2017年04月20日
１次不等式の文章題。
不等式。
昔は中学２年生で学習する内容でしたが、「ゆとり教育」の時代に高校の学習内容に移り、新課程になってもそのまま高校数Ⅰの学習内容となっています。
高校数学としては易しいと思うのですが、ケアレスミスのなくならない単元でもあります。
高校数学としては易しいと思うのですが、ケアレスミスのなくならない単元でもあります。
例えば、こんな計算問題です。
２－３ｘ＞２ｘ－８
－５ｘ＞－１０
ｘ＜２
両辺を－５で割るので、不等号の向きが逆になります。
負の数の絶対値の大小関係からそうなるのですが、何で逆になるのかよく理解できないまま「そういうものだ」と丸暗記して、結果、すぐ忘れてしまうミスが目立つところです。
さらに難しいのは、文章題。
さらに難しいのは、文章題。
苦手な人が多いです。
たとえば、こんな問題です。
ある商品をA店で購入すると、１個につき１０％値引きしてくれます。同じ商品をB店で購入すると、最初の１ダースは定価ですが、それより多い個数については、１個につき１７％値引きしてくれます。何個以上購入するとき、B店で購入するほうが安くなりますか。
たとえば、こんな問題です。
ある商品をA店で購入すると、１個につき１０％値引きしてくれます。同じ商品をB店で購入すると、最初の１ダースは定価ですが、それより多い個数については、１個につき１７％値引きしてくれます。何個以上購入するとき、B店で購入するほうが安くなりますか。
ｘ個購入するとして、不等式を立てます。
(Ａ店での購入金額)＞(Ｂ店での購入金額)
という式になれば良いですね。
しかし、ここで困るのは、１個あたりの定価がわからないこと。
そういうときは、それも文字にしてみると関係がスッキリします。
多分、その文字は２行目で消える。
慣れてくるとそういうことも判断できますが、その判断ができなくても、とりあえずやってみることが大切です。
１個あたりの定価をａ円とします。
Ａ店では１０％値引きしてくれるので、１個０.９ａ円となります。
それをｘ個買うので、購入総額は、０.９ａｘ円。
いっぽうＢ店は、１ダースまでは定価です。
たまに、ダースという単位を知らない高校生がいます。
１ダースは１２個です。
１ダースは１２個です。
ダースやカートンは普段使わない単位なので、仕方ない面もありますね。
ダースは鉛筆で、カートンはタバコでしか使わないイメージが私にもあります。
流通業界では、きっと今も高い頻度で使っているのだと思うのですが。
とりあえず、１ダース分の購入金額は、１２ａ円。
全部でｘ個買うのですから、値引きされる個数は(ｘ－１２)個となります。
１７パーセント値引きされるので、１個の金額は０.８３ａ円。
よって、値引き分の購入金額は、０.８３ａ(ｘ－１２)円。
したがって、Ｂ店での購入総額は、１２ａ＋０.８３ａ(ｘ－１２)円。
これで不等式を立てることができます。
０.９ａｘ＞１２ａ＋０.８３ａ(ｘ－１２)
予想通り、全体をａで割れば、ａを消すことができます。
０.９ｘ＞１２＋０.８３(ｘ－１２)
あとは、これを解くだけです。
全体を１００倍して、
９０ｘ＞１２００＋８３(ｘ－１２)
９０ｘ＞１２００＋８３ｘ－９９６
７ｘ＞２０４
ｘ＞２０４/７
ｘ＞２９＋１/７
よって、３０個以上買えばＢ店のほうが安くなります。
以前、この問題を解説していて、興味深い質問を受けたことがあります。
ｘ個買うのではなく、ｘ個以上買うのだから、式で使う個数はｘ個と決めつけるわけにはいかないのではないかというのです。
(ｘ＋１)個かもしれないし、(ｘ＋２)個かもしれないのに、ｘ個と決めることはできない。
でも、そうすると、左辺・右辺の値が場合によって変わる気がする。
どうやって、不等式が立てられるんですか。
その子は、そう言うのでした。
「ｘ個以上買う」のではなく、「ｘ個買う」のです。
不等式を解いた結果、ｘの範囲が不等式で表れて、何個以上買えばよいかわかるのですよ。
そう説明しても、スッキリした顔はしていませんでした。
その子の論はいわゆる「詭弁」でしょう。
アキレスと亀に代表される、あれですね。
数学よりも哲学の匂いがします。
面白いなあと思いました。
数学が苦手な子の多くは、なぜわからないのかを語る言葉を持ちません。
だから、たまにこういう刺激を受けると、私はわくわくします。
ただ、こうした詭弁に取り付かれてしまった子に正しい解き方を理解してもらうのは、まっさらな状態の子に教えるよりも数倍難しいのですが。
これも昔、大人の方で、就職関係の試験に数学があるのに数学がとても苦手で、過去問を入手したけれど答しか載っていなくて解き方がわからないというご連絡をいただき、１回きりの個別指導をさせていただいたことがあります。
その方は、計算問題ならば自力で解けるのですが、文章題で苦戦されていました。
「８％の食塩水と１４％の食塩水を混ぜて、１２％の食塩水を３００ｇ作ります。８％の食塩水を何ｇ混ぜれば良いですか」
