2020年09月24日
高校数Ⅱ「図形と方程式」。円の方程式。その２。
今回は、こんな問題から。
問題 点Ａ(１,３)、Ｂ(－２,－２)、Ｃ(３,－５)を頂点とする△ＡＢＣについて、次の問に答えよ。
(１) △ＡＢＣの外接円の方程式を求めよ。
(２) △ＡＢＣの外心の座標を求めよ。
では(１) から解いていきましょう。
「外接円」といった図形用語が出てくると混乱し、もうわからない、という人もいるかもしれません。
図形は自分は苦手だから、絶対解けない、という謎の思い込みがある様子です。
しかし、これは図形問題というほどのものではありません。
△ＡＢＣの外接円。
それは、点Ａ、Ｂ、Ｃを通る円ということです。
３点を通る円の方程式の求め方を使えば、解けます。
求める円の方程式を、ｘ2＋ｙ2＋ℓｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０ とおく。
点Ａ(１,３) を通ることから、
１＋９＋ℓ＋３ｍ＋ｎ＝０
よって、
ℓ＋３ｍ＋ｎ＝－１０ ・・・①
点Ｂ(－２,－２) を通ることから、
４＋４－２ℓ－２ｍ＋ｎ＝０
よって、
－２ℓ－２ｍ＋ｎ＝－８ ・・・②
点Ｃ(３,－５) を通ることから、
９＋２５＋３ℓ－５ｍ＋ｎ＝０
３ℓ－５ｍ＋ｎ＝－３４ ・・・③
この①、②、③を連立して解けばよいでしょう。
①－②より
３ℓ＋５ｍ＝－２ ・・・④
①－③より
－２ℓ＋８ｍ＝２４ ・・・⑤
④×２＋⑤×３
６ℓ＋１０ｍ＝－４
－６ℓ＋２４ｍ＝７２
３４ｍ＝６８
ｍ＝２ ・・・⑥
⑥を④に代入して、
３ℓ＋１０＝－２
３ℓ＝－１２
ℓ＝－４ ・・・⑦
⑥、⑦を①に代入して、
－４＋６＋ｎ＝－１０
ｎ＝－１２
よって、求める円の方程式は、
ｘ2＋ｙ2－４ｘ＋２ｙ－１２＝０ です。
次に、(２) の△ＡＢＣの外心を求めましょう。
ここで、また図形アレルギーを発動させて、
「外心って、何の二等分線でしたっけ？」
と質問する人もいます。
「・・・外心は、各辺の垂直二等分線の交点ですが、そんなことは使いませんよ。難しく考え過ぎです」
「えー？」
「外心は、外接円の中心ですよ？」
「えー？」
「・・・さっき求めた円の、中心ですよ」
「えー・・・」
難しく考え過ぎて、視野が狭くなってしまうのです。
外心は、外接円の中心。
つまり、(１) で求めた円の中心の座標を求めるだけです。
円の方程式の標準形にしてみればよいですね。
やってみましょう。
ｘ2＋ｙ2－４ｘ＋２ｙ－１２＝０
(ｘ－２)2＋(ｙ＋１)2＝１２＋４＋１
(ｘ－２)2＋(ｙ＋１)2＝１７
この円の中心の座標が、外心です。
すなわち、答は、(２,－１) です。
図形が苦手な人に多いのですが、発想が固く、１つのことを思いつくと、もう別の発想ができなくなる場合があります。
しかし、それは、人間全体の特徴だとする説もあります。
アメリカの大学での実験だったと記憶していますが、こんなものがありました。
まず、数十人の被験者を集め、こんな指示を出しました。
「今から、一切話をしないでください」
次に、こんな指示を出したのです。
「誕生日の日付の早い順に並んでください」
被験者は、一様に声なき驚きを示しました。
会話しないで誕生日の早い順に並ぶことなど、不可能だ。
しかし、その直後、被験者の中から、指で数字を示した手を高く掲げ、無言で皆に呼びかける人が現れ始めたというのです。
そして、全員が、その即席の指文字に従って、並び始めました。
しばらくして、行列は完成しました。
ここで結果を確かめあうと、正しく並べた人も多かったのですが、間違えてとんでもないところに並んでしまう人もいたそうです。
即席の指文字では互いに共通の認識がないため、誤解が起こるのです。
１月２３日と、１２月３日を指文字でどう区別するかなどは、共通のルールを事前に確認していなければ難しいのです。
結果を確認した後、この実験をした科学者は、被験者に話しました。
もっと、正確に互いの誕生日を確かめあう方法があったのではないですか？
