2024年12月04日
高校数学Ｂ「統計的な推測」二項分布の平均と分散。
数Ｂ「統計的な推測」は、旧課程の頃は、この単元丸ごと学習しない高校が多かったのです。
しかし、新課程になり、大学入試共通テストの範囲が数学Ｂ・Ｃとなってからは、文系の生徒が数学Ｃの「複素数平面」で受験するよりは、「統計的な推測」のほうがまだ理解しやすいのではないかという判断からか、高校でも扱う学校が増えてきました。
同時に、あまりのわかりにくさに悲鳴も上がっています。
公式を理解し、覚えてしまえばあとは簡単なのですが、数Ⅰ「データの分析」のときから、統計に苦手意識があり、どうにも公式が理解しづらい様子です。
そもそも、用語がわかりづらい・・・。
聞いたことのない用語が一気に出てくるので、それで面食らう、ということがあるようです。
これは、覚えるしかないので、用語の意味がわからなくなったら、逐一、定義に戻って意味を確認してください。
とはいえ、定義もかなり難しい・・・。
まず、二項分布の定義から見ていきましょう。
１回の試行で事象Ａの起こる確率が ｐ である独立試行を ｎ 回繰り返し、Ａの起こる回数を確率変数 Ｘ とすると、
Ｐ(Ｘ＝ｒ)
＝ｎＣｒ・ｐ^ｒ(１－ｐ)^ｎ－ｒ
である。
このとき、Ｘの確率分布を二項分布といい、
Ｂ(ｎ , ｐ )
で表す。
平均は、
Ｅ(Ｘ)＝ｎｐ
分散は、
Ｖ(Ｘ)＝ｎｐ(１－ｐ)
標準偏差は、
σ(Ｘ)＝√ｎｐ(１－ｐ)
である。
・・・何、それ？
まずは、具体的に考えてみましょう。
問題 １個のさいころを５回投げるとき、３の目が出る回数を Ｘ とする。確率変数 Ｘ の平均と標準偏差を求めよ。
これは、数Ａで学習した、反復試行の確率の問題と似ていますよね。
反復試行は、大丈夫でしょうか？
というわけで、反復試行の確率の問題を復習しておきましょう。
復習問題 １個のさいころを５回投げるとき、３の目が２回出る確率を求めよ。
このように、同じ試行を繰り返していく場合の確率が、反復試行の確率です。
さいころを５回投げるとき、３の目が２回出る・・・。
具体的に考えます。
まず、単純に、１回目と２回目に３の目が出て、以降は３以外の目が出たのだとしてみましょう。
その確率は、
１/６・１/６・５/６・５/６・５/６
しかし、これだけでは、１回目と２回目に３が出た場合のみの確率です。
３の目が２回出るのは、１回目と２回目に出る場合だけではありません。
１回目と３回目に３が出て、他はそれ以外の目。
２回目と３回目に３が出て、他はそれ以外の目。
・・・など、複数の出方があります。
その全ての場合で、それぞれの確率は、
１/６・１/６・５/６・５/６・５/６
です。
そして、それらの目の出方は、互いに排反。
すなわち、かぶりませんから、確率を足せばいいのだとわかります。
では、５回のうち、３の目が２回だけ出る場合の数は？
それは、５回のうち、３の目が出る２か所を選ぶ場合の数と考えられますから、組み合わせの公式を用いて、
5Ｃ2
となります。
したがって、１個のさいころを５回投げるとき、３の目が２回出る確率は、
5C2・(１/６)^2・(５/６)^3
という式で求めることができます。
これが、反復試行の確率の求め方です。
では、少しずつ、一般化しましょう。
さいころを ｎ 回投げて、３の目が ｒ 回出る確率は、
nＣr・(１/６)^r・(５/６)^n-r
さらに一般化しましょう。
さいころから離れ、３の目からも離れます。
１回の試行で事象Ａが起こる確率が ｐ である独立試行を ｎ 回繰り返すとき、Ａの起こる回数が ｒ 回である確率は、
nＣr・p^r・(１－p)^n-r
ここまで、いいでしょうか？
さて、そこで、二項分布の定義を見直しましょう。
１回の試行で事象Ａの起こる確率がｐである独立試行を ｎ 回繰り返し、Ａの起こる回数を確率変数 Ｘ とすると、
Ｐ(Ｘ＝ｒ)
＝nＣr・ｐ^ｒ(１－ｐ)^ｎ－ｒ
である。
このとき、Ｘの確率分布を二項分布といい、
Ｂ(ｎ , ｐ )
で表す。
これが定義です。
Ｐ(Ｘ＝ｒ) というのは、この「統計的な推測」という単元の一番最初に学習した表し方でした。
