2021年04月26日
高校数Ⅱ「図形と方程式」。軌跡と領域。領域に関する文章題。
問題 ２種類の薬品Ｐ、Ｑがある。これら１ｇあたりのＡ成分の含有量、Ｂ成分の含有量、価格は下の通りである。今、Ａ成分を１０ｍｇ以上、Ｂ成分を１５ｍｇ以上とる必要があるとき、その費用を最小にするためには、Ｐ、Ｑをそれぞれ何ｇずつとればよいか。
Ａ成分(ｍｇ)Ｂ成分(ｍｇ)価格(円)
Ｐ ２ １ ５
Ｑ １ ３ ６
単元が示されずにこの問題を解く場合、これは方程式か不等式の問題だろうとおおよその把握ができれば、最初の一歩が踏めます。
高校生になっても、文章題を見た瞬間、気持ちが小学生に戻り、いきなり答を求めようとして、式をごちゃごちゃ立てたり、暗算したりしてしまう人がいます。
そうして、「自分は文章題が苦手」と嘆いています。
しかし、数学を学んでいる我々には、文字があります。
方程式・不等式という武器があります。
これは、決して手放してはいけない武器です。
今、求めようとしているもの何か？
Ｐ、Ｑをそれぞれ何ｇとるか、です。
では、それを文字にしましょう。
Ｐをｘｇ、Ｑをｙｇとるとする。(ｘ≧０、ｙ≧０)
この１行目を、とにかく書くことです。
それが、第一歩です。
これと似た形の文章題は、中２の連立方程式の頃から出題されているのですが、問題の意味を読み取れずに立式できない人もいます。
Ｐ、Ｑ、Ａ、Ｂといった要素が多すぎて把握できないようなのです。
把握できない最大の原因は、本人の「読み癖」にあります。
文章を、斜め読みしかできない人が一定数存在するのです。
何度読んでも拾い読み。
よく読みなさいと言われても、拾い読み。
１文字１文字精読するということができないようなのです。
「精読」とは何をどうすることなのかわからないほどに、その癖は脳の芯まで食い込んでいます。
目が滑り、途中を飛ばして読む読み方しかできないのです。
小学生の頃は、拾い読みでも何とかなりました。
そうして文章を精読する習慣がないまま、気がつくと、文章を正確に読むことができなくなっているようです。
あるいは、何行も書いてある文章を見ると、「ああ、嫌だ」と反射的に感じてしまう。
こんなのは全部読まないで、必要なところだけ拾い読みしたい、と思ってしまう。
だから、つい、斜め読みをするが、意味がよくわからない・・・。
この問題が特別難しいわけではありません。
本人が、文章を読むことができないだけなのです。
自分のそういう読み癖に気づいたら、音読してみてください。
音読のスピードで、心の中でつぶやいて読むのでも大丈夫です。
ペン先で、１文字１文字指していくのもいいでしょう。
拾い読みで読解できる内容ではないのに拾い読みして、簡単なことを難しくしているのは自分自身だと自覚すると、少しずつでも改善されます。
薬品はＰとＱの２種類があって、それぞれの薬品は、さまざまな成分が混ざっている混合物のようです。
他の不要な成分も含まれているけれど、薬として必要な、Ａ成分とＢ成分が、それぞれ一定の割合で含まれています。
どの程度含まれているのか？
１ｇに、それぞれが何ｍｇ含まれているのかは、表にまとめられています。
ついでに、薬として重要な価格も表にまとめられています。
必要な成分を、できるだけ安い価格でとりたいですよね。
Ａ成分を１０ｍｇ以上とる必要がある。
薬品Ｐをｘｇとると、そこに含まれているＡ成分は、２ｘ ｍｇ。
薬品Ｑをｙｇとると、そこに含まれているＡ成分は、ｙ ｍｇ。
合計で、Ａ成分を(２ｘ＋ｙ)ｍｇとることができます。
１０ｍｇ以上とる必要があるのだから、
２ｘ＋ｙ≧１０ ・・・①
Ｂ成分を１５ｍｇ以上とる必要がある。
薬品Ｐをｘｇとると、そこに含まれているＢ成分は、ｘ ｍｇ。
薬品Ｑをｙｇとると、そこに含まれているＢ成分は、３ｙ ｍｇ。
合計で、Ｂ成分をｘ＋３ｙ(ｍｇ)とることができます。
１５ｍｇ以上とる必要があるのだから、
ｘ＋３ｙ≧１５ ・・・②
この①、②によって、領域が定まりました。
①より、ｙ≧－２ｘ＋１０
②より、ｙ≧－１/３ｘ＋５
さらに、定義域のｘ≧０、ｙ≧０もあわせると、考えられる領域は、上の図の領域Ｄとなります。
境界を含みます。
この領域のどこの点の座標のｘとｙの値でも、必要なＡ成分、Ｂ成分はとれます。
ここで、問題を見直します。
「その費用を最小にするためには」とあります。
では、費用に関する方程式を考えてみましょう。
薬品Ｐは、１ｇ５円。
薬品Ｑは、１ｇ６円。
それぞれ、ｘｇ、ｙｇとった場合の費用は、
