たまりば

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2017年01月18日

1月28日(土)、大人のための数学教室を開きます。


高尾山のシモバシラの氷花です。
まだ小さいですね。

さて、1月14日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回も「不定方程式」。
こんな問題を解きました。

問題 方程式 x+3y+5z=23 を満たす自然数の組(x,y,z)をすべて求めよ。

方程式は1本。文字は3つ。
こんな問題、解は無数にあるのでは?
でも、全部たし算ですし、「自然数」という条件があるので、解は限定されます。
「自然数」というのは、1,2,3,4,・・・・という、正の整数です。
どの文字も負の数になってはいけないということです。
合計23の中で、1つの文字の取り分が増えていけば、他の文字の取り分が減るので、これは限りがあるなあとわかります。

さて、こういう問題は、係数の大きい文字の範囲をまず決めてしまいます。
この問題では、zの係数が5と一番大きいので、zの範囲を決めます。
23からの取り分が大きくなる文字から決定したほうが、その後の計算が楽だからです。
x+3y+5z=23
移項して、
5z=23-x-3y
ここで、x、yは自然数なので、x≧1、y≧1。
x=1、y=1を代入すると、
5z≦23-1-3・1
5z≦19
z≦19/5
zは自然数だから、
z=1,2,3

ここで一番難しいのは、5z≦23-1-3・1 でしょうか。
予想していた向きとは不等号の向きが逆で、「え?え?」となってしまう方もいらっしゃるかもしれません。
合計は常に23です。
その中で、xとyの最小値1を代入しました。
その場合、5zの取り分は最大となります。
だから、実際の5zはその最大値以下となります。

さて、ここから場合分けして考えていきます。
[1] z=1のとき
x+3y+5z=23 に代入して、
x+3y+5・1=23
x+3y=18
よって、
(x,y)=(3,5),(6,4),(9,3),(12,2),(15,1)

[2] z=2のとき
x+3y+5・2=23
x+3y=13
よって、
(x,y)=(1,4),(4,3),(7,2),(10,1)

[3]z=3のとき
x+3y+5・3=23
x+3y=8
よって、
(x,y)=(2,2),(5,1)

これらは、x=1の場合から1つ1つ代入して計算しても勿論求められるのですが、時間がかかります。
もう少し早く合理的に求めたいです。
例えば、x+3y=18 の場合、
x=0ならば、3y=18なので、y=6です。
しかし、xは自然数なので、x=0は解ではありません。
そこからyが1減って、y=5になると、3y=15です。
全体の18から3減ることになります。
それがxの取り分となりますから、x=3、y=5が最初の解の組だとわかります。
あとは同じように変化していきます。
つまり、全体としては常に3だけyからxへとやりとりがあります。
だから、xは3ずつ増え、yは1ずつ減ります。
(3,5)が見つかった後は、xは3ずつ増やし、yは1ずつ減らして、yが0や負の数になる前に止めれば良いのです。

こういうやりとりの問題は、中学受験の受験算数でも出題されます。
しかし、小学生でも、勿論高校生でも、このやりとりがよくわからないという場合があります。
今回の大人のための数学教室でも、ここのところが大変不評で、
「今日はとにかく、1から全部代入して求めます」
と参加者の方はおっしゃっていました。
今日はとりあえず解き方の理解に集中したい。
やりとりの話は全体が見えてからゆっくり考えますから、ということだと思います。
家でじっくり考えれば何も難しいことではないので、大人の方はまず大丈夫でしょうが、小学生や高校生でこれがわからないとなると、テストでこの問題を解くのに時間がかかり、時間切れの恐れが出てきます。
これは理解してほしいところです。
回りくどい計算をしている暇はありません。
瞬殺しましょう。
ヽ(^。^)ノ

例えば、 2x+3y=24 (x、yは自然数) を解くときに、
xが0ならば、yは8です。
これは暗算ですぐ出てきます。
ここからxを増やしていきますが、3yからもらえるものは必ず3の倍数です。
しかし、2xは2の倍数です。
だから、余りが出ないようにするには、2と3の最小公倍数の6ずつやりとりをすることになります。
すなわち、xは3ずつ増え、yは2ずつ減ります。
だから、
(x,y)=(3,6),(6,4),(9,2)

どうでしょうか?
このことは、理解できる子には何でもないことなのですが、「わかりにくい」と感じる子にとっては、いくら説明を聞いてもわからない、何を言っているのかさっぱりわからない、日本語で説明されているとは思えないくらいわからない、ということのようなのです。
表現が難しいですが、「数字と友達になっていない」ということかなあと思います。
サッカー選手にとって「ボールは友達」で自在に操れるものであるように、数字を自在に操れると、色々なことが楽になります。

こういうことだけに限りません。
例えば、「関数」の学習をしているとき。
座標平面上の点の移動を上手く読み取れない子がいます。
A(1,-5)からB(-3,-2)への移動は、
x軸方向に-4、y軸方向に3だけ平行移動したもの。
こういうのは、それこそ瞬殺で、見ただけでわかることですが、中学生・高校生の中に、この移動が読み取れない子がいます。
「どういう式ですか?」
と質問されたりします。
・・・・・・式?
あえて言えば、「移動後の座標-移動前の座標」で、
-3-1=-4
-2-(-5)=3
ということですが、そんなややこしい式をいちいち立てていたら、かえって符号ミスをしそうです。

1から-3への移動が-4の移動であることを、見ただけで読み取るというのは、ではどのような判断しているかというと。
頭の中で、まず符号を決定しています。
小さい数のほうに移動しているので、これはマイナスの移動です。
移動の絶対値は、まず、1から0までで1。
0から-3までで3。
だから合計4。
したがって、-4の移動です。

-5から-2への移動。
これは、大きい数に移動していますので、ブラスの移動です。
移動の絶対値は5-2で3。
だから、+3の移動。

見ただけで判断するというのは、分析すれば、こういうことをほぼ直感的にやっているのだと思います。

「なぜたし算だったりひき算だったりするの?」
そう訊かれれば、
「だって、正負の数って、そういうものです」
と答えるしかありません。
「わかんない、わかんない、わかんないー!」
「・・・・・」
これは私が悪かった。
わからないなら、式を立てて計算すればいいんだよ。
こういう会話の後で、そう反省したこともあります。

中1で最初に学ぶ「正負の数」の計算でつまずいてしまう子がたまにいます。
そういう子は、結局、数直線上の数値の移動が飲み込めていません。
だから、久しぶりに「正負の数」を復習すると、誤答が目立ちます。
「あれ?負の数+負の数って、正の数になるんじゃね?」
「・・・・・なぜ、そう思うの?」
「あれ?違った?」
「・・・・負の数×負の数と混ざっていない?」
「あ、そうかそうか」
本人は気楽そうですが、負の数+負の数は、実感として負の数になるわけがないのに、なぜそこに違和感を抱かないのかと思うとき、暗い深淵がそこにあると感じます。
そういう子にとって、数字は友達ではない。
数字なんて、扱いにくくて厄介な存在なんだろうなあ。
どうすれば、数字が友達になるかなあ。

かなり話がそれました。
まだ最終解答をまとめていませんでした。
答えは、(x,y,z)の値の組で答えますから、
(x,y,z)=(3,5,1),(6,4,1),(9,3,1),(12,2,1),(15,1,1),(1,4,2),(4,3,2),(7,2,2),(10,1,2),(2,2,3),(5,1,3)
これが最終解答です。


さて、次回の大人のための数学教室のお知らせです。
次回は1月28日(土)。
なお、その次は祝日を挟みますので、2月18日(土)となります。

◎日時  1月28日(土)10:00~11:30
◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p108の問題20、21、22が宿題です。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。



  


  • Posted by セギ at 12:35Comments(0)大人のための講座

    2016年12月15日

    1月14日(土)、大人のための数学教室を開きます。




    12月10日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    「不定方程式」もあと少しで終わり。
    今回は、こんな問題です。

    例題 方程式 3x+7y=71 を満たす自然数の組(x , y)を全て求めよ。

    この問題が今までと異なるのは、求める解が「整数」ではなく、「自然数」であること。
    自然数とは、1、2、3、4、・・・・といった、正の整数のことです。
    xもyも自然数でなければならないとなると、これは無数にあるわけではなさそうです。
    どちらかが負の整数であるものは解ではないからです。
    だから、こういう問題は、具体的な解を全てあげて答えます。

    まずは、いつも通りの不定方程式の解き方で計算していきます。
    x、yの具体的な解を1組、見つけましょう。
    係数の大きいyから、y=1、y=2と代入していくと、x=19、y=2が見つかりますね。
    したがって、
    3・19+7・2=71 ・・・・➁
    与式を➀として、①-➁をすると、
    3(x-19)+7(y-2)=0
    移項して、
    3(x-19)=-7(y-2)
    3と7は互いに素だから、
    x-19=7k (kは整数)
    x=7k+19 ・・・➂
    y-2=-3k
    y=-3k+2 ・・・④
    という整数解がまず見つかります。

    ここからが今までと異なります。
    x、yは自然数なので、1≦x、1≦yですから、
    ➂に代入すると、
    1≦7k+19
    7k+19≧1
    7k≧-18
    k≧-18/7
    ④に代入すると、
    1≦-3k+2
    3k≦1
    k≦1/3

    よって、-18/7≦k≦1/3
    kは整数だから
    k=-2、-1、0
    これを➂、④に代入して、
    (x、y)=(5 , 8),(12 , 5),(19 , 2)

    x=7k+19 ですので、1つめの x=5 を計算したら、あとは7ずつ増やしていくと求める時間を短縮できます。
    yも同様です。
    y=-3k+2 ですから、最初は計算で y=8 を出した後は、3ずつ減らしていくとよいでしょう。
    今回は解が3組だけでしたが、15組くらいあっても全部書いていきますので、計算時間の短縮は重要です。
    計算の工夫ですね。

