場合は、もっと段階を踏んで、
２/３ｙ＝３
両辺を３倍して、
２ｙ＝９
両辺を２で割って、
ｙ＝９/２
でも、大丈夫です。
ｙ について解くということは、ｙ の係数を１にするということ。
２/３はどうすれば１になるか？
逆数の３/２をかければいい。
この考え方も、数学が苦手な子にはあまり理解できない考え方なので、その理解には時間がかかります。
数理の基盤がないことが、こういう細部で露呈します。
小学校の６年間、やり方を覚えて忘れてを繰り返すのみという間違った学習を続けてきたので、そう簡単には定着しません。
しかし、絶望する必要もないのです。
高校生になる頃には、案外するっと理解できたりしますから、時機を待ちましょう。
問題 ｙ＝３/ｘ とする。ｙ＝２/５のときの ｘ の値を求めなさい。
これも、ｘｙ＝３ の式に代入するのなら、楽に計算していけます。
２/５ｘ＝３
ｘ＝１５/２
です。
このように計算すれば、計算力の乏しい子も、正解を出すことができます。
しかし、残念なことに、計算力の乏しい子、数学が苦手な子ほど、この解き方も定着しない傾向があります。
ｙ＝ａ / ｘ の式にこだわらず、計算過程では、ｘｙ＝ａ を使っていく。
その解き方を、
「あ、便利ですね」
とスッと理解し、さっと利用するのは、もともと数学が得意な子たちです。
数学が苦手な子たちは、こうした楽な解き方を解説しても、それもまたすぐに忘れ、宿題は、ｙ＝ａ / ｘ の式に代入する杓子定規な解き方をしようとして上手くできず、白紙とするか、計算ミスをするか、となりがちです。
数学が得意な子と苦手な子との格差は、このようにして開いていくばかりです。
なぜ定着しないのでしょうか？
理由はその子によって色々です。
まず、便利であることは一応理解できるが、すぐに忘れてしまう子が大多数です。
記憶がもたないのです。
宿題を解く頃には、もう忘れています。
教わったことを復習してから宿題を解く、という習慣もありません。
身につかないことは、永久に身につかずに終わっていきます。
解説を黙って聞いているが、心の中で却下している子もいるのでしょう。
「学校で習っていない。学校で習っていない解き方をすると、学校の先生に目をつけられる」
そのような意識が強い場合もあれば、
「そんな解き方は良くない」
となぜか根拠のない本人の判断を絶対視しているタイプの子もいます。
「解き方を２つも覚えられない。１つだけでいい」
と思っている場合もあると思います。
数学は色々な解き方が可能な、のびやかな教科です。
それなのに、１つの解き方を丸暗記する解き方しかできない・・・。
数理の基盤が本人の中にないので、何をしても良くて何をしたらダメなのか、本人には判断できないのです。
頭が本当に硬い子になると、比例の問題でも不正解となります。
問題 ｙ＝５ｘ とする。ｙ＝３ のときの ｘ の値を求めなさい。
３＝５ｘ
という代入した式を立てることはできますが、その先が上手く計算できません。
５ｘ＝３
と、左辺と右辺を取り換えれば簡単な方程式ですよと助言しても、不可解なほどに、その助言には従いません。
３＝５ｘ
という方程式を睨みつけ、長考の末、
ｘ＝１５
と答えたりします。
これも、「答が分数になるのは嫌だ」という感情が働いてのこともあるのでしょうが、右辺と左辺を取り換えないのは、数学が苦手な子の特徴です。
いちいち書き換えるのが面倒なら、最初から、
５ｘ＝３
と書けばいいのですが。
ｙ＝５ｘ に ｙ＝３を代入して、
５ｘ＝３
と書いてある答案に、どこの誰がケチをつけるというのか？
でも、なぜか、
「そういうことはしてはいけない！」
と思い込んでしまうようです。
それでいて、
３＝５ｘ
と書いた後に、
５ｘ＝３
と書き換えることもしない・・・。
頭の疲れる暗算に自分を追い込み、そして間違えてしまうのです。
比例・反比例の理解よりもはるか手前の段階で、つまずいている子は多いです。
計算力が足りないのが根本ですが、それは小学校の計算ドリルや、今はあまり言われなくなった「百マス計算」で解決がつくことではない、もっと伸びやかな計算力が足りないのです。
小学生のうちに身についていてほしい数理の基盤が形成されていない・・・。
数に対する感覚が、育っていない・・・。
だから、分数をひたすら忌避するような、数学的原始人の状態に陥っています。
基盤がないから、中１の１学期に学習した「等式の性質」も、血肉となっていない。
だから、方程式の解き方が、ただの作業手順となり、そこから少しでも外れると、できなくなってしまう・・・。
数学が苦手な原因は何なのか？
どこでつまずいているのか。
まずは、その正確な分析をし、一つ一つ、克服していきましょう。
壁は、この先も、いくつもいくつも立ちはだかると思います。
しかし、全ての壁は、扉なのです。
まずは、計算力をそれほど問われない、簡単な問題から。
例えば、こんな問題です。