我々は、話をするなとは言いました。
しかし、その他のことは制限していません。
すると、被験者の中から、遠慮がちにこんな意見が出てきます。
「例えば、運転免許証などを見せ合うとか？」
さらに、次のような発言も見られたそうです。
「そうだ、字を書いても良かったんだ。
互いに誕生日をメモしたものを見せ合えば、良かった」
幾度行っても、実験の結果はこのようになるといいます。
これは、何の実験なのか？
人間は、最初に思いついた発想が、たとえ不完全なものであっても、それに従ってしまうことがある。
むしろ、誕生日を指で示すことを思いついた人をヒーローのように思ってしまう。
その他のやり方を考えることができなくなってしまう、というのです。
しかし、最初に思いついたやり方が最善である場合は少ない。
多くの場合、３番目に思いついたやり方が最善のやり方である、というのです。
１つの発想を得ると、それに凝り固まってしまうのが、人間の性質かもしれません。
けれど、最善のやり方は、３番目に表れる。
それを知っていると、試行錯誤に向けての心構えができると思います。
数学の問題を解くときに、何にも発想できなくて諦める人。
１つのやり方で上手くいかなくて諦める人。
そこでもう少し粘ることができたら、道が開けると思います。
少なくとも３通りの方法を思いつくまで、諦めないぞ。
そのように自分を鼓舞できるかもしれません。
では、次はこんな問題を。
問題 ２点(４,１)、(－３,８) を通り、ｘ軸に接する円の方程式を求めよ。
少し難しくなりました。
これは、求める円の中心を(ａ , ｂ) とおく、という基本から考えましょう。
中心が (ａ , ｂ) で、ｘ軸に接するということは、その円の半径は｜ｂ｜です。
上の１行の意味がわからない、という場合は、実際にそうした円を描いて、確認してください。
ｂは負の数の場合もありますが、円の半径は正の数なので、半径は｜ｂ｜とおきます。
実際に座標平面上に円を描いても、なぜ半径が｜ｂ｜になるのかわからない、という場合は、座標に関して、何か理解できていないことがあると思います。
ｘ座標とｙ座標と、座標平面の縦横の関係がわかっているようでわかっていない人は高校生でも多いのです。
例えば、(０,３) といった点を、ｘ軸上に打ち込んでしまう人です。
塾に通ってください。
独りでは解決できないことも、個別指導なら解決できます。
話を戻して。
中心が (ａ , ｂ) で、ｘ軸に接するということは、その円の半径は｜ｂ｜です。
ということは、求める円の方程式は、
(ｘ－ａ)2＋(ｙ－ｂ)2＝｜ｂ｜2
すなわち、
(ｘ－ａ)2＋(ｙ－ｂ)2＝ｂ2 と表すことができます。
ここで、右辺の絶対値記号がなぜ外れるのかわからず、頭を抱えてしまう人もいます。
ｂが正の数でも負の数でも、２乗すれば必ず正の数ですから、絶対値記号は外すことができるのです。
｜ｂ｜2＝ｂ2 です。
本当に、ここまでくると、以前に学習したことで忘れてしまっていることや理解できなかったことが時限爆弾のように無造作に足元に転がっていて、そのいちいちでつまずくことになります。
数Ⅱや数Ｂが、正直何１つわからない、という人は、それ以前の内容が理解不足のために理解できないのです。
数Ⅱや数Ｂの内容が極端に難しいわけではないのです。
再び、話を戻して。
求める円の方程式は、(ｘ－ａ)2＋(ｙ－ｂ)2＝ｂ2 と表すことができます。
これが、２点(４,１)、(－３,８) を通りますから、
点(４,１)より、
(４－ａ)2＋(１－ｂ)2＝ｂ2
これを整理して、
１６－８ａ＋ａ2＋１－２ｂ＋ｂ2＝ｂ2
ａ2－８ａ－２ｂ＝－１７・・・①
点(－３,８)より、
(－３－ａ)2＋(８－ｂ)2＝ｂ2
９＋６ａ＋ａ2＋６４－１６ｂ＋ｂ2＝ｂ2
ａ2＋６ａ－１６ｂ＝－７３・・・②
これを連立して解きますが、この解き方にはちょっとテクニックが必要です。
まず、①－②をすることは、発想できると思います。
－１４ａ＋１４ｂ＝５６
これを整理して、
ａ－ｂ＝－４