Ｘ が ｒ のときの確率、という意味でした。
ということは、書き方が少し複雑なだけで、これは、反復試行の公式そのままです。
確率が、反復試行の公式をそのまま使うことになることが明白な場合、きっと確率の分布に何かルールがあるぞ、ということは推測できます。
こういう形の確率分布を、二項分布と呼ぶ、というのが、まずは定義です。
・・・なぜ二項という名前を使うのか？
というと、それは、数Ⅱで学習した「二項定理」が関係しているのです。
二項定理は覚えているでしょうか。
こういうものでした。
例えば、
(ｘ＋３)^5＝5Ｃ0・ｘ^5＋5Ｃ1・ｘ^4・３＋5Ｃ2・ｘ^3・３^2＋5Ｃ3・ｘ^2・３^3＋5Ｃ4・ｘ・３^4＋5Ｃ5・３^5
＝ｘ^5＋３ｘ^4＋９０ｘ^3＋２７０ｘ^2＋４０５ｘ＋２４３
公式は、
(ｐ＋ｑ)^n＝nＣ0・ｐ^n＋nＣ1・ｐ^n-1・ｑ＋nＣ2・ｐ^n-2・ｑ^2＋・・・＋nＣn-1・ｐｑ^n-1＋nＣn・ｑ^n
・・・何か似てる！
反復試行の確率の公式に似てる！
というか、そっくりです。
だから、二項分布という名前なのです。
何か知らないけど、そう呼ぶのだな、という把握で、今は大丈夫です。
とりあえず、反復試行の確率の確率分布を、二項分布と呼びます。
そして、Ｂ(ｎ , ｐ)で表します。
・・・なぜＢ？
「二項分布」は、英語で、binominal distribution と呼びます。
その頭文字のＢです。
Ｂ(ｎ , ｐ)
Ｂは、「これは二項分布、つまり反復試行の確率の確率分布ですよー」という合図。
そして、試行回数はｎですよー。
１回の試行で、ある事象Ａが起こる確率はｐですよー。
そういう意味です。
そして、ｎ と ｐ、その２つの数値さえわかれば、反復試行の確率の式は立つのです。
重要な数値は、この２つ。
これで確率分布は決まるよー。
そういう意味だと、ざっくりとらえれば、大丈夫です。
さて、ここまで、まあ何とか呑み込んだとして。
ここからが重要。
３本の公式が出てきます。
平均は、
Ｅ(Ｘ)＝ｎｐ
分散は、
Ｖ(Ｘ)＝ｎｐ(１－ｐ)
標準偏差は、
σ(Ｘ)＝√ｎｐ(１－ｐ)
この公式が、あまりにもシンプル過ぎて、逆に意味がわからない・・・。
そういう悩みがあるかと思います。
なぜ、Ｘ の平均、すなわち期待値が、ｎｐで出るのか？
何で、そこがかけ算なのか？
どういう意味？
でも、これも、現実に即して考えれば、当たり前です。
例えば、こんな例で考えてみましょう。
例 １個のさいころを６回投げるとき、２の目は何回出ると期待できるか？
２の目がＸ 回出るとしましょう。
さいころの目は６種類あります。
そのうちの２の目は、６回投げたら、１回くらいは出ると期待できるんじゃないでしょうか。
６回に１回。
１/６の確率なのですから、６回に１回は出てもいいでしょう。
これがまさに、二項分布Ｂ(６ , １/６) において、
Ｅ(Ｘ)＝ｎｐ＝６・１/６＝１
です。
公式と感覚が完全に一致します。
Ｘ は、この例では、１個のさいころを６回投げるのとき、２の目が Ｘ 回出る、という意味の Ｘ です。
Ｘ は確率変数ですので、何種類かの値を取ります。
今、さいころを６回投げていますから、Ｘは、
Ｘ＝０ , １ , ２ , ３ , ４ , ５ , ６
の７通りが考えられますが、
６回も投げたのに、２の目が０回ということは、そんなにあることではない。(勿論、実際はありえます)
６回も投げて、６回とも２の目ということも、そんなにあることではない。(勿論、これも可能性はあります)
実際のところ、１回投げるごとの、２の目が出る確率は１/６なのだから、その１/６が、集まって集まって集まって、
１/６＋１/６＋１/＋１/６＋１/６＋１/６
＝１/６・６
＝１
となり、６回投げたら、１回くらいは２の目が出ると期待できる。
２の目が出る平均の回数は、１回である。
そういう意味でとらえれば、この公式は、するっと頭に入ると思います。
式として、比較的しっかりと証明するならば、
１回の試行で事象Ａの起こる確率を ｐ とする。
この試行を ｎ 回繰り返すとき、
第 ｋ 回の試行でＡが起これば１、起こらなければ０の値をとる確率変数をＸk とする。
