2024年02月13日
勉強を自分でどう進めていくか。
生徒から家庭学習のやり方について質問されたことがあります。
今は何をやっているのか尋ね返すと、学校から配布された問題集をこつこつ解いているということでした。
間違えた問題はチェックして、翌日、３日後、１０日後に解き直していると言います。
そう聞く限り、何も問題はないので、
「それでいいと思いますよ」
と応えると、
「・・・こなしているだけじゃないかという気がして」
というのです。
・・・いや、それをこなせるのは、それだけで凄いですが・・・。
本人がやると決めたテキストなのに、まるでこなせない。
宿題も、まるでこなせない。
そういう子たちと七転八倒してきた経験のほうが多いものですから、つい、夢物語を聞いているような気分になってしまい、その子が本当に問いたいことは何だったのか、上手く把握できませんでした。
では、自分のこととしてはどうか？
何かを学ぶ際に、私はそれを学ぶのに最適な教材をこなしていけば、それで学力が上がった経験を重ねています。
教える側の人間は、大体そうなのかもしれません。
しかし、誰もがそうとは限らないのも知っています。
同じ学習をしていても、ただこなしているだけになり、身につかない人もいます。
一方、上のような丁寧な解き直しなどしなくても、問題を１回解くだけで深い学習が可能な人もいます。
間違えた問題を、解き直す。
その際に、何回解き直しても、同じことを同じように間違えてしまったり、解き方を忘れてしまって、やっぱり解けなかったり。
そういうことが表層に出てしまう場合はむしろ、課題が明瞭です。
その問題は、身についていません。
反復しましょう。
理解を深めましょう。
身につけましょう。
困るのは、解き直したら正解できる場合。
正解できるのだから大丈夫なのかというと、類題は解けないのです。
どれが何の類題であるか気づかないほどに、理解が浅い。
でも、解き直しはやっている。
同じ問題の解き直しなら、正解できる。
これを指して「こなしているだけ」というのなら、確かにそれはそうなのです。
１つの問題を解く中で、吸収できる事柄の質は、人によって異なります。
本当に表層的に、その問題の解き方しか吸収できない人。
その問題を解いた、あるいは解けなかったことを通して、言語化できないほどに深い本質まで吸収できる人。
それが学習能力というものなのでしょう。
そして、学習能力を鍛えるというのは、最も行わなければならないことでありながら、最も難しいことです。
例えば、こんな問題。
問題 ４sinθ＋３cosθ＝５ のとき、sinθの値を求めよ。
簡単に解ける人もいる一方で、これはハマると全く解けない種類の問題です。
数Ⅱ「三角関数」まで学習すると、とにかく公式が多い。
そのどれを使うのか、判断できないことがあります。
何をどうしていいか、全くわからない・・・。
そういう人もいると思います。
こんな問題は解いたことがない。
学校の教科書や問題集をパラパラとめくってみても、ありそうでない問題です。
例題にはない。
典型題ではない・・・。
シンプルな１行だけの問題なのに、厄介です。
問題を分析できる人もいます。
sinθ を求めよというのだから、サインだけの式を作ればいいんだ。
コサインをサインに変えればいいんだ。
そういう発想は持てる人。
それだけ、学習能力は高い人です。
さて、そこで、何を使うか？
ここで、思いつくのが、三角関数の合成。
サインとコサインの式をサインだけにまとめるものです。
数Ⅱの内容です。
やってみましょう。
４sinθ＋３cosθ
＝√(１６＋９)sin(θ＋α)
＝５sin(θ＋α)
ただし、sinα＝３/５ , cosα＝４/５
あれ・・・。
αが、暗記している角度ではない・・・。
３辺の比が３:４:５の、見慣れた直角三角形の角ではあるけれど、角の大きさは知らない・・・。
じゃあ、加法定理？
５sin(θ＋α)＝５ より
sin(θ＋α)＝１
加法定理を用いて、
sinθcosα＋cosθsinα＝１
sinα＝３/５ , cosα＝４/５ を代入して、
sinθ×４/５＋cosθ３/５＝１
４sinθ＋３cosθ＝５
・・・え？
元に戻った・・・。
ここで行き詰まってしまいます。
三角関数の合成や加法定理を身につけているのですから、それなりに勉強しているのですが。
