2024年03月12日
中１数学「正負の数の乗法」。旅人は東を目指す。
さて、今回は正負の数の乗法。かけ算です。
(＋２)×(＋３)＝＋６
(＋２)×(－３)＝－６
(－２)×(＋３)＝－６
(－２)×(－３)＝＋６
こうしたかけ算の符合のルールは、作業手順の暗記で済ますタイプの子にとっても、比較的覚えやすいもののようで、かけ算で符号ミスをする子は少ないです。
ただ、問題は、こうしたかけ算のルールを学んだあと、正負の数の加減に戻ると、符号のルールがぐちゃぐちゃになってしまうことです。
たとえば、こんなミス。
(－２)＋(＋３)＝－１
(－２)＋(－３)＝＋５
(負の数)＋(正の数)＝(負の数)
(負の数)＋(負の数)＝(正の数)
と、間違ったルールで計算してしまうのです。
明らかに、かけ算の符合ルールに引きずられた誤答です。
作業手順の暗記で済ますタイプの子たちは、ここでつまずきます。
「違うんですよ。加減の符合ルールと乗除の符合ルールは異なります。混乱しやすいので、符号のルールを暗記するのではなく、加減は、数直線をイメージしましょう。数直線。わかります？」
「・・・わかります」
数直線をイメージして解く正負の数の加減は、このブログ内の該当ページをご参照いただけますと幸いです。
正負の数の加減の符合のルールは、なぜそのルールなのか。
数直線をイメージすれば、それは当たり前のことで、むしろ、ルールを覚えて解くようなことではないのです。
とはいえ、その後練習しても、改善は見られないことがあります。
「・・・数直線をイメージして解くということが、本当にわかっていますか？」
「・・・わかりません」
おお・・・。
わからない、と認めるまでの時間の長さよ。
本人の中で色々な葛藤があるのでしょう。
わかっていなければ前に戻ってやっていきます。
そのような中で、正負の数の乗除については、符号ルールをさらっと説明して、ルールだけ覚えろ、というわけにはいきません。
こちらも、何かしっかりとした根拠が必要です。
しかし、
(正の数)×(正の数)＝(正の数)
(負の数)×(正の数)＝(負の数)
は意味がわかる気がするものの、
(正の数)×(負の数)＝(負の数)
(負の数)×(負の数)＝(正の数)
とは、どういうことなのでしょうか？
何だか、実感は伴っていない気がしませんか。
(負の数)＋(負の数)＝(負の数)
なのに、
(負の数)×(負の数)＝(正の数)
となるのはなぜか？
この疑問には、答えておく必要があります。
以降の説明は、別に私のオリジナルではなく、数学関係の本によく載っている解説です。
冒頭の数直線の図を見てください。
数直線上を、変な奴が歩こうとしていますね。
この人は、数直線上を歩く旅人です。
この旅人の速さと距離で考えていきます。
まずは、速さについて、ざっくりとおさらい。
一番簡単な、
時速×時間＝道のり
で、解説しましょう。
時速４㎞の人が、２時間歩いたら、道のりは何㎞でしょうか。
４×２＝８ で、８㎞
これは、大丈夫でしょうか。
時速４㎞というのは、１時間に４㎞進むことのできる速さだということ。
それが、２時間分なのだから、
４×２＝８ で、道のりは８㎞
となります。
速さ×時間＝道のり
という公式は、そういう意味のものです。
さて、これを利用しましょう。
今回は、正負の数のかけ算なので、速さに方向がともないます。
この旅人は、今、数直線上の原点にいて、東へ、すなわちプラスの方向に１時間で２㎞進むとします。
その速さを、時速＋２㎞と表します。
では、＋２時間後には、どこにいるでしょうか？
(＋２)×(＋２)＝＋４
原点から東へ、すなわちプラス方向に４㎞の地点にいます。
この旅人は、現在は、原点にいます。
プラスの方向に時速２㎞で歩き続けている旅人です。
では、２時間前には、どこにいたでしょうか？
原点より西、すなわちマイナス方向に４㎞のところにいなかったでしょうか？
いましたよね？
２時間前とは、－２時間のことです。
すなわち、
(＋２)×(－２)＝－４
さて、ここで方向転換。
別の旅人が登場します。
上の図とは反対方向に顔を向けている旅人だと想像してください。
新しい人物は、東から西へ、すなわちマイナス方向に旅をしているのです。
１時間で２㎞進みます。
この速さを、時速－２㎞と表します。
この人は、２時間後、すなわち＋２時間後に、どこにいるでしょうか？
原点から西へ、すなわちマイナス方向に４㎞のところにいますよね？
すなわち、
(－２)×(＋２)＝－４
さらに、この新しい旅人は、２時間前にはどこにいたでしょうか？
原点より東に４㎞のところにいたのではないでしょうか。
すなわち、
(－２)×(－２)＝＋４
数直線上の旅人は、確かに、このように移動します。
以上をまとめると、
(＋２)×(＋２)＝＋４
(＋２)×(－２)＝－４
(－２)×(＋２)＝－４
(－２)×(－２)＝＋４
すなわち、
(正の数)×(正の数)＝(正の数)
(正の数)×(負の数)＝(負の数)
(負の数)×(正の数)＝(負の数)
(負の数)×(負の数)＝(正の数)
は、計算上の虚構ではなく、現実にそうであることが理解できます。
ルールをただ丸暗記する。
作業手順を暗記してこなす。
それに慣れ切っていて、他のやり方を知らない・・・。
