たまりば

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2016年04月22日

場合の数と確率 グループ分けの問題




「場合の数と確率」という単元は、公立中学では基本的には全て書きだせる範囲の問題が出題されます。
しかし、国公立・私立中学では、順列・組合せの公式を学習しますので、かなり発展的な問題も演習することになります。
それは、高校数学の「場合の数と確率」の基本問題のレベルと重なります。
今回は、そのような問題について見てみましょう。

例題1
12人の生徒がいます。A君とB君は必ず別のグループにするとして、5人と7人のグループに分ける方法は何通りありますか。

この問題は、まず5人のグループだけに着目しましょう。
両方のことを一度に考えるとむしろ混乱します。
5人のグループに入らなかった人たちが自動的に7人のグループに入ります。

5人のグループにA君が入ると固定して考えてみます。
残りの4人をA君B君を除く10人から選びます。
10人から4人を選ぶ組合せです。
公式通りに、
10×9×8×7/4×3×2×1=210
210通り。
しかし、5人グループにB君が入る場合もあります。
A君が入るところ全てにB君が入る場合があるのですから、
210×2=420
420通りが答えとなります。

ここで、5人グループを選んだ後、さらに7人グループを選ばなければならないと勘違いをしてしまうことがあります。
5人グループを選べば、そこに選ばれなかった人たちが自動的に7人グループに入る。
そのことがピンとこないようなのです。
選ばないのだから、選んだことにならない。
そういう不可解な論争を指導中にしなければならないことが今までもありました。
そういう場合、選ばなかった残る7人から7人グループのメンバーを「選ぶ」のだと説明すると意外とすんなり理解を得られることがありました。
7人から7人を選ぶ方法は1通りです。
420×1=420
×1をしても結果は変わらないから、以後はやらなくて良いですよね?
その説明ならわかるという子は案外多いです。

例題2
12人の生徒がいます。A君B君は必ず別のグループに入るとして、6人ずつの2つのグループに分ける方法は何通りありますか。

一見、例題1と同じようです。
まず、1つ目の6人のグループにA君が入ると固定して考えます。
A君B君を除いた10人からそのグループに入る5人を選びます。
組合せの公式を用いて、
10×9×8×7×6/5×4×3×2×1=252
それを2倍して・・・・
ストップ、ストップ!
この問題、2倍する必要はないのです。
どちらも6人グループなので、A君をB君に入れ替えたものは252通りの中に既に出てきています。
正解は、252通りです。

この話も理解しづらいことのようです。
何で6人6人になると急にそんなことになるの?

こういうときは人数を減らして、実際に全ての場合を書きだして確認するのが近道です。
6人の生徒を3人3人のグループに分けることにしましょう。
A、B、C、D、E、Fの6人の生徒で、A君、B君は必ず別のグループに入るとします。
(A、C、D)と(B、E、F)
(A、C、E)と(B、D、F)
(A、C、F)と(B、D、E)
(A、D、E)と(B、C、F)
(A、D、F)と(B、C、E)
(A、E、F)と(B、C、D)
分け方は、以上の6通り。
AをBに置き換えた場合を考えても、例えば、
(B、C、D)という分け方は、上の分け方の一番下に同じものがありますね。
人数が同じグループに分ける場合、2つのグループの見分けはつきませんから、全ての分け方が後半のグループに既に出てきているのです。
公式による計算では、これは、4人から2人を選ぶ組合せとなりますから、
4×3/2×1=6
やはり、2倍しなくてもこれが答えとなることがわかります。

例題3
12人の生徒がいます。A君B君を班長として「鶴の間」「亀の間」に6人ずつ宿泊します。泊まり方は何通りありますか。

人数は6人6人。
だったら、例題2と同じ252通り?
いいえ。
これは、252×2=504 で、504通りです。
この問題は、「鶴の間」にA君が泊まる場合とB君が泊まる場合は別の泊まり方になるからです。
同じ6人ずつでも、そのグループに名称がついていて区別がつく場合は、2倍する必要が生じます。

