2019年01月09日
高校数Ａ 合同式の利用 その３ 合同方程式。
合同式の利用。
今回は、合同方程式と呼ばれるものです。
問題 次の合同式を満たすｘをそれぞれの法ｍにおいて、ｘ≡ａ(ｍｏｄ ｍ)の形で表せ。(ａはｍより小さい自然数)
(１) ｘ＋４≡２(ｍｏｄ ６)
(２) ３ｘ≡４(ｍｏｄ ５)
(３) ４ｘ≡４(ｍｏｄ ６)
合同式の性質は、等式の性質と共通の部分が多いです。
すなわち、
ａ≡ｂ、ｃ≡ｄ のとき、
ａ＋ｃ≡ｂ＋ｄ
ａ－ｃ≡ｂ－ｄ
ａｃ≡ｂｄ
が成り立ちます。
これらを利用し、上の問題を解いてみましょう。
(１) ｘ＋４≡２(ｍｏｄ ６)
両辺から４を引いて、
ｘ≡２－４＝－２(ｍｏｄ ６)
ここで、－２≡４(ｍｏｄ ６)
よって、ｘ≡４(ｍｏｄ ６)
あ、簡単だ。ヽ(^。^)ノ
では、
(２) ３ｘ≡４(ｍｏｄ ５)
４は３で割ると整数にならないので、厄介だから、
まず、４≡９(ｍｏｄ ５) を利用します。
３ｘ≡９(ｍｏｄ ５)
両辺を３で割って、
ｘ≡３(ｍｏｄ ５)
はい正解です。
(３) ４ｘ≡４(ｍｏｄ ６)
超簡単だ。ヽ(^。^)ノ
両辺を４で割って、
ｘ≡１(ｍｏｄ ６)
・・・いいえ。これは間違いなのです。
ええー？
何が違うのー？
実は、上の合同式の性質に、ａ≡ｂ、ｃ≡ｄのとき、
ａ/ｃ≡ｂ/ｄ
というのはなかったのです。
一部使えることもあるのですが、それには条件があります。
ａとｍが互いに素であるとき、ａｘ≡ａｙ(ｍｏｄ ｍ)ならば、ｘ≡ｙ です。
上の(２)では、３と５は互いに素なので、両辺を３で割ることができました。
(３)は、４と６は互いに素ではないので、両辺を４で割ることはできません。
証明しましょう。
ａｘ≡ａｙ(ｍｏｄ ｍ) ならば、ａｘ－ａｙ＝ｍｋ(ｋは整数)と表されます。
すらっと書きましたが、ちょっとわかりにくいでしょうか？
法をｍとして合同ということは、ｍで割った余りが等しいもの同士ということです。
ａｘもａｙも、余りがいくつなのかはわかりませんが、ｍで割ったあまりは等しいのです。
だとすれば、ａｘ－ａｙは、余りの分はちょうど引かれてなくなり、ｍの倍数のみ残るでしょう。
だから、ａｘ－ａｙ＝ｍｋ(ｋは整数)となります。
さらに左辺を共通因数ａでくくると、
ａ(ｘ－ｙ)＝ｍｋ
この式は、ａとｍが互いに素のときには、ｘ－ｙは、ｍの倍数であることを示します。
よって、
ｘ－ｙ＝ｍＬ(Ｌは整数) ※本当はＬは小文字で書きます。
よってｘ≡ｙ(ｍｏｄ ｍ)
上の証明では、ａとｍが互いに素であることが条件でした。
だから、ａとｍが互いに素ではない場合は、ｘ－ｙは、ｍの倍数とは限らなくなります。
証明の根拠が崩れたのです。
根拠が崩れたことは、使えば必ず誤りを生みます。
何だか、よくわからない・・・。
そんな声が聞こえてきます。
互いに素について、さらに考えてみましょう。
例えば、３・８＝４・６
この場合、３と４は互いに素です。
３と４は互いに素なのに、３・８＝４・６が成立しているのは、８は、４の倍数、６は３の倍数だからです。
その関係がないと、積が等しくなることはありません。
例えば、３・７と４・６が等しくならないのは、３と４が互いに素なのに、７は４の倍数ではないからです。
あるいは、７と２１は互いに素ではありません。
その場合、７・９＝２１・３ のように、９は２１の倍数にはなりませんし、３は７の倍数になりません。
これは、この先の不定方程式を解く際に使う、重要な考え方です。
(３) について、さらに具体的に考えてみましょう。
４ｘ≡４(ｍｏｄ ６)
よって、ｘ≡１(ｍｏｄ ６) では、正解ではなかったのですが、ｘ≡１は正解の一部であり、もっと他に答えがあったのです。
６を法としていますから、ｘは０、１、２、３、４、５のいずれかです。
一覧表にしてみましょう。
ｘ ０ １ ２ ３ ４ ５
４ｘ ０ ４ ８≡２ １２≡０ １６≡４ ２０≡２
４ｘ≡４ となるものは、ｘ≡１だけではないですね。
ｘ≡４のときも、４ｘ≡１６≡４ となることが逐一表にしてみることでわかります。
ですから、ｘ≡１、ｘ≡４ が(３)の正解となります。
これを(２)の、３ｘ≡４(ｍｏｄ ５) でもやってみると、
ｘ ０ １ ２ ３ ４
３ｘ ０ ３ ６≡１ ９≡４ １２≡２
と、同じ数字が被らず、きれいに散るのがわかります。
３と５が互いに素であるとき、そうなります。
解き方としてまとめますと、合同式の場合、両辺を割ることはできるときとできないときがあるので、注意すること。
