たまりば

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2016年04月24日

5月7日(土)、大人のための数学教室を開きます。


今日は、年に一度の外秩父七峰縦走大会の日。
しかし、私、実は、先月高尾にハナネコノメを見に行ったときに雪まじりの泥道で足をくじいてしまいました。
もう普段の生活に支障はないのですが、先日南高尾を歩いたときもお昼くらいで足が痛み始め、後半はいつもなら1時間で歩けるところを1時間半かかってしまいました。
七峰縦走42kmを時間内で歩くのは無理と判断し、今年は棄権いたしました。
残念です。

さて、昨日、4月23日(土)、大人のための数学教室を開きました。
ご参加は2名様。
前回の授業について何か質問はありますかと確認しましたところ、2回ほど前の条件付き確率の基本的な定義にまつわる質問を受けました。
あれ?何でそんな前のところ?前回の中の応用問題の解き方ではなく?
と思ったらその方はこの2回連続して欠席されていたのでした。
休んだ方の理解の助けになるようにこのブログを書いていますが、それだけでは根本的なところでモヤモヤしてしまうようです。
条件付き確率とは何か、どうしてその公式で答えが出るのか。
定義や公式が解説される最初の授業に欠席すると、確かに後が苦しいです。

子どもも同じで、今は都立自校作成校に通っている子ですが、小学校5年生の冬にインフルエンザにかかり、学校の算数の「割合」の授業の最初の2回を欠席したため、何が何やらわからなくなったのがきっかけで入塾した子もいました。
90分の個別指導1回で回復しましたが、些細なところにつまずきの元はあります。

今回の授業内容は「事後に考えた条件付き確率」です。
基本に戻ってもう一度考えでみましょう。

例題
赤玉5個、白玉2個が入っている袋から1個ずつ続けて2個の玉を取り出した。2個目の玉が白玉であったとき、1個目の玉が白玉である確率を求めよ。

まずは、場合の数を用いて、これを求めてみましょう。
玉の数は合計7個。
それぞれの玉は色は同じでも別の玉と認識しますから、全体の場合の数は7個から2個を取り出す順列となります。
したがって、全体の場合の数は、
7×6=42(通り)
しかし、今回、2個目の玉は白玉であったことが確定しています。
ですから、2個目の玉が白玉である場合は何通りあるのかを考えます。
これは場合分けの必要があります。
すなわち、赤白の順番で出た場合と、白白の順番で出た場合と。
赤白の順に玉が出る場合の数は、
5×2=10(通り)
白白の順に玉が出る場合の数は、
2×1=2(通り)
よって、合計で、10+2=12(通り)であるとわかります。
条件付き確率は、この12通りが全体の場合の数となります。
2個目が白玉であるという条件下で1個目が白玉である確率は?ということだからです。
この12通りのうち、1個目も白玉であったのは、上の計算のように2通りです。
ですから、2個目が白玉であったとき、1個目も白玉であった確率は、2/12=1/6
これが答えとなります。

何も難しくありません。
条件付き確率は、条件がついたことで全体の場合の数が限定されるだけなのです。
ただ、高校数学では、上のように場合の数をいちいち求めたりせず、確率で処理します。
そのためにあるのが公式です。
公式は直観では意味を把握できないかもしれません。
だから、
「わからない、わからない」
となってしまうことがあるようです。

条件付き確率の公式は、
PA(B)=P(A∩B)/P(A)
ただし、今回は、2個目がわかってからさかのぼって考えます。
PB(A)=P(B∩A)/P(B)
と書き換えたほうがわかりやすいでしょう。
これが、事後に考えた条件付き確率の公式です。
1個目の玉が白である事象をA、2個目の玉が白である事象をBとします。

分母であるP(B)は、2個目が白玉である確率。
やはり場合分けして求めます。
赤白の順に玉が出る確率は、
5/7・2/6=10/42
白白の順に玉が出る確率は、
2/7・1/6=2/42
この2つは互いに排反ですから、2個目が白玉である確率は、
10/42+2/42=12/42 となります。