    今回の期末テストを見ると、計算でもたつき、時間がかかってテストを最後まで解くことができなかった生徒が何人かいました。
    計算スピードが遅い生徒を見ていると、手が止まって考え込んでいる時間が長いのが特徴です。
    立式を考えているのではありません。
    式が立った後、計算で手が止まって考え込んでいるんです。
    何をしているのかというと、暗算をしているんです。
    暗算は、本人は速く解けるつもりでいても、傍らから見ていると不可解なほどに長い時間がかかっていることがあります。
    「暗算」と「計算の工夫」は似て非なるものです。
    一般に、計算過程をなるべく暗算で済まそうとする子ほど計算に時間がかかり、計算ミスも多い傾向があります。
    そういう子の答案は、式が1行跳び、2行跳びの印象です。
    何でそんなアクロバティックな省略をしたがるのか私にはわからないのですが、書いている本人は、もう何年もそういう答案を書いているので、何を注意されているのかわからないようなのです。
    ここを省略するから計算しにくくなって、ここで符号ミスをして、ここで計算ミスをする。
    そういうことに対して自覚がなく、
    「次はミスしないようにしよう」
    と思うだけか、ミスしたこと自体なかったことにしようとするのも、そういう子たちの傾向です。
    それでは、ミスが減ることはほとんど期待できません。
    計算ミスが多いなら計算のスタイルを改善する必要があるのですが、どうもそういう分析がなく、ただ「次はミスしないように頑張ります」と思うだけのようです。
    具体的に何かを変えていかなかったら、ミスは減りません。

    ただ、そういう子ほど我流のスタイルが身体にしみついていて、改善が難しいのも事実です。
    スポーツに通じるものがあるかもしれません。
    正しいフォームが大切なのは一般論としてはわかっている。
    でも、自分は正しいフォームで行うことができない。
    我流の曲がったやり方がしみついている。
    そこを注意されても、直せない。
    「こうやったほうが自分はやりやすいからいいの!」
    と思ったりするのでしょうか。
    正しいフォームを身につければ無限に伸びる可能性が生まれます。
    我流にこだわったら、先は見えています。
    そういうところは、数学はスポーツと似ているなあと思います。
    やはり、数学は頭脳のスポーツですね。
    ヽ(^。^)ノ


    さて、大人のための数学教室、年内の授業は今回が最後でした。
    次回は、来年、1月14日(土)となります。


    ◎日時  1月14日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p109の問題16が宿題です。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。




      


  • Posted by セギ at 12:08Comments(0)大人のための講座

    2016年11月28日

    12月10日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    11月26日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    「不定方程式」の続きです。
    今回は、文字が3つある、3元1次不定方程式の解き方。
    まずは連立型。
    式が2本ある場合です。

    問題 連立方程式 
    7x+5y+2z=37・・・➀
    2x-y+z=13・・・②
    の整数解を全て求めよ。

    不定方程式の基礎が身についたら、この解き方は自力で発見することもできそうです。
    zを消去した式をまず1本作ったら良いですよね。
    どうしたら消去できるか?
    zの係数を揃えて、足したり引いたりすれば消えます。
    ➀-②×2をすると。
      7x+5y+2z=37
    -)4x-2y+2z=26
      3x+7y   =11 ・・・➂

    ここから xとyの解を求めるまでは、今まで学習した不定方程式の解き方と同じです。
    暗算で、xとyの整数解の1つを求めます。
    例えば、(x, y)=(-1, 2)がそうですね。

    この暗算が上手くいかないという悩みをもつ高校生もいます。
    見つけられないと言うのです。
    上の式で言えば、3xと7yの和が11という正の数になるということは、xとyのどちらかが負の数だということにまず気づくこと。
    あとは、係数の大きいyのほうに、1、2と入れていって辻褄が合うかどうかを検討するのが手っ取り早いです。
    7と3の差が4で、11と7の差が4であることから、xの係数とyの係数の絶対値の差は1であることは判断できるのですが、そんなことをいちいち考えるのは逆に面倒くさい気もします。

    さて、xとyの整数解の1つが見つかりましたので、
    3・(-1)+7・2=11・・・④
    ➂-④をすると、
    3(x+1)+7(y-2)=0
    移項して、
    3(x+1)=-7(y-2)
    3と7は互いに素だから、
    x+1=7k (kは整数) ・・・➄
    ➄を➂に代入して計算すると、
    y=3k+2
    よって、x=7k-1
         y=3k+2 (Kは整数)

    xとyの解がわかったら、それを与式のどちらかに代入すればzも求めることができます。
    今回は➁の式が求めやすそうなので➁に代入しますが、➀に代入しても同じ答えが出ますし、そのことで考えこんでしまう必要はありません。
    ぱっと見てどちらが解きやすいか判断がつかないのは、それはどちらでも本人にとって同じ労力だからだろうと思います。
    負の数になると符号ミスをしやすい高校生の場合は、むしろ➀に代入したほうが正解の可能性が高まるかもしれません。

    計算の工夫は、そうしなければならないというものではありません。
    ただ、この時期、高校生に「三角比」「三角関数」を教えていて感じるのですが、計算が苦手な子ほど計算ミスをしやすそうな計算方法で計算してしまいます。

    例えば、余弦定理の利用の問題で、下のような式を立てるところまではできるのです。
    49=(x-1)2+25-2(x-1)・5・(-1/2)
    式の後ろのほう、-2(x-1)・5・(-1/2) はごちゃごちゃしているように見えますが、ここは全てかけ算の連なりですから、どこからかけても結果は同じです。
    -2と-1/2を先にかけてしまえば、ここは1です。
    だから、5(x-1)=5x-5 と簡単に整理できます。
    しかし、計算が苦手な子ほど、前から順番にかけていきます。
    -2(x-1)・5・(-1/2)
    =(-2x+2)・5・(-1/2)
    =(-10x+10)・(-1/2)
    =5x-5
    見ていて、「うわあ・・・・」とつぶやいてしまう危険な計算過程です。
    そして、途中のどこかで符号ミスやかけ算を忘れたミス、( )をつけ忘れて項がかけ算の連なりから外れてしまうミスなどが起きて、ほとんどの場合、誤答してしまいます。
    ( )をいちいち開いたら面倒くさくなるよ、そこは最後にしなさいと助言するのですが、そういうのは問題を解いているときには気づかないと本人は言います。
    交換法則や分配法則。
    そういう計算上の法則がきちんと定着していないのかもしれません。
    言われればわかるけれど、使いこなせない。
    これを「自分がわかる解き方で解きなさい」とほおっておくことはできません。
    計算ミスをしやすい子が、計算ミスをしやすい方法で計算したら、ほぼ確実に計算ミスをします。
    これはさすがに止めます。

    計算の工夫というのは、簡単に解くための工夫です。
    簡単に解くということは、ミスしにくくなるということです。
    ミスの出方が同じ頻度であるのなら、どんな解き方でも構わないのです。

    さて、不定方程式に話を戻しまして。

    x=7k-1 , y=3k+2 を 2x-y+z=13 に代入します。
    2(7k-1)-(-3k+2)+z=13
    14k-2+3k-2+z=13
    17k-4+z=13
          z=-17k+4+13
          z=-17k+17
    よって、
    x=7k-1
    y=-3k+2
    z=-17+17 (kは整数)

    これが3元1次不定方程式の解です。
    ヽ(^。^)ノ

    さて、次回の大人のための数学教室は、12月10日(土)です。
    これが年内最後の授業となります。

    ◎日時  12月10日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p106の問題10について質問を受けるところから授業開始です。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。







      


  • Posted by セギ at 13:29Comments(0)大人のための講座

    2016年11月18日

    冬期講習のお知らせ。2016年。


    2016年度冬期講習のご案内です。
    詳細は、11月末に書面で郵送いたします。
    お申込み受付は、12月1日(木)からとなります。
    申込書またはメールでお申込みください。
    なお、この期間、通常授業はありませんので、いつもの時間帯の授業を希望される方も改めてお申込みください。
    外部生の受講は承っておりません。大変申し訳ありません。

    以下は、冬期講習募集要項です。
    ◎期日
    12月26日(月)~12月30日(金) 
    1月4日(水)~1月9日(月)
    今回、1月8日(日)も授業日となります。
    ◎時間帯
    10:00~11:30 , 11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30 , 16:40~18:10 , 18:20~19:50 , 20:00~21:30
    ◎費用
    1コマ90分4,000円×受講回数
    ◎指導科目
    小学生 一般算数・受験算数・英語
    中学生 数学・英語
    高校生 数学・英語

    ◎空きコマ状況 12月26日更新
    12月29日(木)
    16:40~18:10
    12月30日(金)
    20:00~21:30
    1月4日(水)
    18:20~19:50 , 20:00~21:30

    1月6日(金)
    20:00~21:30
    1月7日(土)
    20:00~21:30
    1月8日(日)
    20:00~21:30
    1月9日(月)
    20:00~21:30

      


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    2016年11月15日

    11月26日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    11月12日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    「不定方程式」の学習の続きです。
    例えば、こんな問題。

    例 41x+17y=30 の整数解を求めよ。

    不定方程式を解くには、まずxyの整数解を1組見つける必要があります。
    しかし、このようにxyの係数が大きいと、さすがに暗算で見つけるのは難しくなります。
    そこで互除法を利用します。
    41÷17=2あまり7 →7=41-17・2
    17÷7=2あまり3  →3=17-7・2

    目標は、x、yの整数解を1組見つけること。
    すなわち、41◇+17△=30
    という形の式を1本作ることです。
    そこに向かって、数値を代入していきます。
    あまりが1になるまで計算しなくても、あまりが30の約数になるまで互除法をやれば、そこから変形していくことができます。
    3=17-7・2
     =17-(41-17・2)・2
     =17-41・2+17・4
     =41・(-2)+17・5
    この全体を10倍します。
    41・(-20)+17・50=30 ・・・・➁

    後はこれまでと同じなのでかなり省略して書きますから、この先の計算がよくわからない場合は、前回と前々回の「大人のための数学教室」のページをご参照ください。

    与式を➀として、➀-➁をすると。
    41(x+20)+17(y-50)=0
    移項して、
    41(x+20)=-17(y-50)
    41と17は互いに素だから。
    x+20=17k (kは整数)
    y-50=-41k
    よって、答えは、
    x=17k-20
    y=-41k+50 (kは整数)

    そのときはわかるけれど、時間が経つと、またわからなくなる。
    高校生も、不定方程式は、わかって、わからなくなって、またわかっての繰り返しです。
    作業手順だけ覚えようとすると、忘れるのも早いです。
    必ず計算の意味に戻れるようにしておきましょう。
    なぜ41と17が互いに素だと x+20=17k だと言えるのか。
    なぜ、x+20=17k とし、-17k としないのか。
    なぜ、y-50=-41k とするのか。
    ふっとわからなくなる質問を繰り返し受けながら、計算に没頭してもらった90分間でした。

    不定方程式の係数がさらに大きい場合の解法にも進みましたが、これは例題解説をしたのみで、演習は宿題にしました。
    また疑問百出と思います。
    次回はそこの復習からやっていきましょう。

    ◎日時  11月26日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p105から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。






      


