2020年05月02日
高校数Ⅱ「式と証明」。３次方程式の解と係数の関係。
今回で、数Ⅱの第１章「式と証明」もついに最終回です。
こんな問題を解きましょう。
問題 ３次方程式 ｘ3－ｘ2＋２ｘ－３＝０ の３つの解をα、β、γとするとき、次の３つの数を解とする３次方程式を求めよ。
(１)２α, ２β, ２γ
(２)αβ, βγ, γα
(３)α＋β, β＋γ, γ＋α
(４)α2, β2, γ2
これは３次方程式の解と係数の関係の問題です。
α(アルファ)、β(ベータ)、γ(ガンマ)はギリシャ文字で、これへの違和感から問題を過度に難しく感じる人もいます。
また、αとａ、βとＢ、γと数字の６などを見間違えるミスもおこりがちです。
自分の描いた文字や、テキストに書いてある数値を、普段からなぜか見間違うことの多い人は、特に注意が必要です。
では、まず２次方程式の解と係数の関係の復習をしておきましょう。
２次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０ の２つの解をα、βとすると、
α＋β＝－ｂ/ａ , αβ＝ｃ/ａ
そんなのありましたね。
それの３次方程式バージョンが今回の問題です。
３次方程式の解と係数の関係について確認しましょう。
３次方程式 ａｘ3＋ｂｘ2＋ｃｘ＋ｄ＝０ の３つの解をα、β、γとします。
すると、３次方程式は以下のように表すこともできます。
ａ(ｘ－α)(ｘ－β)(ｘ－γ)＝０
ｘ3の係数がａですので、( )の外側にａを置くことで係数の辻褄を合わせています。
この左辺を展開しましょう。
＝ａ(ｘ－α)(ｘ2－γｘ－βｘ＋βγ)
＝ａ(ｘ3－γｘ2－βｘ2＋βγｘ－αｘ2＋γαｘ＋αβｘ－αβγ)
＝ａｘ3－ａγｘ2－ａβｘ2＋ａβγｘ－ａαｘ2＋ａγαｘ＋ａαβｘ－ａαβγ
ｘについて降べきの順に整理しましょう。
＝ａｘ3－ａ(α＋β＋γ)ｘ2＋ａ(αβ＋βγ＋γα)ｘ－ａαβγ
これが、一番上の ａｘ3＋ｂｘ2＋ｃｘ＋ｄ＝０ と同じ方程式なのですから、それぞれの係数を比較すると、
－ａ(α＋β＋γ)＝ｂ すなわち、α＋β＋γ＝－ｂ/ａ
ａ(αβ＋βγ＋γα)＝ｃ すなわち、αβ＋βγ＋γα＝ｃ/ａ
－ａαβγ＝ｄ すなわち、αβγ＝－ｄ/ａ
まとめますと、
α＋β＋γ＝－ｂ/ａ
αβ＋βγ＋γα＝ｃ/ａ
αβγ＝－ｄ/ａ
これが、３次方程式の解と係数の関係です。
さて、これを利用すると、与えられた３次方程式は、ｘ3－ｘ2＋２ｘ－３＝０ ですから、
α＋β＋γ＝１
αβ＋βγ＋γα＝２
αβγ＝３
となります。
これらを用いて、以下の３つの数を解に持つ新しい３次方程式を作るのです。
(１)２α、２β、２γ の３つを解に持つ３次方程式は？
ｘ3の係数はとりあえず１としておきましょう。
出来上がった方程式が分数を含むごちゃごちゃした式になった場合は、全体を何倍かして整えれば大丈夫ですから。
そうすると、この３次方程式は、
ｘ3－(２α＋２β＋２γ)ｘ2＋(４αβ＋４βγ＋４γα)ｘ－８αβγ＝０ となります。
ｘ2の係数を求めましょう。
２α＋２β＋２γ
＝２(α＋β＋γ)
＝２・１
＝２
よって、x2の係数は－２です。
次に、ｘの係数を求めましょう。
４αβ＋４βγ＋４γα
