たまりば

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2018年07月16日

確率の乗法定理。



今回も「場合の数と確率」の続きです。
確率の乗法定理について学習しましょう。

まずは、条件付き確率の公式。
PA(B)=P(A∩B)/P(A)
これの右辺と左辺を入れ替えると、
P(A∩B)/P(A)=PA(B)
両辺にP(A)をかけると、
P(A∩B)=P(A)・PA(B)
これで出来上がり。
これが確率の乗法定理です。

何だか難しそうですが、乗法定理というのは、要するに、確率と確率をかけても良いということです。
例えば、こんな問題。

例題 3本の当たりくじを含む8本のくじがある。このくじをa、bの2人がこの順に1本ずつ引く。ただし、くじはもとにもどさないものとする。このとき、aが外れ、bが当たる確率を求めよ。

8本のうち3本が当たりですから、外れは5本です。
aが外れる確率は、5/8 となります。
その後、bが引きますが、そのとき、くじはもう7本しか残っていません。
そのうち、当たりは3本です。
だから、bが当たる確率は、3/7です。
したがって、aが外れ、bが当たる確率は、
5/8・3/7=15/56
これが答えとなります。
確率×確率で解いていけるということです。
簡単ですね。ヽ(^。^)ノ

では、こんな問題はどうでしょう。

例題 12本のくじの中に当たりくじが3本ある。a、bの2人がこの順番にこのくじを引くとき、bが当たる確率を求めよ。引いたくじは元に戻さないものとする。

これは、場合分けをして求めなければなりません。
すなわち、aが当たりbも当たる場合と、aが外れbが当たる場合とです。
この2つは確率が異なるので、それぞれを求めて最後に足す必要があります。

まず、aが当たる確率は、3/12。
この後、bが当たる確率は、くじは全部で11本、当たりくじは2本ですから、2/11。
したがって、aが当たりbも当たる確率は、3/12×2/11=6/132となります。

次に、aが外れbが当たる場合。
aが外れる確率は、9/12。
その後、くじは全部11本、当たりくじは3本ですから、bが当たる確率は、3/11。
したがって、aが外れbが当たる確率は、9/12×3/11=27/132。

aが当たりbも当たる場合と、aが外れbが当たる場合は、互いに排反ですから、この確率は単純に足すことができます。
よって、bが当たる確率は、6/132+27/132=33/132=3/12=1/4。

ところで、aが当たる確率は、3/12=1/4ですから、aが当たる確率もbが当たる確率も等しいとわかります。

実は、くじに当たる確率は、引く順番と関係なく等しいのです。
先に引いたほうが有利とか、後に引いたほうが有利ということはないのです。
え?本当に?と感じますよね。

ただし、これは少し説明が必要です。
aがくじを引く前の段階では、aが当たる確率も、bが当たる確率も等しいということです。
でも、aがくじを引いてその結果がわかった瞬間から、bの当たる確率は変わってきます。
aが当たった後では、bが当たる確率は低くなりますし、aが外れた後なら、bが当たる確率は高まります。
このときのbが当たる確率こそが、前回学習した「条件付き確率」。
まだaがくじを引いていない最初の段階でbの当たる確率とは違うのですね。

考え方がわかったところで、単純な計算上の工夫を。
確率を最終的に足さなければならないことがわかっている問題では、計算の途中では約分をしないことをお薦めします。
上の問題で言えば、6/132も27/132も約分できますが、その段階では約分しません。
これを、6/132=1/22、27/132=9/44とすぐに約分し、足すときになって、
1/22+9/44=2/44+9/44
と、また通分するのは無駄なことだからです。
上の問題くらいシンプルならば良いのですが、もっと何通りもに場合分けして、それを最終的に足していくことも多いです。
そのいちいちで約分し、最終的に足すときにはまた通分する人がときどきいます。
時間の無駄であるだけでなく、約分の途中、通分の途中で計算ミスを犯すリスクが高まります。

実際には、そう注意しても、約分が癖になっていて、ついやってしまう人がいます。
計算ミスをしやすい人ほど、リスクの高い方法で計算してしまう癖があると、こういうときに感じます。
作業が増えるだけ計算ミスは増えるということを頭の隅において、気づいたときだけでも約分をやめてみてください。
随分計算しやすくなり、また速く計算できるので、びっくりすると思います。
ヽ(^。^)ノ

  


  • Posted by セギ at 13:41Comments(0)算数・数学

    2018年07月12日

    時制に関する問題が苦手な子。中学生の場合。



    初級英語は、be動詞の文、一般動詞の文、名詞の複数形、人称代名詞などを学んだ後、時制の学習に集中していきます。

    現在形・三単現・現在進行形・過去形。
    1つの時制を学ぶたびに、それまでの時制と混ぜて問題が出されますので、その見分けが重要になります。

    現在の習慣や現在の状態を表す文は、現在形で表します。
    文末に書いてある「時」の表現としては、every day とか、on Sundays とか。

    今行っている動作を表すのが、現在進行形。
    文末には now がついていることが多いです。
    前後から判断して、現在行っている動作であるときは、nowがついていなくても現在進行形ということはあります。
    それは他の時制でも同様です。
    文脈判断ということですね。

    過去のことならば、過去形。
    文末に yesterday や、last week など、過去を表す言葉がついていることが多いです。

    以前は、この説明で十分でした。
    もちろん、テスト本番になるとうっかりして、三単現のsをつけ忘れたり、過去形の否定文なのに、動詞にedをつけてしまったりと、ミスはいくらでもあるものですが。

    5年ほど前からでしょうか。
    練習しているときに、何だか思うように定着しないなあ、と感じることがあるのです。
    しかし、何回かやると、正解を出すので、わかっているようでもあります。
    時制ミスをしてしまうのは、ケアレスミスなのだろうと。

    しかし、違いました。
    もっと、根本がわかっていない子がいるのです。
    時間には、「過去」と「現在」と「未来」がある。
    そうした時間軸を意識していない子どもがいるのでした。

    初めて遭遇した子は、中学受験をして私立中学に通っている子でした。
    当然、ある程度の学力はありました。
    数学を教えている限りは、さほど違和感は覚えませんでした。
    お母様の話では、小学生の頃から国語が苦手で、だから英語も苦手なのかもしれないということでした。
    だからといって、何で現在形と現在進行形と過去形でこんなに混乱しているのだろう?
    時制の使い分けの問題では、正答率は5割以下でした。

