2018年07月16日
確率の乗法定理。
今回も「場合の数と確率」の続きです。
確率の乗法定理について学習しましょう。
まずは、条件付き確率の公式。
ＰA(Ｂ)＝Ｐ(Ａ∩Ｂ)/Ｐ(Ａ)
これの右辺と左辺を入れ替えると、
Ｐ(Ａ∩Ｂ)/Ｐ(Ａ)＝ＰA(Ｂ)
両辺にＰ(Ａ)をかけると、
Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝Ｐ(Ａ)・ＰA(Ｂ)
これで出来上がり。
これが確率の乗法定理です。
何だか難しそうですが、乗法定理というのは、要するに、確率と確率をかけても良いということです。
例えば、こんな問題。
例題 ３本の当たりくじを含む８本のくじがある。このくじをａ、ｂの２人がこの順に１本ずつ引く。ただし、くじはもとにもどさないものとする。このとき、ａが外れ、ｂが当たる確率を求めよ。
８本のうち３本が当たりですから、外れは５本です。
ａが外れる確率は、５/８ となります。
その後、ｂが引きますが、そのとき、くじはもう７本しか残っていません。
そのうち、当たりは３本です。
だから、ｂが当たる確率は、３/７です。
したがって、ａが外れ、ｂが当たる確率は、
５/８・３/７＝１５/５６
これが答えとなります。
確率×確率で解いていけるということです。
簡単ですね。ヽ(^。^)ノ
では、こんな問題はどうでしょう。
例題 １２本のくじの中に当たりくじが３本ある。ａ、ｂの２人がこの順番にこのくじを引くとき、ｂが当たる確率を求めよ。引いたくじは元に戻さないものとする。
これは、場合分けをして求めなければなりません。
すなわち、ａが当たりｂも当たる場合と、ａが外れｂが当たる場合とです。
この２つは確率が異なるので、それぞれを求めて最後に足す必要があります。
まず、ａが当たる確率は、３/１２。
この後、ｂが当たる確率は、くじは全部で１１本、当たりくじは２本ですから、２/１１。
したがって、ａが当たりｂも当たる確率は、３/１２×２/１１＝６/１３２となります。
次に、ａが外れｂが当たる場合。
ａが外れる確率は、９/１２。
その後、くじは全部１１本、当たりくじは３本ですから、ｂが当たる確率は、３/１１。
したがって、ａが外れｂが当たる確率は、９/１２×３/１１＝２７/１３２。
ａが当たりｂも当たる場合と、ａが外れｂが当たる場合は、互いに排反ですから、この確率は単純に足すことができます。
よって、ｂが当たる確率は、６/１３２＋２７/１３２＝３３/１３２＝３/１２＝１/４。
ところで、ａが当たる確率は、３/１２＝１/４ですから、ａが当たる確率もｂが当たる確率も等しいとわかります。
実は、くじに当たる確率は、引く順番と関係なく等しいのです。
先に引いたほうが有利とか、後に引いたほうが有利ということはないのです。
え？本当に？と感じますよね。
ただし、これは少し説明が必要です。
ａがくじを引く前の段階では、ａが当たる確率も、ｂが当たる確率も等しいということです。
でも、ａがくじを引いてその結果がわかった瞬間から、ｂの当たる確率は変わってきます。
ａが当たった後では、ｂが当たる確率は低くなりますし、ａが外れた後なら、ｂが当たる確率は高まります。
このときのｂが当たる確率こそが、前回学習した「条件付き確率」。
まだａがくじを引いていない最初の段階でｂの当たる確率とは違うのですね。
考え方がわかったところで、単純な計算上の工夫を。
確率を最終的に足さなければならないことがわかっている問題では、計算の途中では約分をしないことをお薦めします。
上の問題で言えば、６/１３２も２７/１３２も約分できますが、その段階では約分しません。
これを、６/１３２＝１/２２、２７/１３２＝９/４４とすぐに約分し、足すときになって、
１/２２＋９/４４＝２/４４＋９/４４
と、また通分するのは無駄なことだからです。
上の問題くらいシンプルならば良いのですが、もっと何通りもに場合分けして、それを最終的に足していくことも多いです。
そのいちいちで約分し、最終的に足すときにはまた通分する人がときどきいます。
時間の無駄であるだけでなく、約分の途中、通分の途中で計算ミスを犯すリスクが高まります。
実際には、そう注意しても、約分が癖になっていて、ついやってしまう人がいます。
計算ミスをしやすい人ほど、リスクの高い方法で計算してしまう癖があると、こういうときに感じます。
作業が増えるだけ計算ミスは増えるということを頭の隅において、気づいたときだけでも約分をやめてみてください。