  • Posted by セギ at 12:58Comments(0)大人のための講座

    2016年10月31日

    11月12日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    10月29日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回も「不定方程式」です。
    前回は、比較的係数の小さい不定方程式を解きました。
    不定方程式は、具体的な整数の解を1組求めることができれば、その後は簡単。
    係数の小さい不定方程式なら、整数解の1組も暗算で求めることができます。
    しかし、暗算ではなかなか見つけられない場合もあります。
    そんなときは、「互除法」を利用して、整数解の1組を求めます。

    問題 43x+13y=1 の整数解を全て求めよ。
    これはちょっと暗算では整数解を見つけられないですね。
    それでは、43と13に互除法を用いてみましょう。
    43÷13=3あまり4
    これを後で利用しやすいように変形しておきます。
    →4=43-13・3
    余り=もとの数-割る数×商
    という変形です。

    この変形で苦労する高校生がときどきいます。
    形だけ真似ることはできても、よく意味がわからないようなのです。
    おそらく、小学生の頃、加減乗除の関係の理解が完全ではなかったのだと思います。
    中学生になって方程式を解くときにもそれは影響したはずです。
    移項をするとき、なぜ符号が変わるのか理解しきれないまま、「そういうものだ」と作業手順だけ覚えて済ませてしまったのでしょう。
    あるいは、意味が理解できなかったわけではないけれど、作業手順だけを頭に残し、作業の意味を忘れてしまう繰り返しの中で、算数・数学の根幹への理解が痩せていってしまったのかもしれません。
    いちいち意味を確かめながら作業していたら時間がかかるので、作業は自動化しがちです。
    自動化の中で、意味は無用のものだから記憶から消去してしまった。
    そして、意味がわからなくなった。
    数学が苦手な子の1つのタイプだと感じます。

    中学受験の受験算数では、しつこいくらい「逆算」の計算問題が出題されます。
    中学生になったら使うことのない逆算をなぜそんなにしつこく問うのかといえば、加減乗除の関係を正しく理解できている子を入学させたいからでしょうか。
    表面的には逆算を使用することは中学入学以後はないけれど、その考え方がきちっと定着している子でないと、その上に何を積み上げていっても何だか不安定です。
    いつか、何も積み上がらなくなってしまう。
    そういうことなのではないかと思います。

    話を戻して、43と13に互除法を用いて、
    43÷13=3あまり4→4=43-13・3
    13÷4=3あまり1 →1=13-4・3
    余りが1。
    与えられた不定方程式の右辺と一致しました。
    ここから、上の矢印の右の式を代入して、元の式と同じ形に復元作業をしていきます。
    1=13-4・3
     =13-(43-13・3)・3
     =13-43・3+13・3・3
     =13-43・3+13・9
     =43・(-3)+13・10
    すなわち、
    43・(-3)+13・10=1 ・・・➁
    43x+13y=1と同じ形になりました。(*'▽')
    x=-3、y=10 は、この方程式の解の1つです。
    これが互除法を利用した解の1組の求め方です。

    後は、前回解いた基本問題と同じです。
    与えられた不定方程式・・・➀から、今求めた式➁を引きます。
      43x    +13y  =1
    -)43・(-3)+13・10=1

    引いた答えは、
    43(x+3)+13(y-10)=0
    移項すると、
    43(x+3)=-13(y-10) ・・・➂
    43と13は互いに素だから、
    x+3=13k (kは整数)
    これを➂に代入すると、
    43・13k=-13(y-10)
    13(y-10)=-43・13k
    y-10=-43k
    y=-43k+10
    よって、答えは、
    x=13k-3, y=-43k+10 (kは整数)
    これで、どんな不定方程式でも解けますね。

    さて、次回はこの復習と、x,yの他にzも出てくる3元1次不定方程式の解法に進みます。
    ◎日時  11月12日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p105から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。


      


  • Posted by セギ at 12:08Comments(0)大人のための講座

    2016年10月17日

    10月29日(土)、大人のための数学教室を開きます。



    10月15日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回は、前回と同じ内容の授業でした。
    前半は、ユークリッドの互除法。
    後半、「不定方程式」の学習に進みました。
    不定方程式とは解が定まらない方程式のことです。
    例えば、 3x-4y=0
    この方程式1本では、x、yの値は定まりません。
    y=3/4x
    と変形してみるとわかりやすいでしょうが、これは比例の式ですから、xとyの値の組は無数に存在します。
    では、「解は無数に存在する」で終わらせるのかいうと、もう少し範囲を狭めて、何か情報を伝えたいものです。

    不定方程式の問題は、「x、yの整数解を求めよ」となっているのも特徴です。
    無数に存在する中で、xもyも整数の解を求めなさいというのです。
    いやいや、それだって無数に存在するのですが、何か解の性質のようなものを伝えて、それを答えとしたい。
    そういう方向で解いていくことになります。

    3x-4y=0
    とりあえず、yを移項します。
    3x=4y
    こうすると、xとyの整数解の関係が見やすくなります。
    3と4は、最大公約数が1。
    それ以外に整数の共通因数を持ちません。
    つまり互いに素です。
    それで、3x=4y が成り立っているということは、xには4の因数が含まれているということではないでしょうか。
    一方、yには3の因数が含まれている。
    つまり、xは4の倍数で、yは3の倍数です。
    そうでなければ、この等式は成立しません。
    よって、
    x=4k、y=3k (kは整数)
    これが、この不定方程式の整数解となります。
    1つに特定することはできないけれど、xは4の倍数ですし、yは3の倍数ですよ。
    kに整数を代入すれば、個々の解は全て出てきますよ。
    この解答が伝えていることは、そういうことです。
    これが、不定方程式の解です。

    「何だか解いた気がしない」
    と、高校生には全般的に不評です。
    数学は答えが1つに決まるものだと思っていたのに、この答えは中途半端だ。
    今までの方程式と何か違うので、やりにくい。
    頑固なタイプの生徒ですと、違和感を抱き、反発心も強く、なかなか定着しない内容です。
    納得できない内容は、頭に入らないですよね。
    「数学とはこうでなければならない」
    という固定観念の強い人ほど、この先の数学で実感的に納得できる内容は少なくなっていきます。

    頑固にならないでね。
    この先の内容で納得できないことがあったら、そんな考え方もあるのかと受け流すといいよと話しています。

    さて、不定方程式をもう1問。
    3x+5y=1
    これは、どう解きましょうか?
    右辺が0なら、上の問題のようにxとyの関係を見ることができますが、右辺が1なのでやりにくいですね。
    では、まず右辺を0にしましょう。
    どうやって?

    上の方程式が成立するxとyの整数解を1組、とにかく見つけます。
    もっと複雑になると見つけ方の計算方法もありますが、今のところ問題がシンプルなので、暗算で見つけることができますね。
    x=1のときは、yは整数解はありません。
    x=2のとき、y=-1ならば、
    3・2+5・(-1)=1
    これは成立します!
    そこで、与式から、今作った式を引きます。
      3x +5y     =1 ・・・➀
    -)3・2+5・(-1) =1 ・・・②

    答えは、3x-3・2=3(x-2) というように分配法則でくくっておきます。
    3(x-2)+5(y+1)=0
    これで右辺は0になり、xとyの関係が見やすくなりました。
    移項して、
    3(x-2)=-5(y+1) ・・・・➂
    3と5は互いに素ですから、x-2は5の倍数だとわかります。
    よって、
    x-2=5k ・・・④
    x=5k+2
    ④を➂に代入すると、
    3・5k=-5(y+1)
    15k=-5(y+1)
    -5(y+1)=15k
    y+1=-3k
    y=-3k-1

    よって、この不定方程式の解は、x=5k+2、y=-3k-1 (kは整数)
    最初に見つけた整数解によって、この解答は見た目が少し違ってきます。
    しかし、表しているものの関係は変わりません。
    だから、模範解答と異なるものでも正解はあります。

    このやり方で、どんな問題でも基本的には解いていくことができます。
    しかし、暗算で整数解を見つけるのには限界があります。
    もっと係数の大きい不定方程式はどのように解いたら良いでしょうか。
    次回はそこから授業を行います。

    今回、久しぶりにご参加の方がパソコンメールからお申込みくださったのですが、携帯メールかラインでのお申込みいただくのが常態になっていて、金曜日にパソコンを開くことがなく、ご迷惑をおかけしました。
    ブログ更新のときしかパソコンは開かないので、本当に申し訳ありませんでした。


    次回の数学教室のお知らせです。
    ◎日時  10月29日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p104「不定方程式(互除法の利用)」から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。


      


  • Posted by セギ at 12:12Comments(0)大人のための講座

    2016年10月03日

    10月15日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    10月1日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回から「ユークリッドの互除法」の学習に入ります。
    この後「不定方程式」を解くのに使う計算方法ですので、確実に身につけておきたいところです。
    「ユークリッドの互除法」とは、最大公約数を求める方法です。
    それなら「連除法」があるからそれでいいじゃないかという気もしますが、連除法は、最大のものではなくてもとにかく公約数を自力で見つけなくてはなりません。
    2や3ならすぐに見つけられますが、公約数が19だったり23だったりしたら、見つけにくいですね。
    そうしたものでも確実に見つけられるのがユークリッドの互除法です。
    まず、小学生レベルの簡単な問題で考えてみましょう。

    問題 縦70cm横98cmの長方形の紙があります。これを余りがないようにできるだけ大きい正方形に切り分けます。正方形の1辺を何cmにすればよいですか。

    これは、70と98の最大公約数を求めればよいですね。
    上の板書の左下は、いつもの連除法で解いたものです。
    最大でなくて良いので、公約数を考えます。
    思いつくのは、まず「7」。
    70と98をそれぞれ7で割って、10と14。
    今度は、10と14の公約数を考えます。
    「2」ですね。
    それぞれを2で割って、5と7。
    もう1以外の公約数はなくなりました。
    したがって、最大公約数は、7×2=14。
    これが連除法です。

    一方、今回学習する「ユークリッドの互除法」は、長方形を初めからざっくり正方形に切り分けていく方法です。
    板書の中央下が互除法です。
    まず、縦の70cmにあわせて、70×70の正方形を1つ切り出します。
    最終的に切り分ける正方形の1辺は必ず70の約数なので、この正方形は後で余りなく切り分けていくことができるでしょう。
    切り出した残りは、縦70cm横28cmの長方形です。
    この長方形も最終的に同じ大きさの正方形に切り分けるのですから、求める正方形の1辺は、70と28の最大公約数でもあるでしょう。
    ならば、1辺28cmの正方形をまず切り出して、後でその正方形をさらに細かく切り分けることにしても余りは出ないでしょう。
    28×28の正方形は、上の図のように2つ切り出すことができます。
    残りは、縦14cm横28cmの長方形。
    同じように考えて、今度は、14×14の正方形を切り出していくと、これは2つ切り出すことができ、余りはありません。
    では、この1辺14cmの正方形が求めたかった最大の正方形でしょう。
    先程切り出した28×28の正方形は、この正方形に切り分けることができますね。
    70×70の正方形も、この正方形に切り分けることができます。
    やはり、答えは、14cmです。