分子であるP(B∩A)は、2個目が白で、かつ1個目も白である場合の確率。
すなわち、白白の順に玉が出る確率ということですから、
2/7・1/6=2/42

よって、
PB(A)=2/42÷12/42=2/12=1/6
これが、答えです。

場合の数を用いて求めたさきほどの数字と見比べてください。
似ていますね。
2が2/42 に。
12が12/42 になっているだけです。
それぞれ、全体の場合の数42が分母としてついているだけです。
確率として式を立てたために、それらが分母についているだけ。
その分母は計算するときに払うことができます。
だから、場合の数÷場合の数で計算しても、確率÷確率で計算しても、結果は変わりません。

確率÷確率 でも、場合の数÷場合の数 と同じ結果が出る。
条件付き確率の公式が示していることは、そういうことです。

ところで、前のブログでもそこを詳しく書いたつもりだったのですが、計算式をズラズラ書いてあるところは読みにくいのかもしれません。
上手く頭に入ってこない。
つい斜め読みになる。
そこが理解するために一番重要なところだということも、1人で読んでいてはピンとこない場合もあると思います。
自学の難しさはそこにあります。
何が重要であるか、自分ではわからない。
読み流したことが最も重要なことかもしれません。

つい先日も、高校生に「2次関数」の授業をしていて、
平方完成をした一般式
y=a(x-p)2+q
このとき、軸は直線x=p、頂点(p,q)
という、2次関数の前半の学習で最も大切なところをわかっていない子がいました。
「学校で習っていない」
というので、授業ノートを見せてもらったら、ノートにはしっかり書いてありました。
ただ、全てシャーペンで、黒1色。
ズラズラと行替えもせずに書かれて他の内容の中に埋没していたので、私は天を仰ぎました。
「これは、真っ赤で書いて、青マーカーで囲んでおくようなところだよー!」
「だって、うちの先生、色分けしないから」
「もう高校生なんだから、重要度は自分で判断しなさーい!」

・・・・しかし、それは無理というものかもしれません。
そのために私がいるのですよね。

さて、次回の数学教室のお知らせです。

◎日時  5月7日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「場合の数と確率」を続けます。p47「いろいろな事象の確立」から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
       左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
       既にご参加いただいている方は携帯メールアドレスにご連絡ください。     




  


  • Posted by セギ at 15:53Comments(0)大人のための講座

    2016年04月22日

    場合の数と確率 グループ分けの問題




    「場合の数と確率」という単元は、公立中学では基本的には全て書きだせる範囲の問題が出題されます。
    しかし、国公立・私立中学では、順列・組合せの公式を学習しますので、かなり発展的な問題も演習することになります。
    それは、高校数学の「場合の数と確率」の基本問題のレベルと重なります。
    今回は、そのような問題について見てみましょう。

    例題1
    12人の生徒がいます。A君とB君は必ず別のグループにするとして、5人と7人のグループに分ける方法は何通りありますか。

    この問題は、まず5人のグループだけに着目しましょう。
    両方のことを一度に考えるとむしろ混乱します。
    5人のグループに入らなかった人たちが自動的に7人のグループに入ります。

    5人のグループにA君が入ると固定して考えてみます。
    残りの4人をA君B君を除く10人から選びます。
    10人から4人を選ぶ組合せです。
    公式通りに、
    10×9×8×7/4×3×2×1=210
    210通り。
    しかし、5人グループにB君が入る場合もあります。
    A君が入るところ全てにB君が入る場合があるのですから、
    210×2=420
    420通りが答えとなります。

    ここで、5人グループを選んだ後、さらに7人グループを選ばなければならないと勘違いをしてしまうことがあります。
    5人グループを選べば、そこに選ばれなかった人たちが自動的に7人グループに入る。
    そのことがピンとこないようなのです。
    選ばないのだから、選んだことにならない。
    そういう不可解な論争を指導中にしなければならないことが今までもありました。
    そういう場合、選ばなかった残る7人から7人グループのメンバーを「選ぶ」のだと説明すると意外とすんなり理解を得られることがありました。
    7人から7人を選ぶ方法は1通りです。
    420×1=420
    ×1をしても結果は変わらないから、以後はやらなくて良いですよね?
    その説明ならわかるという子は案外多いです。

    例題2
    12人の生徒がいます。A君B君は必ず別のグループに入るとして、6人ずつの2つのグループに分ける方法は何通りありますか。

    一見、例題1と同じようです。
    まず、1つ目の6人のグループにA君が入ると固定して考えます。
    A君B君を除いた10人からそのグループに入る5人を選びます。
    組合せの公式を用いて、
    10×9×8×7×6/5×4×3×2×1=252
    それを2倍して・・・・
    ストップ、ストップ!
    この問題、2倍する必要はないのです。
    どちらも6人グループなので、A君をB君に入れ替えたものは252通りの中に既に出てきています。
    正解は、252通りです。

    この話も理解しづらいことのようです。
    何で6人6人になると急にそんなことになるの?

