2021年05月30日
高校数Ⅱ「三角関数」おうぎ形の弧の長さと面積。
さて、「三角関数」の学習、今回は、おうぎ形の弧の長さと面積に関する問題です。
これは、弧度法を使い慣れるための練習問題で、三角関数の本流ではありません。
定期テストに出るかどうかも、その先生の考え方次第。
あまり重要な問題ではないのですが、弧度法への違和感から、苦手とする人の多いところです。
例えば、こんな問題。
問題 半径が６、中心角がπ/３のおうぎ形の弧の長さ ℓ と面積Ｓを求めよ。
これは、中学数学だったら、勿論度数法で計算します。
π/３というのは、６０°のことですね。
まずは、弧の長さから。
全円から考えると、円周は、直径×円周率なので、１２π。
今、中心角は６０°だから、１２π×６０/３６０＝２π。
この解き方で慣れているから、これで構わない。
むしろ、一生これでやらせてほしい。
そう思うかもしれません。
高校受験のために中学数学を一所懸命マスターした人ほど、こういう解き方はしっかり身につけているので、それで解きたい気持ちはわかります。
受験勉強で努力した証拠です。
繰り返しますが、この問題は、弧度法の理解を深めるためのウォーミングアップに過ぎないのです。
「今までの解き方は否定しろ」と強要しているわけではないのです。
弧度法の定義に戻りましょう。
おうぎ形の半径を ｒ、弧の長さを ℓ としたときの中心角を、
ℓ / ｒ＝θ(ラジアン) と表す。
この定義から、簡単に、ℓ を求める式は導けます。
ℓ ＝ｒθ
です。
よって、上の問題は、
ℓ＝６・π/３＝２π
とすぐに求めることができます。
これは、弧度法を使い慣れるための練習問題で、三角関数の本流ではありません。
定期テストに出るかどうかも、その先生の考え方次第。
あまり重要な問題ではないのですが、弧度法への違和感から、苦手とする人の多いところです。
例えば、こんな問題。
問題 半径が６、中心角がπ/３のおうぎ形の弧の長さ ℓ と面積Ｓを求めよ。
これは、中学数学だったら、勿論度数法で計算します。
π/３というのは、６０°のことですね。
まずは、弧の長さから。
全円から考えると、円周は、直径×円周率なので、１２π。
今、中心角は６０°だから、１２π×６０/３６０＝２π。
この解き方で慣れているから、これで構わない。
むしろ、一生これでやらせてほしい。
そう思うかもしれません。
高校受験のために中学数学を一所懸命マスターした人ほど、こういう解き方はしっかり身につけているので、それで解きたい気持ちはわかります。
受験勉強で努力した証拠です。
繰り返しますが、この問題は、弧度法の理解を深めるためのウォーミングアップに過ぎないのです。
「今までの解き方は否定しろ」と強要しているわけではないのです。
弧度法の定義に戻りましょう。
おうぎ形の半径を ｒ、弧の長さを ℓ としたときの中心角を、
ℓ / ｒ＝θ(ラジアン) と表す。
この定義から、簡単に、ℓ を求める式は導けます。
ℓ ＝ｒθ
です。
よって、上の問題は、
ℓ＝６・π/３＝２π
とすぐに求めることができます。
定義がわかっていて、公式を変形できるかを、問われているだけなのです。
おうぎ形の弧の長さの新しい求め方を覚えろ、暗記しろ、中学の頃の解き方は２度と使うな、と強要しているわけではありません。
次に、おうぎ形の面積Ｓの求め方について考えてみましょう。
まずは度数法での求め方の確認から。
これも、全円から考えていきましょう。
円の面積の求め方は、半径×半径×円周率。
すなわち、π ｒ＾2
(ｒ＾2 とは、ｒの２乗ということです)
これが円全体ですから、求めるおうぎ形の面積は、
Ｓ＝π・６＾2×６０/３６０＝６π
度数法で中心角がａ°のとき、
Ｓ＝π ｒ＾2 ・ ａ /３６０ でした。
では、弧度法ではどうなるか。
弧度法で、３６０°は、２πです。
ａ /３６０は、弧度法では、θ / ２π となります。
よって、
Ｓ＝πｒ＾2 ・ θ / ２π＝１/２ ｒ＾2 ・ θ
これに今回の ｒ＝６、θ＝π/３ を代入すると、
Ｓ＝１/２・３６・π/３＝６π
なお、先ほど求めたように、ℓ＝ｒθ でしたから、
Ｓ＝１/２ ｒ＾2・θ＝１/２ ｒ ℓ
という式も成立します。
この式は便利ですし、視覚的にも理解しやすいです。
おうぎ形の面積＝１/２×半径×弧
ということです。
この式は、何かに似ている・・・。
三角形の面積の公式に似ています。
おうぎ形を、中心角が上になるように配置してみましょう。
底辺が曲線になってはいるけれど、おうぎ形は三角形にちょっと似ていますよね。
三角形で底辺にあたりものは、おうぎ形では、弧。
三角形で高さにあたるものは、おうぎ形では、半径です。
このように見立てた場合、
三角形ならば面積は、１/２×底辺×高さ
おうぎ形の面積は、１/２×弧×半径
同じ求め方ができるのです。
これは、度数法でも、多少複雑な過程を経れば導くことのできる公式です。
中学生でも、発展的な公式として学習します。
小学生でも、中学受験をする人は知っている人が多いでしょう。
とはいえ、数Ⅱ「三角関数」という単元において、おうぎ形の面積を求める問題なんて、傍流の問題。
求めろと言われてから公式を自力で復元しても間に合うことなので、苦にしないことです。
問題の意図は、弧度法に慣れてほしいというだけなのです。
Posted by セギ at 13:03│Comments(0)
│算数・数学
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