    「yesterday と書いてあるじゃない。この文は過去形でしょう?」
    秀才に対して、単なるケアレスミスを指摘するような感覚で説明しても、話が通じませんでした。
    「yesterday と書いてあったら、過去形なの?」
    「・・・・」
    この反応は、ちょっとおかしいな?
    見分け方のコツを説明すれば済むようなことでないのかもしれないと感じました。
    「過去の動作や状態を述べている文は過去形にするんですよ」
    「え?」
    「日本語でも、そうでしょう?過去形という言い方はしないけれど、過去の文には~た、~だ、をつけるでしょう?」
    「え?」
    「現在本を読んでいるのなら、『読んでいる』でしょう?過去に読んだのなら『読んだ』でしょう?難しく言うと、過去を表す助動詞『た』『だ』をつけることで、日本語の文は過去形になるんだね」
    「え?」
    「・・・知らなかった?」
    「え?何それ?何それ?」
    「・・・・・・」

    その子が、時間をどのように把握していたのかはわかりません。
    昨日と今日は違う日だということことくらいは勿論わかっていたでしょう。
    ただ、日本語が、過去と現在と未来とを分けて語っているということが意識できなかったのだと思います。
    「現在」のことを言うときと、「過去」のことを言うときとでは、日本語でも表現が変わるということに、気がついていなかったのです。
    無意識に日本語を使っていますから、自分が時制を区別して言い分けていることに自覚がなかったのです。
    だから、英語がやたらに現在進行形だの過去形だのと時制を区別するのが理解できなかったのでしょう。
    時制の区別は日本語でも普通のことだと理解できず、区別する基準がわからなかったようなのです。

    驚愕しました。

    能力的には、特に問題はなく、むしろ優秀な部類の子でした。
    しかし、国語が苦手というのは、既にこういう状態のことなのでした。
    現在のことを言うときと、過去のことを言うときとでは、日本語の表現はこう変わる、英語もそうだ、と改めて説明しなければ理解できない子がいます。

    国語の授業で日本語の文法をやるのが意味わかんない、とそういう子は言います。
    日本語は話せるから文法なんか別にいいのにと思っているようです。
    しかし、彼女たちは、本当に日本語をわかっているのでしょうか?
    日常会話は可能でしょうが、本当に、日本語の仕組みを理解しているのでしょうか?
    口語文法に時間をかけるのは、以前は、文語文法を理解する準備のためという意味あいが大きかったと思います。
    今は、本気で口語文法を教えないとちょっとまずい時代のようです。
    勉強が必要な子ほど、口語文法を毛嫌いするのではありますが。


    言語に対する意識が希薄なのが前提ですが、時間に対する意識が希薄だという問題もあるのかもしれません。
    数年前、『君の名は。』というアニメが評判になりました。
    何回も同じ映画を見に行く若者が多かったようですが、自分の好きなシーンを何度でも見るためという普通の目的の他に、意味がよくわからなかったからもう一度見に行ったというつぶやきをTwitterでいくつか見ました。
    地上波で放送されたときには、「これでやっと意味がわかる」や、「1回で意味のわからない人に向けてネタバレ覚悟で説明すると」といったツイートも目にしました。

    あの映画、1回では意味がわからない子がいるのですね。
    時間のからくりがわからないのでしょうか。
    主人公2人の実際の年齢差が理解できないようなのです。
    それは理解力の問題なのか。
    時間に対する認識が薄いせいなのか・・・・。

    現代の若者が全員アホだという話ではありません。
    少し古くなるけれど『時をかける少女』というアニメは、今も熱くひっそりと現代の若者に支持されています。
    時間のからくりで言えば『君の名は。』よりも『時をかける少女』のほうが難しい。
    何より、あの抒情を感じとるにはセンスが必要だと思います。
    時間に抵触する物語に不可欠な、あの抒情。
    抒情という点では『君の名は。』は、ちょっとダサいかなあ。
    ともあれ、『時をかける少女』を理解し推す若者たちがいる限り、若者との共通言語は存在すると感じます。

    時間ということ。
    過去・現在・未来ということ。
    それぞれの時制に応じて表現は変わるということ。
    時間に対する思いが強ければ、時を表す表現が異なることにも気づくのではないでしょうか。
    それとも、それとこれとは別でしょうか。

    情報伝達という意味でも、それが過去のことなのか現在起きていることなのかを区別して語らなければ、正確な情報は伝わりません。
    時制の区別は、必要なことです。
    テストで点差をつけるために文法の隅をつついているというのとは次元の異なることです。

    時間というものへの意識。
    言葉に対する意識。

    過去と現在と未来とは、日本語でも言い分ける。
    英語も、過去と現在と未来とでは、語り方が異なる。
    それを理解していないのに、識別のためのちょっとしたコツである文末の時の表現を丸暗記しようとして覚えきれず、訳がわからなくなっている子はいないでしょうか。

    あまりにも時制の識別ができない子に対しては、そもそも時制ということが本当に理解できているかを確認したほうがいいかもしれません。
    「こんなの、引っ掛け問題だよ!」
    と認識の甘い発言をする子も含めて。
    引っ掛けでも何でもない。
    時制は、言語のど真ん中の問題です。
    引っ掛けだ、と過小評価するから、いつまでもいつまでも時制ミスがなくならないのかもしれません。

      


  • Posted by セギ at 12:21Comments(0)英語

    2018年07月11日

    条件付き確率。


    本日は「条件付き確率」です。
    教科書やテキストの説明を読むだけだと何だか難しく感じるのが、この「条件付き確率」です。
    例えば、こんな問題です。

    例題 あるコンサートの入場者のうち、40%が高校生で、前売りを買って入場した高校生は全体の35%だった。入場者の中から任意の1人の高校生を選びだしたとき、その人が前売りを買っている確率を求めよ。

    わかりにくいので、まず人数を具体的に設定して考えてみましょう。
    あるコンサートの入場者は100人だったとします。
    入場者の40%が高校生なのですから、その人数は、
    100×0.4=40(人)となります。
    また、前売りを買って入場した高校生の人数は、
    100×0.35=35(人)です。
    つまり、高校生40人のうち、前売りを買った人は35人。
    よって、任意の1人の高校生が前売りを買っている確率は、
    35/40=7/8
    となります。

    高校生を選びだしたときに、分母、すなわち「全体の場合の数」が変わるんです。
    「高校生である」という条件が付いたので、分母が変わります。
    これが「条件付き確率」です。
    そんなに難しくはありません。

