数Ⅱ「高次方程式」。ωの計算。
画像はワレモコウ。都立野川公園で撮影しました。
ようやく秋ですね。
さて、今日は、ω の話。
まずは問題から。
問題 ｘ^3＝１の虚数解の１つを ω とするとき、以下の式の値を求めよ。
(１) ω^12＋ω^6＋１
(２) ω^10＋ω^5＋１
(３) ω^7＋ω^8
高次方程式に関する問題の１種です。
しかし、混乱する高校生が多いのが、この ω に関する問題です。
あまりにも唐突に出てきて、違和感が強すぎる。
意味がわからない、ということのようです。
そもそも、読み方すらわからない、という声さえ聞きます。
間違えて「シグマ」と読む子もいます。
シグマは Σ。
「数列」の学習で出てくる記号です。
ω は「オメガ」と読みます。
ギリシャ文字です。
数学にギリシャ文字が出てくることに違和感があり、迷惑に感じる高校生もたまにいるようです。
α、β 程度でも、慣れない様子で、ａ , ｂ と読み間違えてしまう子もいます。
覚えることが１つ加わって、ハードルが高くなってしまうようです。
以前も書きましたが、
「文字を沢山使っているのは、数学としては邪道。傍流の問題。計算問題こそが、数学の本流」
という謎の思い込みの強い子もいます。
おそらく、小学生の頃から、計算問題こそが算数・数学だという謎の思い込みをしていて、そして、計算は比較的得意だったのでしょう。
自分が得意なものの価値が目減りしていくのは、確かにつらいですよね。
文字が含まれると、答が１つにはっきり定まらないことがあるので、
「こんなのは、数学じゃない。こんなのではない数学の問題を解きたい」
という気持ちが強くなってしまう子もいます。
しかし、数学は、高度なものになればなるほど、文字ばかりです。
計算すら正しくできないのは論外だが、計算だけ出来ても仕方ない。
そういうふうになっていきます。
そこへの気持ちの切り替えがまず必要です。
とはいえ、ギリシャ文字は、普段使わない文字なので、その違和感は理解できます。
書き慣れていないので、書きにくいですし。
ω は小文字で、大文字は Ω です。
Ω は、「オームの法則」で有名な、電気抵抗の単位を表す記号です。
この説明をすると、高校生の顔が微妙に和らいだりします。
Ω は許容範囲なのでしょう。
要するに、慣れの問題なのだと思います。
さて、本題。
ｘ^3＝１ の虚数解の１つが ω です。
ところが、ω＝１であるという誤解をして、上の問題を異様に簡単に解いている子がいました。
(１) ω^12＋ω^6＋１＝１＋１＋１＝３
(２) ω^10＋ω^5＋１＝１＋１＋１＝３
(３) ω^7＋ω^8＝１＋１＝２
というふうに単純に解いていました。
これ、解き方は間違っているのですが、実は、答だけなら、(１)は正解です。
そのことが、その子の誤解をさらに深めてしまったのかもしれません。
たまたま答が当たっていたことで、
「何だやっぱり自分のやり方で正しいんじゃないか」
と自信をもってしまったのでしょう。
わざわざ面倒なことをしなくても、ω＝１を代入すれば正解が出ると誤解したのだと思います。
そうするうちに、「虚数解」という言葉は吹き飛び、１の３乗根 ω＝１、という誤解が固まったのでしょう。
その子は、ものごとをひどく単純化してしまう癖がありました。
複雑なものごとをまるっと丸めてしまうのです。
そんなに簡単にできるのならば、最初から簡単に説明します。
そうはいかないから、こうして複雑なままなのですよ？
そう話すと、にこにこ笑ってやり過ごす。
またその次には、まるっと丸めて、誤答。
そういうことを繰り返してしまう子でした。
しっかり教えたはずなのに。
授業中は正解していたのに。
学校でも授業を受けているはずなのに。
宿題は、全て、ω＝１で解いて、大半は不正解となっていました。