５ｘ＋６ｙ(円)。
これの最小値を求めたらよいのです。
ここまで整理すると、これは、前回の問題が文章題になっているだけだったと気づきます。
５ｘ＋６ｙ＝ｋ とおきましょう。
ｙについて整理すると、
６ｙ＝－５ｘ＋ｋ
ｙ＝－５/６ｘ＋ｋ/６
傾きが－５/６である平行な直線が無数にあるとイメージできます。
その中で、ｋが最小であるのは、ｙ切片ｋ/６が最小であるもの。
勿論、領域Ｄの範囲内で。
直線①、②の交点の座標(３ , ４)を通るとき、その直線の傾きは最小になることが図からわかります。
よって、求めるｘ、ｙは、ｘ＝３、ｙ＝４です。
答は、薬品Ｐ、３ｇ。薬品Ｑ、４ｇ です。
今後、まだまだ出題形式は変わっていくだろう共通テストの数学ですが、文章題が出題される可能性は高いです。
文章題に対して苦手意識のある人は、まず問題文を正確に読むという初心に返ってください。
あまりにも苦手過ぎるという人は、中学の数学問題集に戻って、文章題だけ拾って演習してみるのも良いと思います。
何を文字におくか、その初手すらわかっていなかったという場合もあるかと思います。
求めたいものを文字に置くのが基本です。
「そうではない場合もあった」という嫌な記憶にとらわれ過ぎないことです。
そうではなかった場合のことは、１つ１つ、なぜそうではなかったのか、今なら理解できると思うのです。
中学生の頃は、まだ頭の中が小学生だったため、方程式を立てなければならないのに、小学生の文章題の解き方に戻ってしまっていて、「答を求める式」と「関係を表す式」の間で混乱し、苦肉の策のような奇妙な式を立てがちだった人も多いと思います。
「問題文に書いてある通りの式を立てればいいのに、なぜ、こんなことをしているの？」
と、中学生の頃、先生や友達に言われた記憶がある人も、いると思います。
問題文に「多い」と書いてあるのに、わざわざ引き算の式を立ててしまう。
「和」と書いてあるのに、わざわざ差を求めてしまう。
それは、小学校の算数の式がそういうものだったからです。
それを引きずっていただけです。
高校生になれば、過去の自分がやっていた、そういうわずらわしい作業の無駄にそろそろ気づくと思います。
今、中学数学の簡単な文章題で、自分の式の立て方の癖に気づき、直しておくことは、意味のあることだと思います。
Ａ成分(ｍｇ)Ｂ成分(ｍｇ)価格(円)
Ｐ ２ １ ５
Ｑ １ ３ ６
単元が示されずにこの問題を解く場合、これは方程式か不等式の問題だろうとおおよその把握ができれば、最初の一歩が踏めます。
高校生になっても、文章題を見た瞬間、気持ちが小学生に戻り、いきなり答を求めようとして、式をごちゃごちゃ立てたり、暗算したりしてしまう人がいます。
そうして、「自分は文章題が苦手」と嘆いています。
しかし、数学を学んでいる我々には、文字があります。
方程式・不等式という武器があります。
これは、決して手放してはいけない武器です。
今、求めようとしているもの何か？
Ｐ、Ｑをそれぞれ何ｇとるか、です。
では、それを文字にしましょう。
Ｐをｘｇ、Ｑをｙｇとるとする。(ｘ≧０、ｙ≧０)
この１行目を、とにかく書くことです。
それが、第一歩です。
これと似た形の文章題は、中２の連立方程式の頃から出題されているのですが、問題の意味を読み取れずに立式できない人もいます。
Ｐ、Ｑ、Ａ、Ｂといった要素が多すぎて把握できないようなのです。
把握できない最大の原因は、本人の「読み癖」にあります。
文章を、斜め読みしかできない人が一定数存在するのです。
何度読んでも拾い読み。
よく読みなさいと言われても、拾い読み。
１文字１文字精読するということができないようなのです。
「精読」とは何をどうすることなのかわからないほどに、その癖は脳の芯まで食い込んでいます。
目が滑り、途中を飛ばして読む読み方しかできないのです。
小学生の頃は、拾い読みでも何とかなりました。
そうして文章を精読する習慣がないまま、気がつくと、文章を正確に読むことができなくなっているようです。
あるいは、何行も書いてある文章を見ると、「ああ、嫌だ」と反射的に感じてしまう。
こんなのは全部読まないで、必要なところだけ拾い読みしたい、と思ってしまう。
だから、つい、斜め読みをするが、意味がよくわからない・・・。
この問題が特別難しいわけではありません。
本人が、文章を読むことができないだけなのです。
自分のそういう読み癖に気づいたら、音読してみてください。
音読のスピードで、心の中でつぶやいて読むのでも大丈夫です。
