2020年10月29日
高校数Ⅱ「図形と方程式」。円の接線の方程式。
今回は、円の接線の方程式です。
まずは、公式を確認しましょう。
円 ｘ2＋ｙ2＝ｒ2 上の点Ａ(ｘ1 , ｙ1)における接線の方程式は、
ｘ1・ｘ＋ｙ1・ｙ＝ｒ2
証明しましょう。
この円の中心は原点Ｏです。
まず点Ａが、ｘ軸・ｙ軸上の点ではないとき、
直線ＯＡの傾きは、ｙ1/ｘ1 となります。
また、接線は、円の半径である線分ＯＡと垂直ですから、接線の傾きは、
－ｘ1/ｙ1
となります。
垂直に交わる直線の傾きの積は－１だからです。
よって、求める接線は、傾きが －ｘ1/ｙ1 で、点(ｘ1,ｙ1)を通る直線ですから、
ｙ－ｙ1＝－ｘ1/ｙ1(ｘ－ｘ1)
これを変形しましょう。
両辺にｙ1をかけて、
ｙ1(ｙ－ｙ1)＝－ｘ1(ｘ－ｘ1)
展開すると、
ｙ1・ｙ－ｙ1の２乗＝－ｘ1・ｘ＋ｘ1の２乗
移項して、
ｘ1・ｘ＋ｙ1・ｙ＝ｘ1の２乗＋ｙ1の２乗
ここで、点Ａはこの円上の点だから、(ｘ1,ｙ1)は、この円の方程式の関係を満たすので、
ｘ1の２乗＋ｙ1の２乗＝ｒ2
よって、
ｘ1・ｘ＋ｙ1・ｙ＝ｒ2
これが、接線の方程式です。
なお、点Ａが、ｘ軸上にあるとき、接線の方程式は、円の半径より、
ｘ＝ｒ または、ｘ＝－ｒ です。
上の公式に代入した場合、
(ｘ1,ｙ1)＝(ｒ,０)のとき、
ｒｘ＋０・ｙ＝ｒ2
ｒｘ＝ｒ2
ｘ＝ｒ
また、(ｘ1,ｙ1)＝(－ｒ,０)のとき、
－ｒｘ＋０・ｙ＝ｒ2
－ｒｘ＝ｒ2
ｘ＝－ｒ
となり、上の公式を用いてよいことがわかります。
点Ａがｙ軸上にあるときも同様に、代入すると、
ｙ＝ｒ または、ｙ＝－ｒ
という式を得ることができます。
さて、公式を証明できたので、練習してみましょう。
問題 円ｘ2＋ｙ2＝２５がある。
(１) 円上の点(２,√２１)における接線の方程式を求めよ。
(２) 円外の点(１,７)からこの円にひいた接線の方程式を求めよ。
(１)は、接線の公式に代入するだけですね。
ｘ1・ｘ＋ｙ1・ｙ＝ｒ2 に代入して、
２ｘ＋√２１ｙ＝２５
これでもう答です。
(２)は、接点がわからないことに注意が必要です。
公式に(１,７)を代入しても、別の式が出来てしまうだけです。
公式を使うだけというわけにいきません。
では、求める式を、何か文字を使って表すことはできないでしょうか？
求める式は、接線ですから、直線の式です。
情報としては、点(１,７)を通ることはわかっています。
直線の公式を思い出してみると、傾きか、あと１点の座標を文字にすれば、仮の式を立てることができそうです。
どちらでもいけそうですが、傾きを文字に置いたほうが簡単そうな気がするので、それでやってみましょう。
求める接線の傾きをｍとすると、点(１,７)を通ることより、
ｙ－７＝ｍ(ｘ－１)
これを整理すると、
ｙ－７＝ｍｘ－ｍ
－ｍｘ＋ｙ＋ｍ－７＝０
ｍｘ－ｙ－ｍ＋７＝０
あとは、このｍの値を求めればよいのです。
ｍを使った、何か別の方程式を立てましょう。
使っていない情報は・・・。
円の半径をまだ使っていない！
円の中心Ｏとこの直線との距離が、円の半径５であることを利用できそうです。
点と直線との距離の公式に代入して、
｜－ｍ＋７｜/√(ｍ2＋１)＝５
両辺に√(ｍ2＋１)をかけて、
｜－ｍ＋７｜＝５√(ｍ2＋１)
両辺を２乗して、
(－ｍ＋７)2＝２５(ｍ2＋１)
ｍ2－１４ｍ＋４９＝２５ｍ2＋２５
－２４ｍ2－１４ｍ＋２４＝０
１２ｍ2＋７ｍ－１２＝０
(４ｍ－３)(３ｍ＋４)＝０
ｍ＝３/４ , －４/３
よって、求める接線は、
ｙ－７＝３/４(ｘ－１)を整理して、ｙ＝３/４ｘ＋２５/４
ｙ－７＝－４/３(ｘ－１)を整理して、ｙ＝－４/３＋２５/３
この２本の式が、答です。
ところで、上の接線の公式、中心が原点の円のときですが、もっとそれ以外の点が中心の円でも使えないでしょうか？
そういう公式もあります。
中心が(ａ,ｂ)、半径がｒの円、すなわち、
