2019年01月24日
高校数Ａ 不定方程式。
今回は、「不定方程式」の学習に進みます。
不定方程式とは、何か？
解が明確には定まらない方程式のことです。
例えば、 ３ｘ－４ｙ＝０
この方程式１本では、ｘ、ｙの値は定まりません。
ｙ＝３/４ｘ
と変形してみるとわかりやすいですが、これは比例の式ですから、ｘとｙの値の組は無数に存在します。
では、不定方程式は、「解は無数に存在する」で終わらせるのかいうと、もう少し範囲を狭めて、何か情報を伝えたいものです。
不定方程式の問題は、「ｘ、ｙの整数解を求めよ」となっているのも特徴です。
無数に存在する中で、ｘもｙも整数である解を求めなさいというのです。
いやいや、それだって無数に存在するのですが、何か解の性質のようなものを伝えて、それを答えとしたい。
そういう方向で解いていくことになります。
では、解いてみましょう。
３ｘ－４ｙ＝０
とりあえず、ｙを移項します。
３ｘ＝４ｙ
こうすることで、ｘとｙの整数解の関係が見やすくなりました。
３と４は、最大公約数が１。
それ以外に整数の共通因数を持ちません。
つまり互いに素です。
それで、３ｘ＝４ｙ が成り立っているということは、ｘには４の因数が含まれているということです。
一方、ｙには３の因数が含まれている。
つまり、ｘは４の倍数で、ｙは３の倍数です。
そうでなければ、この等式は成立しません。
よって、
ｘ＝４ｋ、ｙ＝３ｋ (ｋは整数)
これが、この不定方程式の整数解となります。
１つに特定することはできないけれど、ｘは４の倍数ですし、ｙは３の倍数ですよ。
ｋに整数を代入すれば、個々の解は全て出てきますよ。
この解答が伝えていることは、そういうことです。
これが、不定方程式の解です。
「何だか解いた気がしない」
と言う高校生もいます。
数学は答えが１つに決まるものだと思っていたのに、この答えは中途半端だ。
今までの方程式と何か違うので、やりにくい。
頑固なタイプの生徒ですと、違和感を抱き、反発心も強く、なかなか定着しないことがあります。
納得できない内容は、頭に入らないですよね。
しかし、
「数学とはこうでなければならない」
という固定観念の強い人ほど、この先の数学で実感的に納得できる内容は少なくなっていきます。
頑固にならないでね。
この先の内容で納得できないことがあっても、そんな考え方もあるのかと受け流すといいよと話しています。
さて、不定方程式をもう１問。
３ｘ＋５ｙ＝１
これは、どう解きましょうか？
右辺が０なら、上の問題のようにｘとｙの関係を見ることができますが、右辺が１なのでやりにくいです。
では、まず右辺を０にしましょう。
どうやって？
上の方程式が成立するｘとｙの整数解を１組、とにかく見つけます
もっと複雑になると見つけ方の計算方法もありますが、今のところ問題がシンプルなので、暗算で見つけることができますね。
ｘ＝１のときは、ｙは整数解はありません。
ｘ＝２、ｙ＝－１。
これは成立します！
そこで、与式から、今作った式を引きます。
３ｘ ＋５ｙ ＝１
－)３・２＋５・(－１) ＝１
３(ｘ－２)＋５(ｙ＋１)＝０
上のように共通因数でくくり、扱いやすくしておきます。
これで右辺は０になり、ｘとｙの関係が見やすくなりました。
移項して、
３(ｘ－２)＝－５(ｙ＋１) ・・・・①
３と５は互いに素ですから、ｘ－２は５の倍数だとわかります。
よって、
ｘ－２＝５ｋ (ｋは整数) ・・・②
ｘ＝５ｋ＋２
②の ｘ－２＝５ｋ を、①の３(ｘ－２)＝－５(ｙ＋１) に代入すると、
３・５ｋ＝－５(ｙ＋１)
１５ｋ＝－５(ｙ＋１)
