2021年03月01日
高校数Ⅱ「図形と方程式」。軌跡と領域。媒介変数と軌跡。
軌跡と領域。今回は少し発展的な内容です。
問題 実数 ｔ が次の(１)、(２)の範囲で変化するとき、放物線 ｙ＝ｘ2－２ｔｘ＋４ｔ の頂点の軌跡の方程式を求めよ。
(１) すべての実数値
(２) ０≦ｔ≦３
こうなると、何をどうして良いのか、問題を読んで途方に暮れる人もいるかもしれません。
しかし、ともかく、できることをやってみるのが大切です。
数学の応用問題を解くには、そのように、無駄なのかもしれない第一歩をとにかく踏んでみることです。
解き方の作業手順を覚えようとしても、高校数学は、問題のパターンごとに作業手順が異なり、しかも、その作業手順自体が複雑で、もう覚えきれないという思いを抱いてる人もいると思います。
なぜそう解くのかを理解すること。
手順を自力で判断すること。
自分の中で、「まずこうやってみる」という判断の基準を持つこと。
放物線を見たら、まずは平方完成してみるのは、そうした判断基準の１つです。
頂点というのですから、頂点がわかるように、与えられた放物線を平方完成しましょう。
ｙ＝ｘ2－２ｔｘ＋４ｔ
＝(ｘ－ｔ)2－ｔ2＋４ｔ
すなわち、頂点の座標は、(ｔ,－ｔ2＋４ｔ)です。
この頂点の軌跡を求めるのですね。
ｔ が変化すれば、頂点の座標も変化していきます。
例えば、ｔ＝０、１、２、・・・と変化すれば、
頂点は、(０ , ０) , (１ , ３) , (２ , ４)・・・と変化します。
これらの点のｘ座標とｙ座標にどのような関係があるか？
求める頂点の座標を(ｘ , ｙ)としましょう。
これも、軌跡を求める問題の鉄則です。
このｘとｙとの関係を表す式が、すなわち、軌跡の方程式です。
今回、それが、(ｔ , －ｔ2＋４ｔ)なのですから、
ｘ＝ｔ
ｙ＝－ｔ2＋４ｔ
という関係が成立します。
このように、ｘ と ｙ を別の文字を用いて表す方法を、「媒介変数表示」と呼びます。
ここでは、文字 ｔ が、媒介変数(パラメータ)です。
ｔ の値が１つに定まると、(ｘ , ｙ) の値は１つに定まり、ｔ が変化すると、(ｘ , ｙ) は座標平面上を動き、図形を描きます。
この「媒介変数表示」は、数Ｂで学習する「ベクトル」で再び登場します。
最初は簡単だと思っていた「ベクトル」が、内積が出てきたあたりから怪しい雲行きになり、この媒介変数表示やベクトル方程式が出てくると、もう全く意味がわからずホワイトアウト・・・。
ありがちな成り行きです。
せめて、媒介変数表示は、ベクトルで急に出てきたものではなく、以前に学習したことがあるという記憶があれば、抵抗感も多少は和らぐと思います。
ところで、この問題は、媒介変数表示をして終了、ということでよいのでしょうか？
問題は、軌跡の方程式を求めることでした。
上に書いたものは、媒介変数表示であり、方程式ではありません。
ｘとｙとの関係を、他の文字を介在させずに表すことができないでしょうか？
この ｔ は、消去できるのではないか？
できますよね？
ｔ＝ｘ を、ｙ＝－ｔ2＋４ｔに代入すると、
ｙ＝－ｘ2＋４ｘ
すなわち、頂点の軌跡は、放物線 ｙ＝－ｘ2＋４ｘ です。
これが、(１)の答えです。
続いて、(２)。
０≦ｔ≦３ と、媒介変数に変域があります。
ｘ＝ｔ ですから、
０≦ｘ≦３ です。
よって、(２)の答えは、
放物線 ｙ＝－ｘ2＋４ｘ (０≦ｘ≦３)
となります。
もう１つ、類題を解いてみましょう。
問題 円 ｘ2＋ｙ2＋３ａｘ－２ａ2ｙ＋ａ4＋２ａ2－１＝０ がある。ａの値が変化するとき、円の中心の軌跡を求めよ。
今度は円の中心の軌跡。
やはり、与えられた式を整理したうえで、まず、円の中心を媒介変数表示してみましょう。
ｘ2＋ｙ2＋３ａｘ－２ａ2ｙ＋ａ4＋２ａ2－１＝０
(ｘ＋３/２ａ)2＋(ｙ－ａ2)2＝－ａ4－２ａ2＋１＋９/４ａ2＋ａ4
(ｘ＋３/２ａ)2＋(ｙ－ａ2)2＝１/４ａ2＋１
よって、円の中心の座標を(ｘ , ｙ) とすると、
ｘ＝－３/２ａ
ｙ＝ａ2
ここから、ａ を消去します。
－３/２ａ＝ｘより、
ａ＝－２/３ｘ
これをｙ＝ａ2 に代入して、
ｙ＝(－２/３ｘ)2＝４/９ｘ2
したがって、求める軌跡は、放物線 ｙ＝４/９ｘ2
これが解答です。
