たまりば

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2017年05月25日

6月3日(土)、大人のための数学教室を開きます。


5月20日(土)、大人のための数学教室を開きました。
前回と同じく「二項定理」の学習です。
二項定理は、例えば、(a+b)5などを展開していく際に用いる定理ですが、全て展開するのではなく、必要な項の係数だけを求めることもできます。
例えば、こんな問題です。

例題 (x+2)6 を展開したときの、x3の係数を求めよ。

全て展開していくのだとしたら、二項定理を用いて、以下のようになります。
(x+2)6
=6C0x6+6C1x5・2+6C2x4・22+6C3x3・23+6C4x2・24+6C5x・25+6C6・26
=X6+12x5+30x4+160x3+240x2+192x+64
前回も解説した通り、xの6乗の項は、6個の(x+2)から全てxを選んでかけている項です。
それは1通りしかありませんので、係数は1です。
xの5乗の項は、6個の(x+2)から5個のxと1個の2を選んでかけている項です。
それは、xxxxx2を並べる順列と同じ個数だけ同類項があります。
同じものを含む順列の考え方を用いて、6C1=6。
係数としては、2も係数となりますので、6×2=12となります。
xの4乗の項は、6個の(x+2)から4個のxと2個の2を選んでかけている項。
それは、xxxx2・2を並べる順列と同じ個数だけあります。
同じものを含む順列の考え方を用いて、6C2=15。
2・2も係数となりますので、15×4=60。
この辺で法則が見えてきたと思います。

例えば、6C2の「6」は、(x+2)6の「6」です。
6C2の「2」は、(x+2)の2を「2個」選んでいることを示します。
それはxを6-2=4(個)選んでいるということでもあります。

では、問題のx3の係数はどう求めることができるでしょうか。
x3ということは、6個の(x+2)から、xを3個選んだということ。
それは、2のほうを6-3=3(個)選んだということです。
すなわちx・x・x・2・2・2の並べ方だけ、同類項が存在します。
6C3=(6・5・4)÷(3・2・1)=20。
2の3乗も係数となりますから、20×23=160。
答えは、160となります。

二項定理は、2項のうちの前の項、(x+2)で言えばxの項を初めは6回かける項、次はxを5回2を1回かける項というように、前の項を1個ずつ減らし、後の項を1個ずつ増やしていく形をとっています。
最後は、全て後の項、(x+2)で言えば2を6回かけて終わります。
二項定理の一般項は、nやrやn-rといった文字を用いるためか、それで混乱する高校生がいるのですが、全体の流れを把握することで一般項の意味を理解するとよいと思います。

もう少し解いてみましょう。
例題 (2x-3y)7 を展開したときのx4y3の係数を求めよ。

xの項もyの項もそれぞれ1以外の係数がついているのに注意する必要がありますね。
それらも全て項全体の係数に含まれていきます。
x4y3の項ですから、7個の( )から、xを4回yを3回選んでかけます。
すなわち、7C3。
それに、xの係数である2の4乗、yの係数である(-3)の3乗も係数となります。
7C3・24・(-3)3
=(7・6・5)÷(3・2・1)×16×(-27)
=-15120
これが答えです。


さて、ここからは応用です。
易しい教科書や問題集には載っていない問題です。
考えてみましょう。
例題(3x2+x)8 を展開したときの x10の係数を求めよ。
( )内のどちらの項にもxが含まれています。
どんなときにx10になるのでしょうか?

3x2をp回、xをq回かけた項がxの10乗の項であるとします。
( )は全部で8個ですから、
p+q=8・・・・➀ となります。
また、x10という結果になることを踏まえると、指数法則から、
2p+q=10・・・② となります。
➀・②を連立して解くと、
p=2、q=6
よって、3x2を2回、xを6回かけた項がxの10乗の項であるとわかります。
あとは、二項定理にあてはめて、係数は、
8C6・32・16
=(8・7)÷(2・1)×9
=4・7・9
=252
これが答えです。

さらにこのような問題はどうでしょうか。
例題 (x2+1/x)10 を展開したときのx11の係数を求めよ。

後の項は分母にxがある分数なので、前の項とかけると、約分されてxの次数は減ってしまいます。
x2をp回、1/xをq回かけるとすると、
p+q=10 ・・・➀ であるのは今までの問題と変わりませんが、
xの指数はたし算ではなくなります。
約分されて減りますから、
2p-q=11 ・・・② となります。
➀、②を連立して、
3p=21、すなわちp=7、q=3 です。
x2を7回、1/xを3回かけた項がxの11乗となることがわかりました。
二項定理より、
10C3=(10・9・8)÷(3・2・1)=10・3・4=120
係数は120です。

二項定理だけでなく、指数法則の理解が必要なので、こうした問題は易しい教科書や問題集からは除外されているのでしょう。
使っている指数法則自体は中学校で学んでいる内容なのですが、pとかqとか抽象化されると「全くわからない」と言う高校生は多いのです。
しかし、この先「指数関数」を学習した後に受験勉強で解き直すと、案外簡単に理解できることがあります。
さて、次回の数学教室のお知らせです。

◎日時  6月3日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「整式と分数式」を続けます。p7「二項定理を用いた証明」から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。





  


  • Posted by セギ at 13:15Comments(0)大人のための講座

    2017年05月07日

    5月20日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    5月6日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    数Ⅱの学習に入り、まずは3次式の展開、そして3次式の因数分解と学習しました。
    今回は、4次以上の式の展開に進みます。

    例題 (a+b)4 を展開しなさい。

    これは「二項定理」を用いて解いていくのですが、「二項定理」を理解し活用するためには、数Aで学習した「同じものを含む順列」という学習内容が身についていることが必要です。
    そして、「同じものを含む順列」を理解するためには、「組合せ」の基本を理解していることが前提となります。
    前回の3次式の因数分解でもそうでしたが、数Ⅰ・数Aの学習内容が身についていないと、新しい定理や新しい学習内容が理解できない場合がこの先もどんどん増えていきます。

    高校生への授業でも、「二項定理」を説明していく過程で、生徒が「同じものを含む順列」や「組合せ」を理解していないことに気づき、それらの復習に入ることがあります。
    しかし、そこへ路線変更されたのが理解できなかったのか、「二項定理」と「同じものを含む順列」の説明を混同し、余計に混乱してしまう子もいます。
    説明する側はきちんと路線変更したつもりでも脱線事故が起こりやすいところです。

    ですので、行き詰ってから復習に入るのではなく、今回、まず基本から順番に復習しておきましょう。

    数A「場合の数と確率」の中で、まずは「順列」を学習しました。

    例題 a、b、c、dから3つを選んで順番に並べる方法は何通りあるか。

    これが「順列」です。
    樹形図をイメージして考えていけば良いですね。
    一番目にくる候補は4通り。
    2番目は、そのそれぞれから樹形図の枝が3通りに広がります。
    3番目は、さらにそこから2通りに広がっていきます。
    したがって、式は、4×3×2=24
    これを4P3=4・3・2=24
    と表します。
    答は24通りです。
    したがって、順列の一般式は、
    nPr=n(n-1)(n-2)・・・・(n-r+1)
    となります。
    最後の(n-r+1)の意味がよくわからないという生徒がときどきいますが、要するに、nから順番に1ずつ小さくなる数を全部でr個かけていくということです。
    上の4P3ならば、4から始めて、4・3・2と全部で3つの数をかけました。

    それに対して「組合せ」は順番は関係ない選び方です。
    例題 a、b、c、dから3つを選ぶ方法は何通りあるか。
    3つ選ぶだけなので、順番は関係ないですね。
    abcという選び方も、acbという選び方も、同じ選び方です。
    順番が関係ないことが「順列」との違いです。
    ですから、上の4P3の計算方法では、同じ選び方を何回もダブって数えてしまうことになります。
    具体的には、どれくらいダブって数えているのか。
    abcを例にとれば、そのabc3つの並べ方だけダブって数えているでしょう。
    abc、acb、bac、bca、cab、cbaの6通りです。
    この計算方法は、3つから3つを選んで並べる順列です。
    すなわち3P3=3・2・1=6 です。
    よって、組合せは、上の4P3を3P3で割れば求められます。
    (4・3・2)÷(3・2・1)=4
    答えは4通りです。
    一般式としては、
    nCr=nPr÷rPrですね。

    「組合せ」の基本の復習が終わったところで、次は「同じものが含まれる順列」の復習に進みます。
    例題 a、a、a、b、bの5文字の並べ方は何通りあるか。
    これは、普通の順列5P5ではダメですね。
    普通の順列の計算では、3個あるaや2個あるbをそれぞれ区別して並べてしまうことになりますが、見た目が同じものは、同じ並べ方です。
    このaとあのaは実は違うと言われても、見た目が同じですから、同じ並べ方として数えるしかありません。
    5P5では、同じ並べ方を何回もダブって数えてしまうことになります。

    では、どうするか?
    同じものが含まれる順列は、これらの文字を入れる箱をまずイメージします。
    5個の箱が横に並んでいます。
    その箱のどれにa3個を入れるかを考えます。
    残る2個の箱には自動的にbが入ります。
    3個の箱の選び方で、上の5文字の並べ方を求めることができます。
    すなわち、5C3=(5・4・3)÷(3・2・1)=10
    答えは10通りです。
    ちなみに、bを入れる箱2個を選んでも同じ結果となります。
    5C3=5C2です。
    5C2=(5・4)÷(2・1)=10
    同じですね。

    さて、以上で復習が終わりました。
    いよいよ、ここから一番上の問題を解いていきますよー。

    例題 (a+b)4 を展開しなさい。

    ( )を全て書いていけば、
    (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)
    となります。
    これを公式などを使わず、逐一展開していくと、
    =aaaa+aaab+aaba+aabb+abaa+abab+abba+abbb+baaa+baab+baba+babb+bbaa+bbab+bbba+bbbb
    同類項をまとめて、
    =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
    となります。
    ( )の中の文字aとbのどちらか1つを選んで4つ並べていくことで1つの項が形成されるのをご理解いただけるでしょうか。
    これを、このように逐一展開するのではなく、計算で解いていく方法はないでしょうか。

    aaaaすなわちa4という項は1つしかないことは逐一展開しなくても予想がつくでしょう。
    aaab、すなわちa3bは、逐一展開する中で何回か同じものが出てくるでしょう。
    それは、何回出てくるのでしょうか?
    その回数がa3bの係数となるでしょう。
    その計算方法はないでしょうか?
    それは、aaabの4文字の並べ方と同じ数ではないでしょうか。
    何番目の( )からbを選んだかの数と同じという言い方もできます。
    「同じものを含む順列」の考え方をここで利用できます。
    aaabの4文字を並べる順列。
    4C1=4です。

