2023年08月19日
夏休みなので難問を。数Ⅰ三角比と三角形の面積の最大値。
夏休みなので、難問を。
問題 △ＡＢＣにおいて、ＢＣ＝６、tan Ａ＝４/３ である。△ＡＢＣの面積の最大値を求めよ。
さて、まずは自分で解いてみたいという方は、問題を書き写し、ここでブログを閉じてください。
こういう、情報の少ない問題は、簡単そうに見えて、意外に難しいですね。
さて、ここからは、解答・解説です。
底辺だけわかっていても、高さが無限に伸びるのだから、この三角形の面積に最大値なんてないんじゃないの？
と、一瞬思ってしまいそうですが、この三角形は、∠Ａの大きさは決定しているのです。
tan Ａ＝４/３ ですから。
三角比は、それぞれの角の大きさに固有のものです。
「直角三角形の辺の比」という感覚から意識が拡張されていないと気づきにくいことですが、サイン・コサイン・タンジェントの値は、角の大きさによって決まっています。
三角比の表を見てもわかります。
角度ごとに、サイン・コサイン・タンジェントの値は定まっていて、それが一覧表になっています。
今回の問題でも、タンジェントの値が定まっていますので、∠Ａの大きさも決定しています。
それならば、△ＡＢＣの形は、１つに定まるのか？
いや、そうではないですよね。
∠Ａの大きさと、その対辺であるＢＣの長さが決まっているだけでは、△ＡＢＣは、色々な形をとることができます。
でも、共通な性質というのはあるはずです。
どんな性質？
ここで発想の飛躍ができると、もうこの問題は解けたも同然。
辺ＢＣの長さは決定している。
∠Ａの大きさも決定している。
・・・あれ？
この三角形は、色々な形をとるけれど、どれも、１つの円に内接する三角形なのでは？
なぜなら、辺ＢＣを弦ととらえ、その弧ＢＣの円周角が∠Ａだと考えるならば、等しい弧の円周角は等しいですから、頂点Ａが、その円周上のどこにあっても、∠Ａは一定です。
では、円を描き、辺ＢＣを底辺として見やすい位置に描きこんでみましょう。
頂点Ａは、円周上のどこでもいい。
だとすれば、△ＡＢＣの面積が最大になるのは、頂点Ａがどこにあるときでしょうか？
問題 △ＡＢＣにおいて、ＢＣ＝６、tan Ａ＝４/３ である。△ＡＢＣの面積の最大値を求めよ。
さて、まずは自分で解いてみたいという方は、問題を書き写し、ここでブログを閉じてください。
こういう、情報の少ない問題は、簡単そうに見えて、意外に難しいですね。
さて、ここからは、解答・解説です。
底辺だけわかっていても、高さが無限に伸びるのだから、この三角形の面積に最大値なんてないんじゃないの？
と、一瞬思ってしまいそうですが、この三角形は、∠Ａの大きさは決定しているのです。
tan Ａ＝４/３ ですから。
三角比は、それぞれの角の大きさに固有のものです。
「直角三角形の辺の比」という感覚から意識が拡張されていないと気づきにくいことですが、サイン・コサイン・タンジェントの値は、角の大きさによって決まっています。
三角比の表を見てもわかります。
角度ごとに、サイン・コサイン・タンジェントの値は定まっていて、それが一覧表になっています。
今回の問題でも、タンジェントの値が定まっていますので、∠Ａの大きさも決定しています。
それならば、△ＡＢＣの形は、１つに定まるのか？
いや、そうではないですよね。
∠Ａの大きさと、その対辺であるＢＣの長さが決まっているだけでは、△ＡＢＣは、色々な形をとることができます。
でも、共通な性質というのはあるはずです。
どんな性質？
ここで発想の飛躍ができると、もうこの問題は解けたも同然。
辺ＢＣの長さは決定している。
∠Ａの大きさも決定している。
・・・あれ？
この三角形は、色々な形をとるけれど、どれも、１つの円に内接する三角形なのでは？
なぜなら、辺ＢＣを弦ととらえ、その弧ＢＣの円周角が∠Ａだと考えるならば、等しい弧の円周角は等しいですから、頂点Ａが、その円周上のどこにあっても、∠Ａは一定です。
では、円を描き、辺ＢＣを底辺として見やすい位置に描きこんでみましょう。
頂点Ａは、円周上のどこでもいい。
だとすれば、△ＡＢＣの面積が最大になるのは、頂点Ａがどこにあるときでしょうか？
雑に描いたので、本当に下手な絵ですみません。
△ＡＢＣは、上の図の黒い三角形でも、他に描いた赤い三角形でも、ＢＣ＝６、tan Ａ＝4/3を満たします。
では、この中で、もっとも面積の大きい三角形は？