－５(ｙ＋１)＝１５ｋ
ｙ＋１＝－３ｋ
ｙ＝－３ｋ－１
よって、この不定方程式の解は、
ｘ＝５ｋ＋２、ｙ＝－３ｋ－１ （ｋは整数）
最初に見つけた整数解によって、この解答は見た目が少し違ってきます。
しかし、表しているものの関係は変わりません。
だから、模範解答と異なるものでも正解はあります。
慣れてくると、上の、
３(ｘ－２)＝－５(ｙ＋１)
からすぐに、
ｘ＝５ｋ＋２
ｙ＝－３ｋ－１ (ｋは整数)
という解を導くことができます。
不定方程式は単なる計算問題なので、解法の過程が重視される問題ではありません。
だから、慣れたら、いきなり跳んでも構いません。
ただ、どのように解いているのか、その痕跡がノートに残らないため、時間が経つと解き方を忘れてしまい、不定方程式が解けなくなってしまう高校生がいます。
どういう根拠でそのように解けるのか、納得できないとペンが進まない。
その一方、一応理解できると、自分で計算するときにはやたらと省略してしまう。
しかし、時間が経つと根拠を忘れ、解き方がわからなくなる。
中学生の頃から、例えば関数の式を求める際にも、同じ失敗をしてきていなかったでしょうか。
解き方がわかっているときにはやたらと省略し、何もかも一度に代入して計算する。
しかし、時間が経つと、解き方を忘れ、全くわからなくなる。
ノートを見直しても、全てを一気に代入した謎の計算式が残っているだけなので、自分が何をどうしたのか、よくわからない・・・。
それを反省点として、後で見直してもよくわかるノートを作っておくことをお薦めします。
記憶なんて、そんなに長持ちしません。
宿題も、
「どう解いたの？」
と私が尋ねると、答えに詰まって絶句する人は多いです。
そのときは確かにわかっていた。
でも、もう今はわからない。
そんなことにならないように解き方をノートに残しておきましょう。
不定方程式とは、何か？
解が明確には定まらない方程式のことです。
例えば、 ３ｘ－４ｙ＝０
この方程式１本では、ｘ、ｙの値は定まりません。
ｙ＝３/４ｘ
と変形してみるとわかりやすいですが、これは比例の式ですから、ｘとｙの値の組は無数に存在します。
では、不定方程式は、「解は無数に存在する」で終わらせるのかいうと、もう少し範囲を狭めて、何か情報を伝えたいものです。
不定方程式の問題は、「ｘ、ｙの整数解を求めよ」となっているのも特徴です。
無数に存在する中で、ｘもｙも整数である解を求めなさいというのです。
いやいや、それだって無数に存在するのですが、何か解の性質のようなものを伝えて、それを答えとしたい。
そういう方向で解いていくことになります。
では、解いてみましょう。
３ｘ－４ｙ＝０
とりあえず、ｙを移項します。
３ｘ＝４ｙ
こうすることで、ｘとｙの整数解の関係が見やすくなりました。
３と４は、最大公約数が１。
それ以外に整数の共通因数を持ちません。
つまり互いに素です。
それで、３ｘ＝４ｙ が成り立っているということは、ｘには４の因数が含まれているということです。
一方、ｙには３の因数が含まれている。
つまり、ｘは４の倍数で、ｙは３の倍数です。
そうでなければ、この等式は成立しません。
よって、
ｘ＝４ｋ、ｙ＝３ｋ (ｋは整数)
これが、この不定方程式の整数解となります。
１つに特定することはできないけれど、ｘは４の倍数ですし、ｙは３の倍数ですよ。
ｋに整数を代入すれば、個々の解は全て出てきますよ。
この解答が伝えていることは、そういうことです。
これが、不定方程式の解です。
「何だか解いた気がしない」
と言う高校生もいます。
数学は答えが１つに決まるものだと思っていたのに、この答えは中途半端だ。