    次に、aabb、すなわちa2b2の係数はどうなるでしょう。
    aabbの4文字を並べる順列の数と同じでしょう。
    すなわち、4C2=(4・3)÷(2・1)=6です。

    abbb、すなわちab3の係数はどうでしょう。
    abbbの4文字を並べる順列の数と同じでしょう。
    すなわち、4C3=4C1=4です。

    最後にbbbb、すなわちb4は、1回しか出てこないとすぐに判断できますが、これも組合せの考えを使うならば、
    4C4=1とみなすことができます。
    ならば、最初のaaaaすなわちa4の係数も、4C0=1とみなすことができますね。
    bを1回も選ばないということです。

    よって、
    (a+b)4
    =4C0a4+4C1a3b+4C2a2b2+4C3ab3+4C4b4
    =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

    逐一展開したときと同じ結果になりました。ヽ(^。^)ノ

    これを一般化したものが「二項定理」です。
    二項定理をここに書こうかと思いましたが、上の式でも読みにくいのに、nだのrだと文字ばかりになると最悪の読みにくさなので、興味のある方は検索してみてください。

    さて、今回ご参加は一名様でした。
    今回ご参加の方から次回欠席のご連絡をいただきましたので、この「二項定理」の説明を次回もやろうと思います。
    数A「組合せ」の基本と「同じものを含む順列」を復習し、「二項定理」の理解に集中できる状態にしておいていただけますと、スムーズでしょう。

    ◎日時  5月20日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数Ⅱ「整式と分数式」を続けます。p6「二項定理」から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。






      


  • Posted by セギ at 15:42Comments(0)大人のための講座

    2017年04月26日

    5月6日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    4月22日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    本日は数Ⅱの2回目。「3次式の因数分解」の授業を行いました。
    まずは公式通りに代入すれば正解に至る問題を練習した後、少し応用問題に入りました。
    例えば、こんな問題です。

    問題 x6-64 を因数分解しなさい。

    シンプルに見えて、これが意外に難しかったようです。

    3次式の因数分解の公式にこういうものがあります。
    a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
    直前まで、この公式を使うための基本練習をしていますから、当然それに引きずられます。

    xの6乗は、xの2乗の3乗。
    64は、4の3乗。
    ということは、
    x6-64
    =(x2-4)(x4+4x2+16)
    =(x+2)(x-2)(x4+4x2+16)
    よし、できたー。ヽ(^。^)ノ
    と思ってしまうのですね。
    しかし、これは正解ではありません。

    x4+4x2+16 は、さらに因数分解できます。
    数Ⅰで学習しました。
    複2次式の因数分解というものです。
    x4+4x2+16
    =x4+8x2+16-4x2
    =(x2+4)2-(2x)2
    =(x2+4+2x)(x2+4-2x)
    =(x2+2x+4)(x2-2x+4)
    平方完成の考え方を利用する解き方です。
    存在しないものをあえて足し、その後同じものを引いて辻褄をあわせます。
    そんなことをしていいの?とキョトキョトする高校生もいます。
    そのときは理解できても、定期テストが終わると、もう忘れてしまう子も多いです。

    子どもは天性の陽気さを持ち、楽天的で、接していてそれに助けられることは多いのですが、
    「数ⅠAくらいは大丈夫だから」
    と言う子もいて、ちょっと困ってしまうこともあります。
    定期テスト以降、一度も復習らしいことをしていないのに、どうして大丈夫だと思うのでしょう。
    数Ⅱの学習になると、数Ⅰとは段違いの難しさにびっくりして、理系に行くつもりだった子も諦めて文系に進路変更することがありますが、数Ⅱが難しいというよりも、数Ⅰの学習内容が身についていないから数Ⅱがわからない場合は多いです。
    今回のこの因数分解の問題もそうですね。

    それにしても、この問題、本当にこんなに難しい解き方しかないのでしょうか?
    実は、もっと易しいやり方があるのです。

    x6-64
    =(x3+8)(x3-8)
    =(x+2)(x2-2x+4)(x-2)(x2+2x+4)

    中3で学習した2次式の因数分解の公式、a2-b2=(a+b)(a-b)をまず利用します。
    その後、3次式の因数分解の公式を利用すると、このように簡単に解いていくことができます。
    3次式の因数分解を勉強したのだから、3次式の公式だけを使うのだ。
    そういうふうに視野が狭くなっていると、一番上の解き方しか発想できません。
    とにかく視野を広くして、これまで学習したことは全て使うのだと思って解いていくと、楽な解き方を発想できると思います。

    続いて、「3次式の展開公式の利用」。
    こんな問題です。
    x+1/x=3のとき、x3+1/x3の値を求めよ。

    対称式の値に関する問題です。
    これも基本は数Ⅰで学習済みです。

    しかし、基本対称式は、和と積と2本の式があるはずなのに、この問題は和の式しかない。これじゃ、解けないよ。

    こういうふうに考えてしまう子は、x・1/x=1 となることに気づいていないのです。
    何年か前、数学が苦手な男子高校生とこんな会話を交わしたことがあります。
    「x・1/x=1になるんですよ」
    「何でですか」
    「約分すると、そうなりますよ」
    「どうしてですか」
    「分母のxと分子のxを約分すると、1になるでしょう?」
    「でも、xって、何の数かわからないじゃないですか」
    「・・・・え?」
    「何の数かわからないのに、約分していいんですか」
    xが0の場合はダメなのですが、今回はそうではないし、その話をすると余計に混乱しそうです。
    「・・・・いいですよ。分母のxが例えば8なら、分子のxも8なのだから、約分できるじゃないですか」
    「xが8って、何でわかるんですか」
    「『例えば』と言いましたよ。8でも7でも、分母のxと分子のxは同じ数ですから、約分できますよ」
    「分母のxが8で、分子のxが7だったら、どうするんですか」
    「そういうことはないから、大丈夫ですよ」
    「何で大丈夫だってわかるんですか」

    ・・・・うーん、これは厄介だ。
    数学が苦手な子の頭の中で、「変数x」は、こんなにも不安定なものなのだなあと感じました。
    数Ⅰの復習云々ではなく、小学校の「関係をあらわす式」のあたりから、もうxとyに不信感があり、理解したふりで理解できずに高校生になってしまったのだろうと思います。
    方程式のときはxの値が定まったり。
    関数になると定まらなかったり。
    数学がわからない子は、このあたりが特に混沌としているのかもしれません。
    この子は、中学生の頃はほとんど無言で何を考えているのかよくわからない子でした。
    勉強全体が苦手なのだけれど、何がどうわからないのか語ることもありませんでした。
    高校生になって遅い反抗期が来た様子で、ふいに饒舌になり、今まで不信を抱いていたことを語るようになりました。
    喧嘩ごしのことも多く、対応が大変でしたが、ああ、こういうことがわからないのかと知る機会があったのを懐かしく思い出します。

    ともかく、上の問題を解いてみましょう。
    x+1/x=3 のときのx3+1/x3の値です。
    これは、この公式を利用します。
    a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)
    何でそうなるというほどのものではなく、右辺を展開すれば左辺になりますね。
    対称式の値を求めるために作られた公式です。
    a2+b2=(a+b)2-2ab
    の3次式版、といったところです。

    x3+1/x3
    =(x+1/x)3-3x・1/x(x+1/x)
    =33-3・1・3
    =27-9
    =18

    さて、次回の大人のための数学教室のお知らせです。

    ◎日時  5月6日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数Ⅱ「整式と分数式」の学習を続けます。p5「3次式の展開公式の利用」大問8 から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。





      


  • Posted by セギ at 13:05Comments(0)大人のための講座

    2017年04月09日

    4月22日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    4月8日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回が、数A最後の授業です。
    内容は、「分数の小数表示と記数法」。
    10進法の分数をn進法の小数に直す問題を解きました。

    例題 1/4を5進法の小数で表せ。

    これは、10進法の小数をn進法の小数に直すときと、基本の考え方は同じです。
    まず、
    1/4=a/5+b/5の2乗+c/5の3乗+・・・・①とおきます。
    ①×5をすると、
    5/4=a+b/5+c/5の2乗+d/5の3乗+・・・
    両辺の整数部分を比較して、
    a=1とわかります。
    次に両辺から1を引いて、
    1/4=b/5+c/5の2乗+d/5の3乗+・・・②とおきます。
    ②×5をすると、
    5/4=b+c/5+d/5の2乗+・・・・
    よって、b=1。
    左辺に1/4と5/4しか出てきませんから、以後は同じことの繰り返しですね。
    以下同様に、c=d=・・・・・=1とわかります。
    したがって、1/4=0.1111・・・・・です。

    さて、これでめでたく数Aの学習は終了し、授業の後半は数Ⅱのテキストに進みました。
    まずは中3の数学や高校数Ⅰで学習した乗法公式の復習をしました。
    新しく学習した内容はなく、全て、これまでの復習ですが、今までに出てきた乗法公式を全て並べるとちょっと圧迫感があったかもしれません。
    授業は少しずつ先に進み続けていますが、時間に余裕のある方は中3や高1のテキストに戻っての復習を並行して続けることをお勧めします。

    数Ⅱの学習は、とにかく大量に公式が出てきます。
    数Ⅰの5倍くらいの数の公式を新しく覚えることになります。
    「軌跡と領域」「三角関数」「指数関数・対数関数」「微分・積分」といった単元が並んでいますから。
    公式の数の多さに対する体感は5倍以上かもしれません。
    1つ1つの公式を大切に理解し、覚えていきましょう。

    さて、次回の数学教室のお知らせです。

    ◎日時  4月22日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数Ⅱ「整式と分数式」の学習を続けます。p5「3次式の因数分解」から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。






      


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    2017年03月20日

    4月8日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    前回の授業料合計6000円を、みちのく未来基金に寄付させていただきました。
    銀行振り込みをしたことをみちのく未来基金に連絡するメールに、「あの日、小学6年生だった子どもたちが、この春、大学に進学するのですね」とほんの1行書いたのですが、そのことに触れた真摯な返信を事務局からいただきました。
    大手企業がサポートする大規模な財団法人でありながら、何年経っても事務的にならず暖かい。
    今年も約100人がみちのく未来基金から奨学金を受けて希望の大学に進むとのことです。

    さて、3月18日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回も「n進法」の続きです。
    例えば2進法ならば、「2の0乗の位」「2の1乗の位」「2の2乗の位」というように、1桁上がるごとに2の指数が上がっていくのだということを前回確認しました。
    では、小数はどのように扱われるのでしょうか?