    これを式で表すと、
    98÷70=1あまり28
    70÷28=2あまり14
    28÷14=2
    よって、答えは14。
    これが互除法です。

    「ああ、商は関係ないんですね」
    と参加者の方から感想がありました。
    そうなんです。
    今回も、商はどうだっていいんです。
    割る数とあまりが大切です。

    ところで、高校数学は必要がない限り「÷」の記号や「余り」という日本語は使いません。
    98÷70=1あまり28
    という書き方ではなく、
    98=70・1+28
    という書き方をします。
    これは、小学校でわり算の筆算を学習したときに、検算の式として学習している内容です。
    「はじめの数=わる数×商+あまり」
    という式です。
    同じ数量の関係を異なる表し方をしたもので、意味は同じです。
    いきなりこの書き方で表すとそれを理解することでハードルが上がって難しいかと思い、最初はわり算の式で説明したのですが、その後の証明問題では下のほうの書き方をすることになるため、参加者の方はそれに慣れず戸惑ってしまわれたようです。(..)
    でも、上のほうのわり算の書き方で理解できれば大丈夫です。
    実際に不定方程式に互除法を利用する場合は、上の書き方でも下の書き方でもない、第3の書き方を利用します。
    これはマスターしなければ不定方程式がうまく解けません。
    28=98-70・1
    という書き方です。
    「余り=はじめの数-割る数×商」
    という意味の式です。
    この式も面食らってしまわれる可能性がありますが、これは慣れるまでしっかりやっていきます。

    さて、次回の数学教室は、今回参加されたお2人から欠席のご連絡が既に出ていますので、今回欠席された方がご参加の場合、今回と同じ内容の授業をする予定です。

    ◎日時  10月15日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p103「ユークリッドの互除法」から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  メールかラインにて、ご予約をお願いいたします。





      


  • Posted by セギ at 13:57Comments(0)大人のための講座

    2016年09月18日

    10月1日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    9月17日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回で「合同式」は最終回です。
    「何か合同式が面白くなってきました」
    と嬉しいお言葉をいただいて、今回もいろいろな問題を解きました。
    まずはこんな問題。

    問題 整数nを3で割った余りが2のとき、n3-3nを3で割った余りを求めよ。

    合同式を使うと簡単ですね。
    整数nは3で割った余りが2なのだから、
    n≡2 (mod3)
    よって
    n3-3n≡23-3・2≡8-6≡2 (mod3)
    したがって、余りは2です。

    証明問題も解きました。
    問題 連続する3つの整数の積は6で割り切れることを利用して、nが整数であるとき、n3+5nは6で割り切れることを証明せよ。

    この問題は「合同式」を学習していない生徒に向けたものなので、「連続する3つの整数の積は6で割り切れることを利用して」とあります。
    しかし、合同式を使って証明するなら、この部分は不要です。
    6で割り切れるかどうかを証明するのですから、6を法として論を進めていけば良いのです。

    整数nは6を法とするとn≡0、n≡1、n≡2、n≡3、n≡4、n≡5のいずれかに分けられる。
    (1)n≡0のとき
    n3+5n≡03+5・0≡0
    (2)n≡1のとき
    n3+5n≡13+5・1≡6≡0
    (3)n≡2のとき
    n3+5n≡23+5・2≡18≡0
    (4)n≡3のとき
    n3+5n≡33+5・3≡42≡0
    (5)n≡4のとき
    n3+5n≡43+5・4≡64+20≡84≡0
    (6)n≡5のとき
    n3+5n≡53+5・5≡125+25≡150≡0
    (1)~(6)より、
    n3+5n≡0
    よって、nを整数とすると、n3+5nは6で割り切れる。

    シンプルで楽ですね。
    これを「連続する3つの整数の積は6の倍数であることを利用して」となると、まず連続する3つの整数の積はなぜ6の倍数であるかでつまずいて立ち止まってしまう高校生がいます。
    しかし、私は内心、そこは省略したいのです。
    今それは主題ではないから、ああ、そうなんだとすんなり納得してくれないかなあ。
    連続する3つの整数なんだから、どれかは2の倍数だし、どれかは3の倍数だよ。
    だから、積は必ず6の倍数でしょう?

    この雑な説明が頭の中でスパークしたように顔を輝かせ、
    「すげえっ!そうか!」
    と感嘆する子もいて、私は、
    「・・・・おまえ、オラが見えるのか?」
    と哀しい妖怪の定番のセリフを口にすることもあります。

    一方、私がそういう雑な説明をすると余計に
    「え?」「え?」「え?」
    となってしまう子も多いです。
    こういう子には、さらに説明しても、
    「でも、どれが2の倍数で、どれが3の倍数かわからないじゃないですか」
    と言われてしまうことがしばしばです。
    そこを詳細に場合分けして説明すると、むしろ場合分けしたことがあだとなり、
    「だって、こっちの場合とこっちの場合では話が違うじゃないですか」
    と言われてしまい、ああもうこの話はしたくないと泣き伏したくなります。
    わからないことが苦しいのは何より本人なのだとわかってはいるけれど。

    勿論、これを解決する方法はあります。
    具体例を相手が納得のいくまで出していくこと。
    連続する3つの整数として例えば「9、10、11」を考えます。
    9は3の倍数です。3×3と分解できます。
    10は2の倍数です。2×5と分解できます。
    したがって、
    9×10×11=3×3×2×5×11
    3×2という因数が含まれていますから、これは6の倍数です。

    これをやれば、ある程度は理解してもらえるのですが、私の中では1つの敗北と感じてもいるのです。
    せっかく文字を用いて抽象化しようとしているのに、結局、具体例で考えないと理解できない。
    抽象を抽象のまま理解できなくて、この先の学習は大丈夫だろうか?
    ・・・・心配ばかりしていても仕方ないのですが。

    いずれにしろ主題ではないことにかなりの時間を費やし、さて問題は何だったかというと。

    問題 連続する3つの整数の積は6で割り切れることを利用して、nが整数であるとき、n3+5nは6で割り切れることを証明せよ。

    ・・・・ああ、この先がまた長い。
    合同式なら簡単なことが、何でこんなに複雑になるのでしょう。
    やっぱり合同式は凄いのです。
    (*'▽')

    さて、「合同式」は今回で終了し、次回からは「ユークリッドの互除法」に進みます。
    ◎日時  10月1日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p103「ユークリッドの互除法」から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  メールかラインにて、ご予約をお願いいたします。



      


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    2016年09月05日

    9月17日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    9月3日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回も「合同式」。
    例えば、こんな問題です。

    例題 a、bを整数とする。aを5で割ると3余り、bを5で割ると4余る。このとき、abを5で割ったときの余りを求めよ。

    これは、合同式を用いないで解くことも勿論可能です。
    m、nを整数とすると、a、bは、m、nを用いて、
    a=5m+3、b=5n+4 と表すことができる。
    ab=(5m+3)(5n+4)
      =25mn+20m+15n+12
      =5(5mn+4m+3n+2)+2
    よって、abを5で割った余りは2。

    これを合同式を用いて解くと、
    a≡3、b≡4 (mod5)
    ab≡3・4≡12≡2 (mod5)
    よって、abを5で割った余りは2。

    合同式を用いると余計な文字を使わずに済むので、答案がシンプルですね。
    実は考え方の本質は同じなので、ぜひ合同式を身につけて簡単に解いていただきたいと思います。

    また別の問題。

    問題 2012の200乗を7で割ったときの余りを求めよ。

    合同式を用いれば簡単です。
    まず2012を実際に7で割って確認すると、
    2012≡3 (mod7) です。

    よって、
    2012200≡3200≡9100≡2100=833・2≡133・2≡2 (mod7)
    よって、余り2。
    合同で言い換えては計算し、また合同で言い換える。
    しかし、指数法則がわかっていないと、この計算はピンとこないかもしれません。
    こうした指数計算は、この後、数Ⅱ「指数関数」、数B「数列」でもよく使うのですが、現役高校生でも、ここはよく詰まるところです。
    模範解答を見ても、何をどう計算して次の行になっているのかわからないようなのです。
    こうしたとき、授業では、私の板書のどこがわからないか1行ずつ確認して謎を解いていきます。

    上の答案では、
    2100≡833・2
    のところが一番わかりにくいかと思います。
    2の100乗を、(23)33×2
    というふうに分解しているのですが、指数法則が理解できていないと、
    「そんなことをしていいんですか?」
    と思うようです。
    高校数学を自学するのが難しいのは、今学習していることなら解説が書いてあるけれど、それ以前のことは解説されていないこと。
    そして、わからないことの大半は今学習していることではない場合が多いのです。
    今学習していることとあわせて、既習の内容でわかっていなかったことを確認する。
    そうやって一歩一歩やっていきましょう。

    さて、次回の数学教室のお知らせです。

    ◎日時  9月17日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p100「剰余の利用」から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  メール・ラインにて、ご予約をお願いいたします。
          

         
        
      


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    2016年08月29日

    9月3日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    さて、夏期講習が無事終了し、今日から2学期です。
    気がつくと、このブログも全く更新できず、大人のための数学教室のご案内すらしていませんでした。
    次回は9月3日(土)の予定です。

    さて、授業が先に進まなかった「合同式」の解説をもう少ししてみましょう。

    例題 nは13で割って5あまる数であるとき、3n4-7n2を13で割ったあまりを求めよ。

    半角の数字は指数だと思ってください。

    合同式を用いると、n≡5(mod13)
    よって3n4-7n2≡3・54-7・52≡3・252-7・25
    ここで25≡-1(mod13)だから
    3・(-1)2-7・(-1)≡3+7≡10
    よって、あまりは10です。
    合同によって言い換えたものを数字としてそのまま計算し、また合同で言い換えていきます。
    あまりにだけ注目しているので、そのようなことが可能です。
    ちょっと手品のようですね。
    次回はこの復習からやっていきます。

    ◎日時  9月3日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p121「合同式」例題1復習から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
           左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
           既にご参加いただいている方は携帯メールアドレスにご連絡ください。     