ここまではできるのですが、式は１本になったのに、文字が２個あるままで、この先どうしよう、と途方に暮れてしまいそうですね。
大丈夫。
式は、１本ではありません。
①も②もあるじゃないですか。
代入し直せばよいのです。
この「必殺、代入返し」といったテクニックを身につけておくと、計算上で行き詰まったときの対処法を思いつくことができます。
ａ－ｂ＝－４
これを整理して、
－ｂ＝－ａ－４
ｂ＝ａ＋４ ・・・③
③を①に代入して、
ａ2－８ａ－２(ａ＋４)＝－１７
ａ2－８ａ－２ａ－８＝－１７
ａ2－１０ａ＋９＝０
(ａ－１)(ａ－９)＝０
ａ＝１,９ ・・・④
④を③に代入して、
ａ＝１のとき、ｂ＝５
ａ＝９のとき、ｂ＝１３
よって、求める円の方程式は、
(ｘ－１)2＋(ｙ－５)2＝２５ と、
(ｘ－９)2＋(ｙ－１３)2＝１６９ です。
問題 点(－２,－１) を通り、ｘ軸、ｙ軸に接する円の方程式を求めよ。
ｘ軸とｙ軸に接する円で、ｘ座標とｙ座標が等しくない円なんてあるの？
・・・謎の思い込みで、そのように混乱する人もいます。
点(－２,－１)は、中心ではありませんので、ｘ座標とｙ座標は等しくなくても大丈夫です。
でも、それは、ある意味イメージできているからこその混乱です。
そうです。
ｘ軸とｙ軸の両方に接する円の中心のｘ座標とｙ座標の絶対値は等しいです。
そして、点(－２,－１)を通る円というと、それは第３象限にある円ですから、ｘ座標もｙ座標も負の数で、等しいことがわかります。
だから、中心を(ａ , ａ)とおくことができます。(ａ＜０)
よって、求める円の方程式は、
(ｘ－ａ)2＋(ｙ－ａ)2＝ａ2 と表すことができます。
これが点(－２,－１)を通るから、
(－２－ａ)2＋(－１－ａ)2＝ａ2
これを整理して、
４＋４ａ＋ａ2＋１＋２ａ＋ａ2＝ａ2
ａ2＋６ａ＋５＝０
(ａ＋１)(ａ＋５)＝０
ａ＝－１,－５
したがって、求める円の方程式は、
(ｘ＋１)2＋(ｙ＋１)2＝１ と、
(ｘ＋５)2＋(ｙ＋５)2＝２５ です。
問題 点Ａ(１,３)、Ｂ(－２,－２)、Ｃ(３,－５)を頂点とする△ＡＢＣについて、次の問に答えよ。
(１) △ＡＢＣの外接円の方程式を求めよ。
(２) △ＡＢＣの外心の座標を求めよ。
では(１) から解いていきましょう。
「外接円」といった図形用語が出てくると混乱し、もうわからない、という人もいるかもしれません。
図形は自分は苦手だから、絶対解けない、という謎の思い込みがある様子です。
しかし、これは図形問題というほどのものではありません。
△ＡＢＣの外接円。
それは、点Ａ、Ｂ、Ｃを通る円ということです。
３点を通る円の方程式の求め方を使えば、解けます。
求める円の方程式を、ｘ2＋ｙ2＋ℓｘ＋ｍｙ＋ｎ＝０ とおく。
点Ａ(１,３) を通ることから、
１＋９＋ℓ＋３ｍ＋ｎ＝０
よって、
ℓ＋３ｍ＋ｎ＝－１０ ・・・①
点Ｂ(－２,－２) を通ることから、
４＋４－２ℓ－２ｍ＋ｎ＝０
よって、
－２ℓ－２ｍ＋ｎ＝－８ ・・・②
点Ｃ(３,－５) を通ることから、
９＋２５＋３ℓ－５ｍ＋ｎ＝０
３ℓ－５ｍ＋ｎ＝－３４ ・・・③
この①、②、③を連立して解けばよいでしょう。
①－②より
３ℓ＋５ｍ＝－２ ・・・④
①－③より
－２ℓ＋８ｍ＝２４ ・・・⑤
④×２＋⑤×３
６ℓ＋１０ｍ＝－４
－６ℓ＋２４ｍ＝７２
３４ｍ＝６８
ｍ＝２ ・・・⑥
⑥を④に代入して、
３ℓ＋１０＝－２
３ℓ＝－１２
ℓ＝－４ ・・・⑦
⑥、⑦を①に代入して、
－４＋６＋ｎ＝－１０
ｎ＝－１２
よって、求める円の方程式は、
ｘ2＋ｙ2－４ｘ＋２ｙ－１２＝０ です。
次に、(２) の△ＡＢＣの外心を求めましょう。
ここで、また図形アレルギーを発動させて、
「外心って、何の二等分線でしたっけ？」
と質問する人もいます。
「・・・外心は、各辺の垂直二等分線の交点ですが、そんなことは使いませんよ。難しく考え過ぎです」
「えー？」
「外心は、外接円の中心ですよ？」
「えー？」
「・・・さっき求めた円の、中心ですよ」