    まず10進法で考えるのならば、小数は、小学生の頃からやっているように、小数第1位は「10分の1の位」、小数第2位は「100分の1の位」、小数第3位は「1000分の1の位」です。
    それは、「10分の1の位」「10の2乗分の1の位」「10の3乗分の1の位」と書き表すこともできます。
    1つ下の位から見て、1つ上の位はそれを10倍した数の桁、という関係が成立しているのが10進法です。

    2進法も同じように考えます。
    小数第1位は、「2分の1の位」、小数第2位は「2の2乗分の1の位」、小数第3位は「2の3乗分の位」です。
    そうすることで、1つ下の桁から見て1つ上の桁の数は2倍の関係が成立しています。
    ちなみに、2分の1は、指数では「2の-1乗」、2の2乗分の1は、指数では「2の-2乗」と表します。
    ところで、「2の2乗」を「にのじじょう」と読む人は多く、数学学会が公式に訂正しても、こういうことはなかなか改善されないのですが、「2の-2乗」を「にのマイナスじじょう」と読む人はさすがにそれよりは減ってきます。
    高校の数学の先生は「にじょう」と正しく読む人が多いことも関係しているかもしれません。
    「2乗」のときだけ「じじょう」と読むのは、本来、不自然なことです。
    数字は「いち、に、さん」と読みます。
    「いち、じ、さん」ではありません。
    「2乗」だけ「じじょう」と特別扱いの読み方をすることには理由がありません。
    しかし、自分が信じてきたことを否定されると拒絶反応が強い人もいます。

    「じじょう」は「自乗」という意味なんだ!
    という説を展開する人がいます。
    しかし、「2乗」だけそんな特別扱いをすることには理由がありません。

    「にじょう」なんて読み方はまぬけっぽいだろ!
    という人もいます。
    しかし、そういう主観は、数学とは関係ありません。

    ただ、読み方なんか究極どうでも良いので、生徒が「じじょう」と読むのを訂正はしないのですが、私が「にじょう」と読むのを生徒が「このセンセイ、読み方を間違えている」と感じているのではないかなあと考えてしまうことはあります。
    こういうことは多勢に無勢かもしれません。

    おっと話が逸れました。
    マイナスの指数の話でした。
    2分の1は、「2の-1乗」、2の2乗分の1は「2の-2乗」、2の3乗分の1は、「2の-3乗」。
    指数はこのように表記されます。
    これは、n進法の桁の仕組みと整合しています。
    指数がこのように負の数に拡張されることは、n進法を理解していると容易に納得できることです。
    指数の拡張は、詳しくは数Ⅱの「指数関数」で学習します。

    では、n進法に戻って、実際に問題を問いてみましょう。

    問題 10進数0.375を6進法で表せ。

    6進法の小数第1位は、6分の1の位。
    6進法の小数第2位は、6の2乗分の1の位。
    ですから、
    0.375=a/6+b/62+c/63+・・・・
    と表すことができます。
    この両辺を6倍すると、
    2.25=a+b/6+c/62+d/63+・・・・・
    b/6以下は、全て分母のほうが分子より大きい真分数ですから、両辺を比較すると、
    2=aであることがわかります。
    両辺から2=aを引いて、
    0.25=b/6+c/62+d/63+・・・・
    この両辺を6倍すると、
    1.5=b+c/6+d/62+e/63・・・・
    1=bであることがわかります。
    両辺から1=bを引いて、
    0.5=c/6+d/62+e/63+・・・・
    この両辺を6倍すると、
    3=c+d/6+e/62・・・・・
    3=cであり、d以降は0であることがわかります。
    よって、10進数0.375は、6進法では、2.13です。
    上のように、6倍して整数になったものを次の桁の数字と確定していきますので、それを利用した筆算が可能です。
    整数になったものを取り除きながら、次々と×6をしていく方法です。

    さて、春期講習を挟みますので、次回の数学教室は3週間後の4月8日(土)です。
    10進数の分数をn進法で表すやり方を学習します。
    あと1ページで数Aの学習内容は終了。
    ペースが良ければ、次回、数Ⅱのテキストをお配りします。

    ◎日時  4月8日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p116「分数の小数表示と記数法」から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。






      


  • Posted by セギ at 12:39Comments(0)大人のための講座

    2017年03月09日

    3月18日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    3月4日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    数Aの最後の学習内容、「n進法」に入りました。

    n進法は、容易に理解できる小学生もいれば、高校生でも、全く理解できないと首を傾げる子もいる単元です。
    理解できない子は、10進法の仕組みを明確には理解できていないのかもしれません。
    10進法の仕組みは、子どもの頃から慣れ親しみ過ぎて自明の理のようになっていて、むしろ意識しにくいということはあると思います。
    しかし、n進法を学ぶことで10進法の仕組みが照射され、それが絶対のものではないことに気づかされます。
    そのとき、頭の中が一瞬揺れるような快感があるはずなんです。

    数が10集まったら上の桁に上げることは、絶対のことではない。
    n進法を学ぶ最大の意義は、このことに気づくことではないでしょうか。

    当たり前だと思っていることは、実は当たり前ではない。
    そういうルールを皆で守っているだけで、自明の理のわけではない。

    そのことに気づくもう1つの単元というと、受験算数などで出題される「約束記号」があります。
    しかし、これも、理解できない子は不思議なほどに理解できません。
    先日も約束記号の問題で大混乱する生徒がいました。

    問題 A◎B=A+A×B-B とする。3◎19を計算しなさい。

    何も難しくないはずなんです。
    問題に書いてある通りに代入して、
    3+3×19-19=41
    と解答するだけです。

    ところが、この問題、理解できない子は全く理解できません。
    小学生にはちょっと難しいかなあ・・・。
    というレベルの話ではありません。
    中学生でも、高校生でも、この種類の問題に全く対応できない子がいます。
    「問題が何を言っているのか、わからない」
    異口同音にそう言います。

    この問題のときだけ、◎に計算記号の意味をもたせる。
    そのことが理解できないのかもしれません。
    そんなことは、していいはずがない。
    あり得ない。
    だから、全く理解できない。
    そういうことなのかなあと想像するのですが、想像の域を出ません。

    このことが理解できない子は、たいていうろたえています。
    どこがわからないのか問い返しても、絶句している場合が大半です。
    解き方や正解を教えても、理解できない様子です。
    説明の仕方を変えても、類題を解いても、理解が進みません。
    「割合」がわからないとか、「速さ」がわからないという場合は、何がどうわかりにくいのか教える側が推測できる余地があるのですが、約束記号がわからない場合は、違う種類の断絶がそこにある気がします。
    大袈裟に言ってしまえば、世界観が違うのかもしれないというほどの断絶がそこにあります。

    +、-、×、÷なんて計算記号は、単なる記号で、絶対のものではありません。
    そう決めて、その通りに使っているだけです。
    だから、今だけ◎に計算記号の意味あいをもたせても何も悪くありません。
    勿論、それはその問題だけの約束で、一般には通用しません。
    小学生でも一瞬でそうしたことがわかり、パッと顔の輝く子がいます。
    当たり前だと思っていたことは、何1つ当たり前ではない。
    頭の中がグラッと揺れる快感がそこにあります。
    数学を学ぶ快感の1つだと思います。

    n進法も、そのような単元です。
    小学生でも理解できる一方、高校生でも理解できない子がいます。
    思い込みにしばられ、何1つ理解できないようなのです。

    例えば、2進法とは何か。
    便宜上10進法と同じ数字を使う場合、使える数字は、0と1の2種類だけです。
    これで全ての数量を表します。
    10進法の2にあたる数は、2進法では10と表します。
    10進法の3にあたる数は、2進法では11です。
    10進法の4にあたる数は、2進法では、100です。
    10進法の5にあたる数は、2進法では、101です。
    10進法の6にあたる数は、2進法では、110です。
    10進法の7にあたる数は、2進法では、111です。
    10進法の8にあたる数は、2進法では、1000です。
    それぞれの桁で2つ数がたまると、上の桁に上げていくということです。

    それは、10進法で、それぞれの桁で10数がたまると上の桁に上げていくということと対応しています。
    10進法では、1が10集まると、「10」と上の桁に上げます。
    10が10集まると、「100」と上の桁に上げます。
    同じように、2進法では、1が2集まると「10」と上の桁に上げます。
    2が2集まると「100」と上の桁に上げます。

    10進法では、各桁を「一の位」「十の位」「百の位」と通常呼びますが、それは指数を用いて「1の位」「10の位」「10の2乗の位」「10の3乗の位」と呼ぶこともできます。
    同じように、2進法では、「1の位」「2の位」「2の2乗の位」「2の3乗の位」となります。
    さらに言えば「一の位」は10進法では「10の0乗の位」、2進法では「2の0乗の位」とみなすことができます。
    10の0乗も、2の0乗も1です。
    n進法と連動させると、この指数法則の理由が明確になってきますね。

    しかし、こうした説明自体を10進法を基盤として行わざるを得ないという皮肉もあり、理解できない子は全く理解できないということが起こります。
    「10進法は、0から9までの10個の数字を使うでしょう?同じように、2進法では、0と1の2個の数字を使うんだよ」
    と説明すると、
    「10進法で使う数字は10個じゃない!」
    と言い張る子がいます。
    9の次は、10だし、次は11だし、12だし、数字は無限にあるんだから、10進法じゃない。
    そう言うのです。
    気持ちはわかる。
    でも、そういうことじゃないんだよ。
    しかし、本人にとって桁のからくりは子どもの頃から頭に沁み込み過ぎて自明の理になり、意識できないものになっています。
    n進法の説明を理解するには、10進法に対して客観的な視点が必要なのですが、それは、n進法を理解したときに補強される客観性でもあります。
    堂々巡りなのかもしれません。

    しかし、わかれば物凄く面白いのがn進法。
    次回もn進法の学習は続きます。

    さて、今回、出席3名様からいただきました授業料合計6000円は、「みちのく未来基金」に寄付させていただきます。
    実際に手続きが済みましたら、またご報告いたします。


    ◎日時  3月18日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p113「n進法」の続きから。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。







      


  • Posted by セギ at 13:28Comments(0)大人のための講座

    2017年02月24日

    3月4日(土)、大人のための数学教室を開きます。



    画像は、雲取山荘の部屋です。
    豆炭こたつ、暖かかったなあ。

    さて、2月18日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    「不定方程式」の学習も今回が最後です。
    今回学習したのは、こんな問題でした。

