高校数Ⅱ「三角関数」弧度法について。
さて、今回から「三角関数」です。
数年前の数学のセンター試験数ⅡＢで、「三角関数」の大問のうちの１問に、「ラジアンで表せ」という問題があり、その「ラジアン」がわからず、そこを空欄にした生徒がいました。
基本も基本、誰でも得点できるように作られていた問題が、基本過ぎて意味がわからないことがある・・・。
「ラジアン」という言葉は、「三角関数」の冒頭に出てくるけれど、その後使うことがないので、忘れてしまっていたのです。
ラジアンというのは角度の単位なのですが、たいてい省略するので、名称を忘れてしまうのです。
ラジアンは、角度の単位です。
ラジアンという単位で角の大きさを表す方法を弧度法といいます。
それに対し、小学校から使っている角度の表し方が「度数法」。
３０°、６０°というように角度を表します。
小学校からずっとそのように角度を表してきて、まさか今更、高校２年にもなって、急に角度の表し方が変わるとは思いませんよね。
高校の数Ⅱ「三角関数」の学習の、最初の衝撃はそれだと思います。
恐ろしいほどの違和感と抵抗感。
「三角関数」は、学習の始まりから嫌な予感に満ちています。
とはいえ、今までの度数法も、子どもの頃からそういうものだと刷り込まれているから不思議に思わないだけで、よく考えたら変な話なのです。
１回転が３６０°って、どういうこと？
何で、そんなに半端な数字なの？
この３６０°、メソポタミア文明の頃から使われていたということです。
メソポタミア文明！
四大文明の１つ。
ティグリス・ユーフラテス川流域。
今のイランのあたり。
くさび形文字。
ハンムラビ法典。
そうそう。
そのメソポタミア文明です。
「ゆとり教育」時代に中学の歴史の学習内容から消えたけれど、後にまた復活した、あの四大文明の１つ、メソポタミア文明です。
でも、そういうのをあまり丁寧にやっていると、中３の２学期になっても歴史の学習が終わらない、あのメソポタミア文明です。
メソポタミアの人々は、１年が大体３６０日であることを知っていたそうです。
星や太陽の位置が前と全く同じ状態に戻るのに３６０日かかる。
そこから生まれたのが、１周を３６０°とする度数法。
そのように言われています。
しかし、不便なものなら、そんなものが現代に残っているわけがないのです。
この３６０という数字がとても便利だったのです。
３６０は、約数を沢山もっている数です。
２でも、３でも、４でも、５でも、６でも、８でも、９でも、１０でも、１２でも、割り切れます。
全部書くのは面倒なので、途中でやめてしまいました。
１から１２までで、割り切れない数は７と１１しかない。
これは便利です。
１周３６０°を２分割したら１８０°。
３分割したら、１２０°。
４分割したら、９０°。
きれいに割れて、見やすい。
この数字は、使い続けますよね。
そのように圧倒的なパワーを持っている度数法。
だったら、全部度数法でいいじゃないか。
何で今更別の単位を使うんだろう？
今までの算数・数学では、特に不便はなかったのです。
しかし、これから、三角関数を学習していく中で、度数法は扱いにくい。
度数法は、１０進法ではないので、１０進法の他の数との計算ができないのです。
度数法は、１０進法ではない？
え？
１０進法じゃないの？
１°が１０集まって１０°になって、１０°が１０集まって１００°になるんだから、１０進法でしょう？
・・・そう思うのも無理はないのですが、１周が３６０°というだけで、すでにかなり変な感じです。
しかも、「度」より小さい単位を意識したことがないから気づかないのですが、度数法は、実は６０進法なのです。
１度＝６０分、１分＝６０秒です。
・・・はあ？聞いたことないし。
そう思うでしょうか。
いや、聞いたことはあると思います。
大きな船の出てくる映画などで、
「東経１４０度２３分！」
などと叫んでいる乗組員がいなかったでしょうか。
地球くらい大きなものの中での角度を表すとなると、度だけでは粗いので、その下の単位が必要。
それは、６０進法で定められています。
１０進法の数と、６０進法の数とを、足したり引いたりすることは、できません。
角度を１０進法の数と簡単に計算できる１０進法の数にすれば、この先、便利です。
それが、「弧度法」です。
ということで、「弧度法」の定義を。
半径 ｒ の円弧の長さが ℓ のときの中心角を θ とすると、
ℓ / ｒ＝θ (ラジアン)
これはどういうことなのか。
まず、すべての円は相似なのだということ。