グループ分けに関する問題は、大きく分けてこの3通り。
問題のパターンが見分けられるようになると、以後は簡単ですね。
  


  • Posted by セギ at 13:54Comments(0)算数・数学

    2016年04月14日

    南高尾山稜を歩いてきました。2016年4月。


    2016年4月10日(日)、南高尾山稜を歩いてきました。
    ホリデー快速3号の次にくるいつもの中央特快に乗り、終点高尾駅下車。
    小仏行きのバスに乗りました。
    バス停は大混雑。
    臨時バスも出て合計3台で出発。
    高尾は春のハイキングシーズンを迎えました。
    日影バス停下車。支度をして出発。9:20。
    まずは春の花を探しに、日影沢林道を歩きました。
    自然観察会らしいグループが前方に。
    先生らしき人が何やら説明しています。
    何の説明をしているのかな。
    うーん、気になる。
    有料のものかもしれないので、ずっと付いていくのは良くないけれど。
    通り過ぎるときに、
    「フタバアオイの花が咲いていますよ」
    という説明が聞こえてきて、足が止まってしまいました。
    えー、どこにどこに?


    横からささっと撮影させていただきました。
    邪魔しちゃいけないと思い、慌てて撮影したのでブレてしまいましたが、あー、本当だ、葉の下に地味な花が咲いていました。

    良いものを見せていただきました。
    こういう地味な花は、普段は気づかずに通り過ぎてしまいます。


    これは、タカオスミレかな。
    スミレは種類が多くて難しい。
    タカオスミレは、高尾で発見されたヒカゲスミレの1種です。
    タカオスミレの開花時期はもう少し後だった気もするので、うーん、どうなのかな。


    ニリンソウは、2輪並んで咲いているのでよくわかります。
    花びらの裏側がほんのり桃色の可憐な花。
    日影沢に咲いているのはよく知られていますが、予備知識なく歩いていた山道でこの群落を見つけるとテンションが上がります。

    立ち止まっては撮影し、時間を取られながら、小仏城山到着。10:40。
    城山山頂の桜はちょうど見ごろでした。
    2軒の茶店も大賑わいです。
    ベンチでちょっと休憩し、さて再び出発。
    まずは高尾山方向に少し戻ります。
    木段を少し下りていった最初の分岐が、南高尾山稜への分岐です。
    木段はすぐに終わり、そこからは急な下りになりますが、来る度に整備が進んでいて、すべり止めの杭が埋められてかなり歩きやすくなっています。
    日当たりの良い急坂を降りていくと、次は日当たりの悪い比較的平坦な植林帯。
    さらにまた急な下りとなり、斜面を巻く細い道、ジグザグな下り道と降りていくと、細い沢に出て、その先が甲州街道。
    いったん歩道に降りて、そこから横断歩道を登っていくとそのまま南高尾山稜の山道に入ります。
    山道らしい細い上り坂。
    でも、道が明るいので苦になりません。
    大洞山。12:00。
    眺望はありませんが、ベンチやテーブルかあるので、ここはいつも昼食を取る人々でにぎわっています。
    でも、今回は珍しく人がいませんでした。
    ベンチに座ってちょっと休憩。

    その先も小さく登ったり下ったりを繰り返し、その先、まき道に入ると道は歩きやすくなります。
    樹間から湖も見えてきました。

    見晴台。12:35。
    横一列に並んだベンチはほぼ埋まっていましたが、運良く空いていた1つに座って昼食休憩。
    そこで撮った写真が一番上の1枚です。
    春霞で遠望はきかないと思っていましたが、肉眼では真っ白な富士山がぼんやりと見えていました。
    津久井湖と桜と丹沢の山々。
    ぽかぽか陽気で、眠くなってくるようなのどかな春の眺めでした。
    おにぎりの昼食の他、チョコレートにコーヒーもゆっくり楽しんで、さて出発。

