2021年04月17日
高校数学。数Ａ「整数の性質」から、倍数に関する難問。
今回は、「整数の性質」に戻って、ちょっと発展的な問題を考えてみます。
問題 ３０！ が３のｋ乗でわりきれるときのｋの最大値を求めよ。ただし、ｋは自然数とする。
これは、発展問題とはいえ、まだ典型題です。
この問題は、つまり、３０！の中に、３という因数が何個あるのかということです。
３０！＝３０・２９・２８・・・・・・９・８・７・６・５・４・３・２・１
全てかけ算ですから、どれかの数が３で割り切れれば、全体３０！も３で割り切れます。
では、何回３で割り切ることができるか？
３という因数を持っている数は、３０、２７、２４、・・・、３。
それは何個あるでしょうか？
３０・２９・２８・・・と続いていく数字の中の、３個に１個は、３という因数を持っています。
だから、
３０÷３＝１０
つまり、３の因数は１０個あります。
では、ｋ＝１０ でいいのでしょうか？
それだけで、大丈夫でしょうか？
１つの数字で、３という因数を２個持っているものがありますよね。
例えば９。
９＝３・３ です。
このように、１つの数字で、３という因数を２個持っているものも、この中にあります。
その分だけ、さらに３で割り切ることが可能です。
そういう数は何個あるでしょうか？
これは、９回に１回出てくる数です。
すなわち、３０÷９＝３あまり３ で、３個。
・・・それですべてでしょうか？
１つの数字で、３という因数を３個持っているものはないでしょうか？
あります。
２７＝３・３・３
３０までの数のうち、２７は、３という因数を３個持っています。
３・３・３・３＝８１なので、さすがに、３０！の中には、３という因数を４個持っている数はないです。
よって、３０！の中に、３の因数は、１０＋３＋１＝１４(個)あります。
すなわち、３０！は、３の１４乗で割り切れます。
上の問題の答は、ｋ＝１４です。
よし。
これでウォーミングアップはできました。
次に進みましょう。
ただし、次の問題は、数Ｂ「数列」の公式を最後に使用しますので、まだ数列を学習していない人は、そこのところはわからないと思います。
ご了承ください。
大学入試問題は、入口は数Ａみたいな顔をしているのに、実は数Ⅱや数Ｂの知識がないと解けない問題もあります。
問題 ｐを素数、ｎを正の整数とするとき、(ｐのｎ乗)！は、ｐで何回割りきれるか。
・・・うわあ、全部文字だ。
何を言っているのか、意味がわからない・・・。
こんなときは、問題の意味を把握するために、具体的な文字をあてはめて考えてみることをお勧めします。
具体的な文字といっても、１とか２では、別の特殊な法則性が見えてしまう可能性があるので、もう少し大きい数がいいですね。
例えば、ｐ＝３、ｎ＝４をあてはめて、考えてみましょう。
３の４乗の階乗は、３で何回割り切れるか。
これは、そういう構造の問題なのだとわかってきます。
３の４乗＝３・３・３・３＝８１
８１！は、３で何回割り切れるか？
このように考えれば、上の問題と構造は同じです。
８１・８０・７９・・・・・３・２・１
この中で、３という因数を少なくとも１つもっている数は、
８１÷３＝２７(個)
３という因数を少なくとも２つもっている数は、
８１÷９＝９(個)
３という因数を少なくとも３つもっている数は、
８１÷２７＝３(個)
３という因数を４つもっている数は、
８１÷８１＝１(個)
よって、この場合、２７＋９＋３＋１＝４０ となり、３で４０回割り切れます。
さて、ここで、ずっと避けてきたのですが、そろそろ限界なので、ネット上の累乗の表記法を私も使用したいと思います。
数学に関することをネットで検索して読む人にとって、ネット上での数学独特の表記は、理解を妨げることがあります。
数学好きな人たちが作り出した上手な表記法なのですが、それを知らない人には読み取れません。
表記法を知らないと読み取れないのでは、理解を妨げる。
私のブログは、数学があまり好きではないけれど、数学が得意になりたい人に読んでほしい。
だから、誰でも読み取れるように表記してきました。
とはいえ、そろそろ限界です・・・。
Word ならば、指数表記ができるのですが、このブログは、指数表記ができません。
今回の(ｐのｎ乗)！という表記は、読むように書いてはいますが、かえって読みにくい・・・。
ネット上では、例えば、「３の２乗」は、「３＾2」と書きます。