    しかし、上のようにいちいち100人に例えて計算するのは煩わしいですね。
    公式を作っておきたいです。

    ここで、「集合」の復習。
    集合の要素の個数の表し方は、nを用いるのでした。
    ある有限集合Aの要素の個数は、n(A)と表します。
    上の例で言えば、全体集合の個数は、n(U)=100。
    高校生の集合をAとすると個数は、n(A)=40。
    前売りを買っている人の集合をBとすると、その個数は、n(B)。
    高校生で前売りを買っている人の集合の個数は、n(A∩B)=35。
    この条件付き確率は、n(A∩B)/n(A)=35/40 となります。

    ところで、分数の性質として、分母・分子を同じ数で割っても、値は変わりません。
    分子を全体集合の個数n(U)で割ると、その式は、
    n(A∩B)/n(U) となり、これはA∩Bの確率を表す式ですね。
    だから、n(A∩B)/n(u)=P(A∩B)となります。
    確率はPで表すのでしたね。
    n(A)を全体集合の個数n(U)で割ると、その式は、
    n(A)/n(U)=P(A)となり、これは、Aの確率。
    よって、条件付き確率は、P(A∩B)/P(A)で求めることができます。
    本来、個数で処理するはずのところを確率で代用できるのです。
    これが条件付き確率の公式です。
    PA(B)=P(A∩B)/P(A) と表記します。
    PA(B)のAという文字は、本当はもっと小さく、Pの下半分のサイズで書きます。

    この公式を利用すると、上の例題は、
    高校生である確率、P(A)=0.4
    前売りを買った高校生である確率、P(A∩B)=0.35
    よって、この条件付き確率は、
    PA(B)=0.35/0.4=35/40=7/8
    公式で簡単に求めることができます。

    さて、この条件付き確率は、この形の公式よりも、これを変形したもののほうが使い途があります。
    PA(B)=P(A∩B)/P(A)
    両辺をひっくり返すと、
    P(A∩B)/P(A)=PA(B)
    両辺にP(A)をかけると、
    P(A∩B)=P(A)・PA(B)
    このように変形した公式を「確率の乗法定理」といいます。
    大変使いやすい定理です。

    例題 黒玉が4個、白玉が7個入っている袋がある。この袋から玉を元に戻さずに1個ずつ2回取り出すとき、2個とも白玉である確率を求めよ。

    1回目に白玉が出るという事象をA。
    2回目に白玉が出るという事象をBとします。
    1回目に白玉が出る確率は、全部で11個の玉のうち、白玉が7個ですから、
    P(A)=7/11 となります。
    次に、2回目も白玉が出るのは、1回目に白玉が出ているという条件があっての確率、すなわち条件付き確率PA(B)となります。
    1回目に玉を1個取り出していますから、袋の中の全体の玉の数は10個。
    そのうち白玉は、1つ減っていますから、6個。
    したがって、PA(B)=6/10。
    よって、2個とも白玉である確率は、
    P(A∩B)=P(A)・PA(B)=7/11・6/10=21/55
    となります。
    PA(B)といった記号が難しそうに見えるだけで、実感としては何も問題なく、使いやすい公式です。
    確率×確率で計算していけると、今までよりもシンプルに解いていける問題が増えてきます。

      


  • Posted by セギ at 12:53Comments(0)算数・数学

    2018年07月09日

    7月21日(土)、大人のための数学教室を開きます。



    7月7日(土)の大人のための数学教室は、出席者0人のため、延期となりました。
    次回は、7月21日(土)に開催いたします。

    さて、授業が進みませんでしたので、今回も数学に関するちょっとした雑感などを。
    いつも自転車で出勤しているのですが、夕方に教室に向かうとき、駅方向からかなりのスピードで走り抜ける自転車に遭遇することがあります。
    チャイルドシートをつけた電動自転車が多いです。
    乗っているのは勿論、子育て世代のお母さんたち。
    夕方は1分でも貴重。
    子どもを保育園にお迎えに行き、買い物をして、夕飯を作ってと、夕方は忙しい。
    頑張って。
    心の中で応援するのですが、ここで疑問が1つ。
    お母さんたちの自転車は、なぜか右側通行をしていることが多いのです。
    もともとちょっと大きめな上にチャイルドシートでさらにかさばっている電動自転車がフルスピードで右側通行しています。

    現行の交通法規では、自転車は左側通行です。
    わざわざ子どもを乗せて衝突の危険のある逆走を故意に行うとは考えにくいので、おそらくそれを知らないのでしょう。
    歩行者の感覚で右側を走ってしまうのだと思います。
    もしかしたら、昔、自転車も右側通行だと教わった世代なのかもしれません。
    育った地域によっては右側通行が推奨されていた可能性があります。

    知らないのだから仕方ない。
    しかし、ここで1つ疑問に思うのですが、最近、道路には、自転車レーンが表示されているところがあります。
    アスファルト道路に白く自転車に乗っている人の姿が描かれ、進行方向も示されています。
    明らかに左側通行を示しています。
    それを見たときに、違和感を覚えないのでしょうか。
    常に右側通行で走っているので、いつも逆さまに見ているから、それが自転車に乗っている人を示すマークであることに気づかないのでしょうか。
    道路に描かれたマークなど目に入らないほど忙しい。
    そういうことなのでしょうか。
    また、左側を走ってくる、すなわち自分と正面衝突する可能性の高い自転車のほうが多いことには気づかないのでしょうか。
    相手のほうが間違っていると、その都度思っているのでしょうか。
    「自転車なのに左側通行する人がいて迷惑だわ」
    本人はむしろそのように感じているのでしょうか。

    これ、実は本当にそのように感じるらしいです。
    これを「確証バイアス」と呼ぶとのことです。
    自分が正しいと思っていることを証明する情報は目に入ってくるが、それを反証する情報は目に入らない。
    意識してのことではなく、本当に目に入らず、無視するそうなのです。
    道路に記された自転車マークは目に入らない。
    実際には左側通行をする自転車のほうが多いことにも気づかない。
    自分と同じように右側通行をするママさん自転車のことは目に入る。
    やはり私たちは正しいのだと確信する。
    そういうことのようです。

