たまりば

  地域と私・始めの一歩塾 地域と私・始めの一歩塾  三鷹市 三鷹市

2018年06月13日

6月23日(土)、大人のための数学教室を開きます。



6月9日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回で、数Ⅱの第1章「式と証明」もついに最終回です。

問題 3次方程式 x3-x2+2x-3=0 の3つの解をα、β、γとするとき、次の3つの数を解とする3次方程式を求めよ。
(1)2α, 2β, 2γ
(2)αβ, βγ, γα
(3)α+β, β+γ, γ+α
(4)α2, β2, γ2

これは解と係数の関係の問題です。
まずは2次方程式の解と係数の関係の復習をしておきましょう。
2次方程式 ax2+bx+c=0 の2つの解をα、βとすると、
α+β=-b/a , αβ=c/a

そんなのありましたね。
それの3次方程式バージョンが今回の問題です。
では、3次方程式の解と係数の関係について確認しましょう。

次方程式 ax3+bx2+cx+d=0 の3つの解をα、β、γとします。
この3次方程式は以下のように表すこともできます。
a(x-α)(x-β)(x-γ)=0
x3の係数がaですので、( )の外側にaを置くことで係数の辻褄を合わせています。
これを展開しましょう。
a(x-α)(x2-γx-βx+βγ)
=a(x3-γx2-βx2+βγx-αx2+γαx+αβx-αβγ)
ax3-aγx2-aβx2+aβγx-aαx2+aγαx+aαβx-aαβγ
xについて降べきの順に整理しましょう。
=ax3-a(α+β+γ)x2+a(αβ+βγ+γα)x-aαβγ

これが、一番上の ax3+bx2+cx+d=0 と同じ方程式なのですから、それぞれの係数を比較して、
-a(α+β+γ)=b すなわち、α+β+γ=-b/a
a(αβ+βγ+γα)=c すなわち、αβ+βγ+γα=c/a
-aαβγ=d すなわち、αβγ=-d/a

これが、3次方程式の解と係数の関係です。

さて、これを利用すると、与えられた3次方程式は、x3-x2+2x-3=0 ですから、
α+β+γ=1
αβ+βγ+γα=2
αβγ=3
となります。
これらを用いて、以下の3つの数を解に持つ新しい3次方程式を作るのです。

(1)2α、2β、2γ
x3の係数はとりあえず1としておきましょう。
そうすると、この3次方程式は、
x3-(2α+2β+2γ)x2+(4αβ+4βγ+4γα)x-8αβγ=0 となります。

x2の係数を求めましょう。
2α+2β+2γ
=2(α+β+γ)
=2・1
=2
よって、x2の係数は-2です。

次に、xの係数を求めましょう。
4αβ+4βγ+4γα
=4(αβ+βγ+γα)
=4・2
=8

に、定数項を求めましょう。
-8αβγ
=-8・3
=-24

よって、求める3次方程式は、x3-2x2+8x-24=0 です。

(2)αβ , βγ , γα
この3つを解にもつ3次方程式の1つは、
x3-(αβ+βγ+γα)x2+(αβ・βγ+βγ・γα+γα・αβ)x-αβ・βγ・γα=0 です。

x2の係数を求めましょう。
αβ+βγ+γα=2
よって、x2の係数は-2です。

次にxの係数を求めましょう。
αβ・βγ+βγ・γα+γα・αβ
=αβγ(β+γ+α)
=αβγ(α+β+γ)
=3・1
=3

定数項を求めましょう。
-αβ・βγ・γα
=-α2β2γ2
=-(αβγ)2
=-32
=-9
よって、求める方程式は、x3-2x2+3x-9=0 です。

(3)α+β , β+γ , γ+α
この3つを解にもつ3次方程式の1つは、
x3-(α+β+β+γ+γ+α)x2+{(α+β)(β+γ)+(β+γ)(γ+α)+(γ+α)(α+β)}x-(α+β)(β+γ)(γ+α)=0 です。