＝４(αβ＋βγ＋γα)
＝４・２
＝８
次に、定数項を求めましょう。
－８αβγ
＝－８・３
＝－２４
よって、求める３次方程式は、ｘ3－２ｘ2＋８ｘ－２４＝０ です。
(２)αβ , βγ , γα の３つを解にもつ３次方程式の１つは、
ｘ3－(αβ＋βγ＋γα)ｘ2＋(αβ・βγ＋βγ・γα＋γα・αβ)ｘ－αβ・βγ・γα＝０ です。
ｘ2の係数を求めましょう。
αβ＋βγ＋γα＝２
よって、x2の係数は－２です。
次にｘの係数を求めましょう。
αβ・βγ＋βγ・γα＋γα・αβ
＝αβγ(β＋γ＋α)
＝αβγ(α＋β＋γ)
＝３・１
＝３
定数項を求めましょう。
－αβ・βγ・γα
＝－α2β2γ2
＝－(αβγ)2
＝－３2
＝－９
よって、求める方程式は、ｘ3－２ｘ2＋３ｘ－９＝０ です。
(３)α＋β , β＋γ , γ＋α の３つを解にもつ３次方程式の１つは、
ｘ3－(α＋β＋β＋γ＋γ＋α)ｘ2＋｛(α＋β)(β＋γ)＋(β＋γ)(γ＋α)＋(γ＋α)(α＋β)｝ｘ－(α＋β)(β＋γ)(γ＋α)＝０ です。
ｘ2の係数を求めましょう。
α＋β＋β＋γ＋γ＋α
＝２α＋２β＋２γ
＝２(α＋β＋γ)
＝２・１
＝２
よって、x2の係数は－２です。
次にｘの係数を求めましょう。
(α＋β)(β＋γ)＋(β＋γ)(γ＋α)＋(γ＋α)(α＋β)
これをこのまま展開すると、かなり複雑なことになります。
ここでちょっと工夫します。
α＋β＋γ＝１ ですから、
α＋β＝１－γ
β＋γ＝１－α
γ＋α＝１－β
これらを代入します。
(１－γ)(１－α)＋(１－α)(１－β)＋(１－β)(１－γ)
＝１－α－γ＋γα＋１－β－α＋αβ＋１－γ－β＋βγ
＝－２α－２β－２γ＋αβ＋βγ＋γα＋３
＝－２(α＋β＋γ)＋(αβ＋βγ＋γα)＋３
＝－２・１＋２＋３
＝３
この工夫の仕方は、覚えておきましょう。
なかなか自力では発想できませんから。
次に定数項を求めます。
－(α＋β)(β＋γ)(γ＋α)
＝－(１－γ)(１－α)(１－β)
＝－(１－γ)(１－β－α＋αβ)
＝－(１－β－α＋αβ－γ＋βγ＋γα－αβγ)
＝－１＋β＋α－αβ＋γ－βγ－γα＋αβγ
＝－１＋(α＋β＋γ)－(αβ＋βγ＋γα)＋αβγ
＝－１＋１－２＋３
＝１
よって、求める方程式は、ｘ3－２ｘ2＋３ｘ＋１＝０ です。
(４)α2 , β2 , γ2 の３つを解に持つ３次方程式の１つは、
ｘ3－(α2＋β2＋γ2)ｘ2＋(α2β2＋β2γ2＋γ2α2)ｘ－α2β2γ2＝０ です。
ｘ2の係数を求めましょう。
α2＋β2＋γ2
＝(α＋β＋γ)2－２αβ－２βγ－２γα
＝(α＋β＋γ)2－２(αβ＋βγ＋γα)
＝１2－２・２
＝１－４
＝－３
よってｘ2の係数は－３。
ｘの係数を求めましょう。
α2β2＋β2γ2＋γ2α2
＝(αβ＋βγ＋γα)2－２αβ・βγ－２βγ・γα－２γα・αβ
＝(αβ＋βγ＋γα)2－２αβγ(α＋β＋γ)
＝２2－２・３・１
＝４－６
＝－２
定数項を求めましょう。
－α2β2γ2
＝－(αβγ)2
＝－３2
＝－９
よって、求める方程式は、ｘ3－３ｘ2－２ｘ－９＝０ です。
こんな問題を解きましょう。