    問題 方程式x3+y3-2x2y=1を満たす整数の組(x,y)をすべて求めよ。

    わあ今度は3次式ですね。
    でも、これも、(  )(  )=整数 という形に整理できたら、解けそうです。
    ですから、まず、(  )(  )でくくるという、因数分解のようなことをすれば良いとわかります。
    定数項は外にはみ出していいけれど、文字を含む項だけは必ず(  )(  )の中に収めることが目標です。
    まずは、xについて降べきの順に整理してみましょう。
    x3-2yx2+y3=1
    共通因数でくくって、
    x2(x-2y)+y3=1
    しかし、これでは、この先が手詰まりとなるのは目に見えています。
    係数のバランスが悪いんですね。
    係数が揃っていたら、もう少し何とかなりそうです。
    何となく見た目から、(x-y)という共通因数がありそうな気がするのですが、どうしたら、それが出てくるでしょう。
    だったら、
    (x3-x2y)+(y3-x2y)=1
    と分けてみたらどうでしょう。
    全ての項の係数が1または-1に揃いました。
    これはいけそうです。
    x2(x-y)+y(y2-x2)=1
    x2(x-y)-y(x2-y2)=1
    x2(x-y)-y(x+y)(x-y)=1
    (x-y){x2-y(x+y)}=1
    (x-y)(x2-xy-y2)=1

    今回難しかったのは、ここの因数分解です。
    ある文字について降べきの順に整理していくのが因数分解の定石ですが、これはその定石では解けない種類の因数分解です。
    こういう特別なやり方を何もないところから初めて発想するには、この1問を何日も考え続けることが必要になります。
    何日も何日も考えて、それでも思いつかないかもしれません。
    しかし、考え続けることで数学の力は伸びていきます。
    ただ、それをするには、少なくとも定石通りの因数分解なら自在に解けるほどには練習を重ねている必要があります。
    そうでないと、そもそも何をどう考えるかもわからないのは仕方のないことです。

    思考錯誤を重ねることを厭わないことも必要です。
    これは正しい解き方だと確信してから答案を書きたい、ノートを汚したくないという姿勢では、正解は見つかりません。

    長い時間考えて、今の自分には解けないと見切りがついたら、解答・解説を見て、そのテクニックをしっかり学びとり、2度と忘れないことも大切です。
    別の機会に必ずこれを活用できるように覚えておきましょう。

    さて話を戻して。
    (x-y)(x2-xy-y2)=1
    と、ここまで整理できたら、その後はどうするのか。
    初めて見る応用問題になると、何のためのこれをやったのか、途中で目的を見失って、その後どうしたら良いのかわからなくなることがあります。
    作業過程が長いからでしょう。

    今回は、何のためにこんなことをしたのでしたっけ?
    xとyの整数値を出したかったからでした。
    前回解いたような問題では、例えば、
    (x-3)(y+2)=1となったら、(x-3,y+2)=(1,1),(-1,-1)
    として、
    (x,y)=(4,-1),(2,-3)と求めるのでした。

    だったら今回は、
    (x-y)(x2-xy-y2)=1
    (x-y,x2-xy-y2)=(1,1),(-1,-1)とします。
    この2通りのそれぞれを解けば良いです。
    すなわち、
    x-y=1・・・➀
    x2-xy-y2=1・・・➁
    という連立方程式と
    x-y=-1・・・➂
    x2-xy-y2=-1・・・④
    という連立方程式をそれぞれ解きます。

    上のほうの連立方程式ですと、
    ➀を移項して、
    x=y+1・・・➀'
    これを②に代入して、
    (y+1)2-(y+1)y-y2=1
    y2+2y+1-y2-y-y2=1
    -y2+y=0
    y2-y=0
    y(y-1)=0
    y=0,1
    これを➀'に代入して、
    y=0のとき、x=1
    y=-1のとき、x=0
    同様に➂、④を解いて、
    y=-2のときx=-3
    y=1のときx=0
    したがって、
    (x,y)=(1,0),(2,1),(-3,-2),(0,1)
    となります。

    さて、東日本大震災の起こった3月11日が今年も近づいてきました。
    次回の皆さまの受講料は「みちのく未来基金」に寄付させていただきます。
    ご参加お待ちしております。

    ◎日時  3月4日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p111「n進法」の大問2から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。





      


  • Posted by セギ at 11:59Comments(0)大人のための講座

    2017年02月22日

    春期講習のお知らせ。2017年。


    2017年度春期講習のご案内です。
    詳細は、今週末に書面を郵送いたしますのでご覧ください。
    お申込み受付は、3月1日(水)からとなります。
    申込書またはメールでお申込みください。
    なお、この期間、通常授業はありませんので、いつもの時間帯の授業を希望される方も改めてお申込みください。
    通常授業の空きコマがないため、外部生の受講は承っておりません。
    大変申し訳ありません。

    以下は、春期講習募集要項です。

    ◎期日
    3月25日(土)~4月4日(火) 
    ただし、日曜日は休校となります。

    ◎時間帯
    10:00~11:30 , 11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30 , 16:40~18:10 , 18:20~19:50 , 20:00~21:30

    ◎費用
    1コマ90分4,000円×受講回数

    ◎指導科目
    小学生 一般算数・受験算数・英語
    中学生 数学・英語
    高校生 数学・英語

    ◎空きコマ状況 3月23日現在
    3月25日(土)
    15:00~16:30 ,16:40~18:10

    3月27日(月)
    20:00~21:30

    3月28日(火)
    18:20~19:50

    3月29日(水)
    20:00~21:30


    3月31日(金)
    20:00~21:30

    4月3日(月)
    20:00~21:30
      


  • Posted by セギ at 12:36Comments(0)大人のための講座

    2017年01月29日

    2月18日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    1月28日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    なおも「不定方程式」の学習は続きます。
    今回はこんな問題です。

    問題 方程式 xy-x+3y-12=0 を満たす整数の組(x,y)の値を全て求めよ。

    この問題が今までと違うのは、xyという2次の項が含まれていること。
    これでは、前回のように、
    ◇x+△y=◎
    といった形に整理するのは無理ですね。
    でも、因数分解して、
    (x+◇)(y+△)=◎
    という形にすることはできるんじゃないでしょうか。
    それができれば、整数の組を見つけることができそうです。
    だから、まず因数分解のようなことをしてみます。
    定数項ははみだして構わないので、完全な因数分解ではありません。

    xy-x+3y-12=0
    前の2つの項の共通因数はxなので、とりあえず2つだけをくくってみます。
    x(y-1)+3y-12=0
    因数分解の学習のときもそうでしたが、ここで最初の共通因数であるxにばかり目がいって、
    「もう残りの項にxがない!因数分解できない!」
    と嘆く高校生がいます。
    しかし、この先の共通因数はxではありません。
    ( )の中身のほうが全体の共通因数です。
    後半の項を(y-1)が共通因数となるようにくくることが次の目標となります。
    x(y-1)+3(y-1)
    このように、まずは強引に(y-1)を書いてしまいます。
    しかし、3(y-1)は、展開すれば3y-3です。
    -3という項は、この式に存在しません。
    だから、辻褄をあわせるために、その後に+3をします。
    すなわち、
    x(y-1)+3(y-1)+3-12=0
    x(y-1)+3(y-1)-9=0
    x(y-1)+3(y-1)=9
    共通因数(y-1)でくくります。
    (y-1)(x+3)=9
    順番を整えます。
    (x+3)(y-1)=9

    実際の答案では、ここまで丁寧に書くことはなく、互いに影響しあわない作業については1行の中で処理していくのが普通ですが、あまり省略し過ぎると計算ミス・符号ミスをしやすいですので、自分の中の「安全速度」を守って作業していくことが大切です。
    それは、前回解説したような、問題を短時間で解く上で必要な作業の省略とは別の次元のことです。

    さて、
    (x+3)(y-1)=9
    まで式を整理できたら、あとは楽勝ですね。
    x、yは整数ですから、x+3、y-1も整数です。
    整数×整数が9になる場合は限られています。
    (x+3,y-1)=(1,9),(3,3),(9,1),(-1,-9),(-3,-3),(-9,-1)
    よって、
    (x,y)=(-2,10),(0,4),(6,2),(-4,-8),(-6,-2),(-12,0)

    xとyとを同時に計算していくと煩雑なので、先にxだけ計算していくことをお勧めします。
    x+3の値からxを出すには、-3をすれば良いだけです。
    単純に、-3した数値を書き込んでいきます。
    y-1の値からyの値を出すには、+1をします。
    そうした単純作業に置き換えることで、暗算しやすくします。
    これは問題を短時間で処理するために必要な作業の省略です。
    複雑なことをわざわざ暗算し、時間もかかってミスも出やすいのとは別のことです。
    数Ⅱに進むと、そうしたことがさらに増えていきます。

    さて、次回の数学教室のご案内です。
    次回は、祝日を挟みますので、3週間後となります。

    ◎日時  2月18日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p109の問題27までが宿題です。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。

      


  • Posted by セギ at 17:16Comments(0)大人のための講座

    2017年01月18日

    1月28日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    高尾山のシモバシラの氷花です。
    まだ小さいですね。

    さて、1月14日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回も「不定方程式」。
    こんな問題を解きました。

    問題 方程式 x+3y+5z=23 を満たす自然数の組(x,y,z)をすべて求めよ。

    方程式は1本。文字は3つ。
    こんな問題、解は無数にあるのでは?
    でも、全部たし算ですし、「自然数」という条件があるので、解は限定されます。
    「自然数」というのは、1,2,3,4,・・・・という、正の整数です。
    どの文字も負の数になってはいけないということです。
    合計23の中で、1つの文字の取り分が増えていけば、他の文字の取り分が減るので、これは限りがあるなあとわかります。

    さて、こういう問題は、係数の大きい文字の範囲をまず計算します。
    この問題では、zの係数が5と一番大きいので、zの範囲を決めます。
    23からの取り分が大きくなる文字から決定したほうが、その後の計算が楽だからです。
    x+3y+5z=23
    移項して、
    5z=23-x-3y
    ここで、x、yは自然数なので、x≧1、y≧1。
    x=1、y=1を代入して、
    5z≦23-1-3・1
    5z≦19
    z≦19/5
    zは自然数だから、
    z=1,2,3

