たまりば

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2017年09月17日

9月30日(土)、大人のための数学教室を開きます。


9月16日(土)、大人のための数学教室を開きました。
今回は、相加平均と相乗平均の話です。

言葉がまず少し難しい印象ですね。
相加平均は、小学生の頃からお馴染みのいわゆる「平均」です。
n個の数の和をnで割ったものです。
一方、相乗平均は、n個の数の積のn乗根となります。

ところで、まだ「指数関数・対数関数」の単元を学習していませんので、この「n乗根」というのが厄介です。
今回の学習内容では、そこまで話を拡大する必要がありませんので、2つの数に限って話を進めましょう。
今回欠席された方は、テキストp18の14番は解かないでください。
質問もご遠慮ください。
いずれ「指数関数・対数関数」を学習するときに、しっかりやっていきましょう。

2つの数に限定して説明すると、
相加平均は、2数aとbとの和を2で割ったもの。つまり(a+b)/2。
相乗平均は、2数aとbの積の平方根。つまり、√ab です。

a≧0、b≧0のとき
(a+b)/2≧√ab
等号はa=bのとき成り立つ。

これが、
相加平均≧相乗平均
定理です。

証明もそんなに難しくありません。
左辺-右辺をやってみましょう。
左辺-右辺≧0 となれば、左辺≧右辺 ですね。
(a+b)/2-√ab
これをまず通分します。
=(a+b-2√ab)/2
中3で学習した因数分解の公式が使えそうです。
=(√a2+√b2-2√ab)/2
=(√a-√b)2/2≧0
よって左辺≧右辺となります。
等号は√a-√b=0、すなわち a=b のとき成り立つ。

相加平均≧相乗平均 の定理は、分数のままだと使いにくいので、両辺を2倍して、
a+b≧2√ab
の形で利用することが多いです。
では、利用してみましょう。

問題 a≧0、b≧0とする。
(a+1/a)(b+1/b)≧4 を証明せよ。

左辺の( )内がそれぞれ和の形になっています。
文字の並びからして相乗平均したら右辺のように文字が消えて数字だけが残りそうです。
これは、相加平均≧相乗平均 の定理が使えるでしょう。

相加平均≧相乗平均 より
a+1/a≧2√a・1/a
a+1/a≧2√1
a+1/a≧2 ・・・①
同様に、
b+1/b≧2 ・・・②
①×②をすると
(a+1/a)(b+1/b)≧4
等号はa=1/a かつ b=1/b すなわち、a=b=1のとき成り立つ。


見た目は似ているようでも、全ての問題で相加平均≧相乗平均を使うわけではありません。

問題 a≧0、b≧0のとき、√2(a+b)≧√a+√b を証明せよ。

これも、相加平均≧相乗平均 を使うのだろうかと悩む高校生がときどきいますが、試しに使ってみると、すぐに式がグチャグチャになってきて行き詰まることがわかると思います。
あれこれ悩む前に、可能性を感じるのならやってみたら良いと思います。
手は動かさないのに、「使えるの?使えないの?どうやって見分けるの?」と質問する高校生は多いのですが、手を動かし、試行錯誤すれば、見分けがつくようになります。
そうなる前に説明だけ聞いて見分けようとしますと、その説明が長くしかも細かくて何を言っているのかわからないということが起こりがちです。

さて、上の式はa≧0、b≧0ですので、左辺も右辺も正の数であることがわかっています。
ならば、それぞれ2乗しても大小関係は変わりません。
だから、それぞれ2乗してみましょう。
左辺2-右辺2
=2(a+b)-(√a+√b)2
=2(a+b)-(a+2√ab+b)
=2a+2b-a-2√ab-b
=a-2√ab+b
=(√a-√b)2≧0
よって√2(a+b)≧√a+√b
等号は√a-√b=0 すなわちa=b のとき成り立つ。

今までのところを整理しますと、不等式を証明するには、左辺-右辺≧0 を示すのですが、そのためには、
①平方完成する
②相加平均≧相乗平均 を利用する
③全体を2乗する
これらのうちのどのテクニックを使うかは、その問題ごとに自分で判断します。
判断がつかないうちは試行錯誤してみましょう。
数学の問題を解いていて一番楽しい時間は、この試行錯誤の時間だと思うのです。
一番意味のある時間でもあると思います。

さて、次回の数学教室のお知らせです。

◎日時  9月30日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「等式・不等式の証明」を続けます。p19の問題15が宿題です。

◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。






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