2021年03月15日
高校数Ⅱ「図形と方程式」。軌跡と領域。反転。
軌跡と領域、今回はこんな問題です。
問題 座標平面上に原点Ｏと異なる点Ｐがある。直線ＯＰ上に点Ｑがあり、ＱはＯに関してＰと同じ側にあり、ＯＰ・ＯＱ＝４である。点Ｐが直線ｘ＝１上を動くとき、点Ｑの軌跡を求めよ。
さて、どう解きましょう？
まずは、鉄則。
求める点Ｑの座標を(ｘ , ｙ)とおく。
そして、もう１つの動点Ｐの座標は、(ａ , ｂ)とおく。
これで、最初の一歩は踏めました。
最終的にｘ と ｙ の関係を表す式を求めます。
そこに至るまで、いくつか他の文字を使っても大丈夫です。
最終的に他の文字は消せればよいのです。
意外にここが弱点になってしまう人がいます。
他の文字を使うことができないのです。
Ｐ(ａ , ｂ) を定義できない。
今回は、さらに別の文字も使用しなければなりません。
しかし、その勇気が持てないのです。
そんなことをしていいの？と思ってしまうようです。
何をしてよくて、何をしたらダメなのか、わからない。
自分の中に基準がないので、問題文に書いていない文字を使うことに勇気が必要となります。
これは逆説的ですが、中学時代に方程式の文章題を解くときに、何も定義せずにいきなり ｘ を使っていた人と重なる部分があります。
方程式のときは、何も定義せずに、いきなり文字を使う。
その一方、このような応用問題になると、文字を自分で勝手に使っていいのかどうか、判断がつかない。
それは、同じことの表と裏であるような気がします。
その文字が何を表すものなのかをしっかり定義すれば、文字はいくらでも使っていいのです。
ただし、最終解答には、自分が勝手に定義した文字は残さない。
ルールは、それだけです。
点Ｑ(ｘ , ｙ)、点Ｐ(ａ , ｂ)で、点Ｏは原点です。
ここで、点Ｏ、Ｐ、Ｑは、一直線上にあります。
さらに、点Ｑは、Ｏに関して点Ｐと同じ側にあります。
よって、
ａ＝ｔｘ、ｂ＝ｔｙ と表すことができます。(ｔは正の実数)
このことが理解できないと、先に進めません。
そして、数学が苦手な人は、このことがすんなり理解できない場合が多いです。
これは、中３の数学です。
単元は「相似」。
実際に、座標平面上に、Ｏ、Ｐ、Ｑを描いて考えてみてください。
位置関係は、Ｏ、Ｐ、Ｑの順のときもあれば、Ｏ、Ｑ、Ｐの順のときもあります。
自分としてわかりやすいほうでいったん描いて大丈夫です。
これらは、一直線上の３点です。
そして、ＰとＱから、ｘ軸に垂線を下ろしてください。
垂線の脚をそれぞれ、Ｐ'、Ｑ'としましょう。
直角三角形ＯＰＰ'と、ＯＱＱ'は、相似であることがわかると思います。
よって、
ＯＰ:ＯＱ＝ＯＰ':ＯＱ'
となります。
今、ＯＰの長さを、ＯＱのｔ倍としましょう。
そのとき、ＯＰ'の長さも、ＯＱ'の長さのｔ倍となります。
ｘ座標でその関係を表すならば、ａ＝ｔｘです。
同様に、ＰとＱから、ｙ軸上に垂線を下ろしても、同じことが言えます。
よって、ｂ＝ｔｙです。
上のように、座標平面上の線分の比を、ｘ座標、ｙ座標それぞれの比で把握することが可能です。
根本の考え方は、中三で学習した、相似な三角形、あるいは、平行線と線分の比です。
しかし、その解説で理解してくれれば、優秀なほうです。
中３の学習内容に戻って解説して、それでも、理解できない場合もあります。