    現実問題としては、右側通行よりも「自転車スマホ」のほうが怖いです。
    さらに、夜の「無灯自転車」が十字路をすっと横切っていくときの恐怖といったらありません。
    1秒前まで見えなかった自転車が目の前を横切っていくのですから。
    そういうのと比べると、右側通行自転車は、まだましです。
    だから、責めているわけではなく、ただ不思議なのです。
    自分が間違っていても、間違っていると気づかないことがある。
    それは、自分自身の課題かもしれません。
    恐ろしい。

    数学の授業をしていて、計算ミスをしている生徒に、
    「そこ、間違っているんじゃない?」
    と柔らかく問いかけても、
    「間違ってません!」
    と即答する子が、かつていました。
    その子に、間違っていることを納得させるのには、他の子よりも時間がかかりました。
    計算ミスの箇所を指さしても、なかなかピンとこない様子でした。
    正しい答えを私が言ってもまだ「え?」と疑い深い顔をし、そこでようやく考え始め、1分ほども考えて、ようやく気づくのでした。

    滅多にミスをしない子なら、そのように自信家なのもわからなくはないのです。
    しかし、その子は、むしろ普通よりもミスが多く、計算ミスの他にも、毎週のように何かしら忘れ物をしてくるので、授業がスケジュール通りにいかないこともある子でした。
    計算ミスが多いこと。
    忘れ物が多いこと。
    そうしたことを自覚していてもおかしくないのですが、本人は全く認めず、それを指摘するときょとんとした顔をします。
    ありもしないことを不当に指摘された、と感じるようなのです。
    単にすっとぼけているだけなのか?
    本当は気づいているのだが、認めたくなくて、知らない顔をしているのか?

    これがどうも、本当に気づいていないようなのでした。
    計算ミスが多いことも。
    忘れ物が多いことも。
    そして、自覚がないので対策も立てませんから、ミスが減ることもないのでした。

    これも確証バイアスの一種なのかもしれません。
    自分がミスした事実は意識しないのです。
    ミスをしてもすぐに忘れます。
    一方、他人のミスは目につきます。
    他人はミスが多いなあと感じる。
    他人と比べれば自分はそんなにミスをするほうではない。
    本当にそう思っているようでした。

    しかし、それは事実とは異なります。
    学校で、家庭で、それを指摘されることはあるのでしょう。
    自分の思う真実と、複数の他人が指摘する事実とが明らかに異なるのです。
    信念が脅かされます。
    「間違ってません!」
    という叩き返すような断定は、どうもそういうところから発していたようです。

    計算ミスを防ぐには、計算ミスをしやすい事実を認め、どこで計算ミスをしやすいかを自覚し、対策しなければなりません。
    符号ミスをする。
    0と6をいい加減に書いて見間違う。
    かけ算やわり算をまっすぐに書いていくことができず、桁がズレる。
    特定の九九を間違える。
    書き間違う。
    無理な暗算をする。
    そうした、自分がミスをする傾向と原因を把握し、意識し、そこに差し掛かったらスピードを落として慎重に事を運び、また、そこを重点的に見直すことが必要となります。
    1度はミスをしても、2度と同じミスをしない。
    自分が何をミスしたかを記憶していることが、それを助けます。
    そうやって慎重にやっていても、睡眠不足だったり、疲れがたまっていたり、他に気になることがあって精神的に安定していなかったりすると、ミスは出ます。
    人はミスをするものです。
    それすらも認められない間は、ミスは減りません。

    「間違ってません!」
    と断言する子は、もう高校生でしたので、冷静な会話が可能でした。
    定期テストの答案を見た後、改めて、私は問いかけました。
    「あなたは普通よりも計算ミスが多いし忘れ物が多いと私は思う。あなたはどう思う?」
    その子は、顔を歪めて否定しようとしましたが、その後、黙ってしまいました。
    「計算ミスが多いことを自覚しないと、その対策もできないよ」
    「そんなことを認めたら・・・・」
    「うん?認めたらどうなるの・・・・?」
    返事はありませんでした。
    でも、私の指摘はそのとき、その子に届いたのだと思います。
    認めることはできないけれど、その事実が自分の外側に存在することは自覚したのだと思います。
    それ以降、計算ミスを指摘すると、静かに見直すようになりました。
    忘れ物は目に見えて減りました。



    次回の数学教室のお知らせです。

    ◎日時  7月21日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数Ⅱ「図形と方程式」を続けます。p.44例題5の解説から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかLINEに、ご予約をお願いいたします。




      


  • Posted by セギ at 14:08Comments(0)大人のための講座

    2018年07月06日

    人称代名詞はなぜ覚えにくいのか。


    英語の人称代名詞とは、I  my  me  mine というお馴染みのもののことです。
    厳密に言えば、四番目の形mineは、所有代名詞と呼ばれるもので、人称代名詞とは分けて取り扱うのですが、初学者にとっては正直そんなのどうでもいい。
    英語を学び始めて半年以内には、この人称代名詞の学習が始まります。
    そして、英語学習の最初のつまずきがこの人称代名詞である子は多いです。

    集団指導塾で中学生に英語を教えていたときは、
    「これは暗記しよう。テストに出るよ」
    と言ったところで、暗記してくるのは一部の秀才だけですから、授業時間内で暗記をしました。
    黒板に人称代名詞の一覧表を描き、皆で一度唱和します。
    次に「I」だけ消して、また全員で唱和します。
    次に「my」を消して、また全員で唱和します。
    これを延々と続けて、最後のtheirsが消える頃には、完全に暗唱している子が大半でした。

    しかし、それだけではすぐに忘れてしまいますので、次の授業でも、同じことを繰り返します。
    一度に「I  my」まで消してしまうなど、消すスピードは速くなります。

    その次の授業では、「I  my  me  mine」の全てを1度に消します。
    それでも、大半の子は、暗唱できました。
    そうして、順番通りの暗唱はできるようなっていきます。
    暗記ものが苦手な子の中には、暗記のやり方を知らないだけの子もいます。
    こうした授業は、ものを覚えるというのはこういうふうにやるのだよというデモンストレーションにもなり、賢い子は、同じやり方を他の科目でも活用し、暗記が得意になっていきました。

    通常、それで暗記は大丈夫なのですが、このペースについていくことのできない子もいました。
    多くの子は、機会を作って無理やり覚えさせれば覚えます。
    しかし、他の子と同じペースでは覚えられない子も存在しました。
    途中からは口を開いて何か言っているふりでごまかしていました。
    算数の九九を覚えるのにとても苦労する子がいるように、こうした機械的な暗記が苦手で、他の子と同じペースでは覚えられない子は存在します。

