たまりば

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2015年12月23日

暦に関する問題


今年もおしつまってまいりました。
暖冬のせいか、あまり実感がないのですが、もう年末。
23日、24日はお休みをいただいて雪山に行くつもりでいましたが、前線が通過するので山に行けませんでした。
八ヶ岳の初級者コースで足ならしをするだけのつもりでも、雪山は案外遠い。
というわけで、画像は2年前の北八ヶ岳高見石小屋の入り口です。

新しいカレンダーを眺めていると、受験算数の暦に関する問題をふと連想します。
一番易しいのは、こんな問題です。
易しいといっても、子どもの中には、必ず1日分だけ曜日がズレてしまう子も多いです。
考える上で特定の癖があるならそれを訂正すれば正解できるようになるのですが、毎回多様にミスをして1日ズレてミスの展示会みたいになる子もいます。

問題1
ある年の9月22日は火曜日でした。その年の12月31日は何曜日ですか?

1週間は7日で曜日が繰り返されます。
この問題は「周期算」であることに気づくのが第一段階です。
9月22日から12月31日までに、1周期7日の周期が何周期あって、あまりが何日なのか?

月ごとに考えましょう。
9月22日から30日までは、30-21=9。
10月は31日。
11月は30日。
12月は31日。
だから、全部で、9+31+30+31=101(日)
これを7日で割ると周期がわかります。
101÷7=14あまり3
このあまり3は、第15周期が始まってその途中までということです。
火曜日から始まっている周期なので、火・水・木。
答えは木曜日です。

易しい周期算ですが、1つ知識として必要なのが、月ごとの日数。
大の月と小の月を知識として覚えておくこと。
「にしむくさむらい」で覚えなさいと言っても、その「にしむくさむらい」が覚えられないのが今どきの子ども。
ものを覚えるということが苦手な昨今の小学生には、これがなかなかの難題です。
げんこつを作った手の甲で、「1月」「2月」とやっていますが、「7月」と「8月」の操作を失敗してズレてしまう子は多いです。
そのあたりの努力を怠らずきちんと受験勉強してきたかを問いたい学校は、今も1行問題としてこのタイプの問題を出題します。

でも、最近の日暦算はこの程度までにとどまり、これ以上の難問はあまり出題されなくなったと感じます。
これ以上の難問というのは、例えばどんな問題なのか?

あるクラスの生徒は30人で、教室の掃除当番は、出席番号順に6人ずつ1班から5班の5つの班に分かれて、当番は1日ずつ1班、2班、・・・・・5班、1班、2班・・・・、とくり返して進みます。9月1日(火)始業式の日の掃除当番は1班でした。12月24日(木)終業式の日の掃除当番は出席番号が何番から何番の人でしょうか。ただし、土曜日・日曜日・祝日は学校はお休みで、掃除当番はないものとします。なお、この年の秋分の日は9月23日でした。

これは、なかなか面倒くさいですね。
丁寧に解いていきましょう。
まず、9月1日から12月24日まで、何週間と何日あるのか計算します。
9月は30日。10月は31日。11月は30日。12月は24日まで。
だから、30+31+30+24=115
全部で115日となります。
それが何週間と何日であるかを調べるために、7で割ります。
115÷7=16あまり3
16週間と3日であるとわかりました。
火曜日から始まる周期で計算しているので、あまりの3日は、火曜日・水曜日・木曜日です。
学校は、土日を除く週5日。
16週間とあまり3日で学校へ行く日は、
5×16+3=83
83日。
ここから、祝日を除いていけば、学校に行く日が正確にわかります。
ただ、ここで問題があります。
祝日と日曜日が重なった場合は振替休日がありますが、祝日と土曜日が重なった場合には振替休日はありません。
だから、この年の祝日が土曜日と重なっていないか、逐一調べなければなりません。

9月からいきましょう。
9月の第3月曜日は敬老の日。
これはいつでも月曜日なので問題なし。
9月23日が秋分の日。
この日は何曜日なのか?
23÷7=3あまり2
問題によれば、9月1日が火曜日です。
火曜日から始まる周期の第4周期の2日目だから、水曜日だとわかります。
これも、土曜日と重なっていません。

10月の祝日はどうでしょう。
10月第2月曜日は体育の日。
これも土曜日と重なるわけがありません。

11月の祝日は?
11月3日は文化の日。
これは何曜日でしょうか。
9月1日から数えると、
30+31+3=64
64÷7=9あまり1
第10周期の1日目。これは火曜日。
土曜日と重なっていません。
11月23日は勤労感謝の日。
30+31+23=84
84÷7=12
第12周期がちょうど終わった日ですから、月曜日。
これも土曜日とは重なりません。

12月の祝日は?
12月23日が天皇誕生日。
これは何曜日でしょうか?
30+31+30+23=114
114÷7=16あまり2
火曜日から始まる周期の第17周期の2日目。
だから、水曜日です。
これも土曜日とは重なりません。

したがって、9月1日から12月24日までで、祝日は、6日。
これらは全て土曜日とは重なっていませんでしたので、先ほど仮に計算した、学校に行く日83日からさらに6日を引けば、本当に学校に行く日数となります。
83-6=77
学校に行く日は77日。
掃除当番は、5班で回していますから、1周期5の周期算となります。
77÷5=15あまり2
第16周期の2日目。
すなわち、12月24日は、第2班の担当となります。
出席番号順に1班6人ずつだから、第2班の出席番号は、7番から12番まで。
やったー。解けたー。

・・・・・・いいえ、これは正解ではありません。
何がいけなかったのか?

9月の祝日をもう一度見直してみましょう。
敬老の日は、9月第3月曜日。
それは何日なのでしょう?
9月1日が火曜日ですから、第1月曜日は、9月7日。
第2月曜日は、9月14日。
第3月曜日は、9月21日。この日が敬老の日です。
そして、秋分の日は、9月23日。ここが重要。
祝日と祝日にはさまれた日は、国民の祝日となります。
よって、9月22日も祝日です。
だから、祝日は全部で7日。
83-7=76
76÷5=15あまり1
掃除当番は、第17周期の1番目。
すなわち、出席番号1番から6番が正解です。

・・・・・・何だそれ?
こんな問題、得点を与えるつもりがあるとは思えない。
(+_+)
こんなの算数でも何でもないよ。
ひっかけだよー。

感覚としては、ハッピーマンデー法が制定されたあたりから、この種の問題は急速にすたれていった気がします。
大の月と小の月に関する知識まではともかく、祝日に関する知識をここまで問う問題は算数と言えるのか?
そういう疑問があるからかもしれません。
現代の子どもは、こちらがびっくりするほど祝日のことを覚えていないということもあるでしょうか。
学校が休みになる楽しい日なのに、彼らは祝日を覚えないですね。
やはり、ものを覚える習慣がないことが影響しているのでしょうか。

上の曜日設定、実は、今年のカレンダー通りでした。
今年は、上のような理由で9月の連休が長かったですね。
「シルバーウィーク」というもの、言葉だけは聞いたことがありましたが、初めて実感した連休でした。
来年のカレンダーを見ると、シルバーウィークと呼べるような連休はもう存在しません。

でも、来年から新しい祝日が登場。
8月11日は、山の日です。
ちょっと楽しみです。
(*'▽')

  


  • Posted by セギ at 12:57Comments(0)算数・数学

    2015年12月21日

    高尾山にダイヤモンド富士を見にいきました。2015年12月。




    2015年12月20日(日)、予報では曇り基調だったので、奥武蔵の低山を歩こうと思っていたのですが、前日に急に予報が好転しました。
    日中は晴れ、夜から曇り。
    折しも、高尾山はダイヤモンド富士が見られる期間。
    これは、行かねば。ヽ(^o^)丿
    というわけで、今年も高尾山にダイヤモンド富士を見にいきました。