例題通りの基本問題ならば、解けるのですが。
でも、この問題は、解けない・・・。
コサインをサインに変える方法・・・。
これを自力で発想するのは、実際のところ難しいと思います。
しかし、この類題を解いたことがあり、そこから吸収したものが頭の中に残っている人ならば、解くことができます。
やってみましょう。
４sinθ＋３cosθ＝５
まず、これをcosθについて解きます。
３cosθ＝－４sinθ＋５
cosθ＝－４/３sinθ＋５/３ ・・・①
これをどうするのか？
これを公式に代入するのです。
sin^2 θ＋cos^2 θ＝１ ・・・②
という、たいていの人は覚えている、数Ⅰで学習した基本公式に。
①を②に代入して、
sin^2 θ＋(－４/３sinθ＋５/３)^2＝１
sin^2 θ＋１６/９sin^2 θ－４０/９sinθ＋２５/９＝１
２５/９sin^2 θ－４０/９sinθ＋１６/９＝０
２５sin^2 θ－４０sinθ＋１６＝０
(５sinθ－４)^2＝０
sinθ＝４/５
解き方を知ってしまえば、とても簡単。
でも、自力では発想できないことが多い問題です。
私たちは数学者ではないので、無から有を生み出すことは、できない場合が多いです。
数学において、ゼロから１を発想することは、多分、できない。
知っている公式と知っている解法との組み合わせで、入試問題を解けばいい。
受験勉強は、そのための準備をすればいい。
つまり、上の解法パターンが頭の中にあればいいのです。
sin^2 θ＋cos^2 θ＝１
という基本公式の使い方を知っていればいい。
新しい問題を見たときに、この解法パターンが使えるのではないかと、発想できればいいのです。
この問題を解くことで、それを吸収し、全く関係のない別の場面でそれを思い出して使えるのが、学習能力。
学習能力の高い人は、問題の解き直しをしなくても、この問題をまずは自分なりに解こうとして苦しみ、解けずに解説を読んで愕然とし、でも、以後、それを忘れずに頭の中に入れておいて適宜使います。
１回では無理ならば、何回でも解き直すことで身につける場合もあるでしょう。
それが、翌日に解き直し、３日後に解き直し、１０日後に解き直す、というやり方なのだと思います。
ただ、それが、その問題の解き方を覚えるだけで終わるのか、他の場面で応用が効くのかは、未知数です。
できるのかもしれない。
できないのかもしれない・・・。
本人の学習能力次第です。
さらに言えば、一人で勉強していると、この解法パターンを把握できない可能性があります。
この問題の焦点は、sin^2 θ＋cos^2 θ＝１ という基本公式の使い方です。
しかし、そのことを把握できず、全体に何だか混乱したまま、何がどうなのか分析もよくできないのに解き方だけ丸暗記する、という学習の仕方をしてしまう人もいます。
そうした人は、一度解いたことのある個々の問題は解けるけれど、応用が効かないのです。
個別指導は、そこを補助できます。
この問題で吸収すべき要点は何なのか。
どういう発想のものなのか。
それを幾度も強調し、何をどう理解し頭に入れておけばいいのかを明瞭にします。
どういうときに、どういう発想をすればいいのか。
そこをシステム化すると、数学が苦手だった子も、数学で得点できるようになります。
学習とは、何をどうすることであるかの、言語化、システム化。
とても難しいことではあるのですが。
だから、家庭学習で何をどのようにやればいいのかという質問に、私は上手く答えられないのかもしれません。
何をどんな量で、どんなやり方でやれば必ず学力が上がる、ということはないからです。
勿論、ある程度の量はこなす必要があります。
そして、宿題は解いてくること。
その宿題で授業をするから。
そうとしか言えないのです。
上の問題で、sin^2 θ＋cos^2 θ＝１ を用いる発想を、どの類題で、どのように思いつくのか。
これは、感覚的には、空中から突然現れるようなものです。
問題を正面から考え、行き詰まったら後ろから考えていると、わからないところの距離が縮まる。
距離が縮まった瞬間に放電する。
その電気は、空中から突然現れます。
通電し、すべてがつながります。
そんな言い方しかできないうちは、私もまだ、言語化できていないのかもしれませんが。