中学数学の最初に、その悪習慣から離脱できれば、道は開けます。
(＋２)×(＋３)＝＋６
(＋２)×(－３)＝－６
(－２)×(＋３)＝－６
(－２)×(－３)＝＋６
こうしたかけ算の符合のルールは、作業手順の暗記で済ますタイプの子にとっても、比較的覚えやすいもののようで、かけ算で符号ミスをする子は少ないです。
ただ、問題は、こうしたかけ算のルールを学んだあと、正負の数の加減に戻ると、符号のルールがぐちゃぐちゃになってしまうことです。
たとえば、こんなミス。
(－２)＋(＋３)＝－１
(－２)＋(－３)＝＋５
(負の数)＋(正の数)＝(負の数)
(負の数)＋(負の数)＝(正の数)
と、間違ったルールで計算してしまうのです。
明らかに、かけ算の符合ルールに引きずられた誤答です。
作業手順の暗記で済ますタイプの子たちは、ここでつまずきます。
「違うんですよ。加減の符合ルールと乗除の符合ルールは異なります。混乱しやすいので、符号のルールを暗記するのではなく、加減は、数直線をイメージしましょう。数直線。わかります？」
「・・・わかります」
数直線をイメージして解く正負の数の加減は、このブログ内の該当ページをご参照いただけますと幸いです。
正負の数の加減の符合のルールは、なぜそのルールなのか。
数直線をイメージすれば、それは当たり前のことで、むしろ、ルールを覚えて解くようなことではないのです。
とはいえ、その後練習しても、改善は見られないことがあります。
「・・・数直線をイメージして解くということが、本当にわかっていますか？」
「・・・わかりません」
おお・・・。
わからない、と認めるまでの時間の長さよ。
本人の中で色々な葛藤があるのでしょう。
わかっていなければ前に戻ってやっていきます。
そのような中で、正負の数の乗除については、符号ルールをさらっと説明して、ルールだけ覚えろ、というわけにはいきません。
こちらも、何かしっかりとした根拠が必要です。
しかし、
(正の数)×(正の数)＝(正の数)
(負の数)×(正の数)＝(負の数)
は意味がわかる気がするものの、
(正の数)×(負の数)＝(負の数)
(負の数)×(負の数)＝(正の数)
とは、どういうことなのでしょうか？
何だか、実感は伴っていない気がしませんか。
(負の数)＋(負の数)＝(負の数)
なのに、
(負の数)×(負の数)＝(正の数)
となるのはなぜか？
この疑問には、答えておく必要があります。
以降の説明は、別に私のオリジナルではなく、数学関係の本によく載っている解説です。
冒頭の数直線の図を見てください。
数直線上を、変な奴が歩こうとしていますね。
この人は、数直線上を歩く旅人です。
この旅人の速さと距離で考えていきます。
まずは、速さについて、ざっくりとおさらい。
一番簡単な、
時速×時間＝道のり
で、解説しましょう。
時速４㎞の人が、２時間歩いたら、道のりは何㎞でしょうか。
４×２＝８ で、８㎞
これは、大丈夫でしょうか。
時速４㎞というのは、１時間に４㎞進むことのできる速さだということ。
それが、２時間分なのだから、
４×２＝８ で、道のりは８㎞
となります。
速さ×時間＝道のり
という公式は、そういう意味のものです。
さて、これを利用しましょう。
今回は、正負の数のかけ算なので、速さに方向がともないます。
この旅人は、今、数直線上の原点にいて、東へ、すなわちプラスの方向に１時間で２㎞進むとします。
その速さを、時速＋２㎞と表します。
では、＋２時間後には、どこにいるでしょうか？
(＋２)×(＋２)＝＋４
原点から東へ、すなわちプラス方向に４㎞の地点にいます。
この旅人は、現在は、原点にいます。
プラスの方向に時速２㎞で歩き続けている旅人です。
では、２時間前には、どこにいたでしょうか？
原点より西、すなわちマイナス方向に４㎞のところにいなかったでしょうか？
いましたよね？
２時間前とは、－２時間のことです。
すなわち、
(＋２)×(－２)＝－４
さて、ここで方向転換。
別の旅人が登場します。
上の図とは反対方向に顔を向けている旅人だと想像してください。
新しい人物は、東から西へ、すなわちマイナス方向に旅をしているのです。
１時間で２㎞進みます。
この速さを、時速－２㎞と表します。
この人は、２時間後、すなわち＋２時間後に、どこにいるでしょうか？
原点から西へ、すなわちマイナス方向に４㎞のところにいますよね？
すなわち、
(－２)×(＋２)＝－４
さらに、この新しい旅人は、２時間前にはどこにいたでしょうか？
原点より東に４㎞のところにいたのではないでしょうか。
すなわち、
(－２)×(－２)＝＋４
数直線上の旅人は、確かに、このように移動します。
以上をまとめると、
(＋２)×(＋２)＝＋４
(＋２)×(－２)＝－４
(－２)×(＋２)＝－４
(－２)×(－２)＝＋４
すなわち、
(正の数)×(正の数)＝(正の数)
(正の数)×(負の数)＝(負の数)
(負の数)×(正の数)＝(負の数)
(負の数)×(負の数)＝(正の数)
は、計算上の虚構ではなく、現実にそうであることが理解できます。
ルールをただ丸暗記する。
作業手順を暗記してこなす。
それに慣れ切っていて、他のやり方を知らない・・・。
中学数学の最初に、その悪習慣から離脱できれば、道は開けます。
