問題 上の図のように数字を並べる。１２５は、何段目の何列目になるか。
小学生対象の受験算数でも、中学数学でも、規則性の問題として、典型題です。
都立高校の入試問題の大問２でも、こうした規則性を理解した上で式を立てる問題が出題されることがあります。
これは、頭の柔らかさが問われる問題です。
頭が固くて、１度目は何も思いつかないのであれば、せめて、その解き方を理解し、記憶し、以後、似たような問題でそれを利用できるようにしたいものです。
「この問題は、どういうルールで数字が並んでいるんでしょうか」
そう問いかけて、上手く説明できる子は、コミュニケーション能力の高い子です。
ルールをぼんやりと理解しているけれど、それを説明しようとすると上手く言葉にできない。
小・中学生ならば、それで普通です。
１段目の１列目に「１」があります。
その周りをとぐろを巻くように、「２・３・４」が取り巻き、さらのその周りをとぐろを巻くように、「５・６・７・８・９」が取り囲んでいる・・・。
こういう表現を小・中学生ができる可能性は低いですし、その表現ができることが問題を解くことに直接つながるわけでもありません。
表現はできないけれど、そういうルールだと理解できていれば、十分です。
では、問題を解くには、どうすればいいのか？
「とぐろを巻く」ではなく、算数・数学として考えるには、どうすればいいのか？
１段目に着目しましょう。
１段目の数字は、左から順に、
１,４,９,１６,２５,・・・
この数列の規則性は？
これが重要です。
ここで、頭が固いか柔らかいかを問われます。
そして、このルールは、規則性に関する他の問題でも繰り返し出てきます。
それなのに、規則性というと、「差を読む」発想しかもてない子が多いのです。
規則性は全部等差数列だと思い込んでいます。
そういう問題を沢山解いたせいで、全部そういう問題、という思い込みが強いのかもしれません。
上の数列の差を読むと、
３,５,７,９,・・・
これは、差が一定ではありませんから、等差数列ではないのです。
でも、よく見ると、この差は、等差数列・・・。
これは、高校生になれば、階差数列の考え方で処理できますが、小学生には手に余ります。
もっと、簡単な規則はないのでしょうか？
１,４,９,１６,２５,・・・
ここの発想力です。
差を読むのではなく、その数字１つ１つに何かルールがないか？
頭が柔らかければ、思いつくのです。
そう。
・・・これは、何かの２乗の数なのです！
１は１×１
４は２×２
９は３×３
１６は４×４
数字がそれまでの数を取り巻いて正方形を作るごとに、また下に戻って、さらに外側を取り巻いていく。
このルールに気づいたとき、つまり、正方形を作っているのだから、その段階で、□×□の個数の数字が使われているのです。
このルールを見抜ければ、あとは簡単。
問題は、１２５が何段目の何列目か。
しかし、１２５は、□×□で表される数ではありません。
ですから、１２５に近い数で、そういう数字、すなわち「平方数」を考えます。
「１２５に近くて、□×□の答になる数字は、何でしょうか」
「６２.５」
「・・・６２.５？どんな式で求めましたか？」
「・・・１２５÷２」
「うーん・・・」
２乗と２倍の区別がつかない子は、中学数学に進んでも一定数いますから、小学生のこの発想は責められません。
しかし、一度これで頭が凝り固まると厄介でもあります。
中学生になっても、繰り返し、繰り返し、２乗と２倍を混同する子もいます。
４^2＝８ といった誤答を繰り返します。
さらに悪化すると、４×２＝１６ と答える子もいます。
「６２.５×６２.５は、１２５になりますか？元の式にあてはめて、考えてみてください」
しかし、このような指示の意味がよくわからず、混乱していく子もいます。
何を説明されているのか、文脈がつかめないようです。
その誤答がなぜ誤答なのかを説明されているということが理解できず、正解のためのヒントを出されていると思うようです。
意思の疎通が難しい子の多くは、相手の文脈とは違う文脈でものを考えています。
コンピュータを相手にするように、冷静に一歩ずつ伝達していく必要があります。
理解力がないのではないのです。
文脈がずれているのです。
それはさておき。
□×□の答で、１２５に近いものは何か？
中学受験生として標準的な学力を持っている子は、１５×１５くらいまでのかけ算の答を覚えていることが多いです。
覚えなさい、と強制されたのではなくても、円の面積を求める問題などで繰り返し計算した結果、何となく覚えてしまっているのです。