    こういうときは人数を減らして、実際に全ての場合を書きだして確認するのが近道です。
    6人の生徒を3人3人のグループに分けることにしましょう。
    A、B、C、D、E、Fの6人の生徒で、A君、B君は必ず別のグループに入るとします。
    (A、C、D)と(B、E、F)
    (A、C、E)と(B、D、F)
    (A、C、F)と(B、D、E)
    (A、D、E)と(B、C、F)
    (A、D、F)と(B、C、E)
    (A、E、F)と(B、C、D)
    分け方は、以上の6通り。
    AをBに置き換えた場合を考えても、例えば、
    (B、C、D)という分け方は、上の分け方の一番下に同じものがありますね。
    人数が同じグループに分ける場合、2つのグループの見分けはつきませんから、全ての分け方が後半のグループに既に出てきているのです。
    公式による計算では、これは、4人から2人を選ぶ組合せとなりますから、
    4×3/2×1=6
    やはり、2倍しなくてもこれが答えとなることがわかります。

    例題3
    12人の生徒がいます。A君B君を班長として「鶴の間」「亀の間」に6人ずつ宿泊します。泊まり方は何通りありますか。

    人数は6人6人。
    だったら、例題2と同じ252通り?
    いいえ。
    これは、252×2=504 で、504通りです。
    この問題は、「鶴の間」にA君が泊まる場合とB君が泊まる場合は別の泊まり方になるからです。
    同じ6人ずつでも、そのグループに名称がついていて区別がつく場合は、2倍する必要が生じます。

    グループ分けに関する問題は、大きく分けてこの3通り。
    問題のパターンが見分けられるようになると、以後は簡単ですね。
      


  • Posted by セギ at 13:54Comments(0)算数・数学

    2016年04月14日

    南高尾山稜を歩いてきました。2016年4月。


    2016年4月10日(日)、南高尾山稜を歩いてきました。
    ホリデー快速3号の次にくるいつもの中央特快に乗り、終点高尾駅下車。
    小仏行きのバスに乗りました。
    バス停は大混雑。
    臨時バスも出て合計3台で出発。
    高尾は春のハイキングシーズンを迎えました。
    日影バス停下車。支度をして出発。9:20。
    まずは春の花を探しに、日影沢林道を歩きました。
    自然観察会らしいグループが前方に。
    先生らしき人が何やら説明しています。
    何の説明をしているのかな。
    うーん、気になる。
    有料のものかもしれないので、ずっと付いていくのは良くないけれど。
    通り過ぎるときに、
    「フタバアオイの花が咲いていますよ」
    という説明が聞こえてきて、足が止まってしまいました。
    えー、どこにどこに?


    横からささっと撮影させていただきました。
    邪魔しちゃいけないと思い、慌てて撮影したのでブレてしまいましたが、あー、本当だ、葉の下に地味な花が咲いていました。

    良いものを見せていただきました。
    こういう地味な花は、普段は気づかずに通り過ぎてしまいます。


    これは、タカオスミレかな。
    スミレは種類が多くて難しい。
    タカオスミレは、高尾で発見されたヒカゲスミレの1種です。
    タカオスミレの開花時期はもう少し後だった気もするので、うーん、どうなのかな。


    ニリンソウは、2輪並んで咲いているのでよくわかります。
    花びらの裏側がほんのり桃色の可憐な花。
    日影沢に咲いているのはよく知られていますが、予備知識なく歩いていた山道でこの群落を見つけるとテンションが上がります。