    去年は雨の翌日で湿度が高く、太陽がびろーんと広がった不思議な眺めになってしまいました。
    さて、今年はどうかなあ。

    夕方だけ出かけてもつまらないので、例によって朝から山歩きです。
    中央線藤野駅下車。9:07。
    今回は、一ノ尾根から陣馬山を目指します。
    この冬一番の冷え込みで、日影には霜がおりていました。

    トンネルを抜けて、なお舗装されている道を登っていくと、いよいよ山道。9:55。
    一ノ尾根は人の少ない静かな尾根だから、クマ鈴、クマ鈴。
    もう冬眠しているとは思うけれども、暖冬だから寝そびれたクマもいるかもしれないし。
    ザックをごそごそさせてクマ鈴をつけて歩きだしたら、前方にすぐ人を発見。
    その後も、ベンチの度に休んでいる人を発見。
    団体さんもいました。
    いつの間にか一ノ尾根は陣馬山の人気の尾根になっていたようです。
    こそこそとクマ鈴をザックにしまって、再び登っていきます。
    急登も少なく、道も広く、歩きやすいので、この尾根が人気の尾根になるのはもっともな話です。
    晴れて嬉しいー。
    山、楽しいねー。
    来て良かったねー。
    若い人が多く、そんな会話が通り過ぎるベンチから聞こえてきました。
    うんうん。

    陣馬山山頂。11:30。
    見晴らしの良い日向の枯草の上にシートを敷いて、のんびりおにぎりを食べました。
    そこから撮ったのが上の写真です。
    富士山も南アルプスもよく見えていました。
    あまり急いでも待つ時間が長くなるだけなので、たっぷり日向ぼっこ。
    出発。12:00。

    明王峠。12:40。
    トレイルランナーが大勢、後ろから走ってきました。
    あれ?
    トレイルランニング大会は12月23日の祝日というポスターを途中で見たけど?
    23日は雨の予報なので、開催が早まったのでしょうか。
    ゼッケンをつけた選手が無尽蔵に後ろから現れます。
    これは、まき道はダメだ。
    でも、今日は時間調整のために全てアップダウンがあるほうを歩く予定だったので、特に問題なしです。

    堂所山にも寄り道。13:05。
    ベンチの1つにコンロを置いて、楽しそうに立ってカップラーメンを食べている若者たち。
    その他、3つのベンチは全て埋まり、今日も堂所山は人気でした。

    景信山。14:00。
    ここの茶店も、もうお昼どきは過ぎたのに賑わっていました。
    でも、ああ、富士山がもう雲に隠れてしまっている。
    ( ;∀;)
    予報よりずっと早く、西に雲が現れ、富士山のあたりを覆ってしまいました。

    あーあ・・・・・。
    だったら、奥武蔵に行けば良かったかなー。
    丸山か蕨山に行きたかったなー。

    とぼとぼ歩いて、小仏城山。14:50。
    その先の一丁平の展望台からも、やはり富士山は雲に覆われて見えません。
    残念だ・・・・。

    紅葉台手前のポイントに到着。15:30。
    富士山は雲に覆われたままなのに、斜面に人がいました。
    去年よりは少ないけれど、それでも、まだ30分前なのにもう20人ほども。
    三脚を立てて準備しているおじさんに、
    「富士山、雲に隠れてしまいましたね」
    と話しかけると、
    「ああー。いや、これからだよ。日が沈むと気温が下がって、雲が取れるから」
    「え?そうなんですか?」
    「うん。多分」
    そうなのか。
    諦めて帰ろうと思っていたのですが、それなら一応日没までいようかなあ。
    これだけ人がいるなら暗い夜の山道を1人でとぼとぼ歩いて帰る不安はないわけですし。

    斜面の中の比較的居心地の良い場所を見つけてシートを敷き、防寒にフリースと雨具を身に着けて、使い捨てカイロの封も切りました。
    ポットの中のカフェオレと行動食のバームクーヘンを食べていると、いよいよ日没です。
    16:10。
    うーん?
    これは、結局、雲に沈むただの夕陽?



    いや?
    何かシルエットが現れた?



    うわあ、現れた、富士山。
    ダイヤモンド富士だー!



    そして、夕陽が山頂に沈んでいくと、富士山のシルエットがくっきりと現れました。


    そして日没。
    去年より満足のいくダイヤモンド富士でした。
    でも、まだまだ完璧ではないので、さらに来年以降に期待して、また行こうと思います。
    ヽ(^o^)丿


      


  • Posted by セギ at 21:55Comments(0)

    2015年12月18日

    2学期末テスト結果集計。2015年。



    期末テスト結果集計出ました。
    数学 80点台 1人 70点台 1人 60点台2人 50点台 3人 50点未満 3人
    英語 80点台 2人 70点台 0人 60点台2人

    中間テストよりも得点が下がった人は2人だけで、後はじわじわと上がりました。
    ヽ(^o^)丿
    今年度の中で最高点だった人が5人。
    前回の中間テストで50点未満だった4人のうち2人が50点を越えたのも良かったです。
    数学も英語も、2学期のテストの得点は1学期よりも下がることのほうが多い中で確実な成果だと思います。
    新たに入会した生徒さんが1人、50点未満からスタートしましたが、これから頑張っていきましょう。

    どうすればテストの得点を上げていくことができるか?
    それには、本人が抱えている学習上の課題を1つ1つ解決していく以外にありません。
    そのため、何が課題であるのか、まずその現実を把握する必要があります。
    保護者の方が考えるよりもはるか手前に課題があり、それが学習に影響している場合もあります。

    かつてうちの塾の生徒で最も困難だったのが、学校で今何を勉強しているのかわからない、という場合でした。
    「うちの先生は教科書を使わない。いつもプリントだから、わからない」
    というのです。
    プリント学習といっても学校の教科書に載っていない特殊なことをやっている場合は少なく、教科書と同じ単元をプリントで演習している場合がほとんどですが、そのことを理解できていませんでした。
    本人の理解力不足ということもありますが、中学生くらいですと勉強しない理由を無意識に探す傾向もありますから、
    「学校の先生が悪いんだ。自分は悪くない」
    とするのに好都合で、本人もつきつめて考えてみなかったのかもしれません。
    じゃあ私がプリントを見るから塾に持ってきなさいと言っても毎回忘れてくるので、塾としても何をやっていいのかわかりませんでした。
    保護者に連絡をして、その点から改善していきました。

    先を見ることができない子も多いです。
    「テスト範囲がまだ出ていないから、テスト勉強はできない」
    と言います。
    「でもね、どうせこの前のテスト範囲の次からだから、始まりはわかるんだよ。そして、今やっているところか、その少し先くらいまででしょう?」
    と説明すると、初めてそのことに気がついたという顔をします。
    そういうことを考えたことがなく、テスト範囲が正式に発表されるテスト1週間前からしかテスト勉強はできない、それは学校が悪いので自分の責任ではないと思っている、あるいはそのように言い訳している場合もあります。

    定期テスト当日に提出するワークや準拠問題集などの課題に関してもそうです。
    学校はテストが近くなってから急に何十ページも宿題を出す、ひどい、と言う子もいます。
    しかし、テストの度にそうなのですから、学校で勉強したことは同じ週のうちに学校のワークを解いておくとちょうど良い家庭学習になります。
    まとめのページは残しておいてテスト前にやるとテスト対策になります。
    学校の先生は当然そのつもりでそういう課題を出しているでしょう。
    勉強のできる子の多くは、そのように学校の課題を活用しています。
    なかには塾のハイレベルな課題を解くのに忙しく、学校の課題をテスト直前に丸々残してしまう秀才というのもいますが、あの人たちは、学校のワークは1時間か2時間で解いてしまえるので、真似しているとひどい目にあいます。

