たまりば

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2018年09月30日

メネラウスの定理。


高校数A「図形の性質」の学習。
センター試験にもよく出る定理がこの「メネラウスの定理」です。
チェバの定理と同様、これも、楽な覚え方をすれば、何でもなく活用できるようになります。
上の左図で、

ABFCEA=1
BF・CE・EA


ブログでは分数表記をできないので読みにくいと思います。
テキスト・参考書等で確認してください。

証明は、ネットで検索したらすぐ出てきます。
この定理も、証明よりも覚え方、活用の仕方が重要です。
決して記号で覚えないこと。
左図のような配置からの順番だけで覚えるのも得策ではありません。
実際の問題は、左図のような配置になっているとは限らないからです。

メネラウスの定理も、三角形が基本です。
その三角形の2辺と、頂点以外で交わる直線があること。
その直線は、当然、残る1辺の延長線とも交わります。
この構造の図のとき、メネラウスの定理が使えます。
まず、三角形の3つの頂点を強く意識します。
それ以外の点は、「交点」ととらえます。
あとは、チェバの定理と同じ呪文を唱えます。
「頂点・交点・頂点・交点・頂点・交点・頂点」
必ず頂点から始め、そこから直接進める交点へ。
それが最初の分子です。
その交点から次の頂点へ。
それが分母。
その頂点から次の交点へ。
それが次の分子。
その交点から次の頂点へ。
それが分母。
そうしてひと筆書きをして元の頂点に戻れば、メネラウスの定理を使った式の右辺が完成します。

左図のような配置だけでメネラウスの定理を覚えてしまうと、実際の問題で三角形と交わる直線の向きがその配置と異なっているとき、メネラウスの定理を使えること自体を発想できなくなりがちです。
「使えるよ」とヒントを出しても、どう使うのかわからず、図を回転したり首をひねったりと苦戦する子は多いです。
メネラウスの定理の構造を理解すれば、そういうことはありません。
頂点Aから始める必要もなく、どこからでも、呪文の通りにひと筆書きをしていけば良いのです。
どうか「呪文」を、すなわちこの定理の本質を理解してください。
どんな配置の図でも、どの頂点からでも、メネラウスの定理を使えるようにしておくと心強いです。
上の左図でも右図でも、頂点BからもCからも、メネラウスの定理は利用できます。
上の図は反時計回りですが、時計回りも可能です。

どうか頭を柔軟に。
それは定理の本質を理解するということでもあります。




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