「ｐのｎ乗」は「ｐ＾n」と書きます。
この先は、この表記でいきたいと思います。
毎回注記をすれば、ご理解いただけるでしょう。
さて、問題に戻ります。
問題 ｐを素数、ｎを正の整数とするとき、(ｐのｎ乗)！は、ｐで何回割りきれるか。
ｐ＾n ！の各数を並べて表したものをイメージしてください。
先ほどの例で見てきたことが参考になると思います。
まず、先頭は、ｐ＾n 。その次は、それより１だけ小さい数。すなわち ｐ＾n－１。
次は、それより２だけ小さい数。すなわち ｐ＾n－２ 。
それを並べて書いてみます。
ｐ＾n , ｐ＾n－１ , ｐ＾n－２ , ・・・・３ , ２ , １
これらの数の中で、ｐという因数を少なくとも１つもっている数は、ｐ回に１回出てくるでしょう。
その個数は、
ｐ＾n ÷ ｐ＝ｐ＾(n-1)
ｐという因数を少なくとも２つ持っている数は、最小でｐ＾2ですから、ｐ＾2回に１回出てきます。
その個数は、
ｐ＾n ÷ｐ＾2 ＝ｐ＾(n-2)
・・・・これを、
ｐ＾n ÷ ｐ＾n＝１
まで行います。
その答の総和が、ｐ＾n の中のｐという因数の個数です。
その答の総和を表す式は、
ｐ＾(n-1)＋ｐ＾(n-2)＋ｐ＾(n-3)＋・・・・＋ｐ＾3＋ｐ＾2＋ｐ＋１
・・・うん？
何だか見たことがあるような？
後ろの項から逆に書いたほうが、わかりやすいでしょうか？
１＋ｐ＋ｐ＾2 ＋ｐ＾3 ＋・・・・＋ｐ＾(n-3)＋ｐ＾(n-2)＋ｐ＾(n-1)
これは、数列の和ではないか？
等比数列の和ですね。
初項１、公比ｐの等比数列の、初項から第ｎ項までの和です。
では、等比数列の和の公式にあてはめましょう。
１・(ｐ＾n －１) / ｐ－１＝＝ｐ＾n－１ / ｐ－１
これが、答です。
具体的に考えていけば、こんなに抽象的な問題も、基礎知識だけで解いていくことができます。
まだ数ⅡＢを学習していない人にはわからないところがあると思いますが、数Ⅱ「指数関数」と数Ｂ「数列」を学習した後なら、これは基礎知識だけで解ける問題です。
基礎知識だけで解けるのに、見た目が難しい。
数学の応用問題は、実はそういうものが多いです。
問題 ３０！ が３のｋ乗でわりきれるときのｋの最大値を求めよ。ただし、ｋは自然数とする。
これは、発展問題とはいえ、まだ典型題です。
この問題は、つまり、３０！の中に、３という因数が何個あるのかということです。
３０！＝３０・２９・２８・・・・・・９・８・７・６・５・４・３・２・１
全てかけ算ですから、どれかの数が３で割り切れれば、全体３０！も３で割り切れます。
では、何回３で割り切ることができるか？
３という因数を持っている数は、３０、２７、２４、・・・、３。
それは何個あるでしょうか？
３０・２９・２８・・・と続いていく数字の中の、３個に１個は、３という因数を持っています。
だから、
３０÷３＝１０
つまり、３の因数は１０個あります。
では、ｋ＝１０ でいいのでしょうか？
それだけで、大丈夫でしょうか？
１つの数字で、３という因数を２個持っているものがありますよね。
例えば９。
９＝３・３ です。
このように、１つの数字で、３という因数を２個持っているものも、この中にあります。
その分だけ、さらに３で割り切ることが可能です。
そういう数は何個あるでしょうか？
これは、９回に１回出てくる数です。
すなわち、３０÷９＝３あまり３ で、３個。
・・・それですべてでしょうか？
１つの数字で、３という因数を３個持っているものはないでしょうか？
あります。
２７＝３・３・３
３０までの数のうち、２７は、３という因数を３個持っています。
３・３・３・３＝８１なので、さすがに、３０！の中には、３という因数を４個持っている数はないです。
よって、３０！の中に、３の因数は、１０＋３＋１＝１４(個)あります。
すなわち、３０！は、３の１４乗で割り切れます。
上の問題の答は、ｋ＝１４です。
よし。
これでウォーミングアップはできました。
次に進みましょう。
ただし、次の問題は、数Ｂ「数列」の公式を最後に使用しますので、まだ数列を学習していない人は、そこのところはわからないと思います。
ご了承ください。
大学入試問題は、入口は数Ａみたいな顔をしているのに、実は数Ⅱや数Ｂの知識がないと解けない問題もあります。
問題 ｐを素数、ｎを正の整数とするとき、(ｐのｎ乗)！は、ｐで何回割りきれるか。