    私立の中高一貫校は年間の進度とテスト範囲を書面にして配っていることも多いのですが、そうではない場合、次に何を学習するのか生徒は知らない、もちろん私もわからないということもあります。
    教科書の順番通りにやってくれれば良いけれど、そうとは限りません。
    代数と幾何を分けていない学校の場合、今までずっと代数をやっていたのに、突然幾何に入ったということもあります。
    そういう報告を受けて、
    「うん、わかった。じゃあ幾何の問題集を出して」
    と言うと、
    「あ。持ってきていない・・・・・」
    と生徒は応えます。
    「え?だって、学校は幾何の勉強に入ったんでしょう?」
    「・・・・・・」

    そうでなくても、宿題に出した問題集とノートしか塾に持ってこない子は多いです。
    「じゃあ冊子テキストを出して」
    と2~3週使っていなかったテキストを出してほしいと言うと、
    「あ、持ってきてない」
    ということはしばしばあります。
    「これからテスト範囲になる単元のテキストを置いてきてどうするの?あれは、終わっていないでしょう」
    「・・・・・・」
    「あのテキストのほうが難しいから、テスト前にやろうととっておいたんだよ」
    「・・・・・・」

    塾は宿題の答えあわせしかしないわけじゃない。
    学校は今何をやっているのか。
    それにあわせて塾の授業は何をやることになるのか。
    そのために必要なテキストは何なのか。
    それを考えて用意してきなさい。
    そういう話をすると耳を塞いでしまう子もいました。
    「そういうの、私は一番苦手だから。わからないから」
    「・・・・・だったら、全部持ってきなさい。勝手に判断して教材を置いてきたらダメだよ。置いてくるのは、一種の判断でしょう?判断が苦手なら、何も判断しないほうがいい。全部持ってきなさい」
    テスト範囲としては既に終わった教材に対して「あれを出して。何で持ってこないの?」と言いがかりをつけているわけではないのです。
    次のテストに向けて勉強するのに必要な教材を持ってきてと言っているのですが、そういう判断が難しい子は多いです。
    自立した学習者となるには必要なことなので、そうした能力は鍛えたいです。
    でも、現時点では毎回「あの冊子を置いてこないで。使うから」と言い続けないと無理なんだろうなあ。

    個別指導で、生徒の通う学校もバラバラですので、その生徒の情報収集力がそのままテスト対策のクオリティになってしまうのが歯がゆいところです。
    例えば、夏休みの課題だった問題集から十数ページがテスト範囲だと発表されます。
    10日前くらいに急にそんなことを言われても対策できません。
    しかし、それは本当に突然言われたことなのか?
    実は前からわかっていたことなのではないか?
    それを予測し準備していた子もいたのではないか?
    いや、むしろそういう子のほうが多いということもあり得るのではないか?
    次のテストも同じ問題集からまた出題されるのではないか?
    だとしたら、どこが出るのか本当はもうわかっているのではないか?
    そのように問いかけても、その子の表情はぼんやりしています。
    本当にわからない様子です。

    学校の宿題だけはいつもしっかり持ってくるのに、塾で渡した問題集やプリントは忘れてくる子というのもいます。
    他に教材がないので、塾で学校の宿題を解くしかなくなります。

    とにかく学校の宿題がわからない。
    自力で解けない。
    本人はそう言うのですが、そういうのは嘘とは言わないまでも大袈裟な表現である場合がほとんどで、大半は自力で解けるのです。
    わからない問題も中にはあるでしょう。
    そうした1問2問を質問したいというのはわかるのですが、塾で学校の宿題をやりたい、個別指導はそういうことをしてくれるはずという願望が本人にある場合、学校の宿題だけはしっかり持ってくる、塾のテキストや宿題は置いてくるということがしばらく続くこともあります。

    しかし、学校の宿題を塾でやったら、家では何をやるのでしょう。
    おそらく何もしないでしょう。
    私が教えながら解いたらスラスラと進むので、1週間の家庭学習は塾で学校の宿題を解いた90分だけ。
    そんなことになってしまいます。
    こういう形をとると、学校の宿題は今までになくスムーズにこなせるものですから、本人も、そして場合によっては保護者の方も、勘違いをしてしまうことがあります。
    ああ、塾に行くと何もかも上手くいく。
    これは、テストの点数も上がるはず。

    ・・・・・・上がるわけがないんです。
    こんな勉強をしていたら、むしろ、確実に下がります。
    そのように説明するのですが、それでも「学校の宿題がー」「宿題がー」と言い続ける場合は、実際にテストの結果が出るのを待つしかありません。
    テストで悪い結果が出て、何が問題であるか向き合う気持ちになってくれたら、それからが本当の始まりです。
    学校の宿題を自分で解けるように。
    それが目標であるなら、地力をつけなければなりません。
    そのためには、これまでの学習量の不足を改めなければなりません。
    以前に未消化だった内容のせいで今の勉強がわからないのなら、そこに戻って復習しなればなりません。
    しかし、本人にとっては塾の宿題も上手くこなせず、学校の宿題と塾の宿題と、結局宿題が2倍になって苦しいばかりとなります。
    塾の宿題の答え合わせをしても、最初のうちは不正解や解いていない問題があまりにも多く、90分かけても宿題の解き直しが終わりません。
    その間にも学校の授業は先に進み、わからないことはたまっていきます。
    毎回、塾の宿題が負担だ。
    しかも、学校の宿題を解くのに何の助けにもならない。
    苦しい時期が続きます。

    錆びた大型機械が動き出すには、まず動きだすために多くのエネルギーが必要です。
    錆びていた時期が長いほど、動きだすための時間も長く必要となります。
    とにかく、動くようにすること。
    自力で走行できるようにすること。
    自分で学習できるようにすること。
    そのための苦しさに耐えることができるかどうか。
    それが最初の課題です。

      


  • Posted by セギ at 14:46Comments(0)講師日記

    2015年12月13日

    1月9日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    12月12日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回も引き続き「組合せ」の学習です。
    前回、組合せの基本から議論が紛糾しましたので、その応用である今回の学習内容はかなり時間がかかると想定していました。
    中2の同内容を学習したときにも完全な理解には至らなかったと感じた内容でした。
    例えばこんな問題です。

    問題 
    6人で旅行し、ホテルに宿泊しました。301号室、302号室、303号室の3部屋に2人ずつ宿泊します。何通りの泊まり方がありますか。

    まず、301号室に泊まる人から決めていきましょう。
    6人から2人を選ぶ組合せでいいですよね。
    だから式は、6C2です。
    次に、残った4人から、302号室に泊まる人を決めます。
    4人から2人を選ぶ組合せです。
    だから式は、4C2です。
    最後に、残った2人から、303号室に泊まる人を決めます。
    2人から2人を選びます。
    式は、2C2です。
    でも、最後の2C2=1ですから、これは書かなくてもいいですね。
    最後に残った2人は自動的に303号室に泊まるという意味でもあります。

    中2内容の「場合の数と確率」の学習をしたときは、この最後の2C2を私が書かなかったために、説明に大変な時間がかかった記憶があります。
    最後に残った2人は自動的に303号室になるのだから選ばなくて良い。
    そう説明したら理解してもらえなくて悪戦苦闘しました。
    今回は、あえて2C2を書いて説明したら、問題なく通過。
    なぜなんだろう。
    理解しやすさという点で何が違うんだろう。
    説明する側として、むしろそのことに興味があるのですが、きっと何かが決定的に違うんだろうと思います。
    残ったのが2人でも、ちゃんと選んでほしい。選ばないままなら、それは選んでいない。
    そういうことなのかなあ。
    研究課題だなあ。
    前回は、ここがモヤモヤしたせいか、そもそも6C2の次が4C2というのがわからない、2人ずつ選ぶんだから、6C2×6C2×6C2じゃないのか、それでなぜいけないのかという話に進んで大混乱だったんです。