      


  • Posted by セギ at 10:56Comments(0)大人のための講座

    2016年07月31日

    8月20日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    7月30日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回の学習内容は「合同式」。

    2つの整数a、bを自然数mで割ったあまりが等しいとき、aとbをmを法として合同であるといい、a≡b(mod m)と表す。このような式を合同式という。

    さて、定義は上のようにシンプルで、難しい言葉は何1つなく、込み入った論理も何1つないのですが、予想通り、授業は「大人の数学教室」史上一番の停滞となりました。
    いつもは、もう理解されていて演習を始めたい方と、まだ理解されていず説明を聞きたい方と、その表情の違いに私の気持ちが焦ります。
    しかし、今回は、どう見てもどなたも納得されていないので、むしろ私には気持ちに余裕があり、授業としては安定していたのではないかと思います。

    合同式を解説する難しさは、具体的に説明すれば理解してもらえるとは限らず、その具体例に縛られて混乱したり誤解をされてしまう人が多いことにあります。
    それでも、具体例で説明しないわけにいきません。

    例えば整数を7で割った余りで分類することを考えてみましょう。
    7で割ると1余る数。
    こういう数には、1、8、15などがあります。
    これらは7を法として合同です。
    8≡1(mod7)と表すことができます。

    あるいは、整数を4で割った余りで分類することにします。
    4で割ると2あまる数。
    こういう数には、2、6、10などがあります。
    これらは4を法として合同です。
    2≡6(mod4)と表すことができます。

    これがぱっと感覚的に理解できれば何も問題ないのですが、最初に上手く呑み込めないと結局最後まで何だか納得できないという感情が尾をひくことになるようです。
    高校生でもそうです。
    それは理解力の問題ではなく、何か固定観念があり、このことの理解を阻んでいるものがあるせいなのかもしれません。
    それが何であるのか、新課程にこの単元が登場し教えるようになってから、私はずっと不思議に思っています。

    混乱は、例えば「1は7で割ると1あまる数である」ということが初耳で驚いてしまうという小さいことからも起こります。
    1÷7=0あまり1
    商は0でも良いというのは単なる知識ですが、初めて知るとこれだけでもとても大きなことなのかもしれません。

    自然数に限っての話でもなかなか大変なのですが、合同式は整数全体、すなわち負の数も含んで考えます。
    例えば、6で割った余りで整数を分類してみましょう。
    6で割ってあまり0。
    自然数の範囲では、6、12、18、・・・・
    しかし、0も-6も-12も6で割ってあまり0の数です。
    すなわち、-6≡0(mod6)

    同様に、6で割った余りが1の数を考えれば、
    ・・・・-17、-11、-5、1、7、13、・・・・
    という数列が見えてくると思います。
    これらの数は全て法を6として合同です。
    -5=6・(-1)+1
    -11=6・(-2)+1
    -17=6・(-3)+1
    どの数もあまりが1になるのがわかりますね。

    とはいえ、-5が6で割って1余る数であるというのはちょっとピンとこないことでもあります。
    それよりも、-5は、6で割って5不足する数ととらえるほうが自然です。
    そうです。
    整数を6で割るとき、すなわち、6を法とするとき、「1余る」ということと「5不足する」ということは、同じことです。

    授業はここで長い停滞を迎えました。
    しかし、繰り返し同じことを説明したその果ての参加者の発言は私には大変興味深いものでした。
    「あっ。わかった。商は何でもいいのね」
    「・・・・・・?」
    ・・・・そうですよ?
    最初からその話をしていますよ?
    割る数と余りの話だけをしていますよ?

    そのとき、ふっと見えたことがあります。
    ああ。
    商が重要だとずっと思っていらっしゃったのかな?
    わり算の式を立てるとき、立てた本人は商を求めるために立てている感覚があります。
    求めているのは商だから、それが何より大切だと思ってしまうのかもしれません。
    商なんかどうでも良くて、割る数と余りの話をしているのですが、それが普段の計算の常識とは異なるために、そこに立ち位置を移せない場合があるのでしょうか?


    「あまりと不足に関する問題」は、中学受験の受験算数の単元の1つです。
    しかし、何回復習してもこの問題を解けるようにならない子がいます。
    例えばこんな問題です。

    例題 4で割ると3あまり、6で割ると1不足する数のうちで100にもっとも近い数を求めなさい。

    4で割ると3あまる数は、言い換えれば4で割ると1不足する数です。
    ですから、この問題は、4で割っても6で割っても1不足する数を求めます。
    ならば、まずは4で割っても6で割っても割り切れる数を考えます。
    それは12で割り切れる数です。
    100÷12=8あまり4
    12で割り切れる数で100に一番近い数は、上の式から、12×8=96。
    それは、上の式から100-4=96と求めることもできます。
    では、12で割って1不足する数は、96-1=95。
    よって、問題の答えは95となります。

    この問題、小学生には難しいのは事実ですが、幾度解説しても、何度同じ問題を解いても、全く解けるようにならない子がいます。
    何がそんなに難しいのか教える側として疑問だったのですが、何だか少しわかった気がします。
    あの子どもたちも、あまりや不足に着目するより、商のことばかり考えてしまうのかもしれません。
    4で割って3余るということは1不足するということ。
    その言い換えをするときには商が変わるだろうに、それを無視する姿勢が理解できない。
    商が変わればそれは同じではないのに、同じだと言っている神経が理解できない。
    ・・・そういうこともあるのかなあ?
    そもそも、商を無視して、余りだ不足だばかり言っている姿勢が理解できないのかなあ?

    あの子たちは、こんなふうに思っているのでしょうか。
    問題を解くって、そういうことじゃないでしょう!
    式を立てて、計算して、答えを出すんでしょう!
    その答えが問題の答えでしょう!
    算数の問題はそうでなければならないよ!

    子どもたちの無言の中に、実はそんな心の抗議があったのでしょうか?
    しかし、それはあまりにも頭が硬い。
    ガチンゴチンです。
    そう思うものの、子どもの頭というのは大人がびっくりするくらい石頭で、妙な思い込みに凝り固まっているものですから、もしそうだとしても驚くに値しません。

    でも、1つ言えること。
    子どもの石頭は一度割ることに成功すれば、そこからの回復は柔軟です。
    新しい考え方を受け入れ、無限に伸びていきます。
    それだけ成長する力、生命力があるのが子どもです。

    「頭を柔らかくしなければダメねえ」
    はからずも、そのような感想を告げて、参加者の方は帰っていかれました。

    さて、次回の大人ための数学教室のお知らせです。

    ◎日時  8月20日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p121「合同式」例題1復習から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
           左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
           既にご参加いただいている方は携帯メールアドレスにご連絡ください。     



      


  • Posted by セギ at 14:33Comments(0)大人のための講座

    2016年07月21日

    7月30日(土)、大人のための数学教室を開きます。



    7月16日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回も整数の性質。
    「最小公倍数・最大公約数」の性質について学習しました。
    例えば、こんな問題です。

    問 最小公倍数が144、積が864である自然数の組(a,b)をすべて求めよ。ただしa<bとする。

    まず、aとbとの最大公約数をgとすると、
    a=ga'、b=gb'と表すことができます。
    このとき、aとbの最小公倍数は、ga'b'と表されます。
    (a'、b'は互いに素な自然数で、a'<b')

    ここまで、答案としてはすらっと流れていくところです。
    しかし、ここがすらっとご理解いただけない場合もあるかもしれません。
    最小公倍数を求めるための連除法を思い浮かべると理解の助けになると思います。
    しかし、年代によっては連除法を小学校・中学校で学んでいないこともあります。
    その場合は呑み込みにくい内容かもしれません。
    連除法というのは、自然数を素因数分解するように、2つないし3つの自然数を共通に割れる数で割り進めていく方法です。
    わり算の屋根を逆向きに書いていくやり方ですね。
    左に立てていく共通に割ることのできる数の積が、最大公約数。
    さらにそれと、下に残った2つないし3つの商を全てかけたものが最小公倍数となります。

    G・C・D(最大公約数)のGの最後の縦棒のイメージで、左の縦列の数をかけなさい。
    L・C・M(最小公倍数)のLのイメージで左の縦列から下の横列の数をかけていきなさい。
    昔は、そんなふうな「覚え方」が、雑誌「中1コース」の付録に載っていたりしたものです。
    今は、小学校で「最大公約数・最小公倍数」を学習しますが、連除法は発展的な内容として教えないことが多いです。
    中学受験をした子は塾で習っていますが。
    知っておくと便利なやり方です。

    ともかく、自然数aとbの最小公倍数をga'b'と表します。
    したがって、ga'b'=144・・・・①
    また、積が864なので、
    ab=864
    よって、ga'gb'=864・・・・②
    ②÷①より
    g=864÷144=6・・・・➂
    ➂を①に代入して
    6a'b'=144
    a'b'=24
    となります。
    初めに規定した通り、a'とb'は互いに素な自然数で、a'<b'ですから、あてはまる自然の組はいくつもありません。
    それを全てあげていくと、
    (a'、b')=(1、24)、(3、8)です。
    (2、12)や(4、6)は互いに素ではないのであてはまりません。
    (8、3)は、a'<b'という条件に合わないですね。
    a=ga'、b=gb'ですから、
    上の(a'、b')をそれぞれ6倍して、
    (a、b)=(6、144)、(18、48)
    が答えとなります。

    同じ構造の問題は中学受験の受験算数にも出題されます。
    実は、小学生でも解くことが可能な、易しい問題なのです。
    ただ、初めて解くときは、その論理展開についていくのが大変かと思います。
    自然数が常に他の自然数の積の形として見えていることが重要でしょう。
    これは、いろいろな計算の工夫の上でも必要な感覚ですが、「和の感覚」はあっても「積の感覚」に気づいていない人は多いかもしれません。
    慣れてしまえば難しくありません。

    さて、次回はいよいよ合同式に入ります。
    今回よりもさらに違和感は強まり、「整数にこんな扱いをするなんて、イカれてるわー」とつぶやきたくなるかもしれません。
    それくらい、普段の感覚からするとぶっ飛んでいるのが合同式です。
    でも、イカれてるのではなく、イカしてるんですよー。

    8≡1(mod7)
    何で1と8が合同なのー?
    数字が合同ってどういうことー?
    さあ、このような叫びを上げるために、次回の授業にご参加ください。

    ◎日時  7月30日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p120「合同式」から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
           左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
           既にご参加いただいている方は携帯メールアドレスにご連絡ください。     



      


  • Posted by セギ at 13:09Comments(0)大人のための講座

    2016年07月04日

    7月16日(土)、大人のための数学教室を開きます。





    見事な擬態。
    でも、かなりピンボケですみません。

    さて、7月2日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    「整数の性質」の学習の続きです。
    いよいよ難しいところに入りました。
    例えば、こんな問題です。

    自然数aとbが互いに素であるとき、a+2bと3a+5bも互いに素であることを背理法を用いて証明せよ。

    問題を解く前に解決すべき点が2つあります。
    「互いに素」とは何なのか?
    「背理法」とは何であるか?