    その場で覚えられなかったのなら、家に帰って自分で練習すればカバーできます。
    しかし、そうした子の多くは、学校で英語学習を始める頃には、もう勉強に対して諦めの気持ちが生まれています。
    やってもどうせできないと思うのか、努力しません。
    「自分はもの覚えが悪いから、他人の倍の努力をしてそれを補う」
    そういう気持ちに本人がなっていれば大丈夫なのですが、思春期の自我でこの境地に至るのは難しいのかもしれません。
    そんなことを認められる人は、強靭な精神の持ち主で、実は自分に自信のある人なのでしょう。
    努力してきた自分に自信があるから、そういうことを認められるのだと思います。
    普通は、覚えられない自分を認められず、他人の倍の努力でそれを補うことなどできず、諦めてしまいます。

    小学校の高学年から中学生のあたりですと、反抗期に入っている子もいて、これも学習の障壁になることがあります。
    どうせ暗記しなければならないものなら皆と一緒にちゃちゃっと覚えられればラッキーなはずです。
    しかし、そう考えて積極的に暗唱に参加するのは、もう精神的に成長している子たちです。
    反抗期真っ盛りで、機会があれば周囲の大人全てに反抗してしまう子は、言われた通りに大きな声で暗唱するなど幼稚なことに思うのか、暗唱に参加しないことがあります。

    つまらない反抗心から暗記の機会を逸し、中3になっても高校生になっても人称代名詞が今一つわからない、何となく苦手という子。
    そうした子に個別指導で何人か遭遇しました。
    能力的に暗記が難しいタイプではありませんでした。
    私と出会ったときにはもう成長していましたので、
    「アホらしい。覚えるべきことは、覚えなければどうしようもないよ。ほら、やるよ」
    とホワイトボードに一覧表を書いて、暗唱しながら1つずつ消す作業をすると、そのときにはよく覚えてくれました。
    いつになってもいいから、どうしても覚えておかなければならないことは曖昧にせずに覚えるしかありません。
    算数の九九も。
    人称代名詞一覧表も。

    個別指導の場合は、他の人と比べてもの覚えがいいとか悪いとか、授業についていけないとか、そういうことはありません。
    本人のペースで、何度でも覚えるまで練習できます。
    「センセイ、待って。まだ、そこを消さないで」
    「え?マジで?」
    本当に覚えられないんだなあと驚くことは確かにあります。
    he の行にさしかかったあたりから、頭を抱えてひどく苦しそうな子もいます。
    しかし、最終的に人称代名詞を覚えきれずに終わってしまう子はいません。

    主格 所有格 目的格 所有代名詞
    I      my       me      mine
    you  your     you     yours
    he    his       him     his
    she  her       her      hers
    it     its        it          -

    we   our       us       ours
    you  your     you     your
    they their     them   theirs

    「主格」「所有格」といった文法用語は難しいので、一応用語として教えますが、その下に「~が」の形、「~の」の形、「~を、~に」の形、「~のもの」の形と説明も加えます。
    大抵の子は、それで用法も理解します。

    heの行とsheの行を見比べるとわかるのですが、人称代名詞は規則的に変化するものではないので、丸暗記するしかありません。
    なぜ、heの行は、所有格と所有代名詞が同じ形で、sheの行は、所有格と目的格が同じ形なのか、理由を考えてもわかりません。
    そういうのは、英語学とか言語学的には面白い題材だと思いますが、それを知ったところで暗記の助けになるわけではなさそうです。

    言語は長年の間に変遷を繰り返しています。
    英語のルールは言語としてかなりシンプルなほうですが、それでも不規則な部分はあります。
    しかし、英語が嫌いな子は、そういうところが英語は嫌だと言います。
    英語は難しくて嫌だ、覚えにくくて嫌だと言います。

    いや、日本語のほうが難しいですよ。
    日本語に比べたら、英語はシンプルなほうです。
    そう言っても納得しない子には、こんな話をします。

    日本語では、「1本」「2本」「3本」のそれぞれ、「本」の発音が違うんだけど、何で?
    何で同じ「本」が「ポン」だったり「ホン」だったり「ボン」だったりするの?
    しかも、物を数えるときの単位は、「本」だけじゃないよね?
    「枚」とか「個」とか「人」とか「匹」とか「頭」とか、いちいち数詞が違うのは何で?
    何でそんなものを全部覚えないといけないの?
    日本語、おかしくない?
    難し過ぎない?
    私が外国人なら、日本語は覚えられない。
    無理だよ、こんな言語。

    素直は子は頷き、そうでもない子は、
    「いや、日本語のほうが簡単だね」
    と特に根拠や実例はないままさらに言い募りますが、とりあえず、それを中休みにして、人称代名詞の暗唱に向けてまた努力できたりします。

    もっと言えば、日本人の若い世代には「1本」「2本」「3本」の読み分けができない子が増えてきているとか。
    そのうちに、全て「いちほん」「にほん」「さんほん」でも許容されるようになるのかもしれません。
    そのように使う人が多くなれば、それが正しくなるのが言語です。
    「2桁」を「ふたけた」と読める子どもはとうに少なくなっていますし。
    「にけた」は「みけた」と似ていてまぎらわしいから、「ふたけた」と読むほうが伝わりやすいということがピンとこないのだと思います。
    ついでに言えば、「2乗」は「じじょう」ではなく「にじょう」と読むのが正しいですが、それは若い世代には逆にかなり普及してきているように感じます。
    「2」をわざわざ「じ」と読む感覚が若い子にはないからでしょうか。
    つまりは、若い子にとっては「2」は全て「に」で、他の読み方を覚える気はないのかもしれません。

    話が逸れました。
    さて、人称代名詞の一覧表を覚えるところまでは最終的には誰でも到達できます。
    こうした機械的な暗記よりも、実際の例文に即して覚えていったほうが良いという考えもあるのですが、そういう英語教育を受けた子が、一人称複数のusを知らないということがたまにあります。
    himだけ知らない、theirを知らないといった不可解なことも起こります。
    いったん一覧表で網羅しないと、頭の中を整理できない子はいます。
    まずは機械的な暗記。
    それから一覧表の活用です。

    活用。
    一覧表を暗記しても、実際には人称代名詞を使い分けられない子がいます。
    どうしてなのでしょうか?