多くのことを勝手にまるっと丸めてしまう子は、こういうことの繰り返しです。
一歩進んで、三歩後退。
そして、次の授業で二歩前進。
さらに次の授業でやっと一歩前進。
習得まで、他の子の３倍の時間と手間がかかります。
ω は、１の３乗根のうちの、虚数解です。
ω といういう文字で表していますが、虚数単位 ｉ を用いて表すことも可能です。
試しに、３次方程式として、解いてみましょう。
ｘ^3＝１
ｘ^3－１＝０
因数分解の公式を使えます。
（ｘ－１）（ｘ^2＋ｘ＋１）＝０
ｘ^2＋ｘ＋１＝０ のとき、
ｘ＝－１±√１－４ /２
＝－１±√３ｉ /２
共役な２つの複素数の解が得られました。
え？それのどっちが ω なの？
と高校生に質問されることがあるんですが、結論としては「それはどっちでもいい」となります。
ここも高校生には理解しづらいところのようです。
どっちでもいいわけないだろうと思うらしいのです。
でも、本当にどっちでもいいのです。
解答に影響しないのです。
上の問題では、ｘ^3＝１の複素数の解の１つを ω とする、としてあるだけです。
どちらと限定していません。
それは、どちらでも同じ結果が得られるからです。
ω＝－１＋√３ｉ /２ としてみましょう。
ω^2＝（－１＋√３ｉ /２）^2
＝１－２√３ｉ＋√３^2ｉ^2 /４
＝１－２√３ｉ－３ /４
＝－２－２√３ｉ /４
＝－１－√３ｉ /２
お？
ω^2 は、ω と共役の複素数、－１－√３ｉ /２ となりました
今度は、ω＝－１－√３ｉ /２ としてみましょう。
ω^2＝（－１－√３ｉ /２）^2
＝１＋２√３ｉ＋√３^2ｉ^2 /４
＝１＋２√３ｉ－３ /４
＝－２＋２√３ｉ /４
＝－１＋√３ｉ /２
あ。
やはり、ω^2 は、ω と共役の複素数、－１＋√３ｉ /２ となりました。
つまり、ω が１の３乗根ならば、ω^2 も１の３乗根なのです。
なぜω^2 にそんなこだわって説明しているか？
上のｘ^3＝１に戻って考えましょう。
ｘ3－１＝０
（ｘ－１）（ｘ^2＋ｘ＋１）＝０
でした。
ｘ－１＝０ のとき、ｘ＝１。
これは、１の３乗根の１つが１であることを表します。
そして、もう１つの（ ）の中身、すなわち、Ｘ^2＋ｘ＋１＝０ の解 が、ｘ^3＝１の虚数解 ω です。
すなわち、ｘ＝ω を代入すると、
ω^2＋ω＋１＝０
この式は、ω^2 と ω を入れ替えても、関係は変わりません。
どちらがどちらでも、同じことなのです。
そして、上のような問題を解くときに、この式は使い道が多いのです。
ここまでのところをまとめます。
ω は１の３乗根ですから、
ω^3＝１ です。
そして、
ω^2＋ω＋１＝０
この２つのことを使って、問題を解いていきます。
(１) ω^12＋ω^6＋１の値。
ω^3＝１ですから、
ω^12＋ω^6＋１
＝（ω^3）^4＋（ω^3）^2＋１
＝１＋１＋１
＝３
(２) ω^10＋ω^5＋１の値。
ω^10＋ω^5＋１
＝（ω^3）^3・ω＋ω^3・ω^2＋１
＝ω＋ω^2＋１
＝０
(３) ω^7＋ω^8 の値。
ω^7＋ω^8
＝(ω^3)^2・ω＋(ω^3)^2・ω^2
＝ω＋ω^2
うん？
これは、これで終わり？
いいえ。
ω^2＋ω＋１＝０ より
ω^2＋ω＝－１
よって、
ω^7＋ω^8＝－１
です。
ω がどちらの虚数解であるかは、やはり何も影響しませんでした。
ω に関する問題は、このような知識を利用するだけの問題。
わかってみれば得点源です
もしもテスト中に忘れたら、ｘ^3＝１ を自分で解き直せば、ω^2＋ω＋１＝０の式は復元できます。
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