2022年03月19日
高校数学。数Ⅱ「三角関数」。和積の公式。
さて、「三角関数」の公式も、今回が最後です。
和積の公式。
以下の通りです。
sinＡ＋sinＢ＝２sin(Ａ＋Ｂ)/２・cos(Ａ－Ｂ)/２
sinＡ－sinＢ＝２cos(Ａ＋Ｂ)/２・sin(Ａ－Ｂ)/２
cosＡ＋cosＢ＝２cos(Ａ＋Ｂ)/２・cos(Ａ－Ｂ)/２
cosＡ－cosＢ＝－２sin(Ａ＋Ｂ)/２・sin(Ａ－Ｂ)/２
見た目が似ていることからもわかると思いますが、これは積和の公式の変形です。
興味がある方は、参考書などで証明をご確認ください。
さて、これの覚え方。
これも、語呂合わせはあるようですが、その語呂合わせが覚えにくい・・・。
私はこれも、４本まとめて機械的に覚えています。
左辺は規則的です。
上から、サインの和、サインの差、コサインの和、コサインの差。
問題は右辺。
これは、加法定理を唱えながら書いていきます。
「サイン・コス。コス・サイン。コス・コス－サイン・サイン」
最後の「マイナス」だけ、強く意識しないと忘れがちです。
あとは、右辺の先頭に係数「２」を置くことも忘れずに。
Ａ＋Ｂ、Ａ－Ｂは、どれも共通です。
では、問題を解いてみましょう。
問題 sin７５°＋sin１５°の値を求めよ。
見るからに和積の公式を利用するものなので、こういうのはどの公式を利用するか悩まずに済んでありがたいですね。
sin７５°＋sin１５°
＝２sin(７５°＋１５°)/２・cos(７５°－１５°)/２
＝２sin４５°cos３０°
＝２・√２/２・√３/２
＝√６/２
うん。
公式さえ覚えていれば、簡単ですね。
しかし、それが落とし穴でもあるんです。
公式を使うだけの問題を自分で練習するとき、教科書や、問題集の下段に書いてある公式を見ながら、単純に代入するだけで解いてしまい、ああ簡単だと思ってしまう。
自力で解けると思ってしまう・・・。
こういう問題の練習は、まず、公式を暗記して、練習するときは、その公式を見ないで解いてみましょう。
「あれ？え？何だっけ？」
となる場合、もう一度公式を覚え直して、そしてもう一度、その公式を見ないで解いてみましょう。
そもそも、数学の問題を解くときは、常に、公式などは見ないで解きましょう。
それだけで、少なくとも、自分の実力が理解できます。
わざわざＡＩに分析してもらわなくても、自分は何ができて何ができないのかを知る方法は、あるのです。
公式を見ながら解いた基本問題を「簡単だったから」「自分で解けたから」と、テスト直前もノーマークにしていたので、実際にテストを受けると、自分がそれを上手く解けないことに動揺してしまう・・・。
「覚えても、どうせ忘れてしまうから」
と思う人もいると思います。
確かに、１週間経つともう忘れてしまう人は多いです。
覚えても、覚えても、端から忘れていきます。
でも、記憶というのはそういうものなので、定着するまで反復するしかないのです。
むしろ反復しないと定着しないので、学習の初期の段階から、繰り返し繰り返し暗記すると、やがて定着します。
もう少し問題を見てみましょう。
問題 ０≦θ≦π のとき、次の方程式を解け。
sin２θ＋sin３θ＋sin４θ＝０
これは、このままの形で定期テストに出ることがある、典型題です。
さて、どう解きましょうか。
sin２θや、sin３θは、２倍角の公式、３倍角の公式を使えるけれど、残るsin４θは、どうするんだろう？
２θの２倍ということで処理するのかなあ？
計算が複雑そうだなあ・・・。
もっと簡単な方法はないのか？
・・・ここで、和積の公式です。
(２θ＋４θ)/２＝３θ となるので、何か共通な部分ができるんじゃないでしょうか。
少なくとも、２θと３θをたして２で割るようなのは、θの係数が分数となり、悪手であるような気がします。