    問題 Tom paints pictures very well. I like (  ) picturs.
    空所に入る適切な語は以下のどれか。
    1. her  2.his  3.him  4.hers

    勿論、答えは2ですが、この問題は中学生にとっては案外難しいのか、正答率はそれほど高くありません。
    1としてしまう誤答もありますが、気になるのは、3という誤答が多いこと。

    あるいは、このような問題を間違える子もいます。

    問題 (  ) mother speaks English.
    1.I  2.My  3.Me  4.Mine

    この答えを1と誤答してしまう子がいます。

    こういうミスは、どこから生じているのでしょうか。
    どうも、空所の位置だけで判断しているようなのです。

    文の先頭なら主格。
    文の後半なら目的格。
    そのような位置把握だけで解いているのではないでしょうか?
    herのときは、所有格と目的格が同じなので、目的格のつもりでherを選んだのに所有格として正解した経験などがあると、さらに混乱が起こるようです。
    自分は同じように判断しているのに、正解のときと不正解のときがある。
    問題がおかしいんじゃないか?
    自我の強い主観的な子は、そんなふうに思うこともあるようです。

    文の主語として使うのが主格。「~が」の形。
    動詞の後ろに置くのが目的格。「~に、~を」の形。
    ただし、名詞の前は、所有格。「誰々の」の形。
    動詞の後ろであることよりも、文頭かどうかよりも、これは優先されること。
    そう何度も説明し、この種類の問題を沢山解くと、やっと定着していきます。
    つまりは、中1の段階で、少なくとも「名詞とは何か」「動詞とは何か」くらいは理解していないと、人称代名詞に関する問題は解けないのです。
    文法的な把握ができず、漠然と( )の位置だけから解こうとしても、正答には至らないのです。

    所有格と目的格って何が違うの?
    そう質問する子もいます。
    かなりモヤモヤしてしまう様子です。
    しかし、S・V・O・C・Mという文の要素や各品詞のことを詳細に説明する時期ではありません。
    「誰々の」の形が所有格。
    「誰々を」「誰々に」の形が目的格。
    日本語は、「を」「に」「の」といった助詞をつけることで使い分けるけれど、英語は単語そのものが違う形になるんだね。
    位置だけでなく意味からも考えれば区別できることなので、今はざっくり理解しておこう。

    そう言っても、納得しない子もいます。
    思うに、彼らは、なぜなのかを知りたいのではないのかもしれません。
    英語に腹を立てているのです。
    「誰々に」の形と「誰々の」の形とが異なることが不愉快なのでしょう。
    そんなことをいちいち区別し、覚えなければならないことが不愉快なのだと思います。
    せっかく位置で簡単に見分けてやろうと思ったのに、それではダメだと言われる。
    もっと簡単であるべきなのに。
    英語なんかクソだな。
    こうしたわがままな感覚で問題を解いているため、ある程度は難しくて当然のことをひどく単純な形で把握しようとし、それほど単純ではないとわかると腹を立ててしまいます。

    難しいことを自分は覚えきれないかもしれない。
    そうした不安もその根底にはあるのだと思います。

    英語は日本語よりははるかにシンプル。
    でも、一国の言語なのだから、ある程度複雑であるのは当たり前。
    英語に限らず全てのことはある程度複雑で、その複雑なことを理解していくのが勉強。
    そして、大丈夫、理解できる。
    これは、理解できることだよ。
    英語で挫折している人へは、ものごとをあまりに単純にとらえることへの戒めとともに、そうした励ましが必要なのだと思います。 
      


  • Posted by セギ at 13:28Comments(0)英語

    2018年07月04日

    独立試行の確率。



    今日は「独立試行の確率」です。
    例えば、こんな問題です。

    例題 
    白玉2個、赤玉6個が入った袋がある。この袋から玉を1個取り出して色を調べてから元に戻す。このとき、1回目に赤玉、2回目に白玉が出る確率を求めなさい。

    玉は全部で8個。
    そのうち、赤玉が6個ですから、1回目に赤玉が出る確率は、6/8、すなわち、3/4です。
    白玉は2個ですから、白玉の出る確率は、2/8、すなわち、1/4です。
    玉はその都度袋に戻していますから、この2つの試行は互いに影響しあうことがありません。
    ですから、1回目が赤玉で2回目が白玉になる確率は、3/4・1/4=3/16となります。

    (1回目の確率)×(2回目の確率)で求められることは、このくらい易しい問題だと何の疑問も感じないようなのですが、この先、もっと問題の難度が上がったときに、
    「何でかけ算なんですか?」
    と質問する高校生がいます。
    実は基本がわからなかったのに何となくスルーしていると、応用問題には対応できなくなります。
    わからなくなったら、基本に戻りましょう。

    なぜ確率×確率で計算できるのか?
    今までの確率の求め方と、確率×確率は、実は同じ式になるのです。
    今まで通りのやり方で式を立ててみましょう。
    まずは、全体の場合の数を求めましょう。
    袋の中に玉は8個ですから、1回目と2回目で全体の場合の数は、8×8。
    そのうち、1回目の赤玉は6通り、2回目の白玉は2通りの玉の出方がありますから、6×2。
    よって確率は、6×2 / 8×8 = 3×1 / 4×4 = 3/16
    上の求め方と数字上は同じ式、同じ答えになりますね。
    これを一般化して、文字で表しても、やはり同じ式、同じ答えになるのです。

    さて、次の問題。
    白玉2個、赤玉6個が入った袋から玉を1個取り出し、色を調べて元に戻す試行を繰り返す。3回目に初めて赤玉が出る確率を求めなさい。

    問題の書き方に戸惑う人もいます。
    3回目に初めて赤玉が出るとは、どういうことなのか。
    1回目と2回目は赤玉ではなかったということです。
    それは、つまり1回目と2回目は白玉だったということ。
    この問題は、1回目に白玉、2回目に白玉、3回目に赤玉が出る確率ということです。
    だったら、先ほどの問題と大差ないですね。
    1/4・1/4・3/4=3/64
    答えは、3/64となります。

    式はシンプルなのですが、この問題の難しさは、「3回目に初めて赤玉」という条件の分析の仕方にあるのでしょう。
    これが、白・白・赤の順に玉が出たことだと分析できない高校生は案外多いのです。
    説明されれば、わかる。
    でも、自力では分析できない。
    異口同音にそのように言います。
    では、「3回目に初めて赤玉が出た」とはどのようなことだと感じるのかと問うと、1回目・2回目にどんな玉が出たのかは謎のままのように感じると言うのです。