    ここで一番難しいのは、5z≦23-1-3・1 でしょうか。
    予想していた向きとは不等号の向きが逆で、「え?え?」となってしまう方もいらっしゃるかもしれません。
    合計は常に23です。
    その中で、xとyの最小値1を代入しました。
    その場合、5zの取り分は最大となります。
    だから、実際の5zはその最大値以下となります。

    さて、ここから場合分けして考えていきます。
    [1] z=1のとき
    x+3y+5z=23 に代入して、
    x+3y+5・1=23
    x+3y=18
    よって、
    (x,y)=(3,5),(6,4),(9,3),(12,2),(15,1)

    [2] z=2のとき
    x+3y+5・2=23
    x+3y=13
    よって、
    (x,y)=(1,4),(4,3),(7,2),(10,1)

    [3]z=3のとき
    x+3y+5・3=23
    x+3y=8
    よって、
    (x,y)=(2,2),(5,1)

    これらは、x=1の場合から1つ1つ代入して計算しても勿論求められるのですが、時間がかかります。
    もう少し早く合理的に求めたいです。
    例えば、x+3y=18 の場合、
    x=0ならば、3y=18なので、y=6です。
    しかし、xは自然数なので、x=0は解ではありません。
    そこからyが1減って、y=5になると、3y=15です。
    全体の18から3減ることになります。
    それがxの取り分となりますから、x=3、y=5が最初の解の組だとわかります。
    あとは同じように変化していきます。
    つまり、全体としては常に3だけyからxへとやりとりがあります。
    だから、xは3ずつ増え、yは1ずつ減ります。
    (3,5)が見つかった後は、xは3ずつ増やし、yは1ずつ減らして、yが0や負の数になる前に止めれば良いのです。

    こういうやりとりの問題は、中学受験の受験算数でも出題されます。
    しかし、小学生でも、勿論高校生でも、このやりとりがよくわからないという場合があります。
    今回の大人のための数学教室でも、ここのところが大変不評で、
    「今日はとにかく、1から全部代入して求めます」
    と参加者の方はおっしゃっていました。
    今日はとりあえず解き方の理解に集中したい。
    やりとりの話は全体が見えてからゆっくり考えますから、ということだと思います。
    家でじっくり考えれば何も難しいことではないので、大人の方はまず大丈夫でしょうが、小学生や高校生でこれがわからないとなると、テストでこの問題を解くのに時間がかかり、時間切れの恐れが出てきます。
    これは理解してほしいところです。
    回りくどい計算をしている暇はありません。
    瞬殺しましょう。
    ヽ(^。^)ノ

    例えば、 2x+3y=24 (x、yは自然数) を解くときに、
    xが0ならば、yは8です。
    これは暗算ですぐ出てきます。
    ここからxを増やしていきますが、3yからもらえるものは必ず3の倍数です。
    しかし、2xは2の倍数です。
    だから、余りが出ないようにするには、2と3の最小公倍数の6ずつやりとりをすることになります。
    すなわち、xは3ずつ増え、yは2ずつ減ります。
    だから、
    (x,y)=(3,6),(6,4),(9,2)

    どうでしょうか?
    このことは、理解できる子には何でもないことなのですが、「わかりにくい」と感じる子にとっては、いくら説明を聞いてもわからない、何を言っているのかさっぱりわからない、日本語で説明されているとは思えないくらいわからない、ということのようなのです。
    表現が難しいですが、「数字と友達になっていない」ということかなあと思います。
    サッカー選手にとって「ボールは友達」で自在に操れるものであるように、数字を自在に操れると、色々なことが楽になります。

    こういうことだけに限りません。
    例えば、「関数」の学習をしているとき。
    座標平面上の点の移動を上手く読み取れない子がいます。
    A(1,-5)からB(-3,-2)への移動は、
    x軸方向に-4、y軸方向に3だけ移動したもの。
    こういうのは、それこそ瞬殺で、見ただけでわかることですが、中学生・高校生の中に、この移動が読み取れない子がいます。
    「どういう式ですか?」
    と質問されたりします。
    ・・・・・・式?
    あえて言えば、「移動後の座標-移動前の座標」で、
    -3-1=-4
    -2-(-5)=3
    ということですが、そんなややこしい式をいちいち立てていたら、かえって符号ミスをしそうです。

    1から-3への移動が-4の移動であることを、見ただけで読み取るというのは、ではどのように判断しているかというと。
    頭の中で、まず符号を決定しています。
    小さい数のほうに移動しているので、これはマイナスの移動です。
    移動の絶対値は、まず、1から0までで1。
    0から-3までで3。
    だから合計4。
    したがって、-4の移動です。

    -5から-2への移動。
    これは、大きい数に移動していますので、ブラスの移動です。
    移動の絶対値は5-2で3。
    だから、+3の移動。

    見ただけで判断するというのは、分析すれば、こういうことをほぼ直感的にやっていることです。

    「なぜたし算だったりひき算だったりするの?」
    そう訊かれれば、
    「だって、正負の数って、そういうものです」
    と答えるしかありません。
    「わかんない、わかんない、わかんないー!」
    「・・・・・」
    これは私が悪かった。
    わからないなら、式を立てて計算すればいいんだよ。
    こういう会話の後で、そう反省したこともあります。

    中1で最初に学ぶ「正負の数」の計算でつまずいてしまう子がたまにいます。
    そういう子は、結局、数直線上の数値の移動が飲み込めていません。
    数直線を見た瞬間に「ああ、これ嫌い」と言ったりします。
    数直線でイメージしていないので、正負の数の計算はルールを暗記しているだけです。
    だから、久しぶりに「正負の数」を復習すると、誤答が目立ちます。
    「あれ?負の数+負の数って、正の数になるんじゃね?」
    「・・・・・なぜ、そう思うの?」
    「あれ?違った?」
    「・・・・負の数×負の数と混ざっていない?」
    「あ、そうかそうか」
    本人は気楽そうですが、負の数+負の数は、実感として正の数になるわけがないのに、なぜそこに違和感を抱かないのかと思うとき、私は足元に暗い深淵が覗いているように感じます。
    そういう子にとって、数字は友達ではない。
    数字なんて、扱いにくくて厄介な存在なんだろうなあ。
    どうすれば、数字が友達になるかなあ。

    かなり話がそれました。
    まだ最終解答をまとめていませんでした。
    答えは、(x,y,z)の値の組で答えますから、
    (x,y,z)=(3,5,1),(6,4,1),(9,3,1),(12,2,1),(15,1,1),(1,4,2),(4,3,2),(7,2,2),(10,1,2),(2,2,3),(5,1,3)
    これが最終解答です。


    さて、次回の大人のための数学教室のお知らせです。
    次回は1月28日(土)。
    なお、その次は祝日を挟みますので、2月18日(土)となります。

    ◎日時  1月28日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p108の問題20、21、22が宿題です。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。



      


  • Posted by セギ at 12:35Comments(0)大人のための講座

    2016年12月15日

    1月14日(土)、大人のための数学教室を開きます。




    12月10日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    「不定方程式」もあと少しで終わり。
    今回は、こんな問題です。

    例題 方程式 3x+7y=71 を満たす自然数の組(x , y)を全て求めよ。

    この問題が今までと異なるのは、求める解が「整数」ではなく、「自然数」であること。
    自然数とは、1、2、3、4、・・・・といった、正の整数のことです。
    xもyも自然数でなければならないとなると、これは無数にあるわけではなさそうです。
    どちらかが負の整数であるものは解ではないからです。
    だから、こういう問題は、具体的な解を全てあげて答えます。

    まずは、いつも通りの不定方程式の解き方で計算していきます。
    x、yの具体的な解を1組、見つけましょう。
    係数の大きいyから、y=1、y=2と代入していくと、x=19、y=2が見つかりますね。
    したがって、
    3・19+7・2=71 ・・・・➁
    与式を➀として、①-➁をすると、
    3(x-19)+7(y-2)=0
    移項して、
    3(x-19)=-7(y-2)
    3と7は互いに素だから、
    x-19=7k (kは整数)
    x=7k+19 ・・・➂
    y-2=-3k
    y=-3k+2 ・・・④
    という整数解がまず見つかります。

    ここからが今までと異なります。
    x、yは自然数なので、1≦x、1≦yですから、
    ➂に代入すると、
    1≦7k+19
    7k+19≧1
    7k≧-18
    k≧-18/7
    ④に代入すると、
    1≦-3k+2
    3k≦1
    k≦1/3

    よって、-18/7≦k≦1/3
    kは整数だから
    k=-2、-1、0
    これを➂、④に代入して、
    (x、y)=(5 , 8),(12 , 5),(19 , 2)

    x=7k+19 ですので、1つめの x=5 を計算したら、あとは7ずつ増やしていくと求める時間を短縮できます。
    yも同様です。
    y=-3k+2 ですから、最初は計算で y=8 を出した後は、3ずつ減らしていくとよいでしょう。
    今回は解が3組だけでしたが、15組くらいあっても全部書いていきますので、計算時間の短縮は重要です。
    計算の工夫ですね。

    今回の期末テストを見ると、計算でもたつき、時間がかかってテストを最後まで解くことができなかった生徒が何人かいました。
    計算スピードが遅い生徒を見ていると、手が止まって考え込んでいる時間が長いのが特徴です。
    立式を考えているのではありません。
    式が立った後、計算で手が止まって考え込んでいるんです。
    何をしているのかというと、暗算をしているんです。
    暗算は、本人は速く解けるつもりでいても、傍らから見ていると不可解なほどに長い時間がかかっていることがあります。
    「暗算」と「計算の工夫」は似て非なるものです。
    一般に、計算過程をなるべく暗算で済まそうとする子ほど計算に時間がかかり、計算ミスも多い傾向があります。
    そういう子の答案は、式が1行跳び、2行跳びの印象です。
    何でそんなアクロバティックな省略をしたがるのか私にはわからないのですが、書いている本人は、もう何年もそういう答案を書いているので、何を注意されているのかわからないようなのです。
    ここを省略するから計算しにくくなって、ここで符号ミスをして、ここで計算ミスをする。
    そういうことに対して自覚がなく、
    「次はミスしないようにしよう」
    と思うだけか、ミスしたこと自体なかったことにしようとするのも、そういう子たちの傾向です。
    それでは、ミスが減ることはほとんど期待できません。
    計算ミスが多いなら計算のスタイルを改善する必要があるのですが、どうもそういう分析がなく、ただ「次はミスしないように頑張ります」と思うだけのようです。
    具体的に何かを変えていかなかったら、ミスは減りません。