どうなるかわからないけれど、ちょっとやってみよう！
数学の問題を解くには、とにかくやってみることが大切。
最終過程まで見通せなくても、先に光が見えたら、やってみましょう。
ダメなら、戻る。
そうした試行錯誤が必要です。
実際にやって無駄になったらつまらないからと、すぐ解答解説を見てしまう人もいると思います。
それでいて、「どうしたら応用力がつくんだろう」と思っている。
応用力をつけるには、すぐに解答解説を見る習慣を改めると良いですよ。
sin２θ＋sin３θ＋sin４θ＝０
(sin４θ＋sin２θ)＋sin３θ＝０
２sin３θ・cosθ＋sin３θ＝０
sin３θ(２cosθ＋１)＝０
これは、「値を求めよ」という問題ではなく、「方程式を解け」という問題です。
だから、上のように因数分解できれば、もうこっちのものですね。
sin３θ＝０、または、２cosθ＋１＝０
と、わかります。
え？え？
と思ってしまう人は、中学３年の２次方程式の解き方に戻って復習すると良いです。
解き方の作業手順だけ覚えて、意味を忘れてしまっている可能性があります。
もう一度意味に戻って考えられるような中学３年の教科書か参考書を読んでみてください。
まだ終わっていません。
sin３θ＝０、または、２cosθ＋１＝０ ですから、
sin３θ＝０、またはcosθ＝－１/２
ここで、問題によれば、０≦θ≦πですから、
０≦３θ≦３π
この範囲でsin３θ＝０ を解くと、
３θ＝０、π、２π、３π
よって、θ＝０、π/３、２/３π、π
また、cosθ＝－１/２より、
θ＝２/３π
よって、この方程式の解は、
θ＝０、π/３、２/３π、π
後半の計算がわからないという人は、三角方程式の解き方を忘れていますので、この単元の前半のほうに戻って復習すると良いと思います。
頑張ってください。
和積の公式。
以下の通りです。
sinＡ＋sinＢ＝２sin(Ａ＋Ｂ)/２・cos(Ａ－Ｂ)/２
sinＡ－sinＢ＝２cos(Ａ＋Ｂ)/２・sin(Ａ－Ｂ)/２
cosＡ＋cosＢ＝２cos(Ａ＋Ｂ)/２・cos(Ａ－Ｂ)/２
cosＡ－cosＢ＝－２sin(Ａ＋Ｂ)/２・sin(Ａ－Ｂ)/２
見た目が似ていることからもわかると思いますが、これは積和の公式の変形です。
興味がある方は、参考書などで証明をご確認ください。
さて、これの覚え方。
これも、語呂合わせはあるようですが、その語呂合わせが覚えにくい・・・。
私はこれも、４本まとめて機械的に覚えています。
左辺は規則的です。
上から、サインの和、サインの差、コサインの和、コサインの差。
問題は右辺。
これは、加法定理を唱えながら書いていきます。
「サイン・コス。コス・サイン。コス・コス－サイン・サイン」
最後の「マイナス」だけ、強く意識しないと忘れがちです。
あとは、右辺の先頭に係数「２」を置くことも忘れずに。
Ａ＋Ｂ、Ａ－Ｂは、どれも共通です。
では、問題を解いてみましょう。
問題 sin７５°＋sin１５°の値を求めよ。
見るからに和積の公式を利用するものなので、こういうのはどの公式を利用するか悩まずに済んでありがたいですね。
sin７５°＋sin１５°
＝２sin(７５°＋１５°)/２・cos(７５°－１５°)/２
＝２sin４５°cos３０°
＝２・√２/２・√３/２
＝√６/２
うん。
公式さえ覚えていれば、簡単ですね。
しかし、それが落とし穴でもあるんです。
公式を使うだけの問題を自分で練習するとき、教科書や、問題集の下段に書いてある公式を見ながら、単純に代入するだけで解いてしまい、ああ簡単だと思ってしまう。
自力で解けると思ってしまう・・・。
こういう問題の練習は、まず、公式を暗記して、練習するときは、その公式を見ないで解いてみましょう。