問題 実数 ｔ が次の(１)、(２)の範囲で変化するとき、放物線 ｙ＝ｘ2－２ｔｘ＋４ｔ の頂点の軌跡の方程式を求めよ。
(１) すべての実数値
(２) ０≦ｔ≦３
こうなると、何をどうして良いのか、問題を読んで途方に暮れる人もいるかもしれません。
しかし、ともかく、できることをやってみるのが大切です。
数学の応用問題を解くには、そのように、無駄なのかもしれない第一歩をとにかく踏んでみることです。
解き方の作業手順を覚えようとしても、高校数学は、問題のパターンごとに作業手順が異なり、しかも、その作業手順自体が複雑で、もう覚えきれないという思いを抱いてる人もいると思います。
なぜそう解くのかを理解すること。
手順を自力で判断すること。
自分の中で、「まずこうやってみる」という判断の基準を持つこと。
放物線を見たら、まずは平方完成してみるのは、そうした判断基準の１つです。
頂点というのですから、頂点がわかるように、与えられた放物線を平方完成しましょう。
ｙ＝ｘ2－２ｔｘ＋４ｔ
＝(ｘ－ｔ)2－ｔ2＋４ｔ
すなわち、頂点の座標は、(ｔ,－ｔ2＋４ｔ)です。
この頂点の軌跡を求めるのですね。
ｔ が変化すれば、頂点の座標も変化していきます。
例えば、ｔ＝０、１、２、・・・と変化すれば、
頂点は、(０ , ０) , (１ , ３) , (２ , ４)・・・と変化します。
これらの点のｘ座標とｙ座標にどのような関係があるか？
求める頂点の座標を(ｘ , ｙ)としましょう。
これも、軌跡を求める問題の鉄則です。
このｘとｙとの関係を表す式が、すなわち、軌跡の方程式です。
今回、それが、(ｔ , －ｔ2＋４ｔ)なのですから、
ｘ＝ｔ
ｙ＝－ｔ2＋４ｔ
という関係が成立します。
このように、ｘ と ｙ を別の文字を用いて表す方法を、「媒介変数表示」と呼びます。
ここでは、文字 ｔ が、媒介変数(パラメータ)です。
ｔ の値が１つに定まると、(ｘ , ｙ) の値は１つに定まり、ｔ が変化すると、(ｘ , ｙ) は座標平面上を動き、図形を描きます。
この「媒介変数表示」は、数Ｂで学習する「ベクトル」で再び登場します。
最初は簡単だと思っていた「ベクトル」が、内積が出てきたあたりから怪しい雲行きになり、この媒介変数表示やベクトル方程式が出てくると、もう全く意味がわからずホワイトアウト・・・。
ありがちな成り行きです。
せめて、媒介変数表示は、ベクトルで急に出てきたものではなく、以前に学習したことがあるという記憶があれば、抵抗感も多少は和らぐと思います。
ところで、この問題は、媒介変数表示をして終了、ということでよいのでしょうか？
問題は、軌跡の方程式を求めることでした。
上に書いたものは、媒介変数表示であり、方程式ではありません。
ｘとｙとの関係を、他の文字を介在させずに表すことができないでしょうか？
この ｔ は、消去できるのではないか？
できますよね？
ｔ＝ｘ を、ｙ＝－ｔ2＋４ｔに代入すると、
ｙ＝－ｘ2＋４ｘ
すなわち、頂点の軌跡は、放物線 ｙ＝－ｘ2＋４ｘ です。
これが、(１)の答えです。
続いて、(２)。
０≦ｔ≦３ と、媒介変数に変域があります。
ｘ＝ｔ ですから、
０≦ｘ≦３ です。
よって、(２)の答えは、
放物線 ｙ＝－ｘ2＋４ｘ (０≦ｘ≦３)
となります。
もう１つ、類題を解いてみましょう。
問題 円 ｘ2＋ｙ2＋３ａｘ－２ａ2ｙ＋ａ4＋２ａ2－１＝０ がある。ａの値が変化するとき、円の中心の軌跡を求めよ。
今度は円の中心の軌跡。
やはり、与えられた式を整理したうえで、まず、円の中心を媒介変数表示してみましょう。
ｘ2＋ｙ2＋３ａｘ－２ａ2ｙ＋ａ4＋２ａ2－１＝０
(ｘ＋３/２ａ)2＋(ｙ－ａ2)2＝－ａ4－２ａ2＋１＋９/４ａ2＋ａ4
(ｘ＋３/２ａ)2＋(ｙ－ａ2)2＝１/４ａ2＋１
よって、円の中心の座標を(ｘ , ｙ) とすると、
ｘ＝－３/２ａ
ｙ＝ａ2
ここから、ａ を消去します。
－３/２ａ＝ｘより、
ａ＝－２/３ｘ
これをｙ＝ａ2 に代入して、
ｙ＝(－２/３ｘ)2＝４/９ｘ2
したがって、求める軌跡は、放物線 ｙ＝４/９ｘ2
これが解答です。
Posted by セギ at 11:07│Comments(0)
│算数・数学
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