    いや、正確には、問題が少し違うので、それが原因でのわかりにくさもあったかもしれません。
    あのときの問題は、
    「12人を6人ずつ、A、Bの2つのグループに分けます。分け方は何通りありますか」
    でした。
    そこで、私は、Aグループに入る6人だけを選べばいい、残る6人は自動的にBグループに入ると説明したのですが、これがわかりにくかったらしいのです。
    Bグループもあるのだから選ばないとおかしいのに、12C6×12C6としないのはなぜなのか?
    その議論が続きました。
    12人と、人数が多いわりに2つにしか分けないせいで何となくそう感じてしまうというのもあったのでしょうか。
    12C6×6C6とすれば、あのときもご理解いただけたのか、それとも、12人で2グループならば今でも同じ混乱は起こるのか。
    興味深いです。

    説明に戻ると、3つの部屋に入る人を選ぶのは同時に起こることなので、「積の法則」が適用され、全体の式は、
    6C2・4C2・2C2
    通常は最後の2C2はどうせ答えが1なので省略されて、6C2・4C2
    分数の式にすると、
    6・5・4・3
    2・1・2・1
    この2行は、分数の分子・分母として読んでください。
    答えは90通りです。

    しかし、このグループ分けに関する問題の最大のヤマ場は、この次にあるのです。

    問題
    6人を2人ずつ3つのグループに分ける。何通りの分け方があるか。

    問題に余計な叙述がなくなっただけで、同じことなのでは?
    答えは90通りでしょう?

    ・・・・いいえ、違います。
    この問題の答えは、15通りです。
    さあ、ここから最低30分は議論が紛糾するぞー!
    と覚悟していたのですが、今回、ここも問題なく通過しました。
    あれ?
    どうしたのかな?
    すんなりわかっていただけるのは楽だけど、でも、本当にご理解いただけたかな?
    中2の学習をしたとき、これを本当に理解してくださった方は参加者の中に1人もいなかったと記憶しています。
    皆さん、最後まで「一体何だそれは?」という表情だったんです。
    ( ;∀;)

    前回の私のブログが余計なプレッシャーを与えてしまったのかなあ。
    1人の方は、
    「15人から12人を選ぶ組合せと15人から3人を選ぶ組合せは同じこと」
    という件について、ご家族の方に、
    「いや、それはそうだ」
    とあっさり言われてしまったと笑ってらっしゃいました。

    ともあれ、正答の考え方について、「そういう考え方もあるだろう」という形で受けとめ、その考え方を理解する方向で学習を進めるのが「場合の数と確率」を得意になる近道だと思います。
    「場合の数と確率」の正答の考え方は勿論正しいのですが、正しいからといって好ましいとは限らない。
    あー、こういう考え方は肌に合わない、ということはあると思います。
    嫌いな考え方だけど理屈はわからないでもない。
    そういう方向で、ぜひご理解ください。


    話を戻して。
    何で、最初の問題の答えは90通りで、同じ問題のように見えるのに後のほうの問題の答えは15通りなのか?
    この2つの問題は、大きく異なる点があるのです。
    この2つの問題の違いは、分けられた3つのグループに「名称」とも呼べるものがあるかないか、です。
    最初の問題の3つのグループは「301号室の人」「302号室の人」「303号室の人」と名称が与えられます。
    参加者6人をA、B、C、D、E、Fとするなら、
    301号室はAとB、302号室はCとD、303号室はEとF
    という部屋分けと、
    301号室はAとB、302号室はEとF、303号室はCとD
    という部屋分けは、違う部屋分けです。
    90通りの中で、上の2つは別々の部屋分けとしてカウントされています。

    では、「6人を2人ずつ3つのグループに分ける」という場合はどうなのか?
    (A、B)、(C、D)、(E、F)と、
    (A、B)、(E、F)、(C、D)は、別のグループ分けでしょうか?
    これは、同じですね。
    順番を変えているだけで、同じ分け方ですから。
    3つのグループに名称がなく、ただ3つに分けるだけなら、順番は関係ないのです。
    他にも、
    (C、D)、(A、B)、(E、F)
    (C、D)、(E、F)、(A、B)
    (E、F)、(A、B)、(C、D)
    (E、F)、(C、D)、(A、B)
    これらは全て、同じ1種類のグループ分けです。
    90通りの中で、同じ1種類のグループ分けを繰り返しカウントしていることになります。
    1つについて、何回繰り返しカウントしているか?
    上の例からもわかるように、3つのグループを並べる順列、
    すなわち3P3=3!=6(回)、同じグループを繰り返しカウントしています。
    ですから、答えは90÷6=15(通り) となります。

    この1ページの内容で90分かかると想定していたのですが、予想外に順調に進み、授業の後半は次のページの「同じものを含む順列」について学習しました。
    こちらはさらに難度が上がり、しかも、今後の応用問題で繰り返し使用される考え方です。
    公式としては、
    n個のもののうち、p個は同じもの、q個はまた別の同じもの、r個もまた別の同じもの・・・・であるとき、それらのn個のものを全部使って作られる順列は、
    n!÷(p!・q!・r!・・・・)

    例えば、A、A、A、B、B、C、Cの7個の文字を並べた順列の数は、
    Aが3個、Bが2個、Cが2個なので、
    7!÷(3!・2!・2!) で求められます。

    これを利用して、次回は、「最短経路の問題」から学習を勧めます。


    次回の数学教室のお知らせです。
    ◎日時  1月9日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「場合の数と確率」を続けます。「組み合わせ」の続き。p25から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
           左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
           既にご参加いただいている方は、
           ご出席確認メールへの返信の形でご連絡くださりますと助かります。
           携帯メールアドレスをご存じの方は、そちらにご連絡ください。     













      


  • Posted by セギ at 14:57Comments(0)大人のための講座

    2015年12月10日

    数学の応用力をつけるには。




    「数学の応用問題はどうしたら解けるようになるんですか」
    と質問されることがあります。
    でも、その答えは、質問者が誰によるかで違ってきます。

    その子のテストの答案を見ればわかることですが、前半の基本問題でぽろぽろ失点しているにも関わらず「応用がー」「応用問題がー」と思っている子は、応用問題のことよりも、まずは基礎固めの重要性に目を向けたほうがよいのです。
    その基礎力では、現時点で応用問題を解くことは難しい。
    公式や定理の定着が曖昧なままでは応用問題は解けないのです。
    応用問題というのは、結局、基本的な定理を組合せて利用するものだからです。

    しかし、もう基礎力は身についていて、本当に後は応用力だという段階の子の場合、応用問題はどうしたら解けるようになるのかは大きな課題です。

    ひと口に応用問題と言いますが、大きく分けて2種類あります。
    応用問題の中での典型題と、類題があまりない本物の応用問題です。
    応用問題の典型題とは、学校の教科書や準拠ワークに1題ずつ載っているような問題です。
    難しそうに見えますが、パターンは決まっている定型の問題です。
    その1題を自力では解けず、解説を聞いただけで学習が終わってしまい、テストに類題が出たけれどやはり解けなかったという人は、真面目な秀才の中にもいると思います。
    塾に通えば応用の典型題は類題をたくさん練習しますから、本人に理解力があればそういうものは確実に解けるようになります。