「あれ？え？何だっけ？」
となる場合、もう一度公式を覚え直して、そしてもう一度、その公式を見ないで解いてみましょう。
そもそも、数学の問題を解くときは、常に、公式などは見ないで解きましょう。
それだけで、少なくとも、自分の実力が理解できます。
わざわざＡＩに分析してもらわなくても、自分は何ができて何ができないのかを知る方法は、あるのです。
公式を見ながら解いた基本問題を「簡単だったから」「自分で解けたから」と、テスト直前もノーマークにしていたので、実際にテストを受けると、自分がそれを上手く解けないことに動揺してしまう・・・。
「覚えても、どうせ忘れてしまうから」
と思う人もいると思います。
確かに、１週間経つともう忘れてしまう人は多いです。
覚えても、覚えても、端から忘れていきます。
でも、記憶というのはそういうものなので、定着するまで反復するしかないのです。
むしろ反復しないと定着しないので、学習の初期の段階から、繰り返し繰り返し暗記すると、やがて定着します。
もう少し問題を見てみましょう。
問題 ０≦θ≦π のとき、次の方程式を解け。
sin２θ＋sin３θ＋sin４θ＝０
これは、このままの形で定期テストに出ることがある、典型題です。
さて、どう解きましょうか。
sin２θや、sin３θは、２倍角の公式、３倍角の公式を使えるけれど、残るsin４θは、どうするんだろう？
２θの２倍ということで処理するのかなあ？
計算が複雑そうだなあ・・・。
もっと簡単な方法はないのか？
・・・ここで、和積の公式です。
(２θ＋４θ)/２＝３θ となるので、何か共通な部分ができるんじゃないでしょうか。
少なくとも、２θと３θをたして２で割るようなのは、θの係数が分数となり、悪手であるような気がします。
どうなるかわからないけれど、ちょっとやってみよう！
数学の問題を解くには、とにかくやってみることが大切。
最終過程まで見通せなくても、先に光が見えたら、やってみましょう。
ダメなら、戻る。
そうした試行錯誤が必要です。
実際にやって無駄になったらつまらないからと、すぐ解答解説を見てしまう人もいると思います。
それでいて、「どうしたら応用力がつくんだろう」と思っている。
応用力をつけるには、すぐに解答解説を見る習慣を改めると良いですよ。
sin２θ＋sin３θ＋sin４θ＝０
(sin４θ＋sin２θ)＋sin３θ＝０
２sin３θ・cosθ＋sin３θ＝０
sin３θ(２cosθ＋１)＝０
これは、「値を求めよ」という問題ではなく、「方程式を解け」という問題です。
だから、上のように因数分解できれば、もうこっちのものですね。
sin３θ＝０、または、２cosθ＋１＝０
と、わかります。
え？え？
と思ってしまう人は、中学３年の２次方程式の解き方に戻って復習すると良いです。
解き方の作業手順だけ覚えて、意味を忘れてしまっている可能性があります。
もう一度意味に戻って考えられるような中学３年の教科書か参考書を読んでみてください。
まだ終わっていません。
sin３θ＝０、または、２cosθ＋１＝０ ですから、
sin３θ＝０、またはcosθ＝－１/２
ここで、問題によれば、０≦θ≦πですから、
０≦３θ≦３π
この範囲でsin３θ＝０ を解くと、
３θ＝０、π、２π、３π
よって、θ＝０、π/３、２/３π、π
また、cosθ＝－１/２より、
θ＝２/３π
よって、この方程式の解は、
θ＝０、π/３、２/３π、π
後半の計算がわからないという人は、三角方程式の解き方を忘れていますので、この単元の前半のほうに戻って復習すると良いと思います。
頑張ってください。
Posted by セギ at 11:48│Comments(0)
│算数・数学
※このブログではブログの持ち主が承認した後、コメントが反映される設定です。