・・・うわあ、全部文字だ。
何を言っているのか、意味がわからない・・・。
こんなときは、問題の意味を把握するために、具体的な文字をあてはめて考えてみることをお勧めします。
具体的な文字といっても、１とか２では、別の特殊な法則性が見えてしまう可能性があるので、もう少し大きい数がいいですね。
例えば、ｐ＝３、ｎ＝４をあてはめて、考えてみましょう。
３の４乗の階乗は、３で何回割り切れるか。
これは、そういう構造の問題なのだとわかってきます。
３の４乗＝３・３・３・３＝８１
８１！は、３で何回割り切れるか？
このように考えれば、上の問題と構造は同じです。
８１・８０・７９・・・・・３・２・１
この中で、３という因数を少なくとも１つもっている数は、
８１÷３＝２７(個)
３という因数を少なくとも２つもっている数は、
８１÷９＝９(個)
３という因数を少なくとも３つもっている数は、
８１÷２７＝３(個)
３という因数を４つもっている数は、
８１÷８１＝１(個)
よって、この場合、２７＋９＋３＋１＝４０ となり、３で４０回割り切れます。
さて、ここで、ずっと避けてきたのですが、そろそろ限界なので、ネット上の累乗の表記法を私も使用したいと思います。
数学に関することをネットで検索して読む人にとって、ネット上での数学独特の表記は、理解を妨げることがあります。
数学好きな人たちが作り出した上手な表記法なのですが、それを知らない人には読み取れません。
表記法を知らないと読み取れないのでは、理解を妨げる。
私のブログは、数学があまり好きではないけれど、数学が得意になりたい人に読んでほしい。
だから、誰でも読み取れるように表記してきました。
とはいえ、そろそろ限界です・・・。
Word ならば、指数表記ができるのですが、このブログは、指数表記ができません。
今回の(ｐのｎ乗)！という表記は、読むように書いてはいますが、かえって読みにくい・・・。
ネット上では、例えば、「３の２乗」は、「３＾2」と書きます。
「ｐのｎ乗」は「ｐ＾n」と書きます。
この先は、この表記でいきたいと思います。
毎回注記をすれば、ご理解いただけるでしょう。
さて、問題に戻ります。
問題 ｐを素数、ｎを正の整数とするとき、(ｐのｎ乗)！は、ｐで何回割りきれるか。
ｐ＾n ！の各数を並べて表したものをイメージしてください。
先ほどの例で見てきたことが参考になると思います。
まず、先頭は、ｐ＾n 。その次は、それより１だけ小さい数。すなわち ｐ＾n－１。
次は、それより２だけ小さい数。すなわち ｐ＾n－２ 。
それを並べて書いてみます。
ｐ＾n , ｐ＾n－１ , ｐ＾n－２ , ・・・・３ , ２ , １
これらの数の中で、ｐという因数を少なくとも１つもっている数は、ｐ回に１回出てくるでしょう。
その個数は、
ｐ＾n ÷ ｐ＝ｐ＾(n-1)
ｐという因数を少なくとも２つ持っている数は、最小でｐ＾2ですから、ｐ＾2回に１回出てきます。
その個数は、
ｐ＾n ÷ｐ＾2 ＝ｐ＾(n-2)
・・・・これを、
ｐ＾n ÷ ｐ＾n＝１
まで行います。
その答の総和が、ｐ＾n の中のｐという因数の個数です。
その答の総和を表す式は、
ｐ＾(n-1)＋ｐ＾(n-2)＋ｐ＾(n-3)＋・・・・＋ｐ＾3＋ｐ＾2＋ｐ＋１
・・・うん？
何だか見たことがあるような？
後ろの項から逆に書いたほうが、わかりやすいでしょうか？
１＋ｐ＋ｐ＾2 ＋ｐ＾3 ＋・・・・＋ｐ＾(n-3)＋ｐ＾(n-2)＋ｐ＾(n-1)
これは、数列の和ではないか？
等比数列の和ですね。
初項１、公比ｐの等比数列の、初項から第ｎ項までの和です。
では、等比数列の和の公式にあてはめましょう。
１・(ｐ＾n －１) / ｐ－１＝＝ｐ＾n－１ / ｐ－１
これが、答です。
具体的に考えていけば、こんなに抽象的な問題も、基礎知識だけで解いていくことができます。
まだ数ⅡＢを学習していない人にはわからないところがあると思いますが、数Ⅱ「指数関数」と数Ｂ「数列」を学習した後なら、これは基礎知識だけで解ける問題です。
基礎知識だけで解けるのに、見た目が難しい。
数学の応用問題は、実はそういうものが多いです。
Posted by セギ at 13:01│Comments(0)
│算数・数学
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