「えー・・・」
難しく考え過ぎて、視野が狭くなってしまうのです。
外心は、外接円の中心。
つまり、(１) で求めた円の中心の座標を求めるだけです。
円の方程式の標準形にしてみればよいですね。
やってみましょう。
ｘ2＋ｙ2－４ｘ＋２ｙ－１２＝０
(ｘ－２)2＋(ｙ＋１)2＝１２＋４＋１
(ｘ－２)2＋(ｙ＋１)2＝１７
この円の中心の座標が、外心です。
すなわち、答は、(２,－１) です。
図形が苦手な人に多いのですが、発想が固く、１つのことを思いつくと、もう別の発想ができなくなる場合があります。
しかし、それは、人間全体の特徴だとする説もあります。
アメリカの大学での実験だったと記憶していますが、こんなものがありました。
まず、数十人の被験者を集め、こんな指示を出しました。
「今から、一切話をしないでください」
次に、こんな指示を出したのです。
「誕生日の日付の早い順に並んでください」
被験者は、一様に声なき驚きを示しました。
会話しないで誕生日の早い順に並ぶことなど、不可能だ。
しかし、その直後、被験者の中から、指で数字を示した手を高く掲げ、無言で皆に呼びかける人が現れ始めたというのです。
そして、全員が、その即席の指文字に従って、並び始めました。
しばらくして、行列は完成しました。
ここで結果を確かめあうと、正しく並べた人も多かったのですが、間違えてとんでもないところに並んでしまう人もいたそうです。
即席の指文字では互いに共通の認識がないため、誤解が起こるのです。
１月２３日と、１２月３日を指文字でどう区別するかなどは、共通のルールを事前に確認していなければ難しいのです。
結果を確認した後、この実験をした科学者は、被験者に話しました。
もっと、正確に互いの誕生日を確かめあう方法があったのではないですか？
我々は、話をするなとは言いました。
しかし、その他のことは制限していません。
すると、被験者の中から、遠慮がちにこんな意見が出てきます。
「例えば、運転免許証などを見せ合うとか？」
さらに、次のような発言も見られたそうです。
「そうだ、字を書いても良かったんだ。
互いに誕生日をメモしたものを見せ合えば、良かった」
幾度行っても、実験の結果はこのようになるといいます。
これは、何の実験なのか？
人間は、最初に思いついた発想が、たとえ不完全なものであっても、それに従ってしまうことがある。
むしろ、誕生日を指で示すことを思いついた人をヒーローのように思ってしまう。
その他のやり方を考えることができなくなってしまう、というのです。
しかし、最初に思いついたやり方が最善である場合は少ない。
多くの場合、３番目に思いついたやり方が最善のやり方である、というのです。
１つの発想を得ると、それに凝り固まってしまうのが、人間の性質かもしれません。
けれど、最善のやり方は、３番目に表れる。
それを知っていると、試行錯誤に向けての心構えができると思います。
数学の問題を解くときに、何にも発想できなくて諦める人。
１つのやり方で上手くいかなくて諦める人。
そこでもう少し粘ることができたら、道が開けると思います。
少なくとも３通りの方法を思いつくまで、諦めないぞ。
そのように自分を鼓舞できるかもしれません。
では、次はこんな問題を。
問題 ２点(４,１)、(－３,８) を通り、ｘ軸に接する円の方程式を求めよ。
少し難しくなりました。
これは、求める円の中心を(ａ , ｂ) とおく、という基本から考えましょう。
中心が (ａ , ｂ) で、ｘ軸に接するということは、その円の半径は｜ｂ｜です。
上の１行の意味がわからない、という場合は、実際にそうした円を描いて、確認してください。
ｂは負の数の場合もありますが、円の半径は正の数なので、半径は｜ｂ｜とおきます。
実際に座標平面上に円を描いても、なぜ半径が｜ｂ｜になるのかわからない、という場合は、座標に関して、何か理解できていないことがあると思います。
ｘ座標とｙ座標と、座標平面の縦横の関係がわかっているようでわかっていない人は高校生でも多いのです。