問題 ３次方程式 ｘ3－ｘ2＋２ｘ－３＝０ の３つの解をα、β、γとするとき、次の３つの数を解とする３次方程式を求めよ。
(１)２α, ２β, ２γ
(２)αβ, βγ, γα
(３)α＋β, β＋γ, γ＋α
(４)α2, β2, γ2
これは３次方程式の解と係数の関係の問題です。
α(アルファ)、β(ベータ)、γ(ガンマ)はギリシャ文字で、これへの違和感から問題を過度に難しく感じる人もいます。
また、αとａ、βとＢ、γと数字の６などを見間違えるミスもおこりがちです。
自分の描いた文字や、テキストに書いてある数値を、普段からなぜか見間違うことの多い人は、特に注意が必要です。
では、まず２次方程式の解と係数の関係の復習をしておきましょう。
２次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０ の２つの解をα、βとすると、
α＋β＝－ｂ/ａ , αβ＝ｃ/ａ
そんなのありましたね。
それの３次方程式バージョンが今回の問題です。
３次方程式の解と係数の関係について確認しましょう。
３次方程式 ａｘ3＋ｂｘ2＋ｃｘ＋ｄ＝０ の３つの解をα、β、γとします。
すると、３次方程式は以下のように表すこともできます。
ａ(ｘ－α)(ｘ－β)(ｘ－γ)＝０
ｘ3の係数がａですので、( )の外側にａを置くことで係数の辻褄を合わせています。
この左辺を展開しましょう。
＝ａ(ｘ－α)(ｘ2－γｘ－βｘ＋βγ)
＝ａ(ｘ3－γｘ2－βｘ2＋βγｘ－αｘ2＋γαｘ＋αβｘ－αβγ)
＝ａｘ3－ａγｘ2－ａβｘ2＋ａβγｘ－ａαｘ2＋ａγαｘ＋ａαβｘ－ａαβγ
ｘについて降べきの順に整理しましょう。
＝ａｘ3－ａ(α＋β＋γ)ｘ2＋ａ(αβ＋βγ＋γα)ｘ－ａαβγ
これが、一番上の ａｘ3＋ｂｘ2＋ｃｘ＋ｄ＝０ と同じ方程式なのですから、それぞれの係数を比較すると、
－ａ(α＋β＋γ)＝ｂ すなわち、α＋β＋γ＝－ｂ/ａ
ａ(αβ＋βγ＋γα)＝ｃ すなわち、αβ＋βγ＋γα＝ｃ/ａ
－ａαβγ＝ｄ すなわち、αβγ＝－ｄ/ａ
まとめますと、
α＋β＋γ＝－ｂ/ａ
αβ＋βγ＋γα＝ｃ/ａ
αβγ＝－ｄ/ａ
これが、３次方程式の解と係数の関係です。
さて、これを利用すると、与えられた３次方程式は、ｘ3－ｘ2＋２ｘ－３＝０ ですから、
α＋β＋γ＝１
αβ＋βγ＋γα＝２
αβγ＝３
となります。
これらを用いて、以下の３つの数を解に持つ新しい３次方程式を作るのです。
(１)２α、２β、２γ の３つを解に持つ３次方程式は？
ｘ3の係数はとりあえず１としておきましょう。
出来上がった方程式が分数を含むごちゃごちゃした式になった場合は、全体を何倍かして整えれば大丈夫ですから。
そうすると、この３次方程式は、
ｘ3－(２α＋２β＋２γ)ｘ2＋(４αβ＋４βγ＋４γα)ｘ－８αβγ＝０ となります。
ｘ2の係数を求めましょう。
２α＋２β＋２γ
＝２(α＋β＋γ)
＝２・１
＝２
よって、x2の係数は－２です。
次に、ｘの係数を求めましょう。
４αβ＋４βγ＋４γα
＝４(αβ＋βγ＋γα)
＝４・２
＝８
次に、定数項を求めましょう。
－８αβγ
＝－８・３
＝－２４
よって、求める３次方程式は、ｘ3－２ｘ2＋８ｘ－２４＝０ です。