    では、典型題でない、本物の応用問題を自力で解けるようになるには、どうしたら良いのか。
    国公立・私立の中学入試や高校入試、そして大学入試は、そういう問題が出題されます。
    どうすれば、そういう問題を解けるようになるのか。

    受験算数や数学の成績アップで成功している塾のやり方に、こういうものがあります。
    大切なことは3つ。
    ①良質の難問を考え抜かせる。何時間でも。解き方は教えない。
    ②解いた子にしか正答を教えない。
    ➂解いた子を皆の前で褒め、何問解けたかで順位をつけるなど競争の仕組みを作り上げ、生徒同士を競わせる。

    勝気な子が、これに乗らないわけがありません。
    目の前に解く価値のある難問がある。
    解けば仲間内での立場が圧倒的に上がり、自分の能力の高さを周知させることができる。
    この勝負に負けるわけにはいきませんから意地でも全力を出します。
    考えて考えて考え抜きます。
    当然、学力は飛躍的に向上します。

    数学の応用問題を解く力を養うには、この「全力で考えて考えて考え抜いた過程」が必要です。
    知っている定理や公式を頭の中でどう組み合わせるか。
    何をどのように発想するか。
    それは、経験をつまなければ身につきません。

    問題の最初から考え、詰まったら今度は最後から考えて、わからないことの距離が縮んだ瞬間に火花が散って、通電する。
    全てがつながる。
    それを自分で経験することが重要です。

    あるいは、この問題はこのパターンに近いから、このやり方である程度まではいくはずだと推測する。
    だから、そこまでやってみる。
    その先に、新しい展開があり、その問題の真の姿が見えてくる。
    どの定理を使うか、頭の中で精査する。
    どれを使うか自力で発見できたときの充実感。

    そういう経験を積まなければ、自力で応用問題を解けるようにはなりません。
    逆に言えば、基礎はあっても応用問題の解けない子は、この経験が不足しています。
    応用問題を解こうとして、ちょっとわからないと、すぐ諦める。
    諦めて解答を見る。
    他人に教わって済ます。
    本気で考えたことがなく、1題も自力で解いたことがない。
    応用力のない子の多くがそうです。

    そういう子に、考え抜く学習を勧めても、
    「でも、数学にばかりそんなに時間はかけられない」
    「能率が悪い」
    など小理屈をこねます。
    まず実行しません。
    自力でこの環境を作り出すのは難しいのです。
    強い意志が必要です。

    うちの塾でも、このレベルに進める子は限られています。
    難しい問題を宿題にしても解いてきません。
    教わればいいと思ってしまうのでしょう。
    レベルアップを図るためテキストを難しいものに変えると、保護者を通じて「解答集をください」と連絡が入ることもあります。
    応用力をつけるための最大の障害は、たいてい本人なのです。
    難しい問題も歯をくいしばって解いてきた子のみが、大きな成果を上げています。

    良質の難問を与える。
    解いた子にのみ正解を教える。
    これを実践している中学校があります。
    もちろん、教科書準拠の問題集は解答つきで渡され、基本問題のプリントなども時間を置いて解答を渡されるので、基礎的な学習はそれでしっかりできます。
    その上で、プリント1枚に1問しか載っていない応用問題が配られています。
    これは、解いた子にしか解答が渡されません。
    解答は渡されないが、定期テストの範囲であると言われるようです。
    授業の度に、プリントをノートに貼って解いて提出しろと言われるとも聞いています。
    解いていないのに提出すると「再提出」のハンコが押されて返ってきます。
    先生は、プレッシャーのかけ方が上手い。
    さて、どうしたものか?

    うちの塾生の1人が、その中学の生徒なんです。
    そのプリントは自分で考えなさいと繰り返し言っているのですが、それでもときどき塾に持ってきます。
    私はその度に説得します。
    自分で考えなければ意味ないよ。
    え?でも、テスト範囲だから教えてほしい?
    テスト範囲なんて言うけれど、テストには出ないじゃない?
    え?最後のチャレンジ問題に出たことがある?
    あれは、100点満点+アルファのボーナス問題でしょう?
    あなたはあれに気を取られるけれど、あれ以外のテスト問題は易しい基本問題と応用の典型題だけなんだから、それをしっかり解けばいいんだよ。
    このプリントは、自力で解くことが大切で、教わって解いても意味がないんだよ。
    解けないなら解けないで、仕方ないよ。
    え?ノートに再提出のハンコを押された?
    でも、私が解いたのを書き写して辻褄を合わせても仕方ないでしょう。
    私の学力がグングン上がっちゃうだけでしょう?

    それでも、どうしてもと言われると、定期テストの後など比較的スケジュールに余裕のあるときは私が解くこともあるのですが、予想を越えた難問ばかりです。
    問題が漢文で書いてあるものもあります。
    江戸時代の算額なんでしょう。

    計算を始めると、その過程も企みに満ちていることにさらに驚かされます。
    例えば、計算の過程で√1681なんていう数字が出てきます。
    これを整数に直せないと、その後の計算は煩雑を極め、行き詰ります。
    そりゃあ、算額ですからそうですよね。
    算術の腕自慢が互いに「どうだ、この問題を解けるか」と作ったり解いたりして楽しんでいたものなのですから、ある種の「悪意」が問題中にこもっているのは当然です。

    解き方を解説し、私も解きながら本人にも解いてもらうのですが、生徒は早い段階で計算ミスをして、行き詰ってしまいます。
    こんなふうでは、この難問をスラスラ解いて提出するほうが印象が悪いのでは?
    誰かに教わったか写したのが丸わかりです。
    そういうことは、本人が思うよりずっと、大人は気がつくものです。
    証拠があるのないのと水掛け論になるのが嫌で先生は口にしないでしょうが、心証は最悪です。
    むしろ平常点に影響するでしょう。
    自分で考えて、自力で解けた問題だけ提出したほうが良いのです。
    やはり、塾でこのプリントを解くのは、良くない・・・・・・。
    解く度に、結局反省します。


    もしも、私が中学生だったときに、数学の先生からそういうプリントが定期的に渡されるようだったら、私はどうしたかなあと想像します。
    昔も今もあまり社交的なほうではないので、とりあえず1人で解こうとし、解けたり解けなかったりしていたと思います。
    友達から教えてくれと言われれば、解けた問題は教えたでしょう。
    友達から友達へ、情報は伝わっていく。
    「あいつが、あの問題を解いた」
    3クラス135人しかいない中学で、そのうち3分の2は小学校からの内部進学ですから、全員が顔見知り。
    そういう情報は広がるのが速いです。
    「答を教えてくれ。自分はこっちの問題を解いたよ」
    普段話したこともない他のクラスの数学好きが、ある日やってくる。
    そして、教えあうゆるい共謀関係の相手が1人2人と現れ、増えていくと思います。
    教えあうことで楽をしようとしているのかというと、しかし、この場合、一方的に教わるだけでは体面が保てません。
    競争心もありますから、今度の問題は絶対に自分が一番に解いてやる、という方向に進んていくと思います。
    本気で解きますから、解ける問題が増えていくでしょう。
    そんな中で、あの当時個別指導塾はなかったけれど、家庭教師のついている子はいたから、そういう子が家庭教師から教わって解いたという情報が入ってきたら、私はどうしたかなあ。
    誰にも解けない問題がもしあったら、それについては有難く情報を活用しただろうけれど、それでいてその情報源の子を尊敬する気持ちはもたなかったんじゃないかなあ。
    むしろ、軽視したんじゃないかなあ。
    あいつ、家庭教師に教わったのか。
    自分では1題も解けないくせにねと、失笑した気がします。
    すいません。
    プライドばっかり高くて残酷で。
    でも、中学時代の私なら、そうだったろうなあ。


