2021年08月07日
夏休みは難問を。二等辺三角形と３つの内接円の問題。
問題 ３辺の長さがそれぞれ１０、１０、１２である二等辺三角形があり、３つの円がその内側にある。３つの円は図のように、それぞれ各辺に接し、またお互いに接している。３つの円の半径の長さを求めよ。
さて、この問題、１０秒と経たずに解法に気づく人もいると思いますが、パっとみて気づかないと、かなりハマることになる問題です。
該当学年は中３。
単元は「平面図形と三平方の定理」です。
この問題、外側の三角形が正三角形の場合は、少し発展的な問題集には必ず載っている典型題です。
相似な三角形と三平方の定理で解くことが可能です。
むしろ、その印象が強すぎると、そこにとらわれて、ひどく複雑な連立方程式を立てることになり、何時間でもうなってしまうことになります。
こんな問題、成立するの？
二等辺三角形の中に、３つの内接円なんて描けないんじゃないの？
と疑問を抱くことになるほどハマる場合もあるかと思います。
夏休みで、時間も十分ありますので、数学の問題を楽しみたいと思う方は、ここでいったん図だけを書き写し、このブログを読むのをやめて、この問題に挑戦していただければと思います。
さて、ここからは解決編です。
まず、二等辺三角形の対称性から、円Ｏ2とＯ3は、半径が等しい合同な円だということがわかります。
二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に２等分します。
その二等分線は、円Ｏ1の中心を通り、円Ｏ2とＯ3の接点を通ります。
その二等分線で、この三角形を半分に切りましょう。
下の図が、半分に切った三角形の左側です。
直角三角形となります。
三平方の定理により、３辺の長さは６、８、１０となります。
そこに、円Ｏ2だけを描くと、問題は極めてシンプルであることがわかると思います。
円Ｏ2の半径をｒとします。
円と接線の定理を使えます。
円外の点から、その円へは２本の接線がひけます。
円外のその点から接点までの距離は等しいです。
図では、長さ６の辺の、円との接点から直角の頂点のところまでが、円の半径と等しく、ｒとなります。
すると、長さ６の辺の残りの部分ＢＦは、６－ｒ。
長さ８の辺の、線分ＭＧも、ｒです。
すると、長さ８の辺の残りの部分ＡＧは、８－ｒ。
したがって、
長さ１０の辺の、ＢＥは、６－ｒ。
長さ１０の辺の、ＡＥは、８－ｒ。
その和が１０ですから、
(６－ｒ)＋(８－ｒ)＝１０
１４－２ｒ＝１０
－２ｒ＝－４
ｒ＝２
よって、円Ｏ2の半径は２です。
合同な円なので、円Ｏ3の半径も２です。
この発想をパッと見た瞬間に思いつくことさえできたら、この問題は何でもないのですが、このことに気づかないと、延々と苦しむことになります。
これがわかれば、円Ｏ1は、計算が多少面倒くさいだけで、発想は難しくないと思います。
他にもっとスマートな解き方があるかもしれませんが、地道な解き方としては、上の図の直角三角形Ｏ1Ｏ2Ｇで、三平方の定理を用いて方程式を立てましょう。
そのために、Ｏ1Ｇの長さを文字を使って表すことが必要です。
それには、まず、円Ｏ1の左半分も書き込んで考えます。
円Ｏ1の半径をｘとします。
円Ｏ1の中心と円Ｏ1の接点Ｄを結びます。
それによって作られた小さな三角形ＡＤＯ1は、直角三角形。
２組の角がそれぞれ等しいことから、全体の三角形と相似です。
辺の比は、短い辺から順に、３: ４：５。
したがって、ＡＯ1の長さは、５/３ｘ。
また、ＧＭの長さは円Ｏ2の半径と等しいので、２です。
よって、
Ｏ1Ｇ＝８－５/３ ｘ－２
＝６－５/３ ｘ
三平方の定理により、
(６－５/３ ｘ)2＋２^2＝(ｘ＋２)2
展開して整理しましょう。
３６－２０ｘ＋２５/９ ｘ2＋４＝ｘ2＋４ｘ＋４
２５/９ ｘ2－２４ｘ＋３６＝０
２５ｘ2－２４・９ｘ＋３６・９＝０
４ｘ2－５４ｘ＋８１＝０
解の公式で解きます。
ｘ＝２７±√(２７^2－３２４) / ４
＝２７±√４０５ / ４
＝２７±９√５ / ４
０＜ｘ＜６より
ｘ＝２７－９√５ / ４
よって、円Ｏ1の半径は、２７－９√５ / ４ です。
さて、この問題、１０秒と経たずに解法に気づく人もいると思いますが、パっとみて気づかないと、かなりハマることになる問題です。