平行線と線分の比や相似というものについて、何か根本的な違和感、全く理解できないという感覚が根底にあるようです。
中３の数学が理解できているというのは、そこまでの数学的な土台があるということです。
理解できないまま、高校入試を乗り切った。
あるいは、中高一貫校なので、そもそも理解できないまま通り過ぎてきた。
そうした課題、数学的な脆弱さが、すべて、数Ⅱや数Ｂで噴出してきます。
高校２年になって、急に数学がわからなくなるわけではありません。
中３の数学も、本当はわかっていなかった。
さらにそれ以前、場合によっては、小学校の算数がよくわかっていなかった場合もあります。
どこまでも、さかのぼって学習し直す必要があります。
小学校から高校まで、算数・数学の全カリキュラムを把握している講師による個別指導が効果的なのは、こういうところです。
ともあれ、
ａ＝ｔｘ、ｂ＝ｔｙ。
ここで、点Ｐは、原点とは異なるので、ｔは０ではありません。
ｘもｙも、０ではありません。
これは、あとで、定義域の確認で重要です。
細かいことですが、
ａ＝ｔｘ、ｂ＝ｔｙ はよくわからないが、
ｘ＝ｔａ、ｙ＝ｔｂ ならわかる、という人もいます。
気持ちはわかりますが、これは、定義次第でどちらでも成立します。
ただ、ｘ＝ｔａ、ｙ＝ｔｂ とすると、この後の計算が分数になってしまいます。
ｔは、別に整数とは限りません。
１より小さい分数でもよいので、
ａ＝ｔｘ、ｂ＝ｔｙ
をお勧めします。
ａ、ｂをこの先消去するつもりでいるので、代入しやすい形であるほうが有利です。
さて、あとは、文字を使ったどんな式を立てることができるでしょうか。
問題より、ＯＰ・ＯＱ＝４。
これを使いましょう。
ＯＰ＝√(ｘ2＋ｙ2)
ＯＱ＝√(ａ2＋ｂ2)
ここに、ａ＝ｔｘ、ｂ＝ｔｙを代入すると、
ＯＱ＝√(ｔｘ)2＋(ｔｙ)2
よって、
ＯＰ・ＯＱ＝√(ｘ2＋ｙ2)・√(ｔｘ)2＋(ｔｙ)2＝４
ｔ＞０だから、
ｔ(ｘ2＋ｙ2)＝４
よって、ｔ＝４/(ｘ2＋ｙ2)
これを、ａ＝ｔｘ に代入すると、
ａ＝４/(ｘ2＋ｙ2)・ｘ＝４ｘ/(ｘ2＋ｙ2)
ここで、点Ｐは、直線ｘ＝１上を動くから、ａ＝１。
よって、
４ｘ/(ｘ2＋ｙ2)＝１
これを計算して、
４ｘ＝ｘ2＋ｙ2
ｘ2＋ｙ2－４ｘ＝０
整理すると、
(ｘ－２)2＋ｙ2＝４
したがって、求める軌跡は、
中心(２ , ０)、半径２の円。ただし、原点は除く。
となります。
さて、問題はこれで正解ですが、これが一体どういうことかというと？
定点Ｏがある。
Ｏと異なる点Ｐをとり、半直線ＯＰ上に、点Ｐ'を、ＯＰ・ＯＰ'＝ｒ2によって定める。
このとき、点Ｐに点Ｐ'を対応させることを、反転といい、点Ｏを反転の中心という。
また、点Ｐが図形Ｆ上にあるとき、点Ｐ'が描く図形Ｆ'を、Ｆの反形という。
このとき、定点Ｏを通らない直線の反形は、Ｏを通る半径 ｒ の円となる。
今回の直線はｘ＝１でした。
定点Ｏは通りません。
その直線上のすべての点を、ＯＰ・ＯＰ'＝４となるように写していくと、その点の集合の描く図形は、点Ｏを通る半径２の円になる。
反転は、他にもあります。
逆に、定点Ｏを通る円の反形は、Ｏを通らない直線になるのです。
ＯＰ・ＯＰ'＝ｒ2 という操作を通すと、直線は円に形を変え、円は直線に形を変える。
そのように照射される。
興味深いです。
なお、点Ｏを通らない円の反形は、点Ｏを通らない円となります。