    「互いに素」は、今回初めて学ぶ内容です。
    定義はこうです。
    2つの整数a、bの最大公約数が1であるとき、aとbは互いに素であるという。
    うわあ、これだけでは何を言っているのかわからなーい。

    例をあげて考えてみましょう。
    例えば、15と28について考えてみます。
    素因数分解すると、
    15=3・5
    28=2・2・7
    それぞれの素因数の中に共通のものがありません。
    この場合、15と28の最大公約数は1となります。
    このように、共通の素因数を持っていない関係が「互いに素」です。
    これは今回だけ出てくる内容ではなく、この先、不定方程式を解く際にも使用します。

    では、「背理法」とは何でしょうか?
    これは、数Ⅰ「数と式」の単元で学習しました。
    高校生でも、「何かわからないところはある?」と私が質問すると、
    「背理法がわからない」
    という答えがすぐ返ってくるほど、圧倒的にわからないところのようです。

    背理法は、結論として証明すべきことをまず否定します。
    その否定した仮定によって論を進めていくと、しかし、矛盾が生じます。
    矛盾が生じたのは、仮定が間違っているからです。
    だから、結論が正しいことが導かれる。
    そういう証明方法です。

    こういう論理の進め方が肌に合わない人というのもいます。
    「だって、さっき結論は否定したじゃないかー」
    など、論理展開に追いついていない反応もあれば、
    「矛盾が生じたからといって、仮定が間違っているとは限らないんじゃないの?」
    という懐疑にとりつかれてしまう場合もあります。

    そこから一歩進んで。
    背理法の論理の構造は理解できるけれど、実際に何をどうやって矛盾を指摘すれば良いのか自力で発想できない、という悩みをもつ高校生は、実はかなり優秀です。
    そんなのは初学者なんだから当たり前で、典型題のテクニックを自分のものとして蓄積していく以外に方法はありません。
    1題2題解いたくらいで背理法を自力で操れるようになるわけがありません。
    学校の定期テストで背理法の証明問題を出す場合は、典型題ばかりです。


    さて、話を戻し、もう一度上の問を見てみましょう。
    これを背理法で証明するのですから、まず結論を否定した仮定を立てます。

    a、bが互いに素であるとき、a+2bと3a+5bは互いに素ではないと仮定する。
    互いに素ではないということは、1より大きい最大公約数が存在するということ。
    つまり、共通因数があるということです。
    その1以外の最大公約数を自然数gで表します。
    他に、k、L(本当は小文字)を自然数とすると、
    a+2b=kg ・・・①
    3a+5b=Lg ・・・②
    と表すことができます。

    さて、上の仮定を突き崩し矛盾を指摘するのですから、これを用いて、aとbが互いに素ではないことを示せば良いのです。
    では、とりあえず、連立方程式のようにして、a、bについて解いてみましょう。
    共通因数が出てくれば、aとbは互いに素ではないことになりますね。

    ①×3-②
      3a+6b=3kg
    -)3a+5b=Lg
           b=g(3k-L) ・・・➂

    ①×5-②×2
      5a+10b=5kg
    -)6a+10b=2Lg
      -a    =g(5k-2L)  
            a=g(2L-5k) ・・・④

    出ました!
    ➂、④より、aとbは、gという1以外の共通因数を持つことになります。
    これは、aとbが互いに素であることに矛盾します。
    何でこんな矛盾が生じたのでしょう?
    それは前提とした仮定が間違っていたからです。
    「aとbが互いに素であるとき、a+2b、3a+5bは互いに素ではない」という仮定が間違っていたのです。
    したがって、aとbが互いに素であるとき、a+2b、3a+5bも互いに素です。

    これが背理法による証明です。
    (*^^)v

    さて、次回の大人のための数学教室のご案内です。
    次回、進度が速ければついに「合同式」に入りますが、その前段階で終わるかもしれません。
    「合同式」は発展的内容で、テキストの巻末にあります。
    学習しなくても良いのですが、これを知っておくと証明が数行で済むことがありますので進学校では大抵学習します。
    大人のための数学教室でも、学習してみましょう。

    ◎日時  7月16日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p98例題13から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
           左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
           既にご参加いただいている方は携帯メールアドレスにご連絡ください。     


      


  • Posted by セギ at 13:24Comments(0)大人のための講座

    2016年06月27日

    夏期講習のご案内 2016年度


    2016年度夏期講習のご案内です。
    詳細は、今週中に書面で郵送いたします。
    お申込み受付は、7月1日(金)からとなります。
    申込書またはメールでお申込みください。
    なお、この期間、通常授業はありませんので、いつもの時間帯の授業を希望される方も改めてお申込みください。

    通常授業の空きコマがないため、外部生の受講は承っておりません。
    大変申し訳ありません。

    以下は、夏期講習募集要項です。

    ◎期日
    7月25日(月)~8月27日(土) 
    ただし、毎週日曜日と、8月8日(月)~13日(土)、23日(火)は休校となります。

    ◎時間帯
    10:00~11:30 , 11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30 , 16:40~18:10 , 18:20~19:50 , 20:00~21:30

    ◎費用
    1コマ90分4,000円×受講回数+諸経費4,000円

    ◎指導科目
    小学生 一般算数・受験算数・英語
    中学生 数学・英語
    高校生 数学・英語

    ◎空きコマ状況 8月22日現在

    8月24日(水)
    20:00~21:30

    8月25日(木)
    11:40~13:10, 20:00~21:30

    8月26日(金)
    11:40~13:10,  20:00~21:30


      


  • Posted by セギ at 12:44Comments(0)大人のための講座

    2016年06月20日

    7月2日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    6月18日(土)、大人のための数学教室を開きました。今回も「整数の性質」、公倍数・公約数の学習です。
    公倍数・公約数は、小学校5年生で最初に学習します。
    現在、学校では使うことがほとんどない略称に、G・C・DとL・C・Mというものがあります。
    G・C・Dは、the Greatest Common Divisor すなわち、最大公約数。
    L・C・Mは、the Least Common Multiple すなわち、最小公倍数。
    公約数は、その数よりも小さい数が大半なのに、それに「最大」とつく。
    公倍数は、その数よりも大きい数か大半なのに、それに「最小」とつく。
    そんなこんなで頭がこんがらがってしまう小学生が多い単元です。
    そこに訳のわからない英語の略称が入ってくるとさらに混乱します。
    そのせいだけでもないでしょうが、今はこの略称を教えることはほとんどありません。

    授業は、最大公約数・最小公倍数を素因数分解から求める方法と連除法で求める方法を解説し、そこから、公倍数・公約数を用いた問題を解きました。
    この問題が難しかったようです。

    問 35/18、50/63 のいずれに掛けても積が自然数となるような有理数のうち最小のものを求めよ。

    この問題、「積が自然数となる有理数」という言い方で混乱が起こりやすいようです。
    内容自体は、中学受験の受験算数で小学生が解くものですので、そんなに難しいわけではありません。
    ネックとなるのは用語の問題なのでしょう。
    「自然数」「有理数」あるいは「実数」という言葉が問題文中に出てくると、何のことだったっけとなるのは、中学生・高校生にも多いです。
    一方、そういうことを全く気にせず無視する子が、案外楽にこういう問題を解いたりもします。

    「自然数」とは、1、2、3、4、・・・と無限に続く正の整数のこと。
    最も自然発生しやすい数の概念です。
    原始人は、森で見つけた獲物の数を仲間に伝えるために自然数を発見したかもしれませんね。

    その後、人類の歴史の中で負の数や0が発見されていきます。
    そうして生まれたのが「整数」。
    「整数」は、0と負の整数と自然数を含みます。

    小数や分数という考え方も同時に生まれたでしょう。
    ものごとは整数で表されることばかりではありません。
    分数という概念が生まれます。
    その、分数で表すことができる数が「有理数」です。
    「分数」と「整数」を区別する人がいますが、整数は全て分数で表すことができます。
    ですから、整数は有理数に含まれます。

    このように、数は拡張される度に以前の数の概念を含み込んでいきます。
    それは、数が発見された歴史と一致しているでしょう。
    そういう「含み込んでいく」という概念が理解しづらいのかもしれません。
    整数と自然数は別のもので、1つもかぶっていないと誤解してしまう。
    整数と有理数は別のもので、1つもかぶっていないと誤解してしまう。
    そういう誤解が問題の読み解きを難しくしてしまうことがあるのかもしれません。
    「分数」「小数」にきっちりとした線が引かれているという誤解も、そういう考え方でしょう。
    それは表記法が異なるだけ。
    「分数」と「小数」を区別する考え方にあまり意味はありません。
    同じ数を分数でも小数でも表すことができるのですから、その区別は無意味です。
    存在する数そのものをどう分類していくかが重要です。

    さて、ここで問題となるのは、分数で表すことができない数はどうなるのかということ。
    小数で表そうとしても永遠に循環もせずに不規則に数字が続いていく数。
    これが「無理数」です。
    そんな数あるの?
    と、これだけ聞くと不思議に感じるかもしれませんが、そんなに特別な数ではありません。
    √2、√3など、根号を使ってしか表せない数が無理数ですね。
    他に、円周率π(パイ)がそうです。
    こうやって具体例を聞くと、無理数なんて名前のわりによくある数だなと感じると思います。

    有理数と無理数は、1つもかぶっていません。
    これは、はっきり二分されます。
    有理数でなければ無理数。
    ある段階までは、それで話が済むのです。
    そして、有理数と無理数を合わせた数を「実数」と言います。
    実数の中に、有理数も無理数も含まれます。

    ここでまた何か誤解があり、
    「無理数は実数じゃない!」
    と言い張る高校生と不毛な議論をしたこともありますが、無理数は実数です。
    現実にこの世に存在している数です。
    「実数」と「無理数」の語感が馴染まないことからくる誤解なのだろうと思いますが、「有理」の反対は「無理」であり、「実」と対比される概念ではありません。