    立ち止まっては撮影し、時間を取られながら、小仏城山到着。10:40。
    城山山頂の桜はちょうど見ごろでした。
    2軒の茶店も大賑わいです。
    ベンチでちょっと休憩し、さて再び出発。
    まずは高尾山方向に少し戻ります。
    木段を少し下りていった最初の分岐が、南高尾山稜への分岐です。
    木段はすぐに終わり、そこからは急な下りになりますが、来る度に整備が進んでいて、すべり止めの杭が埋められてかなり歩きやすくなっています。
    日当たりの良い急坂を降りていくと、次は日当たりの悪い比較的平坦な植林帯。
    さらにまた急な下りとなり、斜面を巻く細い道、ジグザグな下り道と降りていくと、細い沢に出て、その先が甲州街道。
    いったん歩道に降りて、そこから横断歩道を登っていくとそのまま南高尾山稜の山道に入ります。
    山道らしい細い上り坂。
    でも、道が明るいので苦になりません。
    大洞山。12:00。
    眺望はありませんが、ベンチやテーブルかあるので、ここはいつも昼食を取る人々でにぎわっています。
    でも、今回は珍しく人がいませんでした。
    ベンチに座ってちょっと休憩。

    その先も小さく登ったり下ったりを繰り返し、その先、まき道に入ると道は歩きやすくなります。
    樹間から湖も見えてきました。

    見晴台。12:35。
    横一列に並んだベンチはほぼ埋まっていましたが、運良く空いていた1つに座って昼食休憩。
    そこで撮った写真が一番上の1枚です。
    春霞で遠望はきかないと思っていましたが、肉眼では真っ白な富士山がぼんやりと見えていました。
    津久井湖と桜と丹沢の山々。
    ぽかぽか陽気で、眠くなってくるようなのどかな春の眺めでした。
    おにぎりの昼食の他、チョコレートにコーヒーもゆっくり楽しんで、さて出発。

    ゆるく登り基調の歩きやすい道がさらに続きます。
    どんどん歩いて三沢峠。13:35。
    放射状の分岐道で、ちょっとわかりづらいところですが、道しるべは明瞭です。
    「草戸山」の道しるべの通りに上り坂を選ぶと道は広くなり、山道ではなく遊歩道となります。
    段差の大きい階段が続きます。
    すぐ横に階段ではない道もありますが、物凄く滑りそうな急な下りです。


    最初の休憩所。
    木々が伐採されて、城山湖が見えるようになっていました。
    眺望のために樹木を伐採することに、私は必ずしも賛成しないのですが、高尾は観光地。
    これはある程度仕方ないのかなあ。

    草戸山。14:05。
    ここはあまり眺望はよくありません。
    さて、そこから道しるべの通りに左折。
    急な下りを行きます。
    下り始めの最初の印象は暗いですが、すぐに道は明るくなり、少し登ると草戸峠。

    草戸峠の眺望は良好。
    ベンチもたくさん並んでいます。
    高尾主脈の斜面に桜が咲いて、昔話の挿絵のような眺めでした。

    のんびり歩いて、四辻の分岐から高尾山口へ。
    高尾山口。15:30。
    沢沿いの桜もちょうど見頃でした。
      


  • Posted by セギ at 13:01Comments(0)

    2016年04月11日

    4月23日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    4月9日(土)、おとなのための数学教室を開きました。
    今回も「場合の数と確率」の続きです。
    条件付き確率の公式の復習の後、確率の乗法定理の利用について学習しました。
    乗法定理というのは、要するに、確率と確率をかけても良いんですよということです。

    例えば、こんな問題。
    例題 12本のくじの中に当たりくじが3本ある。a、bの2人がこの順番にこのくじを引くとき、bが当たる確率を求めよ。引いたくじは元に戻さないものとする。

    これは、場合分けをして求めなければなりません。
    すなわち、aが当たりbも当たる場合と、aが外れbが当たる場合とです。

    まず、aが当たる確率は、3/12。
    この後、bが当たる確率は、くじは全部で11本、当たりくじは2本ですから、2/11。
    したがって、aが当たりbも当たる確率は、3/12×2/11=6/132となります。

