2021年02月02日
高校数Ⅱ「図形と方程式」。軌跡と方程式。距離の比が一定な点の軌跡。
今回から、数Ⅱ「図形と方程式」は第２章、軌跡と領域に進みます。
まず、軌跡とは何か？
「与えられた条件を満たす点が動いてできる図形を、その条件を満たす点の軌跡という」
この定義がすんなり理解できる人も多いのですが、何を言っているのか全くわからない・・・という人もいます。
え？点が動くってどういうこと？
言い方を少し変えると、与えられた条件を満たす点は、１点に定まるとは限らない、ということです。
与えられた条件を満たす点は、いくつもあるかもしれません。
１つ１つの点が集まって集まって、直線になったり曲線になったりすることも多いでしょう。
そうした点の集合。
そうした点が集合して、直線や曲線となって見えているもの。
それが、点の軌跡です。
しかし、中１の頃から繰り返し繰り返し、点の集合は直線になったり曲線になったりするのだと解説しても、なかなか理解できない人も多いです。
それは、動画で伝えると、ピンとくるのかもしれません。
粗い点がポツンポツンと並んでいるのが、だんだん密な点の集合になり、やがて直線や曲線になっていく様子は動画なら伝えやすいかと思うのです。
しかし、その程度のことなら、わざわざ他人の作った動画を見なくても、自分の頭の中でイメージすることができると思います。
簡単なイメージです。
まず、そのイメージを頭に思い描くことが軌跡の学習の第一歩です。
点が集まって、直線や曲線になる。
そうしたイメージを持てるかどうかは、中１の作図の学習でも大きなカギとなります。
例えば、こんな問題。
何でもない鋭角三角形ＡＢＣが描いてあると思ってください。
問題 △ＡＢＣで、頂点Ａと頂点Ｂから等しい距離にあり、さらに、辺ＡＣと辺ＢＣからも等しい距離にある点Ｐを作図により求めなさい。
点Ａと点Ｂから等しい距離にあるのだから、その条件を満たす点の集合は、線分ＡＢの垂直二等分線。
辺ＡＣと辺ＢＣから等しい距離にあるのだから、その条件を満たす点の集合は、∠Ｃの二等分線。
だから、その２直線の交点が点Ｐです。
あとは、作図の基本の通りに、線分ＡＢの垂直二等分線と∠Ｃの二等分線を描いて、点Ｐを記すだけ。
とても簡単。
そう思うのですが、これが解けない中１は案外多いです。
基本の作図はできるのです。
線分ＡＢが与えられていて、垂直二等分線を引きなさい、と言われたら引けます。
△ＡＢＣが与えられていて、∠Ｃの二等分線を引きなさい、と言われたら引けます。
しかし、応用が利きません。
点Ａと点Ｂから等しい距離にある点の集合が、線分ＡＢの垂直二等分線であることが、イメージできない。
辺ＡＣと辺ＢＣから等しい距離にある点の集合が、∠Ｃの二等分線であることが、イメージできない。
ホワイトボードに点を沢山描いて、それがやがて線になっていく様子を示しながら解説する度に、ああそうか、わかったという顔をするのに、類題はまた解けない・・・。
「来週、学校で作図の小テストがある」
というので、もう仕方なく、
「２点から等しい」と言われたら、垂直二等分線。
「２辺から等しい」と言われたら、角の二等分線。
とにかく、それを暗記しなさーい。
覚えなさーい。
今回の小テストは、それで乗り切りなさーい。
私がそう言うと、むしろ嬉しそうにいそいそとそれをノートに取ったりします。
・・・いや、そんなことでは、数学は得意にならない・・・。
しかし、いつまでもそうなのかというと、そんなこともないのです。
学校で作図を学習するのは、中１で学習する一度きりです。
中２になると、作図を学習したこと自体忘れてしまったりします。
ところが、中３になって受験勉強を始めると、都立高校の入試問題には作図問題が必ず１問ある、という現実に直面します。
上の問題と同じ程度、あるいはそれ以上の応用的な作図が出題されます。