    では、「実数」と対立する概念は何か?
    それが「虚数」です。
    虚数を学ぶと、「実数」や「有理数」という言葉も頭の中に定位置をもって整理されるのかもしれません。

    さて、話を戻して、上の問いは、どう解いていくのか。
    求めるものは、35/18、50/63 のいずれに掛けても自然数となる有理数のうち最小のもの。
    有理数ですから、分数で表すことができます。
    この有理数をb/aと表すことにしましょう。
    35/18×b/a
    50/63×b/a
    の答えが自然数になるということは、約分されて分母が1になるということです。
    ということは、bと分母の18や63を約分して、分母が1になれば良い。
    つまり、bは18と63の公倍数であれば良いのです。
    ただし、「最小のもの」という指示が問題文にありますので、公倍数の中で最小のものでしょう。
    すなわち、bは、18と63の最小公倍数である126。
    また、aについては、約分して分母が1になることを優先するなら、最初からaが1であれば面倒がないような気がしますが、これも「最小のもの」という指示があるため、分母aはできるだけ大きい数であるほうが、有理数b/aは小さい数となります。
    ということは、aは35や50と約分して1になる数のうちで最大のものであれば良い。
    すなわち、aは35と50の最大公約数。
    よって、答えは、126/5となります。

    さて、次回の数学教室をお知らせです。

    さて、次回の大人のための数学教室のお知らせです。
    ◎日時  7月2日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p97例題11から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
           左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
           既にご参加いただいている方は携帯メールアドレスにご連絡ください。     




      


  • Posted by セギ at 14:30Comments(0)大人のための講座

    2016年06月06日

    6月18日(土)、大人のための数学教室を開きます。




    6月4日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    「整数の性質」の2回目の授業です。
    内容的には、約数・倍数、平方根の利用、約数の個数や約数の総和の求め方など、まだこれまでの復習内容です。
    前回のブログとも内容がかぶりますが、平方根の利用は、例えばこんな問題です。

    例題 √120n が整数となるときの自然数nを小さいものから3つ求めよ。

    これは中3で学習する内容です。
    高1になると数Ⅰの「式の計算」の単元で復習します。
    そして、数A「整数の性質」でも、再度復習します。

    数年前、大人のための教室で最初にこの問題を解説したときは、
    「では類題を練習してみましょう」
    と声をかけるところになかなか進めませんでした。
    どうにも納得できない。
    何のことか呑み込めない。
    理解できないから、板書をノートに書き留めるところにも進まず、手が動かず、ただボードを眺めて首をひねってしまう・・・・。
    そんな状態のようで、何度も角度を変えて説明しました。

    120=2・2・2・3・5
    よって、最小のnは、2・3・5=30
    これの理解がまず大きな課題でした。

    n=2・3・5とすると、
    √120n
    =√2・2・2・3・5・2・3・5
    =√(2・2・3・5)2
    =2・2・3・5
    =60
    と無事に整数になります。

    これの理解を阻むものとしては、素因数分解や指数法則や平方根の定義の理解が曖昧であることなどが考えられますが、一番の大元は、今までそのような問題を考えたことがないので、頭にそういう考え方の道筋がないことなのではないかと思います。
    「平方根の利用」の辺りから、数学で学ぶ内容は日常を離れた斜め上、アサッテの方向からやってくる感じが強まってきて、論理を追っていくのに骨が折れるようになるのではないかと思うのです。

    しかも、実はnは1つではなく無限に存在するという話になると、今までの理解も吹っ飛ぶくらいわからなくなるようでした。

    n=2・3・5・2・2とすると、
    √120n
    =√2・2・2・3・5・2・3・5・2・2
    =√(2・2・2・3・5)2
    =2・2・2・3・5
    =120
    やはり、整数になりますね。
    nは120の中のペアのいない素数の積とは限らず、nの中に2の2乗を含んでいても良いわけです。

    したがって、n=2・3・5・3・3としても大丈夫です。
    √120n
    =√2・2・2・3・5、2・3・5・3・3
    =√(2・2・3・3・5)2
    =2・2・3・3・5
    =180
    これも整数になります。
    よって、n=30、120、270です。

    この問題は、数Ⅰ「式の計算」で復習したときも少し大変でした。
    けれど、今回、数A「整数の性質」で復習すると、これは困った、どう説明すればわかっていただけるだろうという感じにはなりませんでした。
    既習の内容だという記憶はなかったかもしれません。
    でも、脳が覚えているのだと思います。
    この考え方の筋道は前にたどったことがある。
    それが線のように細い道でも、2回目にたどるときは以前ほどの違和感や抵抗感はないのでしょう。
    まして3回目にたどる今回は、脳が抵抗感なく受け入れるようになっていたのではないかと思います。

    時間を置いて繰り返すことの効果を改めて実感しました。

    「学校の授業がよくわからない」
    という子どもに、わからなかったという問題を解説すると、
    「あ、わかった!学校でもこんなふうに説明してくれたらいいのにー!」
    と賛辞をもらうことがあります。
    若い頃は、私の説明はわかりやすいからねえ、などと内心自慢に思っていたことも否定できません。
    現在は、嬉しい一方、でも、それは学校の先生が1回道筋を作ってくれているからで、私はわかりにくいところをピンポイントで強調するからわかりやすく感じるんですよと思うようになりました。
    何もないところから始めるのは本当に難しい。
    そういう意味で、何もないところから始まる大人のための教室はいつも正念場と感じます。


    「整数の性質」という単元は、今は中学校の復習内容ですが、あと数ページで飛躍的に難度が上がります。
    「合同式」そして「不定方程式」の学習に入ります。
    斜め上どころか、火星方向からやってきた論理が金星方向に抜けていくような凄まじいアサッテ感との闘いとなります。
    1問の解説を聞き終わったときには、もう最初のほうがわからなくなっている・・・・。
    論理的に正しいことが、どうしてこんなに淡雪のように儚いのだろう・・・・。
    正しいことなのだろうに、なぜ、こうも確信がもてないのか・・・・。

    大袈裟でなく、そんなふうになってしまうかもしれません。
    初めて学ぶ、脳に全く道筋のない学習内容です。
    それでも、繰り返せばきっと大丈夫。
    そんな光も少し見えてきた今回の授業でした。


    さて、次回の大人のための数学教室のお知らせです。
    ◎日時  6月18日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p96から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
           左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
           既にご参加いただいている方は携帯メールアドレスにご連絡ください。     



      


  • Posted by セギ at 13:33Comments(0)大人のための講座

    2016年05月23日

    6月4日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    5月21日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回から「整数の性質」という新しい単元に進むつもりでいたのですが、参加者の皆さまから、前回の宿題がわからないというお話が相次ぎました。
    前回の宿題は「確率」の最後のページでした。
    「いろいろな確率」という応用問題のページですので、問題を読んでどの考え方を用いて解いていくかを自分で判断しなければなりません。

    中学生・高校生からも
    「応用問題が解けない。どうしたら良いのか」
    という質問はよくいただくのですが、応用問題が解けない理由は主に2つあります。
    ①基本となる公式や定理が定着していないので、利用できない。
    ②応用問題を考える道筋が頭の中に作られていない。
    そして、これを解決するには大変な時間と労力とが必要となります。

    教室で使用しているテキスト1冊を1回解いただけでは定着は難しいですので、繰り返し解き直したり、市販の問題集も併用して理解を深められることをお勧めします。
    市販の問題集を買うときのコツは、学習中または学習済みの単元で自分が気になる問題を見つけ、その解説・解答がどの程度詳しくわかりやすいかを確認すると良いでしょう。

    ともかく、質問のあった問題についてここで検討いたします。

    問題
    xy平面上の動点Aは原点を出発し、さいころをなげて偶数の目が出ればx軸の正の方向へ1、奇数の目が出ればy軸の正の方向へ1それぞれ動くものとする。
    さいころを6回投げるとき、以下の問いに答えよ。
    (1)Aの通る経路は全部で何通りあるか。
    (2)Aが点(3,3)にくる確率を求めよ。

    まず(1)ですが、さいころの目の偶数・奇数の出方と同じだけAの通る経路があることはご理解いただけると思います。
    さいころを6回投げるときの偶数・奇数の目の出方は全部で何通りあるか?
    1回投げると、偶数か奇数かの2通り。
    さらにその先に、それぞれ、2回目で偶数か奇数かの2通り。
    樹形図をイメージするとわかりやすいと思います。
    2×2×2×2×2×2、すなわち2の6乗で、64通り。
    これが答えです。

    さて、(2)。
    Aの経路は64通りあり、それらは同様に確からしいので、それぞれの確率は1/64です。
    また、それらは1回の試行で同時には起こりませんから、互いに排反です。
    そのうち、点(3、3)に来るものは、どういう目の出方をしたものなのでしょうか。
    順番は後で考えるとして、偶数の目が3回、奇数の目が3回出れば点(3,3)に来ます。
    64通りのうち、そのような目の出方は何通りもありますから、1通りの確率1/64にその数をかけたものが答えとなります。
    これの見た目がかけ算なのは、同じ1/64を足していくからで、考え方の本質は足し算です。
    つまり、互いに排反な確率は足して良いことを利用しています。
    では、さいころを6回なげたとき、偶数の目が3回、奇数の目が3回出るのは何通りあるのか。
    これは、同じものを含む順列。
    公式があります。
    6!/3!3!=20。
    2種類の同じものを含む順列の場合、上の式は、6C3=20 と表すこともできます。
    したがって、(2)の答えは20×1/64=5/16 です。

    この問題を質問された方の式は、
    (3!/2の3乗)+(3!/2の3乗)
    だったようなのですが、私はその式の意味が理解できず、
    「私の式はなぜ間違っているんですか」
    と問われても、不条理な状況に直面すると頭がぼんやりしてくるカフカ的状態に陥り、上手く受け答えできませんでした。
    正解がなぜ正解なのかを説明することはできる。
    間違いがなぜ間違いであるかを説明するのは、何て難しいのだろう。
    個別指導ならばとことん付き合うのですが、他の参加者の方を待たせてしまっているなあと私が勝手に思っていたことも影響していたと思います。
    ただ、他の参加者の方は、
    「ああ、でもわかる気がする」
    と色々応援してくださっていたので、先に進むよりも、こういうやりとりも楽しいのかもしれません。
    深追いしても良かったのかなと今は後悔しています。
    やっと「確率」の応用問題が終わったので、もう深追いしたくない、新鮮な気持ちで「整数の性質」に進みたいと私が思っていたことが強く影響していたことも否めません。
    こちらの都合で授業は進まない。
    改めてそう思いました。