    ただ、そういう子ほど我流のスタイルが身体にしみついていて、改善が難しいのも事実です。
    スポーツに通じるものがあるかもしれません。
    正しいフォームが大切なのは一般論としてはわかっている。
    でも、自分は正しいフォームで行うことができない。
    我流の曲がったやり方がしみついている。
    そこを注意されても、直せない。
    「こうやったほうが自分はやりやすいからいいの!」
    と思ったりするのでしょうか。
    正しいフォームを身につければ無限に伸びる可能性が生まれます。
    我流にこだわったら、先は見えています。
    そういうところは、数学はスポーツと似ているなあと思います。
    やはり、数学は頭脳のスポーツですね。
    ヽ(^。^)ノ


    さて、大人のための数学教室、年内の授業は今回が最後でした。
    次回は、来年、1月14日(土)となります。


    ◎日時  1月14日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p109の問題16が宿題です。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。




      


  • Posted by セギ at 12:08Comments(0)大人のための講座

    2016年11月28日

    12月10日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    11月26日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    「不定方程式」の続きです。
    今回は、文字が3つある、3元1次不定方程式の解き方。
    まずは連立型。
    式が2本ある場合です。

    問題 連立方程式 
    7x+5y+2z=37・・・➀
    2x-y+z=13・・・②
    の整数解を全て求めよ。

    不定方程式の基礎が身についたら、この解き方は自力で発見することもできそうです。
    zを消去した式をまず1本作ったら良いですよね。
    どうしたら消去できるか?
    zの係数を揃えて、足したり引いたりすれば消えます。
    ➀-②×2をすると。
      7x+5y+2z=37
    -)4x-2y+2z=26
      3x+7y   =11 ・・・➂

    ここから xとyの解を求めるまでは、今まで学習した不定方程式の解き方と同じです。
    暗算で、xとyの整数解の1つを求めます。
    例えば、(x, y)=(-1, 2)がそうですね。

    この暗算が上手くいかないという悩みをもつ高校生もいます。
    見つけられないと言うのです。
    上の式で言えば、3xと7yの和が11という正の数になるということは、xとyのどちらかが負の数だということにまず気づくこと。
    あとは、係数の大きいyのほうに、1、2と入れていって辻褄が合うかどうかを検討するのが手っ取り早いです。
    7と3の差が4で、11と7の差が4であることから、xの係数とyの係数の絶対値の差は1であることは判断できるのですが、そんなことをいちいち考えるのは逆に面倒くさい気もします。

    さて、xとyの整数解の1つが見つかりましたので、
    3・(-1)+7・2=11・・・④
    ➂-④をすると、
    3(x+1)+7(y-2)=0
    移項して、
    3(x+1)=-7(y-2)
    3と7は互いに素だから、
    x+1=7k (kは整数) ・・・➄
    ➄を➂に代入して計算すると、
    y=3k+2
    よって、x=7k-1
         y=3k+2 (Kは整数)

    xとyの解がわかったら、それを与式のどちらかに代入すればzも求めることができます。
    今回は➁の式が求めやすそうなので➁に代入しますが、➀に代入しても同じ答えが出ますし、そのことで考えこんでしまう必要はありません。
    ぱっと見てどちらが解きやすいか判断がつかないのは、それはどちらでも本人にとって同じ労力だからだろうと思います。
    負の数になると符号ミスをしやすい高校生の場合は、むしろ➀に代入したほうが正解の可能性が高まるかもしれません。

    計算の工夫は、そうしなければならないというものではありません。
    ただ、この時期、高校生に「三角比」「三角関数」を教えていて感じるのですが、計算が苦手な子ほど計算ミスをしやすそうな計算方法で計算してしまいます。

    例えば、余弦定理の利用の問題で、下のような式を立てるところまではできるのです。
    49=(x-1)2+25-2(x-1)・5・(-1/2)
    式の後ろのほう、-2(x-1)・5・(-1/2) はごちゃごちゃしているように見えますが、ここは全てかけ算の連なりですから、どこからかけても結果は同じです。
    -2と-1/2を先にかけてしまえば、ここは1です。
    だから、5(x-1)=5x-5 と簡単に整理できます。
    しかし、計算が苦手な子ほど、前から順番にかけていきます。
    -2(x-1)・5・(-1/2)
    =(-2x+2)・5・(-1/2)
    =(-10x+10)・(-1/2)
    =5x-5
    見ていて、「うわあ・・・・」とつぶやいてしまう危険な計算過程です。
    そして、途中のどこかで符号ミスやかけ算を忘れたミス、( )をつけ忘れて項がかけ算の連なりから外れてしまうミスなどが起きて、ほとんどの場合、誤答してしまいます。
    ( )をいちいち開いたら面倒くさくなるよ、そこは最後にしなさいと助言するのですが、そういうのは問題を解いているときには気づかないと本人は言います。
    交換法則や分配法則。
    そういう計算上の法則がきちんと定着していないのかもしれません。
    言われればわかるけれど、使いこなせない。
    これを「自分がわかる解き方で解きなさい」とほおっておくことはできません。
    計算ミスをしやすい子が、計算ミスをしやすい方法で計算したら、ほぼ確実に計算ミスをします。
    これはさすがに止めます。

    計算の工夫というのは、簡単に解くための工夫です。
    簡単に解くということは、ミスしにくくなるということです。
    ミスの出方が同じ頻度であるのなら、どんな解き方でも構わないのです。

    さて、不定方程式に話を戻しまして。

    x=7k-1 , y=3k+2 を 2x-y+z=13 に代入します。
    2(7k-1)-(-3k+2)+z=13
    14k-2+3k-2+z=13
    17k-4+z=13
          z=-17k+4+13
          z=-17k+17
    よって、
    x=7k-1
    y=-3k+2
    z=-17+17 (kは整数)

    これが3元1次不定方程式の解です。
    ヽ(^。^)ノ

    さて、次回の大人のための数学教室は、12月10日(土)です。
    これが年内最後の授業となります。

    ◎日時  12月10日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p106の問題10について質問を受けるところから授業開始です。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。







      


  • Posted by セギ at 13:29Comments(0)大人のための講座

    2016年11月18日

    冬期講習のお知らせ。2016年。


    2016年度冬期講習のご案内です。
    詳細は、11月末に書面で郵送いたします。
    お申込み受付は、12月1日(木)からとなります。
    申込書またはメールでお申込みください。
    なお、この期間、通常授業はありませんので、いつもの時間帯の授業を希望される方も改めてお申込みください。
    外部生の受講は承っておりません。大変申し訳ありません。

    以下は、冬期講習募集要項です。
    ◎期日
    12月26日(月)~12月30日(金) 
    1月4日(水)~1月9日(月)
    今回、1月8日(日)も授業日となります。
    ◎時間帯
    10:00~11:30 , 11:40~13:10 , 13:20~14:50 , 15:00~16:30 , 16:40~18:10 , 18:20~19:50 , 20:00~21:30
    ◎費用
    1コマ90分4,000円×受講回数
    ◎指導科目
    小学生 一般算数・受験算数・英語
    中学生 数学・英語
    高校生 数学・英語

    ◎空きコマ状況 12月26日更新
    12月29日(木)
    16:40~18:10
    12月30日(金)
    20:00~21:30
    1月4日(水)
    18:20~19:50 , 20:00~21:30

    1月6日(金)
    20:00~21:30
    1月7日(土)
    20:00~21:30
    1月8日(日)
    20:00~21:30
    1月9日(月)
    20:00~21:30

      


  • Posted by セギ at 11:34Comments(0)大人のための講座

    2016年11月15日

    11月26日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    11月12日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    「不定方程式」の学習の続きです。
    例えば、こんな問題。

    例 41x+17y=30 の整数解を求めよ。

    不定方程式を解くには、まずxyの整数解を1組見つける必要があります。
    しかし、このようにxyの係数が大きいと、さすがに暗算で見つけるのは難しくなります。
    そこで互除法を利用します。
    41÷17=2あまり7 →7=41-17・2
    17÷7=2あまり3  →3=17-7・2

    目標は、x、yの整数解を1組見つけること。
    すなわち、41◇+17△=30
    という形の式を1本作ることです。
    そこに向かって、数値を代入していきます。
    あまりが1になるまで計算しなくても、あまりが30の約数になるまで互除法をやれば、そこから変形していくことができます。
    3=17-7・2
     =17-(41-17・2)・2
     =17-41・2+17・4
     =41・(-2)+17・5
    この全体を10倍します。
    41・(-20)+17・50=30 ・・・・➁

    後はこれまでと同じなのでかなり省略して書きますから、この先の計算がよくわからない場合は、前回と前々回の「大人のための数学教室」のページをご参照ください。

    与式を➀として、➀-➁をすると。
    41(x+20)+17(y-50)=0
    移項して、
    41(x+20)=-17(y-50)
    41と17は互いに素だから。
    x+20=17k (kは整数)
    y-50=-41k
    よって、答えは、
    x=17k-20
    y=-41k+50 (kは整数)

    そのときはわかるけれど、時間が経つと、またわからなくなる。
    高校生も、不定方程式は、わかって、わからなくなって、またわかっての繰り返しです。
    作業手順だけ覚えようとすると、忘れるのも早いです。
    必ず計算の意味に戻れるようにしておきましょう。
    なぜ41と17が互いに素だと x+20=17k だと言えるのか。
    なぜ、x+20=17k とし、-17k としないのか。
    なぜ、y-50=-41k とするのか。
    ふっとわからなくなる質問を繰り返し受けながら、計算に没頭してもらった90分間でした。

    不定方程式の係数がさらに大きい場合の解法にも進みましたが、これは例題解説をしたのみで、演習は宿題にしました。
    また疑問百出と思います。
    次回はそこの復習からやっていきましょう。

    ◎日時  11月26日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p105から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。






      


  • Posted by セギ at 12:58Comments(0)大人のための講座

    2016年10月31日

    11月12日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    10月29日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回も「不定方程式」です。
    前回は、比較的係数の小さい不定方程式を解きました。
    不定方程式は、具体的な整数の解を1組求めることができれば、その後は簡単。
    係数の小さい不定方程式なら、整数解の1組も暗算で求めることができます。
    しかし、暗算ではなかなか見つけられない場合もあります。
    そんなときは、「互除法」を利用して、整数解の1組を求めます。

    問題 43x+13y=1 の整数解を全て求めよ。
    これはちょっと暗算では整数解を見つけられないですね。
    それでは、43と13に互除法を用いてみましょう。
    43÷13=3あまり4
    これを後で利用しやすいように変形しておきます。
    →4=43-13・3
    余り=もとの数-割る数×商
    という変形です。