    応用力をつけるには、応用問題を解くこと。
    自力で解くこと。
    考えて考えて考え抜くこと。
    プライドをかけて臨むこと。
    テクニックより何より、まずそれが前提として必要だと思います。
    考えて考えてそれでもわからなくて教わった1問の中のテクニックは、悔しさとともに自分の血肉となります。
    安易に教わった問題は、安易に忘れます。
    定着しないのです。

      


  • Posted by セギ at 15:14Comments(0)算数・数学

    2015年12月06日

    南高尾山稜を歩き、京王高尾山温泉 極楽湯に入ってきました。2015年12月。


    2015年12月4日(金)、期末テスト期間で、午後3時からの振替授業などが相次ぎ、逆にぽっかり空いた1日、例によって高尾山に行ってきました。
    三鷹から電車を乗り継いで、高尾山口駅。8:25。
    今回は、南高尾山稜を歩きます。
    ケーブル駅に向かって少し歩き、小さな橋を1つ渡り、表通りに出て最初の信号を渡ります。
    麓の紅葉ももう終わり。
    高尾に初冬がやってきました。


    横断歩道を渡ってそのまま道なりに坂を上がっていくと左手奥に「草戸山」の道しるべが見えます。
    道しるべの通りに民家の脇の細い道を上がっていきます。
    道はじきに普通の幅の登山道になり、しばらく登りが続きます。
    落ち葉を踏みしめてゆっくり登っていくと、最初のピーク。
    ベンチもあります。
    南高尾山稜は、ここから小さなアップダウンが繰り返されます。
    南向き斜面の多い暖かい地域なので、まだ紅葉も残り、肉眼で眺める分には十分楽しめました。
    草戸峠。9:30。
    高尾主脈がよく見える展望地です。
    ベンチも並んでいます。
    一息ついて、さて、あとひと頑張り。
    いったん下って、ぐっと登っていくと、草戸山。9:45。
    ここからは道幅も広く、舗装されてはいないのですが観光客も気軽に歩ける道と合流します。
    人の姿がときどき見られるようになりました。
    近所のシニアの方が散歩に来ている様子です。
    全くの手ぶらか、ストックを1本持っているか。
    夏場ならペットボトルの1本くらいは持ってくるのでしょうが、この季節なら、もっと気軽に手ぶらでちょっと歩きに来るのでしょう。
    三沢峠。10:10。
    ここからは、また山道です。
    1つ1つピークを越えていく道もありますが、左のまき道を選んでのんびり歩いていくと、見晴台。10:50。


    津久井湖の向こうに、丹沢の山々と富士山。
    この写真では、雲とまぎれてどれが富士山かわかりにくいでしょうか。
    見晴台は南向きの日差しの暖かい斜面にベンチが並んでいて、風もなく、休憩適地です。
    何だかお腹がすいたので、お握りを1つ食べていると、パラパラと1人また2人と人がやって来ました。
    到着のタイミングはバラバラでしたが、同じパーティのようです。
    1人の方がロールケーキを1切れずつ配り、皆さん「うん」と頷いて受け取って黙々と食べます。
    「俺、昨日誕生日だったんだよ」
    「へえ」
    「大台だよ」
    「・・・・70か?」
    「はは。そうだな。サバを読んだら、そうだ」

    静かです。
    さっきから、「ありがとう」も「おめでとう」も無いのですが、それが悪い雰囲気でもなく、きっともう、そういうのは必要ないほど親しいのだろうなあ。
    こういう雰囲気、嫌いじゃないなあ。

    さて、再び出発。
    ゆるいアップダウンを繰り返し、最後のひと登りで大洞山。11:30。
    ここからは下り基調です。
    大垂水峠。11:55。
    甲州街道は登山道とつながる横断歩道で通過。
    そのまま登っていくと、紅葉台の近くに上がっていくのですが、今日は小仏城山方向へ。
    いったん横断歩道を下り、舗道を西へ少し歩くと、小仏城山への登山口が見えてきます。
    鉄柵につかまって急な坂を上がると、沢に出ました。
    沢沿いの平らな道はでもほんのわずか。
    すぐに九十九折の登りが始まりました。
    朝からかなり歩いてきたので、そろそろ疲れがたまって、ここからの登りの連続は結構こたえました。
    最後の急登を上がって、小仏城山手前の分岐。12:45。
    看板のような大きな地図が立っていて、その隅にこんな掲示が。


    奥高尾にクマ?
    ほんの2週間前のことです。
    一丁平でクマとは。
    奥多摩と地続きですから、そりゃあクマがやってこないとは限らないけれど。
    ドングリが豊作な今年に、そのクマは何でそんな遠征をしたかなあ。
    早朝や夕方の人が少ないときに奥高尾を歩くなら、では、クマ鈴が必要だなあ。

    奥高尾の主脈に出ると、風が強まりました。
    でも、風に雲が飛んだのか富士山がよく見えていました。


    高尾山。13:30。
    この前に来たときほどではありませんが、山頂付近は、やはりそこそこの人出でした。

    さて、今日はまだ早いから、3号路を下ろうかな。
    山頂から、まずは6号路琵琶滝コースと同じ坂道を下っていきます。
    途中に分岐があり、道しるべの通りに3号路への道へ。
    最初は車が通れるような道幅で、舗装はしていないですが平らで良い道です。
    まだ残る紅葉を楽しんでいくと、また分岐。
    ここから1号路に戻る道もあります。
    3号路はここから始まります。
    まず石段が続きます。
    しばらく石段を下ると、その後はずっと水平な道でした。
    地図で見るとよくわかるのですが、高尾山頂からケーブル山頂駅までのわずかな距離を延々と回り道するのが3号路です。
    道幅があるので怖くはありませんが、崖っぷちの水平な道です。
    まだ下山したくない、もっと歩きたいというときに良いコースです。
    回り道が終わると再び分岐。
    ここで3号路は終わり、1号路に合流することもできます。
    山道は、ここから2号路。
    登山靴でないと滑りますと観光客への注意書きが掲示されています。
    ここからの下りは、高尾山からの下山道としては一番道が悪いです。
    悪いといっても高尾山ですから、そんなに常軌を逸した危険個所があるわけではありません。
    私が立って歩いていけるんですから安全な道なんですが、何となく滑りやすい岩がちな道が続きます。
    ここを初めて歩いたときは、山歩きを初めてまだ間もなく、技術的な問題もあり、今より道も悪かったので、一部座り込むようにして通過したなあ。
    悪いところは木段が整備され、今はかなり歩きやすくなりました。
    回想をしながら下りていくと分岐があり、道は左右に別れました。
    道しるべのどちらにも「高尾山口」と書かれているので、逆にどっちを歩いていいか困って地図を開きます。
    下りてきたまま右に曲がると、琵琶滝の裏側に出るんですね。
    そこから6号路と合流します。
    左に曲がると、もうあと少しで高尾病院の敷地に入り、そこが下山口です。
    右のほうは遠回りなので、さすがにもう左の道へ。
    ほんの数分で高尾病院から舗装道路に出ました。
    さらにどんどん行くと、ケーブル駅。14:50。

    次の日曜日もそこそこ晴れの予報が出ていたのに、この金曜日に山に来た目的はもう1つありました。
    京王高尾山口駅に新しく出来た温泉施設に一度入ってみたーい!
    ヽ(^o^)丿
    でも、混雑が予想され、休日に行ってまともに入れるとは思えません。
    紅葉シーズンも一段落した今、平日の午後の早い時間なら、入れるでしょう。