問題 座標平面上に原点Ｏと異なる点Ｐがある。直線ＯＰ上に点Ｑがあり、ＱはＯに関してＰと同じ側にあり、ＯＰ・ＯＱ＝４である。点Ｐが直線ｘ＝１上を動くとき、点Ｑの軌跡を求めよ。
さて、どう解きましょう？
まずは、鉄則。
求める点Ｑの座標を(ｘ , ｙ)とおく。
そして、もう１つの動点Ｐの座標は、(ａ , ｂ)とおく。
これで、最初の一歩は踏めました。
最終的にｘ と ｙ の関係を表す式を求めます。
そこに至るまで、いくつか他の文字を使っても大丈夫です。
最終的に他の文字は消せればよいのです。
意外にここが弱点になってしまう人がいます。
他の文字を使うことができないのです。
Ｐ(ａ , ｂ) を定義できない。
今回は、さらに別の文字も使用しなければなりません。
しかし、その勇気が持てないのです。
そんなことをしていいの？と思ってしまうようです。
何をしてよくて、何をしたらダメなのか、わからない。
自分の中に基準がないので、問題文に書いていない文字を使うことに勇気が必要となります。
これは逆説的ですが、中学時代に方程式の文章題を解くときに、何も定義せずにいきなり ｘ を使っていた人と重なる部分があります。
方程式のときは、何も定義せずに、いきなり文字を使う。
その一方、このような応用問題になると、文字を自分で勝手に使っていいのかどうか、判断がつかない。
それは、同じことの表と裏であるような気がします。
その文字が何を表すものなのかをしっかり定義すれば、文字はいくらでも使っていいのです。
ただし、最終解答には、自分が勝手に定義した文字は残さない。
ルールは、それだけです。
点Ｑ(ｘ , ｙ)、点Ｐ(ａ , ｂ)で、点Ｏは原点です。
ここで、点Ｏ、Ｐ、Ｑは、一直線上にあります。
さらに、点Ｑは、Ｏに関して点Ｐと同じ側にあります。
よって、
ａ＝ｔｘ、ｂ＝ｔｙ と表すことができます。(ｔは正の実数)
このことが理解できないと、先に進めません。
そして、数学が苦手な人は、このことがすんなり理解できない場合が多いです。
これは、中３の数学です。
単元は「相似」。
実際に、座標平面上に、Ｏ、Ｐ、Ｑを描いて考えてみてください。
位置関係は、Ｏ、Ｐ、Ｑの順のときもあれば、Ｏ、Ｑ、Ｐの順のときもあります。
自分としてわかりやすいほうでいったん描いて大丈夫です。
これらは、一直線上の３点です。
そして、ＰとＱから、ｘ軸に垂線を下ろしてください。
垂線の脚をそれぞれ、Ｐ'、Ｑ'としましょう。
直角三角形ＯＰＰ'と、ＯＱＱ'は、相似であることがわかると思います。
よって、
ＯＰ:ＯＱ＝ＯＰ':ＯＱ'
となります。
今、ＯＰの長さを、ＯＱのｔ倍としましょう。
そのとき、ＯＰ'の長さも、ＯＱ'の長さのｔ倍となります。
ｘ座標でその関係を表すならば、ａ＝ｔｘです。
同様に、ＰとＱから、ｙ軸上に垂線を下ろしても、同じことが言えます。
よって、ｂ＝ｔｙです。
上のように、座標平面上の線分の比を、ｘ座標、ｙ座標それぞれの比で把握することが可能です。
根本の考え方は、中三で学習した、相似な三角形、あるいは、平行線と線分の比です。
しかし、その解説で理解してくれれば、優秀なほうです。
中３の学習内容に戻って解説して、それでも、理解できない場合もあります。
平行線と線分の比や相似というものについて、何か根本的な違和感、全く理解できないという感覚が根底にあるようです。
中３の数学が理解できているというのは、そこまでの数学的な土台があるということです。