(２)αβ , βγ , γα の３つを解にもつ３次方程式の１つは、
ｘ3－(αβ＋βγ＋γα)ｘ2＋(αβ・βγ＋βγ・γα＋γα・αβ)ｘ－αβ・βγ・γα＝０ です。
ｘ2の係数を求めましょう。
αβ＋βγ＋γα＝２
よって、x2の係数は－２です。
次にｘの係数を求めましょう。
αβ・βγ＋βγ・γα＋γα・αβ
＝αβγ(β＋γ＋α)
＝αβγ(α＋β＋γ)
＝３・１
＝３
定数項を求めましょう。
－αβ・βγ・γα
＝－α2β2γ2
＝－(αβγ)2
＝－３2
＝－９
よって、求める方程式は、ｘ3－２ｘ2＋３ｘ－９＝０ です。
(３)α＋β , β＋γ , γ＋α の３つを解にもつ３次方程式の１つは、
ｘ3－(α＋β＋β＋γ＋γ＋α)ｘ2＋｛(α＋β)(β＋γ)＋(β＋γ)(γ＋α)＋(γ＋α)(α＋β)｝ｘ－(α＋β)(β＋γ)(γ＋α)＝０ です。
ｘ2の係数を求めましょう。
α＋β＋β＋γ＋γ＋α
＝２α＋２β＋２γ
＝２(α＋β＋γ)
＝２・１
＝２
よって、x2の係数は－２です。
次にｘの係数を求めましょう。
(α＋β)(β＋γ)＋(β＋γ)(γ＋α)＋(γ＋α)(α＋β)
これをこのまま展開すると、かなり複雑なことになります。
ここでちょっと工夫します。
α＋β＋γ＝１ ですから、
α＋β＝１－γ
β＋γ＝１－α
γ＋α＝１－β
これらを代入します。
(１－γ)(１－α)＋(１－α)(１－β)＋(１－β)(１－γ)
＝１－α－γ＋γα＋１－β－α＋αβ＋１－γ－β＋βγ
＝－２α－２β－２γ＋αβ＋βγ＋γα＋３
＝－２(α＋β＋γ)＋(αβ＋βγ＋γα)＋３
＝－２・１＋２＋３
＝３
この工夫の仕方は、覚えておきましょう。
なかなか自力では発想できませんから。
次に定数項を求めます。
－(α＋β)(β＋γ)(γ＋α)
＝－(１－γ)(１－α)(１－β)
＝－(１－γ)(１－β－α＋αβ)
＝－(１－β－α＋αβ－γ＋βγ＋γα－αβγ)
＝－１＋β＋α－αβ＋γ－βγ－γα＋αβγ
＝－１＋(α＋β＋γ)－(αβ＋βγ＋γα)＋αβγ
＝－１＋１－２＋３
＝１
よって、求める方程式は、ｘ3－２ｘ2＋３ｘ＋１＝０ です。
(４)α2 , β2 , γ2 の３つを解に持つ３次方程式の１つは、
ｘ3－(α2＋β2＋γ2)ｘ2＋(α2β2＋β2γ2＋γ2α2)ｘ－α2β2γ2＝０ です。
ｘ2の係数を求めましょう。
α2＋β2＋γ2
＝(α＋β＋γ)2－２αβ－２βγ－２γα
＝(α＋β＋γ)2－２(αβ＋βγ＋γα)
＝１2－２・２
＝１－４
＝－３
よってｘ2の係数は－３。
ｘの係数を求めましょう。
α2β2＋β2γ2＋γ2α2
＝(αβ＋βγ＋γα)2－２αβ・βγ－２βγ・γα－２γα・αβ
＝(αβ＋βγ＋γα)2－２αβγ(α＋β＋γ)
＝２2－２・３・１
＝４－６
＝－２
定数項を求めましょう。
－α2β2γ2
＝－(αβγ)2
＝－３2
＝－９
よって、求める方程式は、ｘ3－３ｘ2－２ｘ－９＝０ です。
Posted by セギ at 12:29│Comments(0)
│算数・数学
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