随分計算しやすくなり、また速く計算できるので、びっくりすると思います。
ヽ(^。^)ノ
確率の乗法定理について学習しましょう。
まずは、条件付き確率の公式。
ＰA(Ｂ)＝Ｐ(Ａ∩Ｂ)/Ｐ(Ａ)
これの右辺と左辺を入れ替えると、
Ｐ(Ａ∩Ｂ)/Ｐ(Ａ)＝ＰA(Ｂ)
両辺にＰ(Ａ)をかけると、
Ｐ(Ａ∩Ｂ)＝Ｐ(Ａ)・ＰA(Ｂ)
これで出来上がり。
これが確率の乗法定理です。
何だか難しそうですが、乗法定理というのは、要するに、確率と確率をかけても良いということです。
例えば、こんな問題。
例題 ３本の当たりくじを含む８本のくじがある。このくじをａ、ｂの２人がこの順に１本ずつ引く。ただし、くじはもとにもどさないものとする。このとき、ａが外れ、ｂが当たる確率を求めよ。
８本のうち３本が当たりですから、外れは５本です。
ａが外れる確率は、５/８ となります。
その後、ｂが引きますが、そのとき、くじはもう７本しか残っていません。
そのうち、当たりは３本です。
だから、ｂが当たる確率は、３/７です。
したがって、ａが外れ、ｂが当たる確率は、
５/８・３/７＝１５/５６
これが答えとなります。
確率×確率で解いていけるということです。
簡単ですね。ヽ(^。^)ノ
では、こんな問題はどうでしょう。
例題 １２本のくじの中に当たりくじが３本ある。ａ、ｂの２人がこの順番にこのくじを引くとき、ｂが当たる確率を求めよ。引いたくじは元に戻さないものとする。
これは、場合分けをして求めなければなりません。
すなわち、ａが当たりｂも当たる場合と、ａが外れｂが当たる場合とです。
この２つは確率が異なるので、それぞれを求めて最後に足す必要があります。
まず、ａが当たる確率は、３/１２。
この後、ｂが当たる確率は、くじは全部で１１本、当たりくじは２本ですから、２/１１。
したがって、ａが当たりｂも当たる確率は、３/１２×２/１１＝６/１３２となります。
次に、ａが外れｂが当たる場合。
ａが外れる確率は、９/１２。
その後、くじは全部１１本、当たりくじは３本ですから、ｂが当たる確率は、３/１１。
したがって、ａが外れｂが当たる確率は、９/１２×３/１１＝２７/１３２。
ａが当たりｂも当たる場合と、ａが外れｂが当たる場合は、互いに排反ですから、この確率は単純に足すことができます。
よって、ｂが当たる確率は、６/１３２＋２７/１３２＝３３/１３２＝３/１２＝１/４。
ところで、ａが当たる確率は、３/１２＝１/４ですから、ａが当たる確率もｂが当たる確率も等しいとわかります。
実は、くじに当たる確率は、引く順番と関係なく等しいのです。
先に引いたほうが有利とか、後に引いたほうが有利ということはないのです。
え？本当に？と感じますよね。
ただし、これは少し説明が必要です。
ａがくじを引く前の段階では、ａが当たる確率も、ｂが当たる確率も等しいということです。
でも、ａがくじを引いてその結果がわかった瞬間から、ｂの当たる確率は変わってきます。
ａが当たった後では、ｂが当たる確率は低くなりますし、ａが外れた後なら、ｂが当たる確率は高まります。
このときのｂが当たる確率こそが、前回学習した「条件付き確率」。
まだａがくじを引いていない最初の段階でｂの当たる確率とは違うのですね。
考え方がわかったところで、単純な計算上の工夫を。
確率を最終的に足さなければならないことがわかっている問題では、計算の途中では約分をしないことをお薦めします。
上の問題で言えば、６/１３２も２７/１３２も約分できますが、その段階では約分しません。
これを、６/１３２＝１/２２、２７/１３２＝９/４４とすぐに約分し、足すときになって、
１/２２＋９/４４＝２/４４＋９/４４
と、また通分するのは無駄なことだからです。
上の問題くらいシンプルならば良いのですが、もっと何通りもに場合分けして、それを最終的に足していくことも多いです。
そのいちいちで約分し、最終的に足すときにはまた通分する人がときどきいます。
時間の無駄であるだけでなく、約分の途中、通分の途中で計算ミスを犯すリスクが高まります。
実際には、そう注意しても、約分が癖になっていて、ついやってしまう人がいます。
計算ミスをしやすい人ほど、リスクの高い方法で計算してしまう癖があると、こういうときに感じます。
作業が増えるだけ計算ミスは増えるということを頭の隅において、気づいたときだけでも約分をやめてみてください。
随分計算しやすくなり、また速く計算できるので、びっくりすると思います。
ヽ(^。^)ノ