連立方程式で解いても良いのですが、ｘとｙと、２種類も文字が出てくると、その計算方法から練習しないといけなくなります。
ｘだけの１次方程式で解こうと私は判断し、説明を始めました。
「求めたい８％の食塩水をｘｇとします。そうすると、１４％の食塩水は、(３００－ｘ)ｇと表すことができますね」
「えっ、何でですか？」
「えっと・・・・・・」
「３００って、どこから出てきたんですか？」
「ああ。混ぜたら３００ｇと、問題に書いてあるので、それを使っています」
「あっ。だったら、８％の食塩水も、(３００－ｘ)ｇじゃないんですか？」
「あ。そのときは、１４％の食塩水のほうをｘｇとしていますよね。今は、８％の食塩水をｘｇとしています」
「え？」
「どちらも、(３００－ｘ)ｇとしてしまうと、じゃあ、ｘは何なんだという話になりますよね？」
「え？そうですか？」
「うーん・・・・・」
こういう対話をしているとき、私は、内心でワクワクしています。
面白いなあ、と感じています。
子どもの多くは、文章題が苦手です。
立式できません。
でも、何が頭の中で詰まっているのか、教えていてよくわからないことがあります。
「何がわからない？何で困っている？」
と問いかけても、子どもの多くは、黙り込んでしまいます。
思っていることを口にして、バカにされないか。
叱られないか。
そういう迷いもあるかもしれませんが、何よりも、子どもは自分が思っていることを表現する力が足りません。
多くの場合、何をどう考えているか説明する言葉を持っていないのです。
自明の理のように感じられることのどこに誤解の要素があるのだろう。
その方は、計算問題ならば自力で解けるのですが、文章題で苦戦されていました。
「８％の食塩水と１４％の食塩水を混ぜて、１２％の食塩水を３００ｇ作ります。８％の食塩水を何ｇ混ぜれば良いですか」
連立方程式で解いても良いのですが、ｘとｙと、２種類も文字が出てくると、その計算方法から練習しないといけなくなります。
ｘだけの１次方程式で解こうと私は判断し、説明を始めました。
「求めたい８％の食塩水をｘｇとします。そうすると、１４％の食塩水は、(３００－ｘ)ｇと表すことができますね」
「えっ、何でですか？」
「えっと・・・・・・」
「３００って、どこから出てきたんですか？」
「ああ。混ぜたら３００ｇと、問題に書いてあるので、それを使っています」
「あっ。だったら、８％の食塩水も、(３００－ｘ)ｇじゃないんですか？」
「あ。そのときは、１４％の食塩水のほうをｘｇとしていますよね。今は、８％の食塩水をｘｇとしています」
「え？」
「どちらも、(３００－ｘ)ｇとしてしまうと、じゃあ、ｘは何なんだという話になりますよね？」
「え？そうですか？」
「うーん・・・・・」
こういう対話をしているとき、私は、内心でワクワクしています。
面白いなあ、と感じています。
子どもの多くは、文章題が苦手です。
立式できません。
でも、何が頭の中で詰まっているのか、教えていてよくわからないことがあります。
「何がわからない？何で困っている？」
と問いかけても、子どもの多くは、黙り込んでしまいます。
思っていることを口にして、バカにされないか。
叱られないか。
そういう迷いもあるかもしれませんが、何よりも、子どもは自分が思っていることを表現する力が足りません。
多くの場合、何をどう考えているか説明する言葉を持っていないのです。
自明の理のように感じられることのどこに誤解の要素があるのだろう。
そのことを照らし出してくれるのは本当にありがたいです。
また別の問題で、
「ある商品の３割の値段と書いてありますから、定価×０.３となります」
と説明しますと、
「えっ。３割は、×０.７じゃないんですか」
「あ。それは、３割引きの場合です。今は、ある商品の３割の値段となっていますから、×０.３なんです」
「えっ。３割って、０.７のことじゃないんですか」
「あー・・・・・・」
「ああ、そうか。いつもいつも３割引きって計算しているから、もうそこが頭の中でつながってるんだ」
「ああ、そうかもしれません」
こういう１つ１つの誤解が、本当に面白くて、忘れがたい９０分でした。
私自身が、すごく勉強になったと感じました。
また別の問題で、
「ある商品の３割の値段と書いてありますから、定価×０.３となります」
と説明しますと、
「えっ。３割は、×０.７じゃないんですか」
「あ。それは、３割引きの場合です。今は、ある商品の３割の値段となっていますから、×０.３なんです」
「えっ。３割って、０.７のことじゃないんですか」
「あー・・・・・・」
「ああ、そうか。いつもいつも３割引きって計算しているから、もうそこが頭の中でつながってるんだ」
「ああ、そうかもしれません」
こういう１つ１つの誤解が、本当に面白くて、忘れがたい９０分でした。
私自身が、すごく勉強になったと感じました。