配点は６点。
他の問題よりも高いです。
その事実を知ると、作図ができるようになる子は多いのです。
入試問題の後半のほうの、平面図形や空間図形は、問１を解くだけで精一杯。
式による証明も、頑張ってはみるが、難しい。
関数も、応用問題は解けない。
そういう現実が見えてきます。
では、どこで得点するのか？
作図くらいはできないと、高校に入れない。
それを悟ると、作図ができるようになっていくようです。
本気になれば脳は動き出し、イメージできるようになります。
がんばりましょう。
さて、高校数Ⅱ。
軌跡とは何かが理解できたところで、実際の問題を見てみましょう。
問題 ２点Ａ(－１,－１)、Ｂ(５,２)からの距離が等しい点Ｐの軌跡を求めよ。
２点からの距離が等しい・・・。
点Ｐは、線分ＡＢの垂直二等分線上のどの点でもいいですね。
線分ＡＢの垂直二等分線上を動くことが可能なのです。
その直線の式を求めることを、「点Ｐの軌跡を求める」といいます。
点Ｐの座標を (ｘ , ｙ) とおいて、その ｘ と ｙ との関係を表す式を求めればよいのです。
２点からの距離が等しいのですから、ＡＰ＝ＢＰです。
２点間の距離の公式にあてはめると、
ＡＰ＝√(ｘ＋１)2＋(ｙ＋１)2
ＢＰ＝√(ｘ－５)2＋(ｙ－２)2
よって、
√(ｘ＋１)2＋(ｙ＋１)2＝√(ｘ－５)2＋(ｙ－２)2
両辺を２乗して、
(ｘ＋１)2＋(ｙ＋１)2＝(ｘ－５)2＋(ｙ－２)2
展開して整理すると、
ｘ2＋２ｘ＋１＋ｙ2＋２ｙ＋１＝ｘ2－１０ｘ＋２５＋ｙ2－４ｙ＋４
１２ｘ＋６ｙ－２＝０
６ｘ＋３ｙ－１＝０
よって、点Ｐの軌跡は、直線 ６ｘ＋３ｙ－１＝０
問題 ２点Ａ(－４,０)、Ｂ(２,０)からの距離の比が２:１である点の軌跡を求めよ。
２点からの距離が等しい、すなわち距離の比が１:１のときは、上の問題のように直線でした。
距離の比が、２:１のときは、どうなるのでしょう？
考え方は同じです。
問題文に点Ｐという記述がなくても、自分で点Ｐを定義すればよいのです。
条件を満たす点をＰ(ｘ , ｙ) とすると、
ＡＰ:ＢＰ＝２:１
よって、ＡＰ＝２ＢＰ
すなわち、ＡＰ2＝４ＢＰ2
２点間の距離の公式を用いて、
(ｘ＋４)2＋ｙ2＝４{(ｘ－２)2＋ｙ2}
展開して整理すると、
ｘ2＋８ｘ＋１６＋ｙ2＝４(ｘ2－４ｘ＋４)＋４ｙ2
ｘ2＋８ｘ＋１６＋ｙ2＝４ｘ2－１６ｘ＋１６＋４ｙ2
－３ｘ2＋２４ｘ－３ｙ2＝０
ｘ2－８ｘ＋ｙ2＝０
見たところ円のようなので、整理しましょう。
(ｘ－４)2＋ｙ2＝１６
よって、
求める軌跡は、中心が(４,０)、半径が４の円。
一般に、２定点Ａ、Ｂからの距離の比がｍ:ｎ(ｍ＞０,ｎ＞０,ｍ‡ｎ)である点の軌跡は、線分ＡＢをｍ:ｎに内分する点と外分する点を直径の両端とする円となります。
これをアポロニウスの円と呼びます。
自分では上手くイメージできない場合も、計算の結果からそうなることが理解できます。
まず、軌跡とは何か？
「与えられた条件を満たす点が動いてできる図形を、その条件を満たす点の軌跡という」
この定義がすんなり理解できる人も多いのですが、何を言っているのか全くわからない・・・という人もいます。
え？点が動くってどういうこと？
言い方を少し変えると、与えられた条件を満たす点は、１点に定まるとは限らない、ということです。
与えられた条件を満たす点は、いくつもあるかもしれません。
１つ１つの点が集まって集まって、直線になったり曲線になったりすることも多いでしょう。
そうした点の集合。
そうした点が集合して、直線や曲線となって見えているもの。
それが、点の軌跡です。
しかし、中１の頃から繰り返し繰り返し、点の集合は直線になったり曲線になったりするのだと解説しても、なかなか理解できない人も多いです。
それは、動画で伝えると、ピンとくるのかもしれません。