    ゆるく登り基調の歩きやすい道がさらに続きます。
    どんどん歩いて三沢峠。13:35。
    放射状の分岐道で、ちょっとわかりづらいところですが、道しるべは明瞭です。
    「草戸山」の道しるべの通りに上り坂を選ぶと道は広くなり、山道ではなく遊歩道となります。
    段差の大きい階段が続きます。
    すぐ横に階段ではない道もありますが、物凄く滑りそうな急な下りです。


    最初の休憩所。
    木々が伐採されて、城山湖が見えるようになっていました。
    眺望のために樹木を伐採することに、私は必ずしも賛成しないのですが、高尾は観光地。
    これはある程度仕方ないのかなあ。

    草戸山。14:05。
    ここはあまり眺望はよくありません。
    さて、そこから道しるべの通りに左折。
    急な下りを行きます。
    下り始めの最初の印象は暗いですが、すぐに道は明るくなり、少し登ると草戸峠。

    草戸峠の眺望は良好。
    ベンチもたくさん並んでいます。
    高尾主脈の斜面に桜が咲いて、昔話の挿絵のような眺めでした。

    のんびり歩いて、四辻の分岐から高尾山口へ。
    高尾山口。15:30。
    沢沿いの桜もちょうど見頃でした。
      


  • Posted by セギ at 13:01Comments(0)

    2016年04月04日

    多摩湖自転車道でお花見してきました。2016年4月。


    2016年4月3日(日)、春期講習も終わり、久しぶりの休日ですが曇り空。
    山の桜はまだ見ごろには早いので、下界でお花見をすることにしました。
    自転車に乗って、井の頭公園へ。
    桜満開の日曜日とあって物凄い人混みでした。
    池の周りの遊歩道は人で埋まって渋滞気味。
    そのすぐ脇でブルーシートを敷いて座り込み、酒盛りする人々。
    そんな中、頑張って池に垂れかかる桜を撮影。
    上の写真がそれです。

    山野草を植えてある一画は人も少なく、見ごたえがありました。


    これは、クサノオウ。
    他にムラサキケマンやイチリンソウも。
    山に行かなくても見ることができるのは嬉しいですね。
    しかし、これだけでは何だか物足りない。
    もう1か所どこかに行きたいなあ。
    人がそんなに多くないところがいいなあ。

    そこで思いついたのが多摩湖自転車道。
    あそこの並木は桜じゃなかったかなあ。

    とりあえず、まずは武蔵境駅へ。


    電車庫通りの桜も満開でした。

    武蔵境駅の北、関前五丁目の交差点のところに自転車道の入口があります。
    五年ぶりで地図も持っていなかったので少し迷いましたが、何とか入口を発見。
    入口から入ってしまえば、あとはひたすらまっすぐな自転車道なので、迷う心配はありません。


    思った通り、桜並木が延々と続いていました。
    満開の桜の散歩道。
    ウオーキングの人、ジョギングの人、自転車の人が思い思いのペースで進みながら桜を眺めています。
    自転車も、高そうなロードサイクルの人もいますがママチャリの人も多いです。
    満開の桜、桜。
    ところどころにあるベンチやテーブルでお花見している人も。


    この先を左折すると小金井公園だったなあ。
    あそこも桜の名所では?
    記憶がどんどんよみがえってきます。
    江戸東京たてもの園も好きなんだけど、今日はとりあえず直進。

    自転車道は頻繁に公道・私道と交差しますが、それ以外は車のことを気にしなくて良いので、ストレスなく走れます。
    西武新宿線小平駅前でいったん途切れますが、直進していくと自転車道は復活します。

    桜並木はどこまでもどこまでも続きます。
    西武多摩湖線と並行して、快適にどんどん走りました。
    狭山自然公園をまわり込む登り坂。
    ここはちょっと苦しいポイント。


    あー、ついに多摩湖まで来てしまいました。
    午後3時を過ぎたので、そろそろ帰ります。
    勿論、来た道を帰るので、再び桜並木を堪能。
    たっぷりと桜を眺め、満足のお花見でした。
      


  • Posted by セギ at 12:48Comments(0)