たまりば

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2018年06月26日

反復試行の確率。



今回も「確率」の学習。
次は「反復試行の確率」。
例えば、こんな問題です。

例題
袋の中に白玉2個、赤玉6個が入っている。この中から玉を1個取り出し色を調べてから袋に戻す。これを5回繰り返したとき、白玉がちょうど3回出る確率を求めよ。

今までと同じようでいて、実はかなり違うタイプの問題です。
赤玉白玉の出方の順番がわかりません。
5回のうち、とにかく白玉が3回出る。
言い換えると、どこで白玉が出るかは自分で考えて場合分けしなければならないということです。
例えば、白白白赤赤という出方と、白白赤白赤という出方は、異なる玉の出方であり、それぞれに固有の確率があります。
それぞれの場合ごとに確率を計算して、最終的にそれらを足せば答えとなるでしょう。

「なぜ場合分けしなければならないのか、そこからわからない」
という質問を受けることがあります。
異なる出方があるなら、1つ1つ場合分けし、それぞれの確率を足すのだということをまず理解しましょう。
白白白赤赤という出方と、白白赤白赤という出方は異なる出方です。
そのそれぞれに確率があるのです。

5回のうち3回白玉が出る。
さて、場合分けしましょう。
5回のうち3回白玉なら、残る2回は赤玉となります。
その並べ方は、
白白白赤赤
白白赤白赤
白白赤赤白
白赤白白赤
白赤白赤白
白赤赤白白
赤白白白赤
赤白白赤白
赤白赤白白
赤赤白白白
以上の10通りに場合分けされます。
では次に、そのおのおのの確率を求める式を立ててみましょう。

白白白赤赤 は、1/4・1/4・1/4・3/4・3/4
白白赤白赤 は、1/4・1/4・3/4・1/4・3/4
白白赤赤白 は、1/4・1/4・3/4・3/4・1/4
白赤白白赤 は、1/4・3/4・1/4・1/4・3/4
白赤白赤白 は、1/4・3/4・1/4・3/4・1/4
白赤赤白白 は、1/4・3/4・3/4・1/4・1/4
赤白白白赤 は、3/4・1/4・1/4・1/4・3/4
赤白白赤白 は、3/4・1/4・1/4・3/4・1/4
赤白赤白白 は、3/4・1/4・3/4・1/4・1/4
赤赤白白白 は、3/4・3/4・1/4・1/4・1/4

こうして一覧にしてみますと、同じような分数ばかり並んでいるのがわかります。
要するに、どの場合も、1/4を3回、3/4を2回かけるのですね。
各行は、(1/4)3(3/4)2
とまとめることができます。
( )の後ろの半角の文字は指数として読んでください。
で、これを全部足します。
同じものを10個足すのですから、それは×10と同じこと。
つまり、この問題は、10(1/4)3(3/4)2という式で求めることができます。

この10という数字を計算で求めることはできないでしょうか?
白3個、赤2個を並べる並べ方。
これは、以前に学習した「同じものを含む順列」の公式で求めることかできます。
全体でn個のうち、同じものがp個、また別の種類の同じものがr個あったときの順列は、
n!/p!r!・・・
という式で求めることができるのでした。
また、n=p+rであるのなら、それは、nCpという組合せの式と同じものでした。
ですから、白玉3個、赤玉2個の並べ方は、
5C3=5・4・3/3・2・1=10 と計算できます。

さあ、これで、反復試行の確率の公式が導かれました。
Aという事象の確率をpとするとき、n回の試行のうちr回Aという事象の起こる確率は、
nCr・pのr乗・(1-p)の(n-r)乗
公式で書くと余計わからないと非難轟々の公式ですが、問題を解くことで練習を繰り返し、慣れてしまえば使えるようになります。




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