例えば、(０,３) といった点を、ｘ軸上に打ち込んでしまう人です。
塾に通ってください。
独りでは解決できないことも、個別指導なら解決できます。
話を戻して。
中心が (ａ , ｂ) で、ｘ軸に接するということは、その円の半径は｜ｂ｜です。
ということは、求める円の方程式は、
(ｘ－ａ)2＋(ｙ－ｂ)2＝｜ｂ｜2
すなわち、
(ｘ－ａ)2＋(ｙ－ｂ)2＝ｂ2 と表すことができます。
ここで、右辺の絶対値記号がなぜ外れるのかわからず、頭を抱えてしまう人もいます。
ｂが正の数でも負の数でも、２乗すれば必ず正の数ですから、絶対値記号は外すことができるのです。
｜ｂ｜2＝ｂ2 です。
本当に、ここまでくると、以前に学習したことで忘れてしまっていることや理解できなかったことが時限爆弾のように無造作に足元に転がっていて、そのいちいちでつまずくことになります。
数Ⅱや数Ｂが、正直何１つわからない、という人は、それ以前の内容が理解不足のために理解できないのです。
数Ⅱや数Ｂの内容が極端に難しいわけではないのです。
再び、話を戻して。
求める円の方程式は、(ｘ－ａ)2＋(ｙ－ｂ)2＝ｂ2 と表すことができます。
これが、２点(４,１)、(－３,８) を通りますから、
点(４,１)より、
(４－ａ)2＋(１－ｂ)2＝ｂ2
これを整理して、
１６－８ａ＋ａ2＋１－２ｂ＋ｂ2＝ｂ2
ａ2－８ａ－２ｂ＝－１７・・・①
点(－３,８)より、
(－３－ａ)2＋(８－ｂ)2＝ｂ2
９＋６ａ＋ａ2＋６４－１６ｂ＋ｂ2＝ｂ2
ａ2＋６ａ－１６ｂ＝－７３・・・②
これを連立して解きますが、この解き方にはちょっとテクニックが必要です。
まず、①－②をすることは、発想できると思います。
－１４ａ＋１４ｂ＝５６
これを整理して、
ａ－ｂ＝－４
ここまではできるのですが、式は１本になったのに、文字が２個あるままで、この先どうしよう、と途方に暮れてしまいそうですね。
大丈夫。
式は、１本ではありません。
①も②もあるじゃないですか。
代入し直せばよいのです。
この「必殺、代入返し」といったテクニックを身につけておくと、計算上で行き詰まったときの対処法を思いつくことができます。
ａ－ｂ＝－４
これを整理して、
－ｂ＝－ａ－４
ｂ＝ａ＋４ ・・・③
③を①に代入して、
ａ2－８ａ－２(ａ＋４)＝－１７
ａ2－８ａ－２ａ－８＝－１７
ａ2－１０ａ＋９＝０
(ａ－１)(ａ－９)＝０
ａ＝１,９ ・・・④
④を③に代入して、
ａ＝１のとき、ｂ＝５
ａ＝９のとき、ｂ＝１３
よって、求める円の方程式は、
(ｘ－１)2＋(ｙ－５)2＝２５ と、
(ｘ－９)2＋(ｙ－１３)2＝１６９ です。
問題 点(－２,－１) を通り、ｘ軸、ｙ軸に接する円の方程式を求めよ。
ｘ軸とｙ軸に接する円で、ｘ座標とｙ座標が等しくない円なんてあるの？
・・・謎の思い込みで、そのように混乱する人もいます。
点(－２,－１)は、中心ではありませんので、ｘ座標とｙ座標は等しくなくても大丈夫です。
でも、それは、ある意味イメージできているからこその混乱です。
そうです。
ｘ軸とｙ軸の両方に接する円の中心のｘ座標とｙ座標の絶対値は等しいです。
そして、点(－２,－１)を通る円というと、それは第３象限にある円ですから、ｘ座標もｙ座標も負の数で、等しいことがわかります。
だから、中心を(ａ , ａ)とおくことができます。(ａ＜０)
よって、求める円の方程式は、
(ｘ－ａ)2＋(ｙ－ａ)2＝ａ2 と表すことができます。
これが点(－２,－１)を通るから、
(－２－ａ)2＋(－１－ａ)2＝ａ2
これを整理して、
４＋４ａ＋ａ2＋１＋２ａ＋ａ2＝ａ2
ａ2＋６ａ＋５＝０
(ａ＋１)(ａ＋５)＝０
ａ＝－１,－５
したがって、求める円の方程式は、
(ｘ＋１)2＋(ｙ＋１)2＝１ と、
(ｘ＋５)2＋(ｙ＋５)2＝２５ です。
Posted by セギ at 14:17│Comments(0)
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