2022年04月18日
数学Ａ「場合の数と確率」期待値。有利・不利の判断。
今年度から、数学Ａで再び学ぶことになった「期待値」。
今回は、ゲームなどの有利・不利と期待値の問題です。
問題 Ａのゲームは、５枚の１００円硬貨を同時に投げて、表の出た硬貨をもらうことができる。
Ｂのゲームは、１つのサイコロを投げて、３以上の目が出るとその目の枚数だけ１００円硬貨をもらうことができ、２以下の目が出るとその目の枚数だけの１００円硬貨を支払わなければならない。
Ａ、Ｂ、どちらのゲームに参加するほうが有利か。
ところで、数学から離れた生活実感としては、このゲームはＡに参加したいという人が多いのではないかと思います。
Ａのゲームは、参加しても、とりあえずマイナスはない。
Ｂのゲームは、下手をすると、２００円払わされる。
こんなゲームには参加したくない。
こういうのは本人の性格に由来する判断でしょう。
だから、「最高賞金」にこだわる人もいると思います。
Ａのゲームは、最高賞金は５００円。
Ｂのゲームは、最高賞金は６００円。
Ｂのゲームのほうが、夢がある。
当たれば大きい。
宝くじを購入する心理に近いですね。
外れる確率だけにこだわる人もいるかもしれません。
Ａのゲームは、５枚とも裏が出て賞金０円になる確率は、(１/２)5＝１/３２
Ｂのゲームは、外れてお金を支払わされる確率は、２/６＝１/３
はずれる確率が高いから、Ｂは嫌だ、Ａにしよう。
それぞれ、感情的な根拠はあるのですが、では、数学的にはどうでしょうか。
どちらのゲームが、平均でいくらの賞金を期待できるのか？
まさに、期待値です。
Ａは、まず、何枚表が出るかの確率を求めましょう。
表が１枚出る確率は？
１/５ですか？
違います。
そういう誤解をしないように、気をつけたいですね。
これは、反復試行の確率です。
１枚の硬貨を投げたときに、表が出る確率は１/２。
裏が出る確率も１/２。
ところで、５枚の硬貨を同時に投げることは、１枚の硬貨を連続して５回投げることと、数学的には同じです。
１回目が表で、残る４回が裏の確率は、１/２・(１/２)^4
しかし、求めたい確率は、この場合だけではありません。
その１回の表は、何回目に出てきてもいいわけです。
２回目に表が出て、他の４回は裏の確率は、１/２・(１/２)^4
これは、先ほどの場合とは重なりませんから、単純に確率を足していっていいことになります。
さらに他の場合も考えられますね。
３回目に表が出る場合、４回目に表が出る場合、５回目に表が出る場合。
結局、表が１回、裏が４回である場合の数は、「表」１個「裏」４個の並べ方と同じです。
すなわち、「同じものを含む順列」となりますから、表がどこで１回出るかの場合の数は、5Ｃ1となります。
５個のうちの１個を「表」のために選ぶという考え方です。
そうなると、５枚のうち１枚が表である確率は、
5Ｃ1(１/２)・(１/２)4
上の式の意味がわからない場合は「反復試行の確率」のページを見てください。
では、表が２枚出る確率は？
上と同様に、５回のうち何回目で表が出るか、その場合の数を考えます。
５個のうちから２個を選ぶ組み合わせと同じですから、5Ｃ2となります。
すなわち、５枚のうち２枚が表である確率は、
5Ｃ2(１/２)2・(１/２)3
このあたりで、規則性に気づくと思います。
５回のうち、表がｋ回出るとすると、その確率は、
5Ｃk(１/２)5
です。
では、仕組みがわかったので、もう一気に期待値を求める式を立てましょう。
１００×5Ｃ1(１/２)5＋２００×5Ｃ2(１/２)5＋３００×5Ｃ3(１/２)5＋４００×5Ｃ4(１/２)5＋５００×5Ｃ5(１/２)5
計算しやすいように共通因数でくくりましょう。
＝１００・(１/２)5・(5Ｃ1＋２・5Ｃ2＋３・5Ｃ3＋４・5Ｃ4＋５・5Ｃ5)
＝１００・１/３２・(５＋２・１０＋３・１０＋４・５＋５・１)
＝１００・１/３２・(５＋２０＋３０＋２０＋５)
＝１００・１/３２・８０
＝２５０
Ａの期待値は２５０円とわかりました。
では、Ｂの期待値は？
サイコロの目は、どの目の出る確率も１/６ですから、
－１００×１/６＋－２００×１/６＋３００×１/６＋４００×１/６＋５００×１/６＋６００×１/６
＝１００・１/６(－１－２＋３＋４＋５＋６)
＝１００・１/６・１５
＝２５０
Ｂの期待値も２５０円とわかりました。
したがって、Ａ・Ｂどちらのゲームに参加しても同じ。
が答となります。
期待値と実感とは随分異なるものだなあという感想もあるかもしれません。
それでは、そういう「期待値と実感は随分異なるものだなあ」という感覚は数学的には愚かなことで役に立たないことなのか？
そうとは限らないのかもしれません。
サイコロの目を１回投げたときに、６の目が出る確率は、常に１/６なのか？
６回投げれば、必ず１回は６の目が出るのか？
現実はそうとは限りません。
６回投げて６回とも６の目が出ることも、現実には有り得ます。
そうした現実を、私たちはどう見ていくべきなのか？
ここから、確率分布という考え方に進んでいくのが、旧課程の数Ｂでした。
新課程数Ａでは、確率分布は学習しませんが、そこのところだけ独立させて、「仮説検定の考え方」というものを数Ⅰ「データの分析」の中で学びます。
高校１年生が新過程で学ぶ数学で、新たに追加された事項の２つ目が、この「仮説検定」です。
そのお話は、いずれ、また。
今回は、ゲームなどの有利・不利と期待値の問題です。