x2の係数を求めましょう。
α+β+β+γ+γ+α
=2α+2β+2γ
=2(α+β+γ)
=2・1
=2
よって、x2の係数は-2です。

次にxの係数を求めましょう。
(α+β)(β+γ)+(β+γ)(γ+α)+(γ+α)(α+β)
これをこのまま展開すると、かなり複雑なことになります。
ここでちょっと工夫します。
α+β+γ=1 ですから、
α+β=1-γ
β+γ=1-α
γ+α=1-β
これらを代入します。
(1-γ)(1-α)+(1-α)(1-β)+(1-β)(1-γ)
=1-α-γ+γα+1-β-α+αβ+1-γ-β+βγ
=-2α-2β-2γ+αβ+βγ+γα+3
=-2(α+β+γ)+(αβ+βγ+γα)+3
=-2・1+2+3
=3

次に定数項を求めます。
-(α+β)(β+γ)(γ+α)
=-(1-γ)(1-α)(1-β)
=-(1-γ)(1-β-α+αβ)
=-(1-β-α+αβ-γ+βγ+γα-αβγ)
=-1+β+α-αβ+γ-βγ-γα+αβγ
=-1+(α+β+γ)-(αβ+βγ+γα)+αβγ
=-1+1-2+3
=1
よって、求める方程式は、x3-2x2+3x+1=0 です。

(4)α2 , β2 , γ2
この3つを解に持つ3次方程式の1つは、
x3-(α2+β2+γ2)x2+(α2β2+β2γ2+γ2α2)x-α2β2γ2=0 です。

x2の係数を求めましょう。
α2+β2+γ2
=(α+β+γ)2-2αβ-2βγ-2γα
=(α+β+γ)2-2(αβ+βγ+γα)
=12-2・2
=1-4
=-3
よってx2の係数は3。

xの係数を求めましょう。
α2β2+β2γ2+γ2α2
=(αβ+βγ+γα)2-2αβ・βγ-2βγ・γα-2γα・αβ
=(αβ+βγ+γα)2-2αβγ(α+β+γ)
=22-2・3・1
=4-6
=-2

定数項を求めましょう。
-α2β2γ2
=-(αβγ)2
=-32
=-9
よって、求める方程式は、x3+3x2-2x-9=0 です。

さて、長かった「式と証明」の章も終わり、次回からは、新章「図形と方程式」に入ります。
◎日時  6月23日
(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「図形と方程式」に入ります。p.42例題1の解説から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかLINEに、ご予約をお願いいたします。






  • 同じカテゴリー(大人のための講座)の記事画像
    8月25日(土)、大人のための数学教室を開きます。
    夏期講習のお知らせ。2018年夏。
    8月4日(土)、大人のための数学教室を開きます。
    7月21日(土)、大人のための数学教室を開きます。
    7月7日(土)、大人のための数学教室を開きます。
    6月9日(土)、大人のための数学教室を開きます。
    同じカテゴリー(大人のための講座)の記事
     8月25日(土)、大人のための数学教室を開きます。 (2018-08-05 15:09)
     夏期講習のお知らせ。2018年夏。 (2018-07-22 16:10)
     8月4日(土)、大人のための数学教室を開きます。 (2018-07-22 15:59)
     7月21日(土)、大人のための数学教室を開きます。 (2018-07-09 14:08)
     7月7日(土)、大人のための数学教室を開きます。 (2018-06-24 15:10)
     6月9日(土)、大人のための数学教室を開きます。 (2018-05-26 15:15)

    ※このブログではブログの持ち主が承認した後、コメントが反映される設定です。
    上の画像に書かれている文字を入力して下さい
     
    <ご注意>
    書き込まれた内容は公開され、ブログの持ち主だけが削除できます。

    削除
    6月23日(土)、大人のための数学教室を開きます。
      コメント(0)