2017年11月30日
三角比と測量の問題。図だけで問題を解くのはむしろ難しいです。
今回も、「三角比」の学習。
測量への利用です。
問題 図のように、高さ２００ｍの山頂Ｐから東方にある地点Ａを見たら、俯角が３０°であった。また、東から南３０°にある地点Ｂを見たら、俯角が４５°であった。
２地点Ａ、Ｂ間の距離を求めよ。
この問題は、まず問題の意味を理解できるかどうかが１つ目のハードルです。
２地点Ａ、Ｂ間の距離を求めよ。
この問題は、まず問題の意味を理解できるかどうかが１つ目のハードルです。
こうやってネットに書いた場合、図の画像の粗さとネットの文字の読みにくさと、どちらがより強く影響するかという問題もあると思います。
しかし、これをテキストで見た場合、図を先に見るか活字を先に見るかは、その人の普段の傾向がそのまま表れるのではないでしょうか。
図の情報を優先する人と、文字情報を優先する人と。
高校生の中には、図しか見ない子がいます。
それではこの問題は解けないでしょう。
図の上のほうの点線と、それぞれの示す角度が何を意味しているのか、図だけではわからないです。
むしろ、問題文だけのほうがまだ情報を整理しやすいかもしれません。
ただ、それにはある程度の読解力が必要なのも事実です。
文字情報を頭の中で具体的なイメージにすることができないと、問題文だけでは理解しづらいと思います。
つまりは「ちゃんと両方見なさいよ」という当たり前の話なのですが、それができない高校生は意外に多いのです。
ここで言う読解力・イメージ力とは、上の問題文を読んだとき、イメージとして自分が山頂Ｐに立てるかどうか、です。
図を見る場合でも、自分がスモールライトを浴びて山頂Ｐに立つと、問題の構造が理解しやすくなると思いす。
これは中学３年生に理科の「天体」の授業をしているときもそう感じることです。
月の見え方や金星の見え方に関する問題は、図の中の地球に自分が立って月や金星がどう見えるかをイメージできれば易しいです。
しかし、それができず、外から地球を眺めているままですと、何でそう見えるのかうまく理解できません。
さあ、イメージします。
山頂Ｐに立ってみましょう。
標高２００ｍ。里の低山でしょうか。
埼玉県飯能の天覧山が標高１９７ｍ。
寄居の羅漢山が標高２４７ｍ。
毎日のお散歩コースにこのくらいの山があったらいいなあ。
それはともかく。
この山は、南面の見晴らしが良いようです。
だから、南を向いて立っています。
すると、東の方向俯角３０°にＡ地点が見えました。
俯角というのは、水平から下に３０°の角度で見えたということです。
ここで目を転じ、水平に３０°南方向に目を向けると、今度は俯角４５°にＢ地点が見えました。
さて、ＡＢ間の距離は？
という問題なのですね。
ここで、山頂ＰとＡとＢを結んで、△ＰＡＢで解こうとしてしまうと間違えます。
∠ＡＰＢ＝３０° と誤解しそうですが、そうではないからなんです。
ＡとＢの間が３０°なのは水平での話で、斜めになると角度は変わります。
山頂Ｐの真下、標高０ｍの地点をＨとしましょう。
△ＨＡＢに着目すると、ＡＢ間の距離を求めることができます。
∠ＡＨＢ＝３０° です。
ＡＨの長さは？
これは△ＰＨＡに着目します。
３０°、６０°、９０°の直角三角形ですね。
ＰＨが２００ｍなので、ＡＨは２００√３ｍです。
次に、ＢＨの長さは？
これは△ＰＨＢに着目しましょう。
４５°、４５°、９０°の直角三角形です。
ＰＨが２００ｍなので、ＢＨも２００ｍです。
これで、△ＨＡＢにおいて２辺とその間の角がわかりました。
これならＡＢの長さは計算で求められますね。
余弦定理より、
ＡＢ2＝ＡＨ2＋ＢＨ2－２・ＡＨ・ＢＨ・ｃｏｓ∠ＡＨＢ
＝(２００√３)2＋２００2－２・２００√３・２００・√３/２
＝４００００・３＋４００００－４００００・３
＝４００００
ＡＢ＞０より
ＡＢ＝２００
よって答えは２００ｍとなります。
Posted by セギ at 13:58│Comments(0)
│算数・数学
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