該当学年は中３。
単元は「平面図形と三平方の定理」です。
この問題、外側の三角形が正三角形の場合は、少し発展的な問題集には必ず載っている典型題です。
相似な三角形と三平方の定理で解くことが可能です。
むしろ、その印象が強すぎると、そこにとらわれて、ひどく複雑な連立方程式を立てることになり、何時間でもうなってしまうことになります。
こんな問題、成立するの？
二等辺三角形の中に、３つの内接円なんて描けないんじゃないの？
と疑問を抱くことになるほどハマる場合もあるかと思います。
夏休みで、時間も十分ありますので、数学の問題を楽しみたいと思う方は、ここでいったん図だけを書き写し、このブログを読むのをやめて、この問題に挑戦していただければと思います。
さて、ここからは解決編です。
まず、二等辺三角形の対称性から、円Ｏ2とＯ3は、半径が等しい合同な円だということがわかります。
二等辺三角形の頂角の二等分線は底辺を垂直に２等分します。
その二等分線は、円Ｏ1の中心を通り、円Ｏ2とＯ3の接点を通ります。
その二等分線で、この三角形を半分に切りましょう。
下の図が、半分に切った三角形の左側です。
直角三角形となります。
三平方の定理により、３辺の長さは６、８、１０となります。
そこに、円Ｏ2だけを描くと、問題は極めてシンプルであることがわかると思います。
円Ｏ2の半径をｒとします。
円と接線の定理を使えます。
円外の点から、その円へは２本の接線がひけます。
円外のその点から接点までの距離は等しいです。
図では、長さ６の辺の、円との接点から直角の頂点のところまでが、円の半径と等しく、ｒとなります。
すると、長さ６の辺の残りの部分ＢＦは、６－ｒ。
長さ８の辺の、線分ＭＧも、ｒです。
すると、長さ８の辺の残りの部分ＡＧは、８－ｒ。
したがって、
長さ１０の辺の、ＢＥは、６－ｒ。
長さ１０の辺の、ＡＥは、８－ｒ。
その和が１０ですから、
(６－ｒ)＋(８－ｒ)＝１０
１４－２ｒ＝１０
－２ｒ＝－４
ｒ＝２
よって、円Ｏ2の半径は２です。
合同な円なので、円Ｏ3の半径も２です。
この発想をパッと見た瞬間に思いつくことさえできたら、この問題は何でもないのですが、このことに気づかないと、延々と苦しむことになります。
これがわかれば、円Ｏ1は、計算が多少面倒くさいだけで、発想は難しくないと思います。
他にもっとスマートな解き方があるかもしれませんが、地道な解き方としては、上の図の直角三角形Ｏ1Ｏ2Ｇで、三平方の定理を用いて方程式を立てましょう。
そのために、Ｏ1Ｇの長さを文字を使って表すことが必要です。
それには、まず、円Ｏ1の左半分も書き込んで考えます。
円Ｏ1の半径をｘとします。
円Ｏ1の中心と円Ｏ1の接点Ｄを結びます。
それによって作られた小さな三角形ＡＤＯ1は、直角三角形。
２組の角がそれぞれ等しいことから、全体の三角形と相似です。
辺の比は、短い辺から順に、３: ４：５。
したがって、ＡＯ1の長さは、５/３ｘ。
また、ＧＭの長さは円Ｏ2の半径と等しいので、２です。
よって、
Ｏ1Ｇ＝８－５/３ ｘ－２
＝６－５/３ ｘ
三平方の定理により、
(６－５/３ ｘ)2＋２^2＝(ｘ＋２)2
展開して整理しましょう。
３６－２０ｘ＋２５/９ ｘ2＋４＝ｘ2＋４ｘ＋４
２５/９ ｘ2－２４ｘ＋３６＝０
２５ｘ2－２４・９ｘ＋３６・９＝０
４ｘ2－５４ｘ＋８１＝０
解の公式で解きます。
ｘ＝２７±√(２７^2－３２４) / ４
＝２７±√４０５ / ４
＝２７±９√５ / ４
０＜ｘ＜６より
ｘ＝２７－９√５ / ４
よって、円Ｏ1の半径は、２７－９√５ / ４ です。
Posted by セギ at 13:15│Comments(2)
│算数・数学
この記事へのコメント
O₁Mではなく、O₁Gの長さです。O₁Gの長さを求められていますが、表記がO₁Mになっています。
Posted by あー at 2022年02月09日 18:45
ご指摘ありがとうございました。
Posted by セギ
at 2022年03月01日 17:55
at 2022年03月01日 17:55※このブログではブログの持ち主が承認した後、コメントが反映される設定です。