円であれば、どんな円でも、すべて他の円と相似です。
円周を直径で割った値は、常に一定で、それを円周率というのでした。
当然、円周を半径で割った値も常に一定です。
ということは、どういうことか？
半径の異なるおうぎ形においても、中心角が等しければ、弧の長さを半径で割った値は等しくなります。
また、中心角の大きさが２倍、３倍になれば、弧の長さを半径で割った値も２倍、３倍になります。
すなわち、中心角の大きさと、弧の長さを半径で割った値は比例します。
ならば、その値を、中心角の大きさを表すことに利用できます。
弧の長さを半径で割った値、すなわち、ℓ / ｒ を、おうぎ形の中心角の角度として用いたものが、弧度法です。
単位は、「ラジアン」を用いますが、通常、その単位は省略されます。
それは「割合」であるので、特に単位を表記する必要はなく、しかも、他の数値と直接かけたり割ったりできるのです。
弧度法を使う理由が納得できたところで、まずは基本問題を解いてみましょう。
問題 次の角を弧度は度数に、度数は弧度に直せ。
(１) π/３
(２) ５/４ π
(３) １５０°
(４) ２７０°
まず、全円の場合で考えてみましょう。
全円の中心角は３６０°。
全円の弧すなわち円周を直径で割ったものが、円周率πです。
よって、円周を半径で割ったものは、２π、となります。
だから、
２π＝３６０°
π＝１８０°
度数のほうから考えると、
１°＝１/１８０ π
です。
参考書などに、
弧度を度数に直すには、１８０/πをかける。
度数を弧度に直すには、π/１８０をかける。
と書いてあることがあります。
紛らわしいので覚えられず、いつもそれを見ながら問題を解き、いざテストになると、覚えていないのでどうしていいのかわからない、という人がいます。
こんな「解法」なんて覚えなくていいのです。
π＝１８０°
これだけを覚えて、あとはそれを活用してください。
とはいうものの、このアドバイスが明確に伝わり、効果があるのは、ある程度の数学センスが必要なのかもしれません。
数学センスというよりも、「割合」や「比例」を自在に活用できる、というほうが正確でしょうか。
上の問題の (１) π/３ から見てみましょう。
π/３ とは、πの３分の１。
すなわち、１８０°の３分の１。
それは、６０°です。
単位円を頭の中でイメージするのがコツです。
１８０°でπなのだから、それを３分割したら、１つ分は、６０°です。
イメージできれば簡単です。
決して、１８０÷３の筆算などはしないことです。
単位円のイメージから、感覚としてつかむことが大切です。
「〇〇の何分の１」といった感覚を、小学校・中学校でついに形成できずに高校生になってしまった場合、最初は苦しいかもしれません。
ですが、このやり方をマスターすると、学習がこの先に進んでいったときに、弧度を具体的にイメージし、単位円に動径を書き込んでいくのがとても楽になります。
π/３×１８０/π という計算をしないと弧度を度数に直せないようだと、時間がかかり、しかも混乱しやすいのです。
それは、小学生時代の「やり方だけ覚える算数学習」の末路です。
小学生のときは、そうするしかなかったかもしれない。
でも、高校生になった今なら、割合の考え方を使えるかもしれません。
あの頃より、脳は発達しました。
今なら、わかるかもしれないのです。
(２) ５/４ π
５/４πというのは、π＋１/４πということです。
単位円で１/４πをイメージします。
π＝１８０°
１/４πは、その４分の１ですから、４５°
半円に４５°加わったイメージを映像的に直接把握すると効果的です。
単位円では第３象限に動径があるのがイメージできます。
１８０＋４５＝２２５
答は、２２５°です。
(３) １５０°
これも単位円をイメージします。
π＝１８０°
１５０°は、それより３０°小さい。
第２象限に動径があります。
３０°は、１８０°の６分の１。
つまり、πの６分の１。
だから、１５０°＝５/６π
これが答です。
(４) ２７０°
２７０°というのは、９０°×３。
直角３個分。
動径は、第３象限と第４象限の間の、下向きにまっすぐ。
９０°は、１/２π。
だから、２７０°＝３/２π
これが答です。
「秒でわかる」とはいかないけれど、何となくわかる気がする・・・。
そういう人は、この把握の仕方を練習してください。
あとになるほど、役に立ちます。
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