2021年12月03日
高校数Ⅱ「三角関数」。２倍角の公式の利用。
画像は、羽村取水堰から徒歩２分のあたりです。
左手が玉川上水。
遊歩道は広く、未舗装です。
桜の季節はきれいでしょうね。
さて、本日も三角関数。
２倍角の公式を利用してみます。
問題 次の方程式・不等式を解け。ただし、０≦ｘ＜π とする。
(１) ｓｉｎ ２ｘ＋ｓｉｎ ｘ＝０
(２) ｃｏｓ ２ｘ＋３ｃｏｓ ｘ＞１
まず、ｓｉｎ ２ｘ＋ｓｉｎ ｘ は、ｓｉｎ ３ｘではありません。
わかっているつもりでも、ふっと誤解してしまうことがありますので、気をつけたいところです。
「え、そんなバカな」
と思っても、こういう誤解は、まさかというときに繰り返されます。
では、どう解きましょうか？
(１) ｓｉｎ ２ｘ＋ｓｉｎ ｘ＝０
角の大きさが ２ｘ と ｘ とで異なるので、このままでは計算できません。
ａ＋ｂ＝０
が、この先どうにもならないのと同じで、このままでは動きません。
角の大きさを同じものにする、そして、サインならサイン、コサインならコサインにそろえることが必要です。
では、２倍角の公式の登場ですね。
ｓｉｎ ２ｘ＋ｓｉｎ ｘ＝０
２ｓｉｎ ｘ ・ｃｏｓ ｘ＋ｓｉｎ ｘ＝０
ｓｉｎ ｘという共通因数が見つかりましたので、それでくくりましょう。
ｓｉｎ ｘ (２ｃｏｓ ｘ＋１)＝０
２次方程式を解く際におなじみですが、このように因数分解して、＝０となった場合、
ｓｉｎ ｘ＝０ または、２ｃｏｓ ｘ＋１＝０
ということです。
かけ算の答が０だということは、かけたものの少なくともどちらかは０だということだからです。
これで解けますね。
ｓｉｎ ｘ＝０ ということは、単位円を頭の中でイメージして考えると、
ｘ＝０ , π ですが、この問題では、ｘの定義域は、０≦ｘ＜π となっていましたので、
ｘ＝０ です。
また、
２ｃｏｓ ｘ＋１＝０ ということは、
ｃｏｓ ｘ＝－１/２
これも単位円をイメージして、
ｘ＝２/３π
よって、答は、ｘ＝０ , ２/３π です。
(２) ｃｏｓ ２ｘ＋３ｃｏｓ ｘ＞１
これは、どうでしょうか？
どちらもコサインですが、やはり、角度が異なっています。
文字式の文字の種類が異なるのと同じで、このままではどうにもなりません。
２倍角の公式を活用しましょう。
コサインの２倍角の公式は、３つの形態がありましたが、どれにしましょうか？
式の中のもう１つの項が、３ｃｏｓｘですから、ｃｏｓｘを含む形態に転換するのがよさそうです。
「ニコスカードで１万ひかれる」と覚える、あれです。
ｃｏｓ ２ｘ＝２ｃｏｓ^2ｘ－１ です。
ｃｏｓ ２ｘ＋３ｃｏｓ ｘ＞１
２ｃｏｓ^2ｘ－１＋３ｃｏｓ ｘ＞１
２ｃｏｓ^2ｘ＋３ｃｏｓ ｘ－２＞０
これは、
２ｘ^2＋３ｘ－２＞０ という２次不等式を解くのと同じです。
因数分解しましょう。
たすきがけができます。
(２ｃｏｓ ｘ－１)(ｃｏｓ ｘ＋２)＞０
不等号が左に開いていますから、不等式の範囲は、数直線上で左右に分かれるタイプですね。
ｃｏｓ ｘ＜－２ , １/２＜ｃｏｓ ｘ
しかし、コサインというのは、変域のあるものでした、
－１≦ｃｏｓ ｘ≦１ ですから、
１/２＜ｃｏｓ ｘ≦１
さて、不等式の場合は、単位円を実際に描いて考えたほうがケアレスミスがなく安全です。
単位円をざっと描いて、この範囲を考えます。
問題に、０≦ｘ＜π と書いてありますから、そのことも考えて、
０≦ｘ＜π/３
これが答です。
定期テストに必ず出る基本問題ですが、学校の問題集の解答解説集や教科書を開きっぱなしで練習し、
「はい、正解。こんな基本問題は大丈夫」
と思っていると、実際のテスト用紙を見たときに、
「あれ？自分は何でこの問題が解けないんだろう？」
と頭が真っ白になってしまうことがあります。
問題を解くときには、何も見ないで解きましょう。
公式は見ないで、自分の頭の中にあるものを活用する。
それで解けなかったら、問題集にしっかりチェックを入れる。
さらに、テスト前にもう一度、基本問題だからこそ、解き直す。
そのように準備をすると、実際のテストで頭が真っ白になることを防げると思います。
頑張ってください。
左手が玉川上水。
遊歩道は広く、未舗装です。