    京王高尾山温泉極楽湯は、京王高尾駅の改札に向かって左に専用通路があります。
    一番上の画像がそれです。
    通路を通り、駅の裏側に出ると、そこが温泉施設です。


    入り口はこんな感じ。
    中に入って、まず靴ロッカーに靴を入れ、入浴券の自販機で券を購入。
    大人1000円。時間規制はなく、終日1000円。
    ただ、お正月などは特別料金になるそうです。
    受付に入浴券を出します。
    靴ロッカーの鍵は自分で管理するそうです。
    浴室は2階。
    脱衣所は広めでした。
    ロッカーは鍵付きで、自分の好きなロッカーを選びます。
    30Lのザックなら何とか入る大きさでした。
    さて、浴室へ。
    まずは洗い場。
    1人1人仕切ってあるのは良いですね。
    でも、シャンプーなどの置いてある棚の横にゴミ箱が1つ1つ置いてあるのは、いかがなものか。
    一瞬でしたが、ちらっと中身を見てしまい、うわあと思いました。
    髪の毛のゴミがどうにも・・・・・。
    個包装のシャンプーの袋などのゴミをその辺に散らかして帰る客がいるのはわかるんです。
    でも、そのためのゴミ箱ならば、小さな石鹸箱サイズのプラスチックのザルで十分のはず。
    そして、職員がこまめに掃除してくださるのが理想です。
    家庭の部屋に置くようなサイズのゴミ箱を洗い場1つ1つに置く理由がわかりません。
    ゴミの前で身体を洗うのは不快です。
    難点はそこだけなので、何とかしてほしいなあ。

    ともあれ、身体も洗い、さあ、お湯へ。
    露天へGO。
    京王高尾温泉は、お湯が6種類。
    まずは、地下1000mから汲み上げている天然温泉の岩風呂。
    これが、熱めの湯(42度くらい)と、ぬるめの湯(40度くらい)の2種類ありました。
    大きな温度計で常に湯温が表示されています。
    泉質はアルカリ性単純温泉。
    それぞれ、10人くらいが楽に入れる大きさでした。

    次が、炭酸石張り風呂。
    ここも広い湯船。
    入って静かにしていると、炭酸の泡が皮膚にびっしりとついてきます。
    あー、山歩きの疲れが取れます。

    その横が、座り湯。
    座っていると、肩から腰にお湯が流れます。
    これが4席分。

    以上4つが露天。

    屋根がついている半露天なのが檜風呂。
    マイクロバブルの白濁湯でした。
    ここも堪能。

    内風呂もあります。
    ここは替わり湯。
    いろいろなお湯が楽しめるようです。
    今回は、赤いお湯でした。
    エキス湯だそうです。
    何の?

    他に、サウナと水風呂もありました。
    凄いなあ。
    これは、登山口の温泉という規模のものではなく、観光施設です。
    色々なお湯に出たり入ったりして、1日楽しめます。
    それにしては、料金がリーズナブル。

    お風呂から上がって服も着て、さてパウダールームの様子をのぞきます。
    洗面台は2つのみ。
    でも、座ってドライヤーをかけたり化粧をしたりするためのスペースは6席だったか10席だったか、よく覚えていないけれどたくさんあり、山の温泉施設より充実していると感じました。

    さて、湯上り。
    有料のマッサージ・ルームがありました。
    ほぐし処というようです。
    自販機はたくさん並んでいて、テレビとベンチも用意されていますが、自販機にアルコール類が入っていませんでした。

    1階に降りていくと、広い食堂があり、そこのメニューには酒類がたくさん。
    例えば、生ビール(中) 490円。
    どんなサイズかにもよりますが、そんなに高い値段でもなさそう。
    食べ物のメニューは、例えばこんなふうです。
    とろろそば 750円。
    麦とろ飯 780円。
    麦とろ牛タン御膳 1480円。
    その他、いろいろ。
    うん、普通の値段ですね。
    食堂の奥にはうたたねスペースもあるそうです。

    今日は夜から授業があるので酒類は飲めないから、食堂は素通りしました。
    冬枯れの奥高尾を歩いた帰りにでも、また寄りましょう。
    フロントに京王線の電車時刻が次の3本まで表示されていました。
    おお、あと5分で電車が出る。
    靴を履いていると、ザックを担いだ女性4人が混雑の始まった玄関で迷っていました。
    「すいません、今、混んでました?」
    そう質問されました。
    「はあ、そこそこ・・・・。洗い場は、偶然空いているか、少し待つか、くらいになると思います」
    「ああ、そうなの・・・・・?」
    どうしよう、無理しなくても今日はいいんじゃないの、と相談しているその人たちに黙礼して、玄関を出ました。
    よく温まったので風の冷たさも気にならず、ぽかぽかのまま駅に入りました。
    下が、京王高尾温泉のサイトです。
    http://www.takaosan-onsen.jp/




      


  • Posted by セギ at 13:15Comments(2)

    2015年12月03日

    12月12日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    11月28日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    ご参加は4名様。
    本日より「組合わせ」の授業です。
    「組合せ」は、例えば、こんな問題です。

    例題 15人の生徒の中から12人を選ぶとき、次のような選び方は何通りあるか。
    (1)何も条件がない場合。

    まずは「順列」で考えてみます。
    15人から12人を選んで並べる順列は?
    樹形図をイメージして、
    15×14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4
    という式で求めることができます。
    でも、これは順列。
    順番を意識して考えたものです。
    組合せは順番は関係ありません。
    上の式で求める答えは、同じ選び方なのに順番だけが違うものを何度も繰り返しカウントすることになります。
    では、同じ選び方を何回繰り返してカウントしているのか?
    それは、12人を並べる順列の数だけ、繰り返していますね?

    組合せの公式を理解するためのここが最初のヤマ場です。
    上の問題は数字が大きいので、もう少し易しい問題で考えてみましょう。
    例えば、p、q、r、sの4つの文字から3個を選ぶ組み合わせは何通りあるか?
    p、q、r、sのうちから、1例として、p、q、rの3個を選んでみます。
    でも、順列の計算では、同じp、q、rという組合せを、
    (p、q、r)、(p、r、q)、(q、p、r)、(q、r、p)、(r、p、q)、(r、q、p)
    と6回もカウントしています。
    この6通りを計算で求めるなら、それは、p、q、rの3個を並べる順列の数でしょう。
    3×2×1=6 です。
    これは、p、q、sなど、他の3個を選んでも同じで、どの選び方をしても順列の計算では6回繰り返しカウントしてしまいます。
    ということは、まずは4個から3個を並べる順列で、4×3×2とした上で、それを、3個のものを並べる順列 3×2×1で割れば、組合せの数が計算できるのでは?