今は何をやっているのか尋ね返すと、学校から配布された問題集をこつこつ解いているということでした。
間違えた問題はチェックして、翌日、３日後、１０日後に解き直していると言います。
そう聞く限り、何も問題はないので、
「それでいいと思いますよ」
と応えると、
「・・・こなしているだけじゃないかという気がして」
というのです。
・・・いや、それをこなせるのは、それだけで凄いですが・・・。
本人がやると決めたテキストなのに、まるでこなせない。
宿題も、まるでこなせない。
そういう子たちと七転八倒してきた経験のほうが多いものですから、つい、夢物語を聞いているような気分になってしまい、その子が本当に問いたいことは何だったのか、上手く把握できませんでした。
では、自分のこととしてはどうか？
何かを学ぶ際に、私はそれを学ぶのに最適な教材をこなしていけば、それで学力が上がった経験を重ねています。
教える側の人間は、大体そうなのかもしれません。
しかし、誰もがそうとは限らないのも知っています。
同じ学習をしていても、ただこなしているだけになり、身につかない人もいます。
一方、上のような丁寧な解き直しなどしなくても、問題を１回解くだけで深い学習が可能な人もいます。
間違えた問題を、解き直す。
その際に、何回解き直しても、同じことを同じように間違えてしまったり、解き方を忘れてしまって、やっぱり解けなかったり。
そういうことが表層に出てしまう場合はむしろ、課題が明瞭です。
その問題は、身についていません。
反復しましょう。
理解を深めましょう。
身につけましょう。
困るのは、解き直したら正解できる場合。
正解できるのだから大丈夫なのかというと、類題は解けないのです。
どれが何の類題であるか気づかないほどに、理解が浅い。
でも、解き直しはやっている。
同じ問題の解き直しなら、正解できる。
これを指して「こなしているだけ」というのなら、確かにそれはそうなのです。
１つの問題を解く中で、吸収できる事柄の質は、人によって異なります。
本当に表層的に、その問題の解き方しか吸収できない人。
その問題を解いた、あるいは解けなかったことを通して、言語化できないほどに深い本質まで吸収できる人。
それが学習能力というものなのでしょう。
そして、学習能力を鍛えるというのは、最も行わなければならないことでありながら、最も難しいことです。
例えば、こんな問題。
問題 ４sinθ＋３cosθ＝５ のとき、sinθの値を求めよ。
簡単に解ける人もいる一方で、これはハマると全く解けない種類の問題です。
数Ⅱ「三角関数」まで学習すると、とにかく公式が多い。
そのどれを使うのか、判断できないことがあります。
何をどうしていいか、全くわからない・・・。
そういう人もいると思います。
こんな問題は解いたことがない。
学校の教科書や問題集をパラパラとめくってみても、ありそうでない問題です。
例題にはない。
典型題ではない・・・。
シンプルな１行だけの問題なのに、厄介です。
問題を分析できる人もいます。
sinθ を求めよというのだから、サインだけの式を作ればいいんだ。
コサインをサインに変えればいいんだ。
そういう発想は持てる人。
それだけ、学習能力は高い人です。
さて、そこで、何を使うか？
ここで、思いつくのが、三角関数の合成。
サインとコサインの式をサインだけにまとめるものです。
数Ⅱの内容です。
やってみましょう。
４sinθ＋３cosθ
＝√(１６＋９)sin(θ＋α)
＝５sin(θ＋α)
ただし、sinα＝３/５ , cosα＝４/５
あれ・・・。
αが、暗記している角度ではない・・・。
３辺の比が３:４:５の、見慣れた直角三角形の角ではあるけれど、角の大きさは知らない・・・。
じゃあ、加法定理？
５sin(θ＋α)＝５ より
sin(θ＋α)＝１
加法定理を用いて、
sinθcosα＋cosθsinα＝１
sinα＝３/５ , cosα＝４/５ を代入して、
sinθ×４/５＋cosθ３/５＝１
４sinθ＋３cosθ＝５
・・・え？
元に戻った・・・。
ここで行き詰まってしまいます。
三角関数の合成や加法定理を身につけているのですから、それなりに勉強しているのですが。
例題通りの基本問題ならば、解けるのですが。
でも、この問題は、解けない・・・。