桜の季節はきれいでしょうね。
さて、本日も三角関数。
２倍角の公式を利用してみます。
問題 次の方程式・不等式を解け。ただし、０≦ｘ＜π とする。
(１) ｓｉｎ ２ｘ＋ｓｉｎ ｘ＝０
(２) ｃｏｓ ２ｘ＋３ｃｏｓ ｘ＞１
まず、ｓｉｎ ２ｘ＋ｓｉｎ ｘ は、ｓｉｎ ３ｘではありません。
わかっているつもりでも、ふっと誤解してしまうことがありますので、気をつけたいところです。
「え、そんなバカな」
と思っても、こういう誤解は、まさかというときに繰り返されます。
では、どう解きましょうか？
(１) ｓｉｎ ２ｘ＋ｓｉｎ ｘ＝０
角の大きさが ２ｘ と ｘ とで異なるので、このままでは計算できません。
ａ＋ｂ＝０
が、この先どうにもならないのと同じで、このままでは動きません。
角の大きさを同じものにする、そして、サインならサイン、コサインならコサインにそろえることが必要です。
では、２倍角の公式の登場ですね。
ｓｉｎ ２ｘ＋ｓｉｎ ｘ＝０
２ｓｉｎ ｘ ・ｃｏｓ ｘ＋ｓｉｎ ｘ＝０
ｓｉｎ ｘという共通因数が見つかりましたので、それでくくりましょう。
ｓｉｎ ｘ (２ｃｏｓ ｘ＋１)＝０
２次方程式を解く際におなじみですが、このように因数分解して、＝０となった場合、
ｓｉｎ ｘ＝０ または、２ｃｏｓ ｘ＋１＝０
ということです。
かけ算の答が０だということは、かけたものの少なくともどちらかは０だということだからです。
これで解けますね。
ｓｉｎ ｘ＝０ ということは、単位円を頭の中でイメージして考えると、
ｘ＝０ , π ですが、この問題では、ｘの定義域は、０≦ｘ＜π となっていましたので、
ｘ＝０ です。
また、
２ｃｏｓ ｘ＋１＝０ ということは、
ｃｏｓ ｘ＝－１/２
これも単位円をイメージして、
ｘ＝２/３π
よって、答は、ｘ＝０ , ２/３π です。
(２) ｃｏｓ ２ｘ＋３ｃｏｓ ｘ＞１
これは、どうでしょうか？
どちらもコサインですが、やはり、角度が異なっています。
文字式の文字の種類が異なるのと同じで、このままではどうにもなりません。
２倍角の公式を活用しましょう。
コサインの２倍角の公式は、３つの形態がありましたが、どれにしましょうか？
式の中のもう１つの項が、３ｃｏｓｘですから、ｃｏｓｘを含む形態に転換するのがよさそうです。
「ニコスカードで１万ひかれる」と覚える、あれです。
ｃｏｓ ２ｘ＝２ｃｏｓ^2ｘ－１ です。
ｃｏｓ ２ｘ＋３ｃｏｓ ｘ＞１
２ｃｏｓ^2ｘ－１＋３ｃｏｓ ｘ＞１
２ｃｏｓ^2ｘ＋３ｃｏｓ ｘ－２＞０
これは、
２ｘ^2＋３ｘ－２＞０ という２次不等式を解くのと同じです。
因数分解しましょう。
たすきがけができます。
(２ｃｏｓ ｘ－１)(ｃｏｓ ｘ＋２)＞０
不等号が左に開いていますから、不等式の範囲は、数直線上で左右に分かれるタイプですね。
ｃｏｓ ｘ＜－２ , １/２＜ｃｏｓ ｘ
しかし、コサインというのは、変域のあるものでした、
－１≦ｃｏｓ ｘ≦１ ですから、
１/２＜ｃｏｓ ｘ≦１
さて、不等式の場合は、単位円を実際に描いて考えたほうがケアレスミスがなく安全です。
単位円をざっと描いて、この範囲を考えます。
問題に、０≦ｘ＜π と書いてありますから、そのことも考えて、
０≦ｘ＜π/３
これが答です。
定期テストに必ず出る基本問題ですが、学校の問題集の解答解説集や教科書を開きっぱなしで練習し、
「はい、正解。こんな基本問題は大丈夫」
と思っていると、実際のテスト用紙を見たときに、
「あれ？自分は何でこの問題が解けないんだろう？」
と頭が真っ白になってしまうことがあります。
問題を解くときには、何も見ないで解きましょう。
公式は見ないで、自分の頭の中にあるものを活用する。
それで解けなかったら、問題集にしっかりチェックを入れる。
さらに、テスト前にもう一度、基本問題だからこそ、解き直す。
そのように準備をすると、実際のテストで頭が真っ白になることを防げると思います。
頑張ってください。
Posted by セギ at 10:45│Comments(0)
│算数・数学
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