    この変形で苦労する高校生がときどきいます。
    形だけ真似ることはできても、よく意味がわからないようなのです。
    おそらく、小学生の頃、加減乗除の関係の理解が完全ではなかったのだと思います。
    中学生になって方程式を解くときにもそれは影響したはずです。
    移項をするとき、なぜ符号が変わるのか理解しきれないまま、「そういうものだ」と作業手順だけ覚えて済ませてしまったのでしょう。
    あるいは、意味が理解できなかったわけではないけれど、作業手順だけを頭に残し、作業の意味を忘れてしまう繰り返しの中で、算数・数学の根幹への理解が痩せていってしまったのかもしれません。
    いちいち意味を確かめながら作業していたら時間がかかるので、作業は自動化しがちです。
    自動化の中で、意味は無用のものだから記憶から消去してしまった。
    そして、意味がわからなくなった。
    数学が苦手な子の1つのタイプだと感じます。

    中学受験の受験算数では、しつこいくらい「逆算」の計算問題が出題されます。
    中学生になったら使うことのない逆算をなぜそんなにしつこく問うのかといえば、加減乗除の関係を正しく理解できている子を入学させたいからでしょうか。
    表面的には逆算を使用することは中学入学以後はないけれど、その考え方がきちっと定着している子でないと、その上に何を積み上げていっても何だか不安定です。
    いつか、何も積み上がらなくなってしまう。
    そういうことなのではないかと思います。

    話を戻して、43と13に互除法を用いて、
    43÷13=3あまり4→4=43-13・3
    13÷4=3あまり1 →1=13-4・3
    余りが1。
    与えられた不定方程式の右辺と一致しました。
    ここから、上の矢印の右の式を代入して、元の式と同じ形に復元作業をしていきます。
    1=13-4・3
     =13-(43-13・3)・3
     =13-43・3+13・3・3
     =13-43・3+13・9
     =43・(-3)+13・10
    すなわち、
    43・(-3)+13・10=1 ・・・➁
    43x+13y=1と同じ形になりました。(*'▽')
    x=-3、y=10 は、この方程式の解の1つです。
    これが互除法を利用した解の1組の求め方です。

    後は、前回解いた基本問題と同じです。
    与えられた不定方程式・・・➀から、今求めた式➁を引きます。
      43x    +13y  =1
    -)43・(-3)+13・10=1

    引いた答えは、
    43(x+3)+13(y-10)=0
    移項すると、
    43(x+3)=-13(y-10) ・・・➂
    43と13は互いに素だから、
    x+3=13k (kは整数)
    これを➂に代入すると、
    43・13k=-13(y-10)
    13(y-10)=-43・13k
    y-10=-43k
    y=-43k+10
    よって、答えは、
    x=13k-3, y=-43k+10 (kは整数)
    これで、どんな不定方程式でも解けますね。

    さて、次回はこの復習と、x,yの他にzも出てくる3元1次不定方程式の解法に進みます。
    ◎日時  11月12日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p105から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。


      


  • Posted by セギ at 12:08Comments(0)大人のための講座

    2016年10月17日

    10月29日(土)、大人のための数学教室を開きます。



    10月15日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回は、前回と同じ内容の授業でした。
    前半は、ユークリッドの互除法。
    後半、「不定方程式」の学習に進みました。
    不定方程式とは解が定まらない方程式のことです。
    例えば、 3x-4y=0
    この方程式1本では、x、yの値は定まりません。
    y=3/4x
    と変形してみるとわかりやすいでしょうが、これは比例の式ですから、xとyの値の組は無数に存在します。
    では、「解は無数に存在する」で終わらせるのかいうと、もう少し範囲を狭めて、何か情報を伝えたいものです。

    不定方程式の問題は、「x、yの整数解を求めよ」となっているのも特徴です。
    無数に存在する中で、xもyも整数の解を求めなさいというのです。
    いやいや、それだって無数に存在するのですが、何か解の性質のようなものを伝えて、それを答えとしたい。
    そういう方向で解いていくことになります。

    3x-4y=0
    とりあえず、yを移項します。
    3x=4y
    こうすると、xとyの整数解の関係が見やすくなります。
    3と4は、最大公約数が1。
    それ以外に整数の共通因数を持ちません。
    つまり互いに素です。
    それで、3x=4y が成り立っているということは、xには4の因数が含まれているということではないでしょうか。
    一方、yには3の因数が含まれている。
    つまり、xは4の倍数で、yは3の倍数です。
    そうでなければ、この等式は成立しません。
    よって、
    x=4k、y=3k (kは整数)
    これが、この不定方程式の整数解となります。
    1つに特定することはできないけれど、xは4の倍数ですし、yは3の倍数ですよ。
    kに整数を代入すれば、個々の解は全て出てきますよ。
    この解答が伝えていることは、そういうことです。
    これが、不定方程式の解です。

    「何だか解いた気がしない」
    と、高校生には全般的に不評です。
    数学は答えが1つに決まるものだと思っていたのに、この答えは中途半端だ。
    今までの方程式と何か違うので、やりにくい。
    頑固なタイプの生徒ですと、違和感を抱き、反発心も強く、なかなか定着しない内容です。
    納得できない内容は、頭に入らないですよね。
    「数学とはこうでなければならない」
    という固定観念の強い人ほど、この先の数学で実感的に納得できる内容は少なくなっていきます。

    頑固にならないでね。
    この先の内容で納得できないことがあったら、そんな考え方もあるのかと受け流すといいよと話しています。

    さて、不定方程式をもう1問。
    3x+5y=1
    これは、どう解きましょうか?
    右辺が0なら、上の問題のようにxとyの関係を見ることができますが、右辺が1なのでやりにくいですね。
    では、まず右辺を0にしましょう。
    どうやって?

    上の方程式が成立するxとyの整数解を1組、とにかく見つけます。
    もっと複雑になると見つけ方の計算方法もありますが、今のところ問題がシンプルなので、暗算で見つけることができますね。
    x=1のときは、yは整数解はありません。
    x=2のとき、y=-1ならば、
    3・2+5・(-1)=1
    これは成立します!
    そこで、与式から、今作った式を引きます。
      3x +5y     =1 ・・・➀
    -)3・2+5・(-1) =1 ・・・②

    答えは、3x-3・2=3(x-2) というように分配法則でくくっておきます。
    3(x-2)+5(y+1)=0
    これで右辺は0になり、xとyの関係が見やすくなりました。
    移項して、
    3(x-2)=-5(y+1) ・・・・➂
    3と5は互いに素ですから、x-2は5の倍数だとわかります。
    よって、
    x-2=5k ・・・④
    x=5k+2
    ④を➂に代入すると、
    3・5k=-5(y+1)
    15k=-5(y+1)
    -5(y+1)=15k
    y+1=-3k
    y=-3k-1

    よって、この不定方程式の解は、x=5k+2、y=-3k-1 (kは整数)
    最初に見つけた整数解によって、この解答は見た目が少し違ってきます。
    しかし、表しているものの関係は変わりません。
    だから、模範解答と異なるものでも正解はあります。

    このやり方で、どんな問題でも基本的には解いていくことができます。
    しかし、暗算で整数解を見つけるのには限界があります。
    もっと係数の大きい不定方程式はどのように解いたら良いでしょうか。
    次回はそこから授業を行います。

    今回、久しぶりにご参加の方がパソコンメールからお申込みくださったのですが、携帯メールかラインでのお申込みいただくのが常態になっていて、金曜日にパソコンを開くことがなく、ご迷惑をおかけしました。
    ブログ更新のときしかパソコンは開かないので、本当に申し訳ありませんでした。


    次回の数学教室のお知らせです。
    ◎日時  10月29日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p104「不定方程式(互除法の利用)」から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  私の携帯メールかラインあてに、ご予約をお願いいたします。


      


  • Posted by セギ at 12:12Comments(0)大人のための講座

    2016年10月03日

    10月15日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    10月1日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回から「ユークリッドの互除法」の学習に入ります。
    この後「不定方程式」を解くのに使う計算方法ですので、確実に身につけておきたいところです。
    「ユークリッドの互除法」とは、最大公約数を求める方法です。
    それなら「連除法」があるからそれでいいじゃないかという気もしますが、連除法は、最大のものではなくてもとにかく公約数を自力で見つけなくてはなりません。
    2や3ならすぐに見つけられますが、公約数が19だったり23だったりしたら、見つけにくいですね。
    そうしたものでも確実に見つけられるのがユークリッドの互除法です。
    まず、小学生レベルの簡単な問題で考えてみましょう。

    問題 縦70cm横98cmの長方形の紙があります。これを余りがないようにできるだけ大きい正方形に切り分けます。正方形の1辺を何cmにすればよいですか。

    これは、70と98の最大公約数を求めればよいですね。
    上の板書の左下は、いつもの連除法で解いたものです。
    最大でなくて良いので、公約数を考えます。
    思いつくのは、まず「7」。
    70と98をそれぞれ7で割って、10と14。
    今度は、10と14の公約数を考えます。
    「2」ですね。
    それぞれを2で割って、5と7。
    もう1以外の公約数はなくなりました。
    したがって、最大公約数は、7×2=14。
    これが連除法です。

    一方、今回学習する「ユークリッドの互除法」は、長方形を初めからざっくり正方形に切り分けていく方法です。
    板書の中央下が互除法です。
    まず、縦の70cmにあわせて、70×70の正方形を1つ切り出します。
    最終的に切り分ける正方形の1辺は必ず70の約数なので、この正方形は後で余りなく切り分けていくことができるでしょう。
    切り出した残りは、縦70cm横28cmの長方形です。
    この長方形も最終的に同じ大きさの正方形に切り分けるのですから、求める正方形の1辺は、70と28の最大公約数でもあるでしょう。
    ならば、1辺28cmの正方形をまず切り出して、後でその正方形をさらに細かく切り分けることにしても余りは出ないでしょう。
    28×28の正方形は、上の図のように2つ切り出すことができます。
    残りは、縦14cm横28cmの長方形。
    同じように考えて、今度は、14×14の正方形を切り出していくと、これは2つ切り出すことができ、余りはありません。
    では、この1辺14cmの正方形が求めたかった最大の正方形でしょう。
    先程切り出した28×28の正方形は、この正方形に切り分けることができますね。
    70×70の正方形も、この正方形に切り分けることができます。
    やはり、答えは、14cmです。

    これを式で表すと、
    98÷70=1あまり28
    70÷28=2あまり14
    28÷14=2
    よって、答えは14。
    これが互除法です。