ペン先で、１文字１文字指していくのもいいでしょう。
拾い読みで読解できる内容ではないのに拾い読みして、簡単なことを難しくしているのは自分自身だと自覚すると、少しずつでも改善されます。
薬品はＰとＱの２種類があって、それぞれの薬品は、さまざまな成分が混ざっている混合物のようです。
他の不要な成分も含まれているけれど、薬として必要な、Ａ成分とＢ成分が、それぞれ一定の割合で含まれています。
どの程度含まれているのか？
１ｇに、それぞれが何ｍｇ含まれているのかは、表にまとめられています。
ついでに、薬として重要な価格も表にまとめられています。
必要な成分を、できるだけ安い価格でとりたいですよね。
Ａ成分を１０ｍｇ以上とる必要がある。
薬品Ｐをｘｇとると、そこに含まれているＡ成分は、２ｘ ｍｇ。
薬品Ｑをｙｇとると、そこに含まれているＡ成分は、ｙ ｍｇ。
合計で、Ａ成分を(２ｘ＋ｙ)ｍｇとることができます。
１０ｍｇ以上とる必要があるのだから、
２ｘ＋ｙ≧１０ ・・・①
Ｂ成分を１５ｍｇ以上とる必要がある。
薬品Ｐをｘｇとると、そこに含まれているＢ成分は、ｘ ｍｇ。
薬品Ｑをｙｇとると、そこに含まれているＢ成分は、３ｙ ｍｇ。
合計で、Ｂ成分をｘ＋３ｙ(ｍｇ)とることができます。
１５ｍｇ以上とる必要があるのだから、
ｘ＋３ｙ≧１５ ・・・②
この①、②によって、領域が定まりました。
①より、ｙ≧－２ｘ＋１０
②より、ｙ≧－１/３ｘ＋５
さらに、定義域のｘ≧０、ｙ≧０もあわせると、考えられる領域は、上の図の領域Ｄとなります。
境界を含みます。
この領域のどこの点の座標のｘとｙの値でも、必要なＡ成分、Ｂ成分はとれます。
ここで、問題を見直します。
「その費用を最小にするためには」とあります。
では、費用に関する方程式を考えてみましょう。
薬品Ｐは、１ｇ５円。
薬品Ｑは、１ｇ６円。
それぞれ、ｘｇ、ｙｇとった場合の費用は、
５ｘ＋６ｙ(円)。
これの最小値を求めたらよいのです。
ここまで整理すると、これは、前回の問題が文章題になっているだけだったと気づきます。
５ｘ＋６ｙ＝ｋ とおきましょう。
ｙについて整理すると、
６ｙ＝－５ｘ＋ｋ
ｙ＝－５/６ｘ＋ｋ/６
傾きが－５/６である平行な直線が無数にあるとイメージできます。
その中で、ｋが最小であるのは、ｙ切片ｋ/６が最小であるもの。
勿論、領域Ｄの範囲内で。
直線①、②の交点の座標(３ , ４)を通るとき、その直線の傾きは最小になることが図からわかります。
よって、求めるｘ、ｙは、ｘ＝３、ｙ＝４です。
答は、薬品Ｐ、３ｇ。薬品Ｑ、４ｇ です。
今後、まだまだ出題形式は変わっていくだろう共通テストの数学ですが、文章題が出題される可能性は高いです。
文章題に対して苦手意識のある人は、まず問題文を正確に読むという初心に返ってください。
あまりにも苦手過ぎるという人は、中学の数学問題集に戻って、文章題だけ拾って演習してみるのも良いと思います。
何を文字におくか、その初手すらわかっていなかったという場合もあるかと思います。
求めたいものを文字に置くのが基本です。
「そうではない場合もあった」という嫌な記憶にとらわれ過ぎないことです。
そうではなかった場合のことは、１つ１つ、なぜそうではなかったのか、今なら理解できると思うのです。
中学生の頃は、まだ頭の中が小学生だったため、方程式を立てなければならないのに、小学生の文章題の解き方に戻ってしまっていて、「答を求める式」と「関係を表す式」の間で混乱し、苦肉の策のような奇妙な式を立てがちだった人も多いと思います。
「問題文に書いてある通りの式を立てればいいのに、なぜ、こんなことをしているの？」
と、中学生の頃、先生や友達に言われた記憶がある人も、いると思います。
問題文に「多い」と書いてあるのに、わざわざ引き算の式を立ててしまう。
「和」と書いてあるのに、わざわざ差を求めてしまう。
それは、小学校の算数の式がそういうものだったからです。
それを引きずっていただけです。
高校生になれば、過去の自分がやっていた、そういうわずらわしい作業の無駄にそろそろ気づくと思います。
今、中学数学の簡単な文章題で、自分の式の立て方の癖に気づき、直しておくことは、意味のあることだと思います。
Posted by セギ at 11:21│Comments(0)
│算数・数学
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