    一般化するならば、n個のものからr個を選ぶ組み合わせの個数は、
    n(n-1)(n-2)×・・・×(n-r+1)が分子。
    r!が分母。
    そういう分数で表せます。
    これが、組合せの公式です。

    ここまで順調に説明できた、と思った瞬間、参加者の方から質問が。
    「それ、sを加えたら、どうなるんですか?」
    「・・・・え?」
    質問の意図を明確にくみ取ることが難しいこうした質問が、「場合の数と確率」という単元では特に多くなります。
    それは、高校生に教える場合、なおさらそうです。
    今の説明の何がまずくて、sのことを気にさせてしまったんだろう?
    今までの説明全てに霧がかかってくるようなモヤッとした質問は、説明を聞いた人の心に何かモヤッと霧がかかっていることを示しています。

    p、q、rという組合せを例にとり、「これは全てに言える」と、数回繰り返し強調したつもりだったのですが、そこで大きく論理が展開したことが伝わらなかったのかもしれません。
    1例だけを挙げて、これは全てに言えると結論づけたのが早急だったのでしょう。
    p、q、sについても、6通り示す。
    p、r、sについても、6通り示す。
    q、r、sについても、6通り示す。
    全て、同じ1つの組合せを6回カウントしていることを示す。
    だから、順列では、4×3×2=24 となるけれど、
    組合せでは、(4×3×2)÷(3×2×1)=4である。
    この全ての過程を一度全部示したほうが理解しやすかったのだと思います。
    教室のホワイトボードが小さいので、ついついスペースのことを気にして、こういうことを省略してしまうのですが、一度は示さないと深い理解が得られないことは多いのでしょう。
    どうか、ご自宅で、納得のいくまで順列と組み合わせとの数の関係を見極めてください。

    さて、例題に話を戻すと、例題は、15人から12人を選ぶ組み合わせでしたから、
    公式通りに書くと、
    15×14×13×12×11×10×9×8×7×6×5×4
    12×11×10× 9 ×8 ×7×6×5×4×3×2×1
    この2行は、上が分子、下が分母の分数だと思ってください。
    これ、分母と分子に同じ数が多いので、かなり約分できますね。
    約分した結果は、
    15×14×13
     3× 2× 1

    あれ?
    この式は、15個のものから3個を選ぶ組み合わせの式と同じなのでは?

    そうです。
    15個から12個を選ぶ組合せと、15個から3個を選ぶ組合せは、同じ数となります。
    これは数字上のことだけではなく、意味の上からもそうなります。
    15個から12個を選ぶということは、15個から3個を選ばないということ。
    ならば、その選ばない3個を「選ぶ」と考えても、同じことである。

    しかし、ここで予想通りの停滞が起こりました。
    ここは、中学2年生の単元として「場合の数と確率」の学習をしたときも「わからない」とおっしゃった方がいらっしゃったので、授業としては停滞を予期していました。
    ここがわかりにくいのは、数字上の問題ではなく、表現上の問題なのかもしれません。
    「15個から12個を選ぶ」ことを「15個から3個を選ぶ」ことにすり替える。
    それが、同じことであるはずがない。
    だから「わからない」とおっしゃるのかなあと推測しています。

    そうです。
    意味上は、同じことではないのです。
    でも、「15個から12個を選ぶ」ことと「15個から3個を選ばない」ことは同じこと。
    だから選ばない3個を先に選んで除外しましょうということなのです。
    ご不明な点は、またご質問ください。

    (2)特定の5人から3人だけを選び、特定の5人以外の10人から9人を選ぶ方法は何通りあるか。

    うーむ、何だこのえこひいきは?
    いや、そもそも15人から12人を選ぶこと自体がおかしい。
    12人選ぶくらいなら、もう全員にすればいいのに。
    そうツッコみながら、楽しく解いていきましょう。ヽ(^o^)丿
    まずは、特定の5人から3人を選ぶ組合せを考えます。

    これは公式を使って簡単に解いていけますね。
    (5×4×3)÷(3×2×1) です。
    ちなみに、組合せは「コンビネーション」の頭文字Cを用いて、5C3と表します。
    5C3で、5個から3個を選ぶ組合せ、という意味です。
    5C3=(5×4×3)÷(3×2×1)=10 です。

    次に、残る10人から9人を選びます。
    先ほどの考え方を用いて、
    10C9=10C1=10 となります。

    さて、この2つをどうするのか?
    足すのか?
    かけるのか?

    この2つは同時に起こる事柄です。
    5人から3人を選んだ組合せの1つ1つに対して、10人から9人を選んだ組合せが対応します。
    だから、かけ算をします。
    これを「積の法則」と呼びます。
     
    5C3・10C1
    =100
    100通りが、この問題の答えです。

    (3)特定の2人を含まない選び方は何通りあるか。

    どうせ含まないのですから、特定の2人は最初から除外しましょう。
    15人から12人を選ぶのではなく、13人から12人を選ぶのです。
    よって式は、13C12=13C1=13
    答えは、13通り です。

    ここで、
    「その特定の2人を選ぶ方法を考えなくていいんですか?」
    という質問が予想されます。
    高校生によく質問される内容です。
    ですが、問題に「特定の2人」と書いてあるとき、その時点でその特定の2人は確定しているので、問題を解く我々がその2人が誰であるかを選ぶ必要はないのです。
    という説明が、これまで高校生にこのことを説明してきて、まだしも理解しやすい説明だと思います。
    それでも納得してくれない子とは、延々と不毛な論争をすることになります。
    そういう子の論理は循環して、トリックアートみたいになっています。
    そこに切り込んで、循環した論理を粉砕するのは意外に難しいのです。
    「場合の数と確率」という単元は、その人の思考の癖や文章の読み取りの癖が出やすい単元なのかもしれません。

    (4)特定の2人のうち少なくとも1人を選ぶ場合

    さて、これが一番の難問です。
    計算自体は非常に楽なのですが。
    問題文に「少なくとも」と書かれているときは、その反対を考えると楽に解けることが多いです。
    確率で言う「余事象」というものです。
    「特定の2人のうち少なくとも1人を選ぶ」ことの反対とは何か?
    それは、「特定の2人を選ばない」ことになります。

    例えば、ここで特定の2人をAさんとBさんと名付けましょう。
    この2人の選び方は、以下の4通りあります。
    「AさんもBさんも選ぶ」
    「Aさんを選ぶ。Bさんは選ばない」
    「Aさんは選ばない。Bさんを選ぶ」
    「AさんもBさんも選ばない」
    他の選び方はないですよね?
    さて、ここで、2人のうち少なくとも1人を選んでいるのは、どの選び方か?
    上から3つ目までがそうです。
    最後の4つ目だけが、それとは異なる選び方となります。

    だから、「特定の2人のうち少なくとも1人を選ぶ」ことの反対は、「特定の2人を選ばない」ことになります。
    ということは、(1)で求めた、何の条件もない選び方455通りから、(3)で求めた、特定の2人を選ばない選び方13通りを引けば、(4)の答えとなります。
    よって、455-13=442
    442通りが答えです。

    この考え方を、スパンと理解して、
    「あー!場合の数、面白い!」
    と言う高校生と、
    「それ全然わかんない」
    という高校生と、はっきり分かれます。

    例として出したAさんとBさんが、むしろ悪影響を及ぼすこともあります。
    「では、CさんとDさんの場合はどうなるんですか?」
    ・・・・いや、AさんとBさんだけが特定の2人です。
    「特定の2人」と問題に書いてあるので、その2人にAさん・Bさんと名付けたのです。
    CさんやDさんは、特定の2人になることはありません。

    「他の場合もあるんじゃないんですか?」
    ・・・・ありません。
    他の場合とは、では、どんな場合が?
    何かありそうな気がする?
    ・・・・それは、気の迷いでしょう。

    こんな解答で高校生に納得してもらえることのほうが実は少ないのです。
    そして、こうした質問に対し、具体的に書いていくには、442通りは、あまりにも数が多い。

    「場合の数と確率」という単元は、思考のサーフィン。
    上手く波に乗れると楽しくて大好きになる単元ですが、どうしても波に乗れないこともあるようです。
    場合の数の考え方の何かが肌に合わない、ということなのかもしれません。
    でも、思考訓練として面白いです。
    自分の考え方のどこが間違っているかを究明しようとするとむしろ迷宮を彷徨うことになりますので、正答の考え方を理解することに専念することをお勧めします。
    どうか頭を柔らかく。

    次回の数学教室のお知らせです。
    ◎日時  12月12日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「場合の数と確率」を続けます。「組み合わせ」の続き。p23から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
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  • Posted by セギ at 14:36Comments(2)大人のための講座