2021年11月25日
高校数Ⅱ「三角関数」。２倍角の公式。
画像は、羽村駅東口にある、まいまいず井戸です。
さて、本日は数学。
三角関数。
今回は、加法定理の応用である、２倍角の公式です。
まずは、公式を見てみましょう。
ｓｉｎ ２α＝２ｓｉｎα・ｃｏｓα
ｃｏｓ ２α＝ｃｏｓ^2 α－ｓｉｎ^2 α＝１－２ｓｉｎ^2 α＝２ｃｏｓ^2 α－１
ｔａｎ ２α＝２ｔａｎ α / １－ｔａｎ^2 α
加法定理を理解していれば、この２倍角の公式の証明は簡単です。
やってみましょう。
ｓｉｎ ２α
＝ｓｉｎ(α＋α)
ここで加法定理を使って、
＝ｓｉｎ α・ｃｏｓ α＋ｃｏｓ α・ｓｉｎ α
＝２ｓｉｎ α・ｃｏｓ α
簡単でしたね。
高校の数学の先生が、
「２倍角の定理は、覚えなくても、加法定理からいつでも復元できる」
と言うことがあるのは、こういう意味です。
慣れてくれば、
ｓｉｎ ２α
というものを見ただけで、二重写しのように、
＝２ｓｉｎ α・ｃｏｓ α
が見えてきます。
とはいえ、いちいち加法定理に戻るのは時間がかかる、という人のために、覚え方がないわけではありません。
これは２倍角の覚え方だぞ、と念じなければならないのは難点ですが、
「サインは錦織」
と覚えます。
すなわち、サインの２倍角は、に・し(ｓｉｎ)・こり(ｃｏｓ)と覚えます。
覚えやすいと思ったら、活用してください。
続いて、コサインの２倍角の公式の証明をしましょう。
ｃｏｓ ２α
＝ｃｏｓ(α＋α)
加法定理を使って、
＝ｃｏｓ α・ｃｏｓ α－ｓｉｎ α・ｓｉｎ α
＝ｃｏｓ^2 α－ｓｉｎ^2 α
はい、これがまず、第１形態。
さらに、書き換えていきます。
＝(１－ｓｉｎ^2 α)－ｓｉｎ^2 α
＝１－２ｓｉｎ^2 α
はい。これが第２形態。
式の中のコサインをサインに書き換えたいときに便利です。
さらに、書き換えます。
いったん、第１形態に戻って、
＝ｃｏｓ^2 α－ｓｉｎ^2 α
＝ｃｏｓ^2 α－(１－ｃｏｓ^2 α)
＝２ｃｏｓ^2 α－１
これで、第３形態です。
これは、式の中のコサインを別のコサインに書き換えたいときに便利です。
証明からわかる通り、これも基本は加法定理です。
あとは、おなじみの、
ｓｉｎ^2 α＋ｃｏｓ^2 α＝１
を利用しているだけです。
だから、やろうと思えばすべて自分で復元できるのですが、テスト中にこれをごちゃごちゃやっていると混乱してしまう人もいます。
何か覚え方はないものか？
ネットを探していたら、ありました。
他の方の発明した覚え方なので気がひけますが、いいなあと思いましたので、紹介させていただきます。
まず、
ｃｏｓ ２α＝ｃｏｓ^2 α－ｓｉｎ^2 α
という第１形態ですが、これは加法定理を利用した基本ではあるものの、実際の問題で使用することはほとんどないので、どうしても必要になったら、加法定理で自力で復元しましょう。
問題を解く際によく使うのは、まず第３形態です。
ｃｏｓ ２α＝２ｃｏｓ^2 α－１
これを覚えましょう。
「コサインの２倍角の覚え方だ」と強く念じるところまでは自力で。
そのうえで、覚え方は、
「ニコスカードで一万引かれる」
と覚えます。
に(２)・コス(ｃｏｓ)カードで１万引かれる(－１)。
１引かれるでもいいのですが、カード払いで１円というのはイメージしにくいので、１万にしておきましょう。
高校生は、まだクレジットカードを持っていないので、あまりなじみはないかもしれませんが、公式をそのまま暗記するよりはましだと思います。
２乗は、自力でつけてください。
２倍角の公式って、右辺は何か２乗していたよねーという漠然としたイメージをもっていればよいかと思います。
さて、では第２形態は、どうしましょうか。
ｃｏｓ ２α＝１－２ｓｉｎ^2 α
これは、よく見ると、第３形態と符号が逆であることに気づくと思います。
ｓｉｎに変えるときは、逆。
これも、強く念じて覚えましょう。
では、タンジェントの２倍角は？
まず基本の証明から。
これも加法定理を用いるだけです。
ｔａｎ ２α
＝ｔａｎｇ(α＋α)
＝ｔａｎ α＋ｔａｎ α / １－ｔａｎ α・ｔａｎ α
＝２ｔａｎ α / １－ｔａｎ^2 α
これは、ほとんど使わないので、覚え方まで使って無理に覚える必要はないと思います。
必要になったら、加法定理で普通に復元しましょう。
「１まいタンタン、タンぷらタン」です。
この先、公式は大量に出てきます。
しかし、よく使う公式と、そんなに使わない公式があります。
その濃淡を理解し、よく使う公式だけでも確実に暗記しようと考えれば、心の負担はいくらか減ると思います。
サインの２倍角の公式と、コサインの２倍角の公式は、非常によく使います。
必ず覚えて活用してください。
Posted by セギ at 16:31│Comments(0)
│算数・数学
※このブログではブログの持ち主が承認した後、コメントが反映される設定です。