・・・ついてきてますかー？
ｋ＝０,１,２,３,・・・,ｎ
となります。
そのそれぞれで、実際に Ａ という事象が起これば１、起こらなければ０の値を取ります。
ここも難しいところです。
期待値のこれまでの学習と混ざって、ｋの値×確率ｐではないのか、という混乱が起こりそうですが、実際には、そんなかけ算はあり得ません。
ｋ は、第 ｋ 回の試行というだけの数字なので、２回目だから急に値が２に増えるということはありません。
第何回でも、平等に、事象 Ａ が起これば１、起こらなければ０。
そうとらえます。
このとき、
Ｐ(Ｘk＝１)＝ｐ、Ｐ(Ｘk＝０)＝ｑ (ｑ＝１－ｐ)
です。
これも書き方が難しいですが、
Ｘkが１である、すなわち第ｋ回目に、Ａという事象が起こる確率は、ｐである。
Ｘkが０である、すなわち第ｋ回目に、Ａという事象が起こらない確率は、ｑ (ただしｑ＝１－ｐ)。
ということです。
となると、ｋ 回目にＡという事象が起こる期待値は、
Ｅ(Ｘk＝１)＝１・ｐ＋０・ｑ＝ｐ
となります。
で、実際に、Ｘ1 や Ｘ2 が１になるか０になるかは、そのとき次第ですが、
Ｘ＝Ｘ1＋Ｘ2＋Ｘ3＋Ｘ4＋・・・＋Ｘn
とおくと、この Ｘ は、ｎ 回のうち Ａ が起こる回数ということですから、その平均、すなわち期待値は、
Ｅ(Ｘ)＝Ｅ(Ｘ1)＋Ｅ(Ｘ2)＋Ｅ(Ｘ3)＋・・・＋Ｅ(Ｘn)
＝ｐ＋ｐ＋ｐ＋・・・＋ｐ
＝ｎｐ
となります。
実感は簡単なのに、証明するとなると難しい・・・。
次に課題となるのが、分散の公式の意味です。
分散は、
Ｖ(Ｘ)＝ｎｐ(１－ｐ)
これも、もう諦めてこのまま覚えますというのなら、それでも良いと思うのですが、やはり、それでは不安定で、覚えづらく、脳からすぐ消えていきそうな気がします。
一度はしっかりと、理解しておきたい。
分散の公式は大丈夫でしょうか？
数Ⅰ「データの分析」で分散を学習したときに、定義通りの１本目の公式しか覚えなかった人もいると思いますが、分散の公式は、２本目のほうが使い道があるのです。
数学の公式は、大体そうです。
２本あるときは、２本目に意味があります。
難しい問題ほど、２本目のほうが威力を発揮します。
分散の公式の２本目とは、
分散＝２乗の値の平均値－平均の２乗
という公式です。
Ｖ(Ｘ)＝Ｅ(Ｘ^2)－{Ｅ(Ｘ)}^2
ここで、平均と期待値は同じ意味だということも、改めて把握しましょう。
平均でどれくらいなのかと、どれくらい期待できるのかは、同じ意味です。
したがって、
分散＝(Ｘ^2の期待値)－(Ｘの期待値)^2
となります。
さきほど、
Ｅ(Ｘk)＝１・ｐ＋０・ｑ＝ｐ
でした。
また、
Ｅ(Ｘk^2)＝１^2・ｐ＋０^2・ｑ＝ｐ
となります。
よって、
Ｖ(Ｘk)＝Ｅ(Ｘk^2)－{Ｅ(Ｘk)}^2
＝ｐ－ｐ^2
＝ｐ(１－ｐ)
＝ｐｑ
つまり、
Ｖ(Ｘ1)＝ｐｑ
ですし、
Ｖ(Ｘ2)＝ｐｑ
です。
ここで、確率変数Ｘ1,Ｘ2,Ｘ3,・・・Ｘnは互いに独立だから、
Ｖ(Ｘ)＝Ｖ(Ｘ1)＋Ｖ(Ｘ2)＋Ｖ(Ｘ3)＋・・・＋Ｖ(Ｘn)
＝ｐｑ＋ｐｑ＋ｐｑ＋・・・＋ｐｑ
＝ｎｐｑ
＝ｎｐ(１－ｐ)
となります。
標準偏差は、分散の正の平方根のことですので、証明は不要ですね。
何とか呑み込んだら、後は、使うのみです。
問題に戻りましょう。
問題 １個のさいころを５回投げるとき、３の目が出る回数をＸとする。確率変数Ｘの平均と標準偏差を求めよ。
さいころを１回投げて３の目が出る確率は１/６。
明らかに反復試行ですので、確率変数 Ｘ は、二項分布 Ｂ(５ , １/６) に従います。
平均というのは期待値のことですから、
Ｅ(Ｘ)＝ｎｐ＝５・１/６＝５/６
よって、平均は、５/６。
分散は、
Ｖ(Ｘ)＝ｎｐｑ
＝５・１/６・５/６
＝２５/３６
標準偏差は、分散の正の平方根ですから、
σ＝√２５/３６＝５/６
標準偏差は、５/６ です。
Posted by セギ at 15:20│Comments(0)
│算数・数学
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