たまりば

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2017年07月03日

7月15日(土)、大人のための数学教室を開きます。


7月1日、大人のための数学教室を開きました。
今回は「分数式の加法・減法」。
例えば、こんな問題です。

x-3         x-1
x2-6x+8  -  x2-2x-8

分数をこのブログに書き込んでいくのは難しいのですが、大体の感じはつかめていただけたかと思います。

計算の基本は、数の計算と同じです。
分数は、分母が等しくなければ引き算できません。
すなわち、通分が必要となります。
このまま、(x2-6x+8)(x2-2x-8)という分母にすることでも通分はできます。
しかし、それは、普通の分数の通分で、例えば分母が6と8だったときに、それを通分するのに48としてしまうようなものです。
後の計算が煩雑になる悪手です。
互いの共通因数を考えて通分しましょう。

それにはまず、分母をそれぞれ因数分解してみます。
x2-6x+8=(x-2)(x-4)
x2-2x-8=(x+2)(x-4)
(x-4)が共通因数であることがわかります。
よって、通分した後の分母は、(x-2)(x+2)(x-4)
このように通分するのですから、それぞれの分子は、それまでの分母にはなかった因数をそれぞれにかけて、
(分子)=(x-3)(x+2)-(x-1)(x-2)
この後、分子の計算を行います。
(分子)=x2-x-6-(x2-3x+2)
    =x2-x-6-x2+3x-2
    =2x-8
これで、分子は2x-8、分母は(x-2)(x+2)(x-4)
というところまで整理できました。
普通の分数の計算でもそうですが、計算後は、約分できるかどうかを確認します。
分子は2(x-4)と整理できます。
分母の(x-4)と約分できることがわかります。
よって、解答は、2/(x-2)(x+2)

なぜこのような計算過程が必要なのか。
それぞれの段階で、何のために何をやっているのか。
高校2年生ともなりますと、数学嫌いな子は、もうそういうことがわからなくなっていて、ただ計算手順だけを覚えて定期テストをやり過ごすことしかできなくなっていることがあります。
そのため、定期テストの半月後くらいには、こうした計算問題さえ手も足も出ない子もいます。
やっていることの意味がわかっていない勉強は、確かに不毛です。

「数学が世の中の役に立っていることを否定するつもりはない。でも、自分が数学を勉強しなければならない意味はわからない」
昔、極端な文系秀才の生徒からこのように言われて、言っていることの筋が通っていると感心したことがあります。
後は、教育システムの問題です。
では、どの段階で文系・理系の判断をするのか?
彼ほどに明瞭で極端な文系秀才ならば何の問題もないのでしたが、普通の高校1年は自分が文系か理系かの判断はつかない場合がほとんどです。
高校1年までは、「数学と歴史が得意。国語と理科が苦手」といった判断に窮する傾向の子のほうがむしろ多いです。
しかし、高校2年で学習する科目は専門性が高まります。
「得意なつもりでいたけど、ここまでやるとなると、何かもう訳がわからない。無理だな」
という判断もあるでしょうし、
「皆は苦手だ嫌いだと言うんだけど、自分はこの科目好きだな。何か急に面白くなってきた。これを大学で勉強するためなら、受験に必要な他の科目も頑張れる気がする」
という判断もあると思います。
高校2年まで数学をやることで判断がつくことはあるんじゃないですかね。
この話をすると、さすがは秀才、それもすぐに理解してくれました。

理系秀才にとって、古文・漢文の授業もまた、
「古典を貶める気持ちはないが、自分が古文・漢文を学ぶ意味はわからない。自分が原文を読めるようになる必要はないし、読めるようにはならないと思う。内容だけなら知りたいが、それなら現代語訳で十分だ」
とも言えます。
高校2年生まで同じ教育課程であるのは、壮大な無駄のような気もする一方、しかし、全ての子どもに平等な機会を与えるという点では、文系・理系の判断は遅いほうが良いでしょう。
以前も書きましたが、効率だけを考えたあげく、例えば12歳で学力テストを行い、学力が基準に満たない者にはそれ以上の教育は与えず、基準を満たした者はその能力にあわせ、選抜して専門科目のみ教育する、などという社会が素晴らしい社会だとは到底思えません。
そんなのは、悪夢でしかありません。
自分には必要なさそうな数学や古文も勉強するのは、義務じゃなくて、権利なんだ。
ヽ(^。^)ノ

話は分数式の計算に戻って。


2x-5    2x2+9x-28
x-4  -  x2+2x-24

さて、これも、上の問題と同じように計算していくこともできるのですが、それぞれの分子と分母を見比べて、分子の係数や次数が分母より大きい場合、もっと整理してからのほうが計算が楽にできます。
普通の分数の計算で言えば、仮分数を帯分数に直して計算するような感覚です。
ここで、前回学習した(多項式)÷(多項式)の計算が活きてきます。

(2x-5)÷(x-4)=2あまり3
(2x2+9x-28)÷(x2+2x-24)=2あまり(5x+20)

よって上の分数式は、


      3          5x+20
2 + x-4  -2 - x2+2x-24 

と整理されます。

普通の分数の仮分数を帯分数に直すのと全く同じことをやっています。
そうすることで、整数は整数同士で、分数は分数同士で引けばよいので、かなりスッキリします。
その後の計算方法は上の問題と同じです。
分子の次数が抑えられて、計算しやすくなります。

◎日時  7月15日(土)10:00~11:30
◎内容  数Ⅱ「整式と分数式」を続けます。p12から。
◎場所  セギ英数教室
       三鷹市下連雀3-33-13
         三鷹第二ビル 305
       春の湯さんの斜め前のビルです。
◎用具   ノート・筆記用具
◎参加費 2,000円
       当日集めさせていただきます。
◎予約  私の携帯メールかラインに、ご予約をお願いいたします。












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