問題 ｙ＝６ / ｘ とする。ｘ＝２ のときの ｙ の値を求めなさい。
与えられた式に代入すればいいだけだということを、ほとんどの生徒が知っています。
ｙ＝６ / ２
＝３
と、簡単に解くことができます。
しかし、以下のような問題になると、もう解けない子が現れます。
問題 ｙ＝３ / ｘ とする。ｘ＝２/３ のときの ｙ の値を求めなさい。
数学が苦手な子は、数の扱いが不器用であることが多く、分数の分母が分数になるときにどうしたらいいのか、もうわからないのです。
分数というのは、わり算です。
分子÷分母です。
だから、
ｙ＝３÷２/３
＝３×３/２
＝９/２
と、解いていくことができます。
しかし、数学が苦手な子は、「分数は、分子÷分母のわり算である」という知識が身につきません。
分母が分数になった瞬間に、計算できなくなります。
１÷３＝１/ ３
こうした式を例に挙げ、分数は「分子÷分母」であることを実感で理解してもらおうとします。
そのときは、理解した顔をします。
しかし、宿題に出すと、またわからない。
「わからなかった」
と言って、解いてきません。
翌週の授業でも、もう忘れています。
なぜか、定着しないのです。
こんな問題も、数学が苦手な子は対応できません。
問題 ｙ＝３/ｘ とする。ｙ＝２/５のときの ｘ の値を求めなさい。
代入することはできますが、
２/５＝３/ｘ
と代入したまま、立ち往生となります。
分母が ｘ の方程式をどう解いていいのか、わからないのです。
まずは両辺をｘ倍して、
２/５ｘ＝３
両辺に５/２をかけて、
ｘ＝１５/２
このようにスマートに解いていける中１は、相当に数学が得意な子のみです。
実は、分数＝分数 の形になったときには、もっと簡単な解き方があって、互いの分母と分子をたすきにかけて、式を変形することが可能です。
比例式を解く際の、(内項の積)＝(外項の積) と同じ考え方ですが、比と分数は同じカテゴリーのものであるというのは、小学校で学習している割に定着しない学習内容です。
２/５＝３/ｘ より
２ｘ＝１５
ｘ＝１５/２
です。
慣れれば簡単です。
高校生になったら、特に、「三角比」の正弦定理を利用した問題を解くときに、この解き方を知っていると計算が速く正確になります。
しかし、これは、高校生でも数学が得意な子でないと定着しないことが多く、中１に教えるのはまだ早い解き方ではあります。
もっと数学が苦手な子になると、ｙの値が整数でも、解けなくなります。
問題 ｙ＝３/ｘ とする。ｙ＝６のときの ｘ の値を求めなさい。
６＝３/ｘ
までは、式を立てることができるのですが、その後、どうしていいかわからず、あてずっぽうで、
ｘ＝１８
といった答を書き、それが不正解となるとさらに混乱していきます。
数の扱いと方程式の解法に習熟していないのです。
特に、分数の扱い方がわかっていません。
小学校の頃から分数が苦手で、分数は「分数」という単元が終わればもう忘れていいもの、という希望的観測で生きてきたような気配を感じます。
中１の「比例・反比例」以前の単元を学習していても、その兆候は感じます。
方程式の計算のとき、答が分数になると、
「割り切れない」
と訴えてきます。
「割り切れないときは、分数ですよ」
と説明すると、ひるんだ顔をします。
そんなことがあるとは予想していなかった。
分数の単元でもないのに、分数を出してくるなんて、卑怯だ。
・・・と、そこまで思っているかどうかはわかりませんが、とにかく、分数を使わないで数学の問題を解きたいという意志を強く感じるのです。
まだ中１くらいですと、答が整数にならないときは、小数で解いてくる子も多いです。
別に間違ってはいないですが、「データ」に関する単元のとき以外は、基本的には小数は使わず、分数で処理しましょう、小数は割り切れない、という限界がありますが、分数は全ての実数を表すことができますから。
そう説明しても、乗り気でない顔をするばかりです。
余程分数に関して苦手意識があるのでしょう。
実際、本当に数学が苦手な子になると、分数の加減乗除のやり方を忘れていることがあります。
「通分」「約分」といった言葉の意味も忘れています。
それでは分数を避けたがるだろうなあとは思うのです。
やり方をただ丸暗記して、その単元が終われば忘れて、を繰り返してきた子は、分数の計算ができないのです。
分数の計算に習熟してもらうという課題は課題として。
反比例の問題は、もっと簡単に解く方法があります。
反比例の式を答えなさいという問題ならば、フォーマルな形の、
ｙ＝ａ / ｘ
で答える必要がありますが、自分で計算するときには、この形にこだわる必要はありません。
それを変形した、
ｘｙ＝ａ
を使えば、計算はどれも簡単になります。
問題 ｙ＝３ / ｘ とする。ｘ＝２/３ のときの ｙ の値を求めなさい。
この場合は、ｘｙ＝３ ということですから、
ｘ＝２/３ を代入して、
２/３ｙ＝３