問題 Ａのゲームは、５枚の１００円硬貨を同時に投げて、表の出た硬貨をもらうことができる。
Ｂのゲームは、１つのサイコロを投げて、３以上の目が出るとその目の枚数だけ１００円硬貨をもらうことができ、２以下の目が出るとその目の枚数だけの１００円硬貨を支払わなければならない。
Ａ、Ｂ、どちらのゲームに参加するほうが有利か。
ところで、数学から離れた生活実感としては、このゲームはＡに参加したいという人が多いのではないかと思います。
Ａのゲームは、参加しても、とりあえずマイナスはない。
Ｂのゲームは、下手をすると、２００円払わされる。
こんなゲームには参加したくない。
こういうのは本人の性格に由来する判断でしょう。
だから、「最高賞金」にこだわる人もいると思います。
Ａのゲームは、最高賞金は５００円。
Ｂのゲームは、最高賞金は６００円。
Ｂのゲームのほうが、夢がある。
当たれば大きい。
宝くじを購入する心理に近いですね。
外れる確率だけにこだわる人もいるかもしれません。
Ａのゲームは、５枚とも裏が出て賞金０円になる確率は、(１/２)5＝１/３２
Ｂのゲームは、外れてお金を支払わされる確率は、２/６＝１/３
はずれる確率が高いから、Ｂは嫌だ、Ａにしよう。
それぞれ、感情的な根拠はあるのですが、では、数学的にはどうでしょうか。
どちらのゲームが、平均でいくらの賞金を期待できるのか？
まさに、期待値です。
Ａは、まず、何枚表が出るかの確率を求めましょう。
表が１枚出る確率は？
１/５ですか？
違います。
そういう誤解をしないように、気をつけたいですね。
これは、反復試行の確率です。
１枚の硬貨を投げたときに、表が出る確率は１/２。
裏が出る確率も１/２。
ところで、５枚の硬貨を同時に投げることは、１枚の硬貨を連続して５回投げることと、数学的には同じです。
１回目が表で、残る４回が裏の確率は、１/２・(１/２)^4
しかし、求めたい確率は、この場合だけではありません。
その１回の表は、何回目に出てきてもいいわけです。
２回目に表が出て、他の４回は裏の確率は、１/２・(１/２)^4
これは、先ほどの場合とは重なりませんから、単純に確率を足していっていいことになります。
さらに他の場合も考えられますね。
３回目に表が出る場合、４回目に表が出る場合、５回目に表が出る場合。
結局、表が１回、裏が４回である場合の数は、「表」１個「裏」４個の並べ方と同じです。
すなわち、「同じものを含む順列」となりますから、表がどこで１回出るかの場合の数は、5Ｃ1となります。
５個のうちの１個を「表」のために選ぶという考え方です。
そうなると、５枚のうち１枚が表である確率は、
5Ｃ1(１/２)・(１/２)4
上の式の意味がわからない場合は「反復試行の確率」のページを見てください。
では、表が２枚出る確率は？
上と同様に、５回のうち何回目で表が出るか、その場合の数を考えます。
５個のうちから２個を選ぶ組み合わせと同じですから、5Ｃ2となります。
すなわち、５枚のうち２枚が表である確率は、
5Ｃ2(１/２)2・(１/２)3
このあたりで、規則性に気づくと思います。
５回のうち、表がｋ回出るとすると、その確率は、
5Ｃk(１/２)5
です。
では、仕組みがわかったので、もう一気に期待値を求める式を立てましょう。
１００×5Ｃ1(１/２)5＋２００×5Ｃ2(１/２)5＋３００×5Ｃ3(１/２)5＋４００×5Ｃ4(１/２)5＋５００×5Ｃ5(１/２)5
計算しやすいように共通因数でくくりましょう。
＝１００・(１/２)5・(5Ｃ1＋２・5Ｃ2＋３・5Ｃ3＋４・5Ｃ4＋５・5Ｃ5)
＝１００・１/３２・(５＋２・１０＋３・１０＋４・５＋５・１)
＝１００・１/３２・(５＋２０＋３０＋２０＋５)
＝１００・１/３２・８０
＝２５０
Ａの期待値は２５０円とわかりました。
では、Ｂの期待値は？
サイコロの目は、どの目の出る確率も１/６ですから、
－１００×１/６＋－２００×１/６＋３００×１/６＋４００×１/６＋５００×１/６＋６００×１/６
＝１００・１/６(－１－２＋３＋４＋５＋６)
＝１００・１/６・１５
＝２５０
Ｂの期待値も２５０円とわかりました。
したがって、Ａ・Ｂどちらのゲームに参加しても同じ。
が答となります。
期待値と実感とは随分異なるものだなあという感想もあるかもしれません。
それでは、そういう「期待値と実感は随分異なるものだなあ」という感覚は数学的には愚かなことで役に立たないことなのか？
そうとは限らないのかもしれません。
サイコロの目を１回投げたときに、６の目が出る確率は、常に１/６なのか？
６回投げれば、必ず１回は６の目が出るのか？
現実はそうとは限りません。
６回投げて６回とも６の目が出ることも、現実には有り得ます。
そうした現実を、私たちはどう見ていくべきなのか？
ここから、確率分布という考え方に進んでいくのが、旧課程の数Ｂでした。
新課程数Ａでは、確率分布は学習しませんが、そこのところだけ独立させて、「仮説検定の考え方」というものを数Ⅰ「データの分析」の中で学びます。
高校１年生が新過程で学ぶ数学で、新たに追加された事項の２つ目が、この「仮説検定」です。
そのお話は、いずれ、また。
Posted by セギ at 12:35│Comments(0)
│算数・数学
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