理解できないまま、高校入試を乗り切った。
あるいは、中高一貫校なので、そもそも理解できないまま通り過ぎてきた。
そうした課題、数学的な脆弱さが、すべて、数Ⅱや数Ｂで噴出してきます。
高校２年になって、急に数学がわからなくなるわけではありません。
中３の数学も、本当はわかっていなかった。
さらにそれ以前、場合によっては、小学校の算数がよくわかっていなかった場合もあります。
どこまでも、さかのぼって学習し直す必要があります。
小学校から高校まで、算数・数学の全カリキュラムを把握している講師による個別指導が効果的なのは、こういうところです。
ともあれ、
ａ＝ｔｘ、ｂ＝ｔｙ。
ここで、点Ｐは、原点とは異なるので、ｔは０ではありません。
ｘもｙも、０ではありません。
これは、あとで、定義域の確認で重要です。
細かいことですが、
ａ＝ｔｘ、ｂ＝ｔｙ はよくわからないが、
ｘ＝ｔａ、ｙ＝ｔｂ ならわかる、という人もいます。
気持ちはわかりますが、これは、定義次第でどちらでも成立します。
ただ、ｘ＝ｔａ、ｙ＝ｔｂ とすると、この後の計算が分数になってしまいます。
ｔは、別に整数とは限りません。
１より小さい分数でもよいので、
ａ＝ｔｘ、ｂ＝ｔｙ
をお勧めします。
ａ、ｂをこの先消去するつもりでいるので、代入しやすい形であるほうが有利です。
さて、あとは、文字を使ったどんな式を立てることができるでしょうか。
問題より、ＯＰ・ＯＱ＝４。
これを使いましょう。
ＯＰ＝√(ｘ2＋ｙ2)
ＯＱ＝√(ａ2＋ｂ2)
ここに、ａ＝ｔｘ、ｂ＝ｔｙを代入すると、
ＯＱ＝√(ｔｘ)2＋(ｔｙ)2
よって、
ＯＰ・ＯＱ＝√(ｘ2＋ｙ2)・√(ｔｘ)2＋(ｔｙ)2＝４
ｔ＞０だから、
ｔ(ｘ2＋ｙ2)＝４
よって、ｔ＝４/(ｘ2＋ｙ2)
これを、ａ＝ｔｘ に代入すると、
ａ＝４/(ｘ2＋ｙ2)・ｘ＝４ｘ/(ｘ2＋ｙ2)
ここで、点Ｐは、直線ｘ＝１上を動くから、ａ＝１。
よって、
４ｘ/(ｘ2＋ｙ2)＝１
これを計算して、
４ｘ＝ｘ2＋ｙ2
ｘ2＋ｙ2－４ｘ＝０
整理すると、
(ｘ－２)2＋ｙ2＝４
したがって、求める軌跡は、
中心(２ , ０)、半径２の円。ただし、原点は除く。
となります。
さて、問題はこれで正解ですが、これが一体どういうことかというと？
定点Ｏがある。
Ｏと異なる点Ｐをとり、半直線ＯＰ上に、点Ｐ'を、ＯＰ・ＯＰ'＝ｒ2によって定める。
このとき、点Ｐに点Ｐ'を対応させることを、反転といい、点Ｏを反転の中心という。
また、点Ｐが図形Ｆ上にあるとき、点Ｐ'が描く図形Ｆ'を、Ｆの反形という。
このとき、定点Ｏを通らない直線の反形は、Ｏを通る半径 ｒ の円となる。
今回の直線はｘ＝１でした。
定点Ｏは通りません。
その直線上のすべての点を、ＯＰ・ＯＰ'＝４となるように写していくと、その点の集合の描く図形は、点Ｏを通る半径２の円になる。
反転は、他にもあります。
逆に、定点Ｏを通る円の反形は、Ｏを通らない直線になるのです。
ＯＰ・ＯＰ'＝ｒ2 という操作を通すと、直線は円に形を変え、円は直線に形を変える。
そのように照射される。
興味深いです。
なお、点Ｏを通らない円の反形は、点Ｏを通らない円となります。
Posted by セギ at 11:11│Comments(0)
│算数・数学
※このブログではブログの持ち主が承認した後、コメントが反映される設定です。