    「ああ、商は関係ないんですね」
    と参加者の方から感想がありました。
    そうなんです。
    今回も、商はどうだっていいんです。
    割る数とあまりが大切です。

    ところで、高校数学は必要がない限り「÷」の記号や「余り」という日本語は使いません。
    98÷70=1あまり28
    という書き方ではなく、
    98=70・1+28
    という書き方をします。
    これは、小学校でわり算の筆算を学習したときに、検算の式として学習している内容です。
    「はじめの数=わる数×商+あまり」
    という式です。
    同じ数量の関係を異なる表し方をしたもので、意味は同じです。
    いきなりこの書き方で表すとそれを理解することでハードルが上がって難しいかと思い、最初はわり算の式で説明したのですが、その後の証明問題では下のほうの書き方をすることになるため、参加者の方はそれに慣れず戸惑ってしまわれたようです。(..)
    でも、上のほうのわり算の書き方で理解できれば大丈夫です。
    実際に不定方程式に互除法を利用する場合は、上の書き方でも下の書き方でもない、第3の書き方を利用します。
    これはマスターしなければ不定方程式がうまく解けません。
    28=98-70・1
    という書き方です。
    「余り=はじめの数-割る数×商」
    という意味の式です。
    この式も面食らってしまわれる可能性がありますが、これは慣れるまでしっかりやっていきます。

    さて、次回の数学教室は、今回参加されたお2人から欠席のご連絡が既に出ていますので、今回欠席された方がご参加の場合、今回と同じ内容の授業をする予定です。

    ◎日時  10月15日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p103「ユークリッドの互除法」から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  メールかラインにて、ご予約をお願いいたします。





      


  • Posted by セギ at 13:57Comments(0)大人のための講座

    2016年09月18日

    10月1日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    9月17日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回で「合同式」は最終回です。
    「何か合同式が面白くなってきました」
    と嬉しいお言葉をいただいて、今回もいろいろな問題を解きました。
    まずはこんな問題。

    問題 整数nを3で割った余りが2のとき、n3-3nを3で割った余りを求めよ。

    合同式を使うと簡単ですね。
    整数nは3で割った余りが2なのだから、
    n≡2 (mod3)
    よって
    n3-3n≡23-3・2≡8-6≡2 (mod3)
    したがって、余りは2です。

    証明問題も解きました。
    問題 連続する3つの整数の積は6で割り切れることを利用して、nが整数であるとき、n3+5nは6で割り切れることを証明せよ。

    この問題は「合同式」を学習していない生徒に向けたものなので、「連続する3つの整数の積は6で割り切れることを利用して」とあります。
    しかし、合同式を使って証明するなら、この部分は不要です。
    6で割り切れるかどうかを証明するのですから、6を法として論を進めていけば良いのです。

    整数nは6を法とするとn≡0、n≡1、n≡2、n≡3、n≡4、n≡5のいずれかに分けられる。
    (1)n≡0のとき
    n3+5n≡03+5・0≡0
    (2)n≡1のとき
    n3+5n≡13+5・1≡6≡0
    (3)n≡2のとき
    n3+5n≡23+5・2≡18≡0
    (4)n≡3のとき
    n3+5n≡33+5・3≡42≡0
    (5)n≡4のとき
    n3+5n≡43+5・4≡64+20≡84≡0
    (6)n≡5のとき
    n3+5n≡53+5・5≡125+25≡150≡0
    (1)~(6)より、
    n3+5n≡0
    よって、nを整数とすると、n3+5nは6で割り切れる。

    シンプルで楽ですね。
    これを「連続する3つの整数の積は6の倍数であることを利用して」となると、まず連続する3つの整数の積はなぜ6の倍数であるかでつまずいて立ち止まってしまう高校生がいます。
    しかし、私は内心、そこは省略したいのです。
    今それは主題ではないから、ああ、そうなんだとすんなり納得してくれないかなあ。
    連続する3つの整数なんだから、どれかは2の倍数だし、どれかは3の倍数だよ。
    だから、積は必ず6の倍数でしょう?

    この雑な説明が頭の中でスパークしたように顔を輝かせ、
    「すげえっ!そうか!」
    と感嘆する子もいて、私は、
    「・・・・おまえ、オラが見えるのか?」
    と哀しい妖怪の定番のセリフを口にすることもあります。

    一方、私がそういう雑な説明をすると余計に
    「え?」「え?」「え?」
    となってしまう子も多いです。
    こういう子には、さらに説明しても、
    「でも、どれが2の倍数で、どれが3の倍数かわからないじゃないですか」
    と言われてしまうことがしばしばです。
    そこを詳細に場合分けして説明すると、むしろ場合分けしたことがあだとなり、
    「だって、こっちの場合とこっちの場合では話が違うじゃないですか」
    と言われてしまい、ああもうこの話はしたくないと泣き伏したくなります。
    わからないことが苦しいのは何より本人なのだとわかってはいるけれど。

    勿論、これを解決する方法はあります。
    具体例を相手が納得のいくまで出していくこと。
    連続する3つの整数として例えば「9、10、11」を考えます。
    9は3の倍数です。3×3と分解できます。
    10は2の倍数です。2×5と分解できます。
    したがって、
    9×10×11=3×3×2×5×11
    3×2という因数が含まれていますから、これは6の倍数です。

    これをやれば、ある程度は理解してもらえるのですが、私の中では1つの敗北と感じてもいるのです。
    せっかく文字を用いて抽象化しようとしているのに、結局、具体例で考えないと理解できない。
    抽象を抽象のまま理解できなくて、この先の学習は大丈夫だろうか?
    ・・・・心配ばかりしていても仕方ないのですが。

    いずれにしろ主題ではないことにかなりの時間を費やし、さて問題は何だったかというと。

    問題 連続する3つの整数の積は6で割り切れることを利用して、nが整数であるとき、n3+5nは6で割り切れることを証明せよ。

    ・・・・ああ、この先がまた長い。
    合同式なら簡単なことが、何でこんなに複雑になるのでしょう。
    やっぱり合同式は凄いのです。
    (*'▽')

    さて、「合同式」は今回で終了し、次回からは「ユークリッドの互除法」に進みます。
    ◎日時  10月1日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p103「ユークリッドの互除法」から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  メールかラインにて、ご予約をお願いいたします。



      


  • Posted by セギ at 13:51Comments(0)大人のための講座

    2016年09月05日

    9月17日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    9月3日(土)、大人のための数学教室を開きました。
    今回も「合同式」。
    例えば、こんな問題です。

    例題 a、bを整数とする。aを5で割ると3余り、bを5で割ると4余る。このとき、abを5で割ったときの余りを求めよ。

    これは、合同式を用いないで解くことも勿論可能です。
    m、nを整数とすると、a、bは、m、nを用いて、
    a=5m+3、b=5n+4 と表すことができる。
    ab=(5m+3)(5n+4)
      =25mn+20m+15n+12
      =5(5mn+4m+3n+2)+2
    よって、abを5で割った余りは2。

    これを合同式を用いて解くと、
    a≡3、b≡4 (mod5)
    ab≡3・4≡12≡2 (mod5)
    よって、abを5で割った余りは2。

    合同式を用いると余計な文字を使わずに済むので、答案がシンプルですね。
    実は考え方の本質は同じなので、ぜひ合同式を身につけて簡単に解いていただきたいと思います。

    また別の問題。

    問題 2012の200乗を7で割ったときの余りを求めよ。

    合同式を用いれば簡単です。
    まず2012を実際に7で割って確認すると、
    2012≡3 (mod7) です。

    よって、
    2012200≡3200≡9100≡2100=833・2≡133・2≡2 (mod7)
    よって、余り2。
    合同で言い換えては計算し、また合同で言い換える。
    しかし、指数法則がわかっていないと、この計算はピンとこないかもしれません。
    こうした指数計算は、この後、数Ⅱ「指数関数」、数B「数列」でもよく使うのですが、現役高校生でも、ここはよく詰まるところです。
    模範解答を見ても、何をどう計算して次の行になっているのかわからないようなのです。
    こうしたとき、授業では、私の板書のどこがわからないか1行ずつ確認して謎を解いていきます。

    上の答案では、
    2100≡833・2
    のところが一番わかりにくいかと思います。
    2の100乗を、(23)33×2
    というふうに分解しているのですが、指数法則が理解できていないと、
    「そんなことをしていいんですか?」
    と思うようです。
    高校数学を自学するのが難しいのは、今学習していることなら解説が書いてあるけれど、それ以前のことは解説されていないこと。
    そして、わからないことの大半は今学習していることではない場合が多いのです。
    今学習していることとあわせて、既習の内容でわかっていなかったことを確認する。
    そうやって一歩一歩やっていきましょう。

    さて、次回の数学教室のお知らせです。

    ◎日時  9月17日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p100「剰余の利用」から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  メール・ラインにて、ご予約をお願いいたします。
          

         
        
      


  • Posted by セギ at 13:57Comments(0)大人のための講座

    2016年08月29日

    9月3日(土)、大人のための数学教室を開きます。


    さて、夏期講習が無事終了し、今日から2学期です。
    気がつくと、このブログも全く更新できず、大人のための数学教室のご案内すらしていませんでした。
    次回は9月3日(土)の予定です。

    さて、授業が先に進まなかった「合同式」の解説をもう少ししてみましょう。

    例題 nは13で割って5あまる数であるとき、3n4-7n2を13で割ったあまりを求めよ。

    半角の数字は指数だと思ってください。

    合同式を用いると、n≡5(mod13)
    よって3n4-7n2≡3・54-7・52≡3・252-7・25
    ここで25≡-1(mod13)だから
    3・(-1)2-7・(-1)≡3+7≡10
    よって、あまりは10です。
    合同によって言い換えたものを数字としてそのまま計算し、また合同で言い換えていきます。
    あまりにだけ注目しているので、そのようなことが可能です。
    ちょっと手品のようですね。
    次回はこの復習からやっていきます。

    ◎日時  9月3日(土)10:00~11:30
    ◎内容  数A「整数の性質」の学習を続けます。p121「合同式」例題1復習から。
    ◎場所  セギ英数教室
           三鷹市下連雀3-33-13
             三鷹第二ビル 305
           春の湯さんの斜め前のビルです。
    ◎用具   ノート・筆記用具
    ◎参加費 2,000円
           当日集めさせていただきます。
    ◎予約  メールにて、ご予約をお願いいたします。
           左の「お問合せ」ボタンからご連絡ください。
           既にご参加いただいている方は携帯メールアドレスにご連絡ください。     



      


  • Posted by セギ at 10:56Comments(0)大人のための講座