塾で強制的に暗記させられた子は、２０×２０くらいまでは覚えています。
さて、そうした同じ数どうしのかけ算で、１２５に近い答になるのは？
１１×１１＝１２１
ですね。
ということは、１２１は、上の表の、１段目の１１列目の数字です。
あとは、実際に指折り数えていったほうが速いです。
１２段目の１列目が１２２。
１２段目の２列目が１２３。
１２段目の３列目が１２４。
１２段目の４列目が１２５。
よって、正解は、１２段目の４列目、です。
さて、これを、中学生として式に表す場合。
都立高校入試の大問２では、ａ、ｂ を用いて、規則性のある数を式で表す問題が出されることがあります。
表中の数字を、ａ 段目の ｂ 列目として、式を立てるのです。
これもまた、上のように、１段目が平方数であることに気がつけば、立式できます。
１段目の ａ 列目の数は、ａ^2です。
ここまでで、ａ×ａ の正方形の形に数が埋まっています。
よって、その次の数、すなわち(ａ＋１)段目の１列目の数は、ａ^2＋１です。
したがって、(ａ＋１)段目のｂ列目の数は、ａ^2＋ｂ と表されます。
１２５は、何段目の何列目になるのか？
ａ^2＋ｂ＝１２５
と表すことができます。
これに具体的な数をあてはめて、
１１^2＋４＝１２５
という関係を発想して、
正解は、１２段目の４列目、と答えることが可能です。
さて、最後に、高校数Ｂ「数列」の考え方で、この問題を解いてみますが、かえって難しくなるだけなので、あまりお勧めしません。
上の考え方のほうがシンプルで良いと思います。
一応やってみましょう。
まずは、とぐろを巻いている数列を、１周目、２周目として、群数列を考えてみます。
(１) , (２,３,４) , (５,６,７,８,９) , (１０,１１,１２,１３,１４,１５,１６) , (１７,１８,１９,・・・
この数列で、１２５は、第何群の何番目でしょうか。
各群の項の個数を考えましょう。
第１群から順に、
１,３,５,７,９,・・・
これは、等差数列です。
第ｎ群までの個数の和を、等差数列の和の公式にあてはめて考えます。
初項１、公差２の等差数列の、第ｎ項は、
１＋２(ｎ－１)
＝２ｎ－１
ですから、第ｎ項までの和は、
１/２ｎ(１＋２ｎ－１)
＝ｎ^2
よって、この群数列において、第ｎ群までの項の総数はｎ^2となります。
群数列として分割する前のもとの数列は、自然数の数列ですので、総数ｎ^2が、そのまま、その項の数字となります。
したがって、第ｎ群の最終項は、ｎ^2です。
その１つ前の第(ｎ－１)群の最後の数字は、(ｎ－１)^2と表されます。
１２５は、第ｎ群の数字なのですから、
(ｎ－１)^2＜１２５≦ｎ^2
という不等式が成り立ちます。
１１^2＝１２１、１２^2＝１４４より、
ｎ＝１２
よって、１２５は、第１２群の数です。
ここで、第１１群の最後の項は１２１ですから、第１２群の最初の項は、１２２。
１２５は、第１２群の４番目となります。
数の表のように数字をあてはめた場合、第１２段の４列目。
ただし、これは、もしも第１２群の１４番目などの数字の場合は、第１２段の位置ではなくなってしまうことに注意が必要です。
簡単なことが、何か面倒くさかったですね。
さらに面倒くさい解き方をしてみましょうか。
１段目の数字に着目して、大真面目に高校数学で解いてみると、
１,４,９,１６,２５,・・・
これは、等差数列でも等比数列でもありません。
しかし、上の数列の差を読む、すなわち、階差数列を考えると、
３,５,７,９,・・・
これは、初項３、公差２の等差数列です。
この階差数列の第ｎ項は、
３＋２(ｎ－１)
＝２ｎ＋１
となります。
よって、元の数列の第ｎ項は、
１＋Σ(２ｋ＋１)
となります。
ここで、Σの下はｋ＝１、上は、ｋ＝ｎ－１ です。
つまり、初項から第(ｎ－１)項までの階差数列の和を、もとの数列の初項１にたしたものが、もとの数列の一般項です。
公式を利用して、計算してみましょう。
１＋２・１/２(ｎ－１)・ｎ＋ｎ－１
＝１＋ｎ^2－ｎ＋ｎ－１
＝ｎ^2
やはり、この数列の第ｎ項は、ｎ^2なのです。
見たらすぐわかることを、異様に難しく解いてしまいました・・・。
つまるところ、
１,４,９,１６,２５,・・・
という数列を見たときは、２乗だ、平方数だ、とすぐに気づいたほうが簡単です。
最初に発想できなかったら、こういうことがあるのだと、知識として頭の中に入れておきましょう。
それで解くことのできる問題に、必ず再び出会います。