    次に、aが外れbが当たる場合。
    aが外れる確率は、9/12。
    その後、くじは全部11本、当たりくじは3本ですから、bが当たる確率は、3/11。
    したがって、aが外れbが当たる確率は、9/12×3/11=27/132。

    aが当たりbも当たる場合と、aが外れbが当たる場合は、互いに排反ですから、この確率は単純に足すことができます。
    よって、bが当たる確率は、6/132+27/132=33/132=3/12=1/4。

    ところで、aが当たる確率は、3/12=1/4ですから、aが当たる確率もbが当たる確率も等しいとわかります。

    実は、くじに当たる確率は、引く順番と関係なく等しいことがわかっています。
    そのことを説明すると、参加者の皆さんから、「えーっ」の声。
    いいなあ、新鮮だなあ。
    高校生は、こういうことで驚いたり疑問を示したりしてくれませんから。

    aがくじを引く前の段階では、aが当たる確率も、bが当たる確率も等しいです。
    でも、aがくじを引いてその結果がわかった瞬間から、bの当たる確率は変わってきます。
    aが当たった後では、bが当たる確率は低くなりますし、aが外れた後なら、bが当たる確率は高まります。
    ですが、このときのbが当たる確率こそが、前回学習した「条件付き確率」。
    シンプルにbの当たる確率とは違うのですね。

    さて、次回の数学教室のお知らせです。

    ◎日時  4月23日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「場合の数と確率」を続けます。p46から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
           左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
           既にご参加いただいている方は携帯メールアドレスにご連絡ください。     




      


  • Posted by セギ at 13:07Comments(0)大人のための講座

    2016年04月04日

    多摩湖自転車道でお花見してきました。2016年4月。


    2016年4月3日(日)、春期講習も終わり、久しぶりの休日ですが曇り空。
    山の桜はまだ見ごろには早いので、下界でお花見をすることにしました。
    自転車に乗って、井の頭公園へ。
    桜満開の日曜日とあって物凄い人混みでした。
    池の周りの遊歩道は人で埋まって渋滞気味。
    そのすぐ脇でブルーシートを敷いて座り込み、酒盛りする人々。
    そんな中、頑張って池に垂れかかる桜を撮影。
    上の写真がそれです。

    山野草を植えてある一画は人も少なく、見ごたえがありました。


    これは、クサノオウ。
    他にムラサキケマンやイチリンソウも。
    山に行かなくても見ることができるのは嬉しいですね。
    しかし、これだけでは何だか物足りない。
    もう1か所どこかに行きたいなあ。
    人がそんなに多くないところがいいなあ。

    そこで思いついたのが多摩湖自転車道。
    あそこの並木は桜じゃなかったかなあ。

    とりあえず、まずは武蔵境駅へ。


    電車庫通りの桜も満開でした。

    武蔵境駅の北、関前五丁目の交差点のところに自転車道の入口があります。
    五年ぶりで地図も持っていなかったので少し迷いましたが、何とか入口を発見。
    入口から入ってしまえば、あとはひたすらまっすぐな自転車道なので、迷う心配はありません。


    思った通り、桜並木が延々と続いていました。
    満開の桜の散歩道。
    ウオーキングの人、ジョギングの人、自転車の人が思い思いのペースで進みながら桜を眺めています。
    自転車も、高そうなロードサイクルの人もいますがママチャリの人も多いです。
    満開の桜、桜。
    ところどころにあるベンチやテーブルでお花見している人も。


    この先を左折すると小金井公園だったなあ。
    あそこも桜の名所では?
    記憶がどんどんよみがえってきます。
    江戸東京たてもの園も好きなんだけど、今日はとりあえず直進。

    自転車道は頻繁に公道・私道と交差しますが、それ以外は車のことを気にしなくて良いので、ストレスなく走れます。
    西武新宿線小平駅前でいったん途切れますが、直進していくと自転車道は復活します。

    桜並木はどこまでもどこまでも続きます。
    西武多摩湖線と並行して、快適にどんどん走りました。
    狭山自然公園をまわり込む登り坂。
    ここはちょっと苦しいポイント。


    あー、ついに多摩湖まで来てしまいました。
    午後3時を過ぎたので、そろそろ帰ります。
    勿論、来た道を帰るので、再び桜並木を堪能。
    たっぷりと桜を眺め、満足のお花見でした。
      


  • Posted by セギ at 12:48Comments(0)