粗い点がポツンポツンと並んでいるのが、だんだん密な点の集合になり、やがて直線や曲線になっていく様子は動画なら伝えやすいかと思うのです。
しかし、その程度のことなら、わざわざ他人の作った動画を見なくても、自分の頭の中でイメージすることができると思います。
簡単なイメージです。
まず、そのイメージを頭に思い描くことが軌跡の学習の第一歩です。
点が集まって、直線や曲線になる。
そうしたイメージを持てるかどうかは、中１の作図の学習でも大きなカギとなります。
例えば、こんな問題。
何でもない鋭角三角形ＡＢＣが描いてあると思ってください。
問題 △ＡＢＣで、頂点Ａと頂点Ｂから等しい距離にあり、さらに、辺ＡＣと辺ＢＣからも等しい距離にある点Ｐを作図により求めなさい。
点Ａと点Ｂから等しい距離にあるのだから、その条件を満たす点の集合は、線分ＡＢの垂直二等分線。
辺ＡＣと辺ＢＣから等しい距離にあるのだから、その条件を満たす点の集合は、∠Ｃの二等分線。
だから、その２直線の交点が点Ｐです。
あとは、作図の基本の通りに、線分ＡＢの垂直二等分線と∠Ｃの二等分線を描いて、点Ｐを記すだけ。
とても簡単。
そう思うのですが、これが解けない中１は案外多いです。
基本の作図はできるのです。
線分ＡＢが与えられていて、垂直二等分線を引きなさい、と言われたら引けます。
△ＡＢＣが与えられていて、∠Ｃの二等分線を引きなさい、と言われたら引けます。
しかし、応用が利きません。
点Ａと点Ｂから等しい距離にある点の集合が、線分ＡＢの垂直二等分線であることが、イメージできない。
辺ＡＣと辺ＢＣから等しい距離にある点の集合が、∠Ｃの二等分線であることが、イメージできない。
ホワイトボードに点を沢山描いて、それがやがて線になっていく様子を示しながら解説する度に、ああそうか、わかったという顔をするのに、類題はまた解けない・・・。
「来週、学校で作図の小テストがある」
というので、もう仕方なく、
「２点から等しい」と言われたら、垂直二等分線。
「２辺から等しい」と言われたら、角の二等分線。
とにかく、それを暗記しなさーい。
覚えなさーい。
今回の小テストは、それで乗り切りなさーい。
私がそう言うと、むしろ嬉しそうにいそいそとそれをノートに取ったりします。
・・・いや、そんなことでは、数学は得意にならない・・・。
しかし、いつまでもそうなのかというと、そんなこともないのです。
学校で作図を学習するのは、中１で学習する一度きりです。
中２になると、作図を学習したこと自体忘れてしまったりします。
ところが、中３になって受験勉強を始めると、都立高校の入試問題には作図問題が必ず１問ある、という現実に直面します。
上の問題と同じ程度、あるいはそれ以上の応用的な作図が出題されます。
配点は６点。
他の問題よりも高いです。
その事実を知ると、作図ができるようになる子は多いのです。
入試問題の後半のほうの、平面図形や空間図形は、問１を解くだけで精一杯。
式による証明も、頑張ってはみるが、難しい。
関数も、応用問題は解けない。
そういう現実が見えてきます。
では、どこで得点するのか？
作図くらいはできないと、高校に入れない。
それを悟ると、作図ができるようになっていくようです。
本気になれば脳は動き出し、イメージできるようになります。
がんばりましょう。
さて、高校数Ⅱ。
軌跡とは何かが理解できたところで、実際の問題を見てみましょう。
問題 ２点Ａ(－１,－１)、Ｂ(５,２)からの距離が等しい点Ｐの軌跡を求めよ。
２点からの距離が等しい・・・。
点Ｐは、線分ＡＢの垂直二等分線上のどの点でもいいですね。
線分ＡＢの垂直二等分線上を動くことが可能なのです。
その直線の式を求めることを、「点Ｐの軌跡を求める」といいます。
点Ｐの座標を (ｘ , ｙ) とおいて、その ｘ と ｙ との関係を表す式を求めればよいのです。