    これは、読解力と関係のあることかもしれません。
    「変な行間は読まないで。必要なことは文章の中に全部書いてあるから」
    と私は生徒に繰り返し言います。
    「3回目に初めて赤玉」ならば、白・白・赤の順に玉が出ています。
    これは、「行間」ではないのです。
    書いてあることです。
    そのようにしか読み取れない形で書いてあります。

    この場合の「変な行間」とは、例えば、
    「赤玉くんは、出たくなかったんだね。袋の住み心地がいいのかな」
    とか、
    「玉を袋から出しているこの人は、赤玉に出てほしかったんだなあ。赤玉が出るといいことがあるんだね」
    とかいうものです。
    そんなことは、問題文には書いてないです。

    子どもの読書指導をすると、こういう擬人化したもの言いや感情移入は子どもらしくて可愛らしいものですから、つい褒めてしまうことがあります。
    想像力があって素晴らしいというのですね。
    大人に「ウケる」と、子どもは、その方向で良いのだと思ってしまいます。
    しかし、こういう読み取り方は「想像力」というほどのものではありません。
    整合性を気にする必要がないので、あまり頭を使わなくてもこうした読み方は簡単にできますから、こんなことばかりに逃げて、正しい読み取りの姿勢が育たなくなる可能性もあります。
    「赤玉くん」が本当に出たくなくてふんばっていたのなら、前後にそれを示す描写が必ずあります。
    袋から玉を出している人が赤玉を出すことを強く望んでいる場合も同様です。
    この問題文だけからでは、それは読み取れないことです。

    今、数学の問題文でこんなことを書いているから奇妙ですが、小説の読み取りなどでも、自分の勝手な感情移入で書いていないことを読んでしまう生徒はいます。
    勝手な読み取りを「自由な読み取り」「想像力が豊かな読み取り」と褒めてもらえた幼い時代のままなのかもしれません。

    数学の問題があまりにも無機質なのがつらくて、擬人化や感情移入で緩和しているのなら構いません。
    心情的にはどうであれ、この問題文から読み取れることは「白・白・赤の順に玉が出ていること」です。
    それを読み取ることが読解です。

    書いてあることを正確に読み取ること。
    深く読み取ること。
    どの科目の問題文であれ、そのように読んでいけば、正解は見えてきます。


    では、こんな問題はどうでしょう。

    問題
    袋に白玉2個、赤玉6個が入っている。この袋から玉を1個取り出し、色を調べて元に戻す。これを3回繰り返すとき、3回とも同じ色が出る確率を求めなさい。

    3回とも同じ色。
    それは具体的にはどういうことでしょうか?
    白・白・白と連続して玉が出た場合。
    赤・赤・赤と連続して玉が出た場合。
    この2つです。
    このように具体的に分析できれば、式を立てることができます。
    白白白の確率は、1/4・1/4・1/4=1/64。
    赤赤赤の確率は、3/4・3/4・3/4=27/64。
    この2つの事柄は同時には起こりません。
    かぶる部分がありません。
    ですから、確率は単純に足して良いです。
    したがって、求めたい確率は、1/64+27/64=28/64=7/16となります。

    この問題も、説明されればわかるけれど自力では発想できないと生徒に相談されることの多い種類の問題です。
    これも読解力でしょう。
    「3回とも同じ色」と言われたら、それが具体的にどういうことであるかを分析すること。
    字面の表面を追うのではなく、具体的なイメージを持つこと。
    それが読解だと思います。

    数学という科目の好き嫌いとは別の次元で「確率」という単元の得意苦手が大きく分かれる原因の1つは、問題文をどう読解・分析するか、その得手不得手かもしれません。


      


  • Posted by セギ at 12:32Comments(0)算数・数学

    2018年07月02日

    奥高尾、城山北東尾根を登り、景信山ヤゴ沢コースを下りました。2018年7月。


    2018年7月1日(日)、奥高尾を歩いてきました。
    春に、高尾のスタンプラリーの用紙に載っているのを見つけた「城山北東尾根コース」。
    道しるべはないし登山地図には載っていないけれど歩けるコース。
    奥高尾にはそうしたコースがいくつかあり、これもその1つのようです。
    日影沢の徒渉が少し心配だけど、そこさえクリア出来たら、楽しいんじゃないかな。
    晴れの続いた日曜日、歩いてきました。

    いつものようにJR高尾駅北口から小仏行きのバスに乗り、日影下車。9:10。
    登山口で支度をして、まずは日影沢林道を歩きだします。
    電柱「中継支6」を目印に徒渉点を見つけるとあったので、電柱を1本ずつ見ていきました。
    入口からすぐの最初の電柱が中継支1。
    「中継支 小仏6・7」と書いてある電柱を見つけ、その付近をきょろきょろ見回すと、植物関連の掲示の傍に沢に降りていく小径がありました。
    日影沢もこの辺りは幅が狭く、どこからでも渡れる印象ですが、そこは特に石が連続していて、向こう側にも確かに小径は続いているのでした。
    徒渉点は、ここで間違いないようです。
    大雨の直後などはまた様子が違うでしょうが、今日のように晴れの続いた夏の日は、日影沢も水たまりと大差ありません。
    徒渉のために用意してきたトレッキングポールが空しいくらいに楽な徒渉でした。

    そこから、明瞭な登り道が続きました。
    山腹を巻いていく道ですが、道幅はそこそこあり、怖いところや用心が必要なところもありません。
    日影沢林道を歩いていく人の賑やかな話し声がだんだん遠くなります。
    秘密の道を自分だけが歩いているワクワク感と同じくらいの心細さ。
    山腹の道が終わり、道はまっすぐな尾根道となりました。
    道幅はさらに広くなり、これが登山道として地図に載っていないとは、ちょっと信じられないほどの良い道です。
    右手を振り返ると、高速道路。
    スタンプラリーのコース案内には、
    「このコースは道標がないので、地図をコンパスでしっかりと整地して現在位置をポイントポイントで確認して登山しましょう」
    と書いてありましたが、高速道路や他のピークの位置関係から大体の自分の位置がわかるので、持ってきたコンパスは結局一度もザックから出しませんでした。