コサインをサインに変える方法・・・。
これを自力で発想するのは、実際のところ難しいと思います。
しかし、この類題を解いたことがあり、そこから吸収したものが頭の中に残っている人ならば、解くことができます。
やってみましょう。
４sinθ＋３cosθ＝５
まず、これをcosθについて解きます。
３cosθ＝－４sinθ＋５
cosθ＝－４/３sinθ＋５/３ ・・・①
これをどうするのか？
これを公式に代入するのです。
sin^2 θ＋cos^2 θ＝１ ・・・②
という、たいていの人は覚えている、数Ⅰで学習した基本公式に。
①を②に代入して、
sin^2 θ＋(－４/３sinθ＋５/３)^2＝１
sin^2 θ＋１６/９sin^2 θ－４０/９sinθ＋２５/９＝１
２５/９sin^2 θ－４０/９sinθ＋１６/９＝０
２５sin^2 θ－４０sinθ＋１６＝０
(５sinθ－４)^2＝０
sinθ＝４/５
解き方を知ってしまえば、とても簡単。
でも、自力では発想できないことが多い問題です。
私たちは数学者ではないので、無から有を生み出すことは、できない場合が多いです。
数学において、ゼロから１を発想することは、多分、できない。
知っている公式と知っている解法との組み合わせで、入試問題を解けばいい。
受験勉強は、そのための準備をすればいい。
つまり、上の解法パターンが頭の中にあればいいのです。
sin^2 θ＋cos^2 θ＝１
という基本公式の使い方を知っていればいい。
新しい問題を見たときに、この解法パターンが使えるのではないかと、発想できればいいのです。
この問題を解くことで、それを吸収し、全く関係のない別の場面でそれを思い出して使えるのが、学習能力。
学習能力の高い人は、問題の解き直しをしなくても、この問題をまずは自分なりに解こうとして苦しみ、解けずに解説を読んで愕然とし、でも、以後、それを忘れずに頭の中に入れておいて適宜使います。
１回では無理ならば、何回でも解き直すことで身につける場合もあるでしょう。
それが、翌日に解き直し、３日後に解き直し、１０日後に解き直す、というやり方なのだと思います。
ただ、それが、その問題の解き方を覚えるだけで終わるのか、他の場面で応用が効くのかは、未知数です。
できるのかもしれない。
できないのかもしれない・・・。
本人の学習能力次第です。
さらに言えば、一人で勉強していると、この解法パターンを把握できない可能性があります。
この問題の焦点は、sin^2 θ＋cos^2 θ＝１ という基本公式の使い方です。
しかし、そのことを把握できず、全体に何だか混乱したまま、何がどうなのか分析もよくできないのに解き方だけ丸暗記する、という学習の仕方をしてしまう人もいます。
そうした人は、一度解いたことのある個々の問題は解けるけれど、応用が効かないのです。
個別指導は、そこを補助できます。
この問題で吸収すべき要点は何なのか。
どういう発想のものなのか。
それを幾度も強調し、何をどう理解し頭に入れておけばいいのかを明瞭にします。
どういうときに、どういう発想をすればいいのか。
そこをシステム化すると、数学が苦手だった子も、数学で得点できるようになります。
学習とは、何をどうすることであるかの、言語化、システム化。
とても難しいことではあるのですが。
だから、家庭学習で何をどのようにやればいいのかという質問に、私は上手く答えられないのかもしれません。
何をどんな量で、どんなやり方でやれば必ず学力が上がる、ということはないからです。
勿論、ある程度の量はこなす必要があります。
そして、宿題は解いてくること。
その宿題で授業をするから。
そうとしか言えないのです。
上の問題で、sin^2 θ＋cos^2 θ＝１ を用いる発想を、どの類題で、どのように思いつくのか。
これは、感覚的には、空中から突然現れるようなものです。
問題を正面から考え、行き詰まったら後ろから考えていると、わからないところの距離が縮まる。
距離が縮まった瞬間に放電する。
その電気は、空中から突然現れます。
通電し、すべてがつながります。
そんな言い方しかできないうちは、私もまだ、言語化できていないのかもしれませんが。
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