頂点Ａと底辺ＢＣとの距離が大きいほど、三角形の面積は大きくなります。
ここで、辺ＢＣを水平に描いたことが功を奏すると思います。
どこに頂点Ａを描けば、辺ＢＣからもっとも遠いか？
それは、てっぺんの位置。
円を１つの時計と見立てるならば、１２時の位置。
そして、頂点Ａがてっぺんの位置にあるのだとすれば、この△ＡＢＣは、ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形です。
点Ａが、てっぺんから少しでも下がれば、ＡＢ＝ＡＣではなくなりますよね。
よし、わかった！
二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分します。
底辺ＢＣの中点をＭとし、線分ＡＭを描きましょう。
このＡＭが、△ＡＢＣの高さです。
さて、△ＡＢＭは、直角三角形です。
三平方の定理を使えば、ＡＭを求めることができます。
それには、他の２辺の長さが必要。
ＢＭは、ＢＣの半分ですから、６×１/２＝３
それでは、ＡＢは？
ここで、tang Ａ＝４/３ が生きてきます。
三角比は、サイン・コサイン・タンジェントのどれかの値がわかれば、残る２つの値を計算で求めることができます。
タンジェントから、公式を使ってコサインの値を求められます。
三角比の相互関係の公式を用います。
１/cos^2 Ａ＝１＋tang^2 Ａ
＝１＋(４/３)^2
＝１＋１６/９
＝２５/９
よって、
cos^2 Ａ＝９/２５
ここで、０°＜Ａ＜１８０°
tan Ａ＞０、sin Ａ＞０ より、
cos Ａ＞０
よって、
cos Ａ＝３/５
よし、これで、辺ＡＢの長さを求めることができます。
ＡＢ＝ＡＣ＝ｘ とおくと、
△ＡＢＣにおいて、余弦定理より、
６^2＝ｘ^2＋ｘ^2－２ｘ・ｘ・cos Ａ
３６＝２ｘ^2－２ｘ^2・３/５
２ｘ^2－６/５ｘ^2＝３６
４/５ｘ^2＝３６
ｘ^2＝３６×５/４
ｘ^2＝４５
ｘ＞０より、
ｘ＝３√５
よって、ＡＢ＝３√５。
そして、先ほど求めた通り、ＢＭ＝３ ですから、
△ＡＢＭにおいて三平方の定理より、
ＡＭ^2＝(３√５)^2－３^2
＝４５－９
＝３６
ＡＭ＞０より
ＡＭ＝６
これで△ＡＢＣの高さの最大値は６とわかりました。
よって、△ＡＢＣの面積の最大値は、
１/２・６・６＝１８
面積の最大値は、１８です。
Posted by セギ at 14:21│Comments(2)
│算数・数学
この記事へのコメント
初めまして。
流れ流れて、こちらのブログにたどり着きました。
英語は好きだが、算数レベルでもうアップアップの大人の私には、共感できる内容があちらこちらにありました。
問題が解けない生徒による発言が、先生にはこんな風に聞こえていたのか、と本当にショックでした。そりゃお互い話が通じる訳ないな、と。
生徒の頭の中まで、理解しようとされる先生には感謝しかありません。生徒の間違った純粋な思い込みを、正しい方向へ導くのは、たやすくないでしょう。それでもその試行錯誤をこのブログで読み取れて、とても嬉しくなりました。
先生ありがとう。一人でも多くの私が救われますように。
流れ流れて、こちらのブログにたどり着きました。
英語は好きだが、算数レベルでもうアップアップの大人の私には、共感できる内容があちらこちらにありました。
問題が解けない生徒による発言が、先生にはこんな風に聞こえていたのか、と本当にショックでした。そりゃお互い話が通じる訳ないな、と。
生徒の頭の中まで、理解しようとされる先生には感謝しかありません。生徒の間違った純粋な思い込みを、正しい方向へ導くのは、たやすくないでしょう。それでもその試行錯誤をこのブログで読み取れて、とても嬉しくなりました。
先生ありがとう。一人でも多くの私が救われますように。
Posted by トホホ at 2023年08月21日 12:57
暖かいコメントありがとうございます。
励みになります。
生徒の言葉の意味や意図を読み取るのは、本当に大変で、私もいまだに日々勉強です。
励みになります。
生徒の言葉の意味や意図を読み取るのは、本当に大変で、私もいまだに日々勉強です。
Posted by セギ
at 2023年11月16日 22:26
at 2023年11月16日 22:26※このブログではブログの持ち主が承認した後、コメントが反映される設定です。