    登っていくと、ちょっと平らな休憩適地に着きました。
    おそらく446mピークでしょう。9:50。
    ベンチ代わりに丸太が置かれてあり、座って休憩。
    後ろから、3人パーティが追い付いてきました。
    「このコース、もう何度も歩かれているんですか?」
    そう尋ねると、一番後ろを歩いてきた女性が、頷きました。
    「ええ、もう何度も」
    「この先、まっすぐこの道で合っていますか?」
    「ええ。一本道みたいなもんだから、間違いようがないわよ。昔は、もっと細くて、50cmくらいの道幅がずっと続いていたんだけど、今は歩く人が増えたから、こんなに広い道になったわねえ」
    「そうなんですか。私は今日が初めてで」
    「いいでしょう、この道」
    「はい」

    休んでいると、20人ほどのパーティーが通り過ぎていきました。
    本当に人気があるんだなあ、この道。
    「こんなに人がいるのは、でも、珍しいわね」
    先程の人が、集団を見送ってつぶやきました。
    自分だけの秘密の道がだんだんと秘密でなくなっていくのを、歩く度に感じて来た人なのかもしれません。

    別れを告げて、先に進みました。
    先程の集団に追いつきましたが、登りがなかなかきついので、ゆっくりのペースを楽しみつつ少し後ろをついていきました。
    集団が休憩に入ったので、そこで追い抜くと、その先は傾斜も緩くなりました。
    620mピークの周辺に来たのでしょう。
    この辺り、地図上では等高線の幅が広く、緩やかな尾根道となっています。
    それにしても、暑い。
    木陰なのに、汗だくです。

    「東京農工大同窓会記念林 平成25年」という看板の立っている気持ちのよい木陰で休憩。10:35。
    ベンチ代わりの丸太が設置されていました。
    ここが620mピークでしょうか?

    樹木の中の緩い道を歩いていきます。
    やがて、道は下りに。
    いったん高度を上げて、また下げることになるので、こちらの道のほうがそういう意味で日影沢林道よりもきついです。
    下ったらすぐに登り返し。
    鉄塔が見えてきて、そろそろ林道と合流かと期待したら、そこはまだ途中でした。
    なお林の中を行きます。
    夏草が茂っているせいで道も細くなってきました。
    草いきれの中、汗だくで歩いていくと、ポンと林道に出ました。
    日影沢林道のほぼ終点です。
    小仏城山のまき道がもう見えている地点での合流でした。10:45。

    少し休憩し、そこから舗装道路を上がっていくと、小仏城山。10:55。
    いやあ、暑かった。
    すぐに茶店のかき氷の行列に並びました。
    ここのかき氷はとても大きいので、作るのにもそれなりに時間がかかります。
    行列6番目でしたが、1人で2つ注文する人も多いので、待つこと15分。
    ようやく、お目当てのかき氷を手にしました。400円。
    お盆を手にそろそろとベンチに移動し、こぼさないようにかき氷を堪能。
    高尾から登ってくる人がちょうど城山にさしかかる時間帯ですので、ベンチは満員の盛況でした。

    かき氷で身体が冷えた後は、暑い中でもおにぎりが喉を通りました。
    夏空で空全体がモヤッとして富士山は見えませんが、丹沢の山々が青い姿を見せています。
    夏草の濃い緑と青い山とのコントラストがきれいです。
    相模湖側の広場に下りていくと、紫陽花が満開でした。
    こちらは人が少なく、芝生で昼寝をしている人もいます。
    私ものんびり花の写真を撮影。

    さて、この暑さでは行動不能の恐れがあるので、今日はもう帰ろうかなあ。
    そう思って、よく整備された木段を一丁平付近まで下りていったのですが、景信山から下山しようかなと思いつき、来た道を戻りました。
    まき道で戻ったので、木段登りのきつさはなく、涼しく快適でした。
    今来た小仏城山は当然巻きました。
    途中で、城山からの尾根道と合流。
    陣馬山方向から歩いてくるときは、ここから城山へのきつい登りの始まる木段の分岐のところです。
    広い尾根道を行くと、すぐに相模湖のよく見晴らせるポイントに。
    そこから下っていくと、小仏峠。12:20。
    また少し休憩し、そこからは登りです。
    小仏峠から景信山まで、いつもと逆に歩いてみるとかなり登るなあと実感しながら、S字の登りなどを越え、景信山直下の四辻へ。12:50。

    尾根道と交差して、ここは2本の道が交わっています。
    小仏峠方向を背にして左前方に伸びる細い道は、景信山を巻いて陣馬山へ至る道。
    右側の道が、ヤゴ沢へと下っていく道です。
    今まで、ここを2回登ったことはありますが、下るのは初めてです。

    まずは、九十九折の道で急斜面を降りていきました。
    城山北東尾根の道と比べるとこちらの道のほうが少し細いですが、そんなに不安を感じるほどの細さではありません。
    でも、小石まじりの砂が道の表面をおおっているので、ちょっと滑りやすそうだなという感じはあり、用心して降りていきました。
    ジクザグ道は急斜面を一気に谷へと降りていく道です。
    登るときは、こんなに登ったんだなあ。
    下るときのほうがこの道の長さを実感するというのも変なのですが。
    ジグザグがようやく終わり、石などの多い道をさらに下っていくと、水場。13:15。
    水量は豊富でした。
    斜面に設置されたパイプから尽きることなく水が出ています。
    コップも置いてあります。
    顔を洗い、首から提げていたタオルを濡らして絞りました。
    汗をふいても顔が塩気でヒリヒリするようでしたから、このリフレッシュは助かりました。
    水場には丸太も置いてあり、座って休憩。
    はあ、涼しい。
    ヤゴ沢コースのほうは、城山北東尾根よりも道は悪いけれど、やはり涼しいのでこの季節向きです。
    道は徐々に平らになり、広くなっていき、沢音を楽しみながら歩いていくと、登山口。13:25。
    ここからすぐに舗装道路が始まります。
    舗装道路を下っていくと、左手に景信山登山口。
    こちらは、登山地図に赤線で示されている登山道の登山口です。
    ちょうど降りてきている人もいました。
    炎天下の舗装道路の下りは気分的に長く感じます。
    暑いなあ。
    ようやくバス停が見えてきました。
    バス停近くには、車を使ったビールの移動売店がお店を開いていました。
    生ビール500円。
    こんな汗だくでビールを飲んでもと我慢して、バス停へ。13:45。
    小仏バス停のバスは、毎時10分と40分。
    バスは行ったばかりでした。
    でも、1つしかないトイレが空いていたので良かったかもしれません。
    ザックをバス停のところに置き、日影で涼みながら撮った写真など確認していると、14時にはバスがやってきて、冷房の効いたバスの中で座ることができました。
      


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