２点からの距離が等しいのですから、ＡＰ＝ＢＰです。
２点間の距離の公式にあてはめると、
ＡＰ＝√(ｘ＋１)2＋(ｙ＋１)2
ＢＰ＝√(ｘ－５)2＋(ｙ－２)2
よって、
√(ｘ＋１)2＋(ｙ＋１)2＝√(ｘ－５)2＋(ｙ－２)2
両辺を２乗して、
(ｘ＋１)2＋(ｙ＋１)2＝(ｘ－５)2＋(ｙ－２)2
展開して整理すると、
ｘ2＋２ｘ＋１＋ｙ2＋２ｙ＋１＝ｘ2－１０ｘ＋２５＋ｙ2－４ｙ＋４
１２ｘ＋６ｙ－２＝０
６ｘ＋３ｙ－１＝０
よって、点Ｐの軌跡は、直線 ６ｘ＋３ｙ－１＝０
問題 ２点Ａ(－４,０)、Ｂ(２,０)からの距離の比が２:１である点の軌跡を求めよ。
２点からの距離が等しい、すなわち距離の比が１:１のときは、上の問題のように直線でした。
距離の比が、２:１のときは、どうなるのでしょう？
考え方は同じです。
問題文に点Ｐという記述がなくても、自分で点Ｐを定義すればよいのです。
条件を満たす点をＰ(ｘ , ｙ) とすると、
ＡＰ:ＢＰ＝２:１
よって、ＡＰ＝２ＢＰ
すなわち、ＡＰ2＝４ＢＰ2
２点間の距離の公式を用いて、
(ｘ＋４)2＋ｙ2＝４{(ｘ－２)2＋ｙ2}
展開して整理すると、
ｘ2＋８ｘ＋１６＋ｙ2＝４(ｘ2－４ｘ＋４)＋４ｙ2
ｘ2＋８ｘ＋１６＋ｙ2＝４ｘ2－１６ｘ＋１６＋４ｙ2
－３ｘ2＋２４ｘ－３ｙ2＝０
ｘ2－８ｘ＋ｙ2＝０
見たところ円のようなので、整理しましょう。
(ｘ－４)2＋ｙ2＝１６
よって、
求める軌跡は、中心が(４,０)、半径が４の円。
一般に、２定点Ａ、Ｂからの距離の比がｍ:ｎ(ｍ＞０,ｎ＞０,ｍ‡ｎ)である点の軌跡は、線分ＡＢをｍ:ｎに内分する点と外分する点を直径の両端とする円となります。
これをアポロニウスの円と呼びます。
自分では上手くイメージできない場合も、計算の結果からそうなることが理解できます。
Posted by セギ at 12:28│Comments(2)
│算数・数学
この記事へのコメント
> 「与えられた条件を満たす点が動いてできる図形を、その条件を満たす点の軌跡という」
記事の主張とはすこしずれてしまいますが、実際のところ点は動いているのでしょうか？「軌跡」という言葉には確かに点が動いた跡というニュアンスがありますが、本来の定義は「与えられた条件を満たす点全体の集合(曲線)」であり、動く要素は存在しません。曲線のパラメータをtと書くのでそれが如何にも時間変数に見えて、「動いている」イメージになるのですが、パラメータの文字はなんでも良いわけです。
私自身も特に深く考えずに「点が動く」と表現してしまいますが、ここで混乱する学生が多いのなら考え直す必要があるかもしれません。
記事の主張とはすこしずれてしまいますが、実際のところ点は動いているのでしょうか？「軌跡」という言葉には確かに点が動いた跡というニュアンスがありますが、本来の定義は「与えられた条件を満たす点全体の集合(曲線)」であり、動く要素は存在しません。曲線のパラメータをtと書くのでそれが如何にも時間変数に見えて、「動いている」イメージになるのですが、パラメータの文字はなんでも良いわけです。
私自身も特に深く考えずに「点が動く」と表現してしまいますが、ここで混乱する学生が多いのなら考え直す必要があるかもしれません。
Posted by saitou at 2021年02月04日 19:49
コメントありがとうございます。
私も、「点が動く」よりも「点の集合」という把握のほうがわかりやすいように思います。
私も、「点が動く」よりも「点の集合」という把握のほうがわかりやすいように思います。
Posted by セギ
at 2021年02月04日 23:27
at 2021年02月04日 23:27※このブログではブログの持ち主が承認した後、コメントが反映される設定です。