今までの方程式と何か違うので、やりにくい。
頑固なタイプの生徒ですと、違和感を抱き、反発心も強く、なかなか定着しないことがあります。
納得できない内容は、頭に入らないですよね。
しかし、
「数学とはこうでなければならない」
という固定観念の強い人ほど、この先の数学で実感的に納得できる内容は少なくなっていきます。
頑固にならないでね。
この先の内容で納得できないことがあっても、そんな考え方もあるのかと受け流すといいよと話しています。
さて、不定方程式をもう１問。
３ｘ＋５ｙ＝１
これは、どう解きましょうか？
右辺が０なら、上の問題のようにｘとｙの関係を見ることができますが、右辺が１なのでやりにくいです。
では、まず右辺を０にしましょう。
どうやって？
上の方程式が成立するｘとｙの整数解を１組、とにかく見つけます
もっと複雑になると見つけ方の計算方法もありますが、今のところ問題がシンプルなので、暗算で見つけることができますね。
ｘ＝１のときは、ｙは整数解はありません。
ｘ＝２、ｙ＝－１。
これは成立します！
そこで、与式から、今作った式を引きます。
３ｘ ＋５ｙ ＝１
－)３・２＋５・(－１) ＝１
３(ｘ－２)＋５(ｙ＋１)＝０
上のように共通因数でくくり、扱いやすくしておきます。
これで右辺は０になり、ｘとｙの関係が見やすくなりました。
移項して、
３(ｘ－２)＝－５(ｙ＋１) ・・・・①
３と５は互いに素ですから、ｘ－２は５の倍数だとわかります。
よって、
ｘ－２＝５ｋ (ｋは整数) ・・・②
ｘ＝５ｋ＋２
②の ｘ－２＝５ｋ を、①の３(ｘ－２)＝－５(ｙ＋１) に代入すると、
３・５ｋ＝－５(ｙ＋１)
１５ｋ＝－５(ｙ＋１)
－５(ｙ＋１)＝１５ｋ
ｙ＋１＝－３ｋ
ｙ＝－３ｋ－１
よって、この不定方程式の解は、
ｘ＝５ｋ＋２、ｙ＝－３ｋ－１ （ｋは整数）
最初に見つけた整数解によって、この解答は見た目が少し違ってきます。
しかし、表しているものの関係は変わりません。
だから、模範解答と異なるものでも正解はあります。
慣れてくると、上の、
３(ｘ－２)＝－５(ｙ＋１)
からすぐに、
ｘ＝５ｋ＋２
ｙ＝－３ｋ－１ (ｋは整数)
という解を導くことができます。
不定方程式は単なる計算問題なので、解法の過程が重視される問題ではありません。
だから、慣れたら、いきなり跳んでも構いません。
ただ、どのように解いているのか、その痕跡がノートに残らないため、時間が経つと解き方を忘れてしまい、不定方程式が解けなくなってしまう高校生がいます。
どういう根拠でそのように解けるのか、納得できないとペンが進まない。
その一方、一応理解できると、自分で計算するときにはやたらと省略してしまう。
しかし、時間が経つと根拠を忘れ、解き方がわからなくなる。
中学生の頃から、例えば関数の式を求める際にも、同じ失敗をしてきていなかったでしょうか。
解き方がわかっているときにはやたらと省略し、何もかも一度に代入して計算する。
しかし、時間が経つと、解き方を忘れ、全くわからなくなる。
ノートを見直しても、全てを一気に代入した謎の計算式が残っているだけなので、自分が何をどうしたのか、よくわからない・・・。
それを反省点として、後で見直してもよくわかるノートを作っておくことをお薦めします。
記憶なんて、そんなに長持ちしません。
宿題も、
「どう解いたの？」
と私が尋ねると、答えに詰まって絶句する人は多いです。
そのときは確かにわかっていた。
でも、もう今はわからない。
そんなことにならないように解き方をノートに残しておきましょう。