両辺に３/２をかけて、
ｙ＝９/２
とすぐに答が出ます。
ただし、上の解き方は、できない子もいます。
その場合は、もっと段階を踏んで、
２/３ｙ＝３
両辺を３倍して、
２ｙ＝９
両辺を２で割って、
ｙ＝９/２
でも、大丈夫です。
ｙ について解くということは、ｙ の係数を１にするということ。
２/３はどうすれば１になるか？
逆数の３/２をかければいい。
この考え方も、数学が苦手な子にはあまり理解できない考え方なので、その理解には時間がかかります。
数理の基盤がないことが、こういう細部で露呈します。
小学校の６年間、やり方を覚えて忘れてを繰り返すのみという間違った学習を続けてきたので、そう簡単には定着しません。
しかし、絶望する必要もないのです。
高校生になる頃には、案外するっと理解できたりしますから、時機を待ちましょう。
問題 ｙ＝３/ｘ とする。ｙ＝２/５のときの ｘ の値を求めなさい。
これも、ｘｙ＝３ の式に代入するのなら、楽に計算していけます。
２/５ｘ＝３
ｘ＝１５/２
です。
このように計算すれば、計算力の乏しい子も、正解を出すことができます。
しかし、残念なことに、計算力の乏しい子、数学が苦手な子ほど、この解き方も定着しない傾向があります。
ｙ＝ａ / ｘ の式にこだわらず、計算過程では、ｘｙ＝ａ を使っていく。
その解き方を、
「あ、便利ですね」
とスッと理解し、さっと利用するのは、もともと数学が得意な子たちです。
数学が苦手な子たちは、こうした楽な解き方を解説しても、それもまたすぐに忘れ、宿題は、ｙ＝ａ / ｘ の式に代入する杓子定規な解き方をしようとして上手くできず、白紙とするか、計算ミスをするか、となりがちです。
数学が得意な子と苦手な子との格差は、このようにして開いていくばかりです。
なぜ定着しないのでしょうか？
理由はその子によって色々です。
まず、便利であることは一応理解できるが、すぐに忘れてしまう子が大多数です。
記憶がもたないのです。
宿題を解く頃には、もう忘れています。
教わったことを復習してから宿題を解く、という習慣もありません。
身につかないことは、永久に身につかずに終わっていきます。
解説を黙って聞いているが、心の中で却下している子もいるのでしょう。
「学校で習っていない。学校で習っていない解き方をすると、学校の先生に目をつけられる」
そのような意識が強い場合もあれば、
「そんな解き方は良くない」
となぜか根拠のない本人の判断を絶対視しているタイプの子もいます。
「解き方を２つも覚えられない。１つだけでいい」
と思っている場合もあると思います。
数学は色々な解き方が可能な、のびやかな教科です。
それなのに、１つの解き方を丸暗記する解き方しかできない・・・。
数理の基盤が本人の中にないので、何をしても良くて何をしたらダメなのか、本人には判断できないのです。
頭が本当に硬い子になると、比例の問題でも不正解となります。
問題 ｙ＝５ｘ とする。ｙ＝３ のときの ｘ の値を求めなさい。
３＝５ｘ
という代入した式を立てることはできますが、その先が上手く計算できません。
５ｘ＝３
と、左辺と右辺を取り換えれば簡単な方程式ですよと助言しても、不可解なほどに、その助言には従いません。
３＝５ｘ
という方程式を睨みつけ、長考の末、
ｘ＝１５
と答えたりします。
これも、「答が分数になるのは嫌だ」という感情が働いてのこともあるのでしょうが、右辺と左辺を取り換えないのは、数学が苦手な子の特徴です。
いちいち書き換えるのが面倒なら、最初から、
５ｘ＝３
と書けばいいのですが。
ｙ＝５ｘ に ｙ＝３を代入して、
５ｘ＝３
と書いてある答案に、どこの誰がケチをつけるというのか？
でも、なぜか、
「そういうことはしてはいけない！」
と思い込んでしまうようです。
それでいて、
３＝５ｘ
と書いた後に、
５ｘ＝３
と書き換えることもしない・・・。
頭の疲れる暗算に自分を追い込み、そして間違えてしまうのです。
比例・反比例の理解よりもはるか手前の段階で、つまずいている子は多いです。
計算力が足りないのが根本ですが、それは小学校の計算ドリルや、今はあまり言われなくなった「百マス計算」で解決がつくことではない、もっと伸びやかな計算力が足りないのです。
小学生のうちに身についていてほしい数理の基盤が形成されていない・・・。
数に対する感覚が、育っていない・・・。
だから、分数をひたすら忌避するような、数学的原始人の状態に陥っています。
基盤がないから、中１の１学期に学習した「等式の性質」も、血肉となっていない。
だから、方程式の解き方が、ただの作業手順となり、そこから少しでも外れると、できなくなってしまう・・・。
数学が苦手な原因は何なのか？
どこでつまずいているのか。
まずは、その正確な分析をし、一つ一つ、克服していきましょう。
壁は、この先も、いくつもいくつも立ちはだかると思います。
しかし、全ての壁は、扉なのです。