    ◎日時  6月4日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p94から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
           左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
           既にご参加いただいている方は携帯メールアドレスにご連絡ください。     




      


  • Posted by セギ at 13:32Comments(0)大人のための講座

    2016年05月13日

    5月21日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    2016年5月7日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    「場合の数と確率」の学習も今回が最後です。
    最後は「いろいろな確率」という応用問題を解きました。
    例えば、こんな問題です。

    例題 
    箱の中に7個の赤玉、5個の白玉が入っている。x軸上の点Aは、原点を出発し、箱から玉を1個ずつとりだして赤玉が出ればx軸の正の方向へ1、白玉が出ればx軸の負の方向へ1、それぞれ動くものとする。取り出した玉は元に戻さないとすると、玉を4個取り出したとき、点Aが原点に戻る確率を求めよ。

    これは、具体的に1つ例を考えるならば、例えば赤赤白白の順に玉が出れば、点Aは原点に戻りますね。
    その場合、最初に赤が出る確率は7/12、次に赤が出る確率は、6/11、その次に白が出る確率は、5/10、さらに次に白が出る確率は、4/9。
    確率同士はかけ算できますから、赤赤白白の順に玉が出る確率は、7/12・6/11・5/10・4/9となります。
    また別の場合を考えると、赤白赤白の順でも、点Aは原点に戻ります。
    この順に玉が出る確率を考えると、
    7/12・5/11・6/10・4/9 です。
    数字の並びを考えるとわかると思うのですが、赤2個、白2個が出る確率は、順番はどうあれ、分母は12・11・10・9。
    分子は、7・6・5・4 になります。
    赤赤白白と赤白赤白は同時には起こらない、すなわち互いに排反ですから、それらの確率の和が求めたい確率となります。

    でも、点Aが原点に戻る場合は、上の2通りだけではありません。
    順番はどうあれ、赤2個白2個が出れば、点Aは原点に戻ります。
    つまり、赤2個、白2個の並べ方の数だけ、同じ確率のものが存在し、それらは全て互いに排反ですから、それらを全てたすと求めたい確率になります。

    赤2個白2個の並べ方は、同じものを含む順列として求められます。
    4!/2!2!という式ですね。
    これは、同じものを含む順列の公式を使用していますので、「意味がわからない」と感じたら、そこに戻って復習しましょう。

    最終的に、求める確率は、
    4!÷(2!2!)×(7・6・5・4)÷(12・11・10・9)
    です。
    ネットで分数表記ができないので、読みにくい式になっています。
    分数式としてご理解ください。
    反復試行の確率の考え方に少し似ている式ですね。
    答えは、14/33です。

    授業に参加される皆さんは、式が正しく立ってから、その後の計算でスッタモンダするのを毎回楽しまれています。
    互いに排反の確率を最後に足す問題なので、計算過程では分数は約分しないでください。
    どうせまた通分することになるのですから。
    そうお願いしても、いつもの癖で約分してしまうようです。
    そして、いったん約分した後で通分すると、計算が合わない。
    約分か通分か、どちらかの過程で計算ミスをしているのでしょう。
    約分ミスの多くは、商を書くべきところで割った数を書いてしまっているというような単純ミスが多いので、発見できたら「何だこれ、くだらない」と思うだけなのですが、見つかるまでは本人としては気になるのですよね。
    時間がないので途中で打ち切りましたが、後で見直せば何でもないミスだったと思います。
    そして、やはり、どうせ通分するのですから、約分はしないでおきましょう。
    (*^^)v

    さて、次回の数学教室のお知らせです。
    「確率」の学習が終わりました。
    テキストとしては次は「図形」ですが、中3の内容を学習していたときは発展的なテキストを使用していたので、数Aの図形分野は既に学習済みです。
    「図形」分野は省略し、その次の単元に進みます。
    最初は小学校の復習みたいで易しいのですが、途中からびっくりするくらい難しくなりますよー。
    (*^^)v

    ◎日時  5月21日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習に進みます。p92「約数と倍数」から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
           左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
           既にご参加いただいている方は携帯メールアドレスにご連絡ください。     









      


  • Posted by セギ at 13:43Comments(0)大人のための講座

    2016年04月24日

    5月7日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    今日は、年に一度の外秩父七峰縦走大会の日。
    しかし、私、実は、先月高尾にハナネコノメを見に行ったときに雪まじりの泥道で足をくじいてしまいました。
    もう普段の生活に支障はないのですが、先日南高尾を歩いたときもお昼くらいで足が痛み始め、後半はいつもなら1時間で歩けるところを1時間半かかってしまいました。
    七峰縦走42kmを時間内で歩くのは無理と判断し、今年は棄権いたしました。
    残念です。

    さて、昨日、4月23日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    ご参加は2名様。
    前回の授業について何か質問はありますかと確認しましたところ、2回ほど前の条件付き確率の基本的な定義にまつわる質問を受けました。
    あれ?何でそんな前のところ?前回の中の応用問題の解き方ではなく?
    と思ったらその方はこの2回連続して欠席されていたのでした。
    休んだ方の理解の助けになるようにこのブログを書いていますが、それだけでは根本的なところでモヤモヤしてしまうようです。
    条件付き確率とは何か、どうしてその公式で答えが出るのか。
    定義や公式が解説される最初の授業に欠席すると、確かに後が苦しいです。

    子どもも同じで、今は都立自校作成校に通っている子ですが、小学校5年生の冬にインフルエンザにかかり、学校の算数の「割合」の授業の最初の2回を欠席したため、何が何やらわからなくなったのがきっかけで入塾した子もいました。
    90分の個別指導1回で回復しましたが、些細なところにつまずきの元はあります。

    今回の授業内容は「事後に考えた条件付き確率」です。
    基本に戻ってもう一度考えでみましょう。

    例題
    赤玉5個、白玉2個が入っている袋から1個ずつ続けて2個の玉を取り出した。2個目の玉が白玉であったとき、1個目の玉が白玉である確率を求めよ。

    まずは、場合の数を用いて、これを求めてみましょう。
    玉の数は合計7個。
    それぞれの玉は色は同じでも別の玉と認識しますから、全体の場合の数は7個から2個を取り出す順列となります。
    したがって、全体の場合の数は、
    7×6=42(通り)
    しかし、今回、2個目の玉は白玉であったことが確定しています。
    ですから、2個目の玉が白玉である場合は何通りあるのかを考えます。
    これは場合分けの必要があります。
    すなわち、赤白の順番で出た場合と、白白の順番で出た場合と。
    赤白の順に玉が出る場合の数は、
    5×2=10(通り)
    白白の順に玉が出る場合の数は、
    2×1=2(通り)
    よって、合計で、10+2=12(通り)であるとわかります。
    条件付き確率は、この12通りが全体の場合の数となります。
    2個目が白玉であるという条件下で1個目が白玉である確率は?ということだからです。
    この12通りのうち、1個目も白玉であったのは、上の計算のように2通りです。
    ですから、2個目が白玉であったとき、1個目も白玉であった確率は、2/12=1/6
    これが答えとなります。

    何も難しくありません。
    条件付き確率は、条件がついたことで全体の場合の数が限定されるだけなのです。
    ただ、高校数学では、上のように場合の数をいちいち求めたりせず、確率で処理します。
    そのためにあるのが公式です。
    公式は直観では意味を把握できないかもしれません。
    だから、
    「わからない、わからない」
    となってしまうことがあるようです。

    条件付き確率の公式は、
    PA(B)=P(A∩B)/P(A)
    ただし、今回は、2個目がわかってからさかのぼって考えます。
    PB(A)=P(B∩A)/P(B)
    と書き換えたほうがわかりやすいでしょう。
    これが、事後に考えた条件付き確率の公式です。
    1個目の玉が白である事象をA、2個目の玉が白である事象をBとします。

    分母であるP(B)は、2個目が白玉である確率。
    やはり場合分けして求めます。
    赤白の順に玉が出る確率は、
    5/7・2/6=10/42
    白白の順に玉が出る確率は、
    2/7・1/6=2/42
    この2つは互いに排反ですから、2個目が白玉である確率は、
    10/42+2/42=12/42 となります。

    分子であるP(B∩A)は、2個目が白で、かつ1個目も白である場合の確率。
    すなわち、白白の順に玉が出る確率ということですから、
    2/7・1/6=2/42

    よって、
    PB(A)=2/42÷12/42=2/12=1/6
    これが、答えです。

    場合の数を用いて求めたさきほどの数字と見比べてください。
    似ていますね。
    2が2/42 に。
    12が12/42 になっているだけです。
    それぞれ、全体の場合の数42が分母としてついているだけです。
    確率として式を立てたために、それらが分母についているだけ。
    その分母は計算するときに払うことができます。
    だから、場合の数÷場合の数で計算しても、確率÷確率で計算しても、結果は変わりません。

    確率÷確率 でも、場合の数÷場合の数 と同じ結果が出る。
    条件付き確率の公式が示していることは、そういうことです。

    ところで、前のブログでもそこを詳しく書いたつもりだったのですが、計算式をズラズラ書いてあるところは読みにくいのかもしれません。
    上手く頭に入ってこない。
    つい斜め読みになる。
    そこが理解するために一番重要なところだということも、1人で読んでいてはピンとこない場合もあると思います。
    自学の難しさはそこにあります。
    何が重要であるか、自分ではわからない。
    読み流したことが最も重要なことかもしれません。

    つい先日も、高校生に「2次関数」の授業をしていて、
    平方完成をした一般式
    y=a(x-p)2+q
    このとき、軸は直線x=p、頂点(p,q)
    という、2次関数の前半の学習で最も大切なところをわかっていない子がいました。
    「学校で習っていない」
    というので、授業ノートを見せてもらったら、ノートにはしっかり書いてありました。
    ただ、全てシャーペンで、黒1色。
    ズラズラと行替えもせずに書かれて他の内容の中に埋没していたので、私は天を仰ぎました。
    「これは、真っ赤で書いて、青マーカーで囲んでおくようなところだよー!」
    「だって、うちの先生、色分けしないから」
    「もう高校生なんだから、重要度は自分で判断しなさーい!」

    ・・・・しかし、それは無理というものかもしれません。
    そのために私がいるのですよね。

    さて、次回の数学教室のお知らせです。

    ◎日時  5月7日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「場合の数と確率」を続けます。p47「いろいろな事象の確立」から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
           左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
           既にご参加いただいている方は携帯メールアドレスにご連絡ください。     




      


  • Posted by セギ at 15:53Comments(0)大人のための講座