それさえ意識しておけば、合同方程式はそんなに難しいものではありません。
今回は、合同方程式と呼ばれるものです。
問題 次の合同式を満たすｘをそれぞれの法ｍにおいて、ｘ≡ａ(ｍｏｄ ｍ)の形で表せ。(ａはｍより小さい自然数)
(１) ｘ＋４≡２(ｍｏｄ ６)
(２) ３ｘ≡４(ｍｏｄ ５)
(３) ４ｘ≡４(ｍｏｄ ６)
合同式の性質は、等式の性質と共通の部分が多いです。
すなわち、
ａ≡ｂ、ｃ≡ｄ のとき、
ａ＋ｃ≡ｂ＋ｄ
ａ－ｃ≡ｂ－ｄ
ａｃ≡ｂｄ
が成り立ちます。
これらを利用し、上の問題を解いてみましょう。
(１) ｘ＋４≡２(ｍｏｄ ６)
両辺から４を引いて、
ｘ≡２－４＝－２(ｍｏｄ ６)
ここで、－２≡４(ｍｏｄ ６)
よって、ｘ≡４(ｍｏｄ ６)
あ、簡単だ。ヽ(^。^)ノ
では、
(２) ３ｘ≡４(ｍｏｄ ５)
４は３で割ると整数にならないので、厄介だから、
まず、４≡９(ｍｏｄ ５) を利用します。
３ｘ≡９(ｍｏｄ ５)
両辺を３で割って、
ｘ≡３(ｍｏｄ ５)
はい正解です。
(３) ４ｘ≡４(ｍｏｄ ６)
超簡単だ。ヽ(^。^)ノ
両辺を４で割って、
ｘ≡１(ｍｏｄ ６)
・・・いいえ。これは間違いなのです。
ええー？
何が違うのー？
実は、上の合同式の性質に、ａ≡ｂ、ｃ≡ｄのとき、
ａ/ｃ≡ｂ/ｄ
というのはなかったのです。
一部使えることもあるのですが、それには条件があります。
ａとｍが互いに素であるとき、ａｘ≡ａｙ(ｍｏｄ ｍ)ならば、ｘ≡ｙ です。
上の(２)では、３と５は互いに素なので、両辺を３で割ることができました。
(３)は、４と６は互いに素ではないので、両辺を４で割ることはできません。
証明しましょう。
ａｘ≡ａｙ(ｍｏｄ ｍ) ならば、ａｘ－ａｙ＝ｍｋ(ｋは整数)と表されます。
すらっと書きましたが、ちょっとわかりにくいでしょうか？
法をｍとして合同ということは、ｍで割った余りが等しいもの同士ということです。
ａｘもａｙも、余りがいくつなのかはわかりませんが、ｍで割ったあまりは等しいのです。
だとすれば、ａｘ－ａｙは、余りの分はちょうど引かれてなくなり、ｍの倍数のみ残るでしょう。
だから、ａｘ－ａｙ＝ｍｋ(ｋは整数)となります。
さらに左辺を共通因数ａでくくると、
ａ(ｘ－ｙ)＝ｍｋ
この式は、ａとｍが互いに素のときには、ｘ－ｙは、ｍの倍数であることを示します。
よって、
ｘ－ｙ＝ｍＬ(Ｌは整数) ※本当はＬは小文字で書きます。
よってｘ≡ｙ(ｍｏｄ ｍ)
上の証明では、ａとｍが互いに素であることが条件でした。
だから、ａとｍが互いに素ではない場合は、ｘ－ｙは、ｍの倍数とは限らなくなります。
証明の根拠が崩れたのです。
根拠が崩れたことは、使えば必ず誤りを生みます。
何だか、よくわからない・・・。
そんな声が聞こえてきます。
互いに素について、さらに考えてみましょう。
例えば、３・８＝４・６
この場合、３と４は互いに素です。
３と４は互いに素なのに、３・８＝４・６が成立しているのは、８は、４の倍数、６は３の倍数だからです。
その関係がないと、積が等しくなることはありません。
例えば、３・７と４・６が等しくならないのは、３と４が互いに素なのに、７は４の倍数ではないからです。
あるいは、７と２１は互いに素ではありません。
その場合、７・９＝２１・３ のように、９は２１の倍数にはなりませんし、３は７の倍数になりません。
これは、この先の不定方程式を解く際に使う、重要な考え方です。
(３) について、さらに具体的に考えてみましょう。
４ｘ≡４(ｍｏｄ ６)
よって、ｘ≡１(ｍｏｄ ６) では、正解ではなかったのですが、ｘ≡１は正解の一部であり、もっと他に答えがあったのです。
６を法としていますから、ｘは０、１、２、３、４、５のいずれかです。
一覧表にしてみましょう。
ｘ ０ １ ２ ３ ４ ５
４ｘ ０ ４ ８≡２ １２≡０ １６≡４ ２０≡２
４ｘ≡４ となるものは、ｘ≡１だけではないですね。
ｘ≡４のときも、４ｘ≡１６≡４ となることが逐一表にしてみることでわかります。
ですから、ｘ≡１、ｘ≡４ が(３)の正解となります。
これを(２)の、３ｘ≡４(ｍｏｄ ５) でもやってみると、
ｘ ０ １ ２ ３ ４
３ｘ ０ ３ ６≡１ ９≡４ １２≡２
と、同じ数字が被らず、きれいに散るのがわかります。
３と５が互いに素であるとき、そうなります。
解き方としてまとめますと、合同式の場合、両辺を割ることはできるときとできないときがあるので、注意すること。
それさえ意識しておけば、合同方程式はそんなに難しいものではありません。