(ｘ－ａ)2＋(ｙ－ｂ)2＝ｒ2 上の点(ｘ1,ｙ1)における接線の方程式は、
(ｘ1－ａ)(ｘ－ａ)＋(ｙ1－ｂ)(ｙ－ｂ)＝ｒ2
これは、平行移動で考えます。
上の円をＣ: (ｘ－ａ)2＋(ｙ－ｂ)2＝ｒ2 とします。
この円を中心が原点になるような平行移動すると、
円Ｃ': ｘ2＋ｙ2＝ｒ2
となります。
この平行移動により、接点Ａ(ｘ1,ｙ1)は、Ａ'(ｘ1－ａ , ｙ1－ｂ)に移動します。
この点Ａ'における円Ｃ'の接線は、公式により、
(ｘ1－ａ)ｘ＋(ｙ1－ｂ)ｙ＝ｒ2 です。
この接線をもとに位置に平行移動しましょう。
ｘ軸方向にａ、ｙ軸方向にｂだけ平行移動すれば戻ります。
よって、求める方程式は、
(ｘ1－ａ)(ｘ－ａ)＋(ｙ1－ｂ)(ｙ－ｂ)＝ｒ2
です。
途中でよくわからないところがあった人は、おそらく、平行移動のところが曖昧になっていると思いますので、見直すと、意味がわかると思います。
問題 円(ｘ－１)2＋(ｙ－２)2＝２５上の点(４,６)における接線の方程式を求めよ。
上の公式に代入すれば求められます。
(４－１)(ｘ－１)＋(６－２)(ｙ－２)＝２５
これを整理します。
３(ｘ－１)＋４(ｙ－２)＝２５
３ｘ－３＋４ｙ－８＝２５
３ｘ＋４ｙ＝３６
これで答です。
では、こんな問題は？
問題 円ｘ2＋ｙ2－２ｘ－４ｙ－４＝０に接し、傾きが２である直線の方程式を求めよ。
与えられた円の方程式を整理しておきましょう。
(ｘ－１)2＋(ｙ－２)2＝４＋１＋４
(ｘ－１)2＋(ｙ－２)2＝９
よって、この円の中心は(１,２)、半径は３です。
さて、求めるのは接線です。
直線で、傾きが２であることがわかっていますから、文字を用いて、
ｙ＝２ｘ＋ｎ とおきましょう。
ｎを求めるために、何か方程式を立てたいです。
円の中心と直線との距離は、円の半径のことですから３です。
これが使えそうです。
ｙ＝２ｘ＋ｎ を整理すると、
２ｘ－ｙ＋ｎ＝０
これと点(１,２)との距離は、
｜２－２＋ｎ｜/√(４＋１)＝３
これを計算すると、
｜ｎ｜＝３√５
ｎ＝±３√５
よって、求める直線の式は、
ｙ＝２ｘ±３√５
できました。
こういう問題が苦手な人は、とにかく、何か文字を使って、求めたい式を表しておき、その文字に関する方程式を立てるんだ、という解き方の流れを把握しておくと、何をしたらよいか、指針が見えてくると思います。
解き方を丸暗記するには、問題のバリエーションが多いです。
１問１問暗記しても、テストは別の形式の問題が出題されるかもしれません。
覚えるべきは、解き方の指針です。
そして、どんな公式や定理を使うことが多いのか、です。
接線の公式は勿論ですが、これまでに学習した直線の式や、点と直線との距離など、よく使う公式を把握しておくと発想しやすくなります。
まずは、公式を確認しましょう。
円 ｘ2＋ｙ2＝ｒ2 上の点Ａ(ｘ1 , ｙ1)における接線の方程式は、
ｘ1・ｘ＋ｙ1・ｙ＝ｒ2
証明しましょう。
この円の中心は原点Ｏです。
まず点Ａが、ｘ軸・ｙ軸上の点ではないとき、
直線ＯＡの傾きは、ｙ1/ｘ1 となります。
また、接線は、円の半径である線分ＯＡと垂直ですから、接線の傾きは、
－ｘ1/ｙ1
となります。
垂直に交わる直線の傾きの積は－１だからです。
よって、求める接線は、傾きが －ｘ1/ｙ1 で、点(ｘ1,ｙ1)を通る直線ですから、
ｙ－ｙ1＝－ｘ1/ｙ1(ｘ－ｘ1)
これを変形しましょう。
両辺にｙ1をかけて、
ｙ1(ｙ－ｙ1)＝－ｘ1(ｘ－ｘ1)
展開すると、
ｙ1・ｙ－ｙ1の２乗＝－ｘ1・ｘ＋ｘ1の２乗
移項して、
ｘ1・ｘ＋ｙ1・ｙ＝ｘ1の２乗＋ｙ1の２乗
ここで、点Ａはこの円上の点だから、(ｘ1,ｙ1)は、この円の方程式の関係を満たすので、
ｘ1の２乗＋ｙ1の２乗＝ｒ2
よって、
ｘ1・ｘ＋ｙ1・ｙ＝ｒ2
これが、接線の方程式です。
なお、点Ａが、ｘ軸上にあるとき、接線の方程式は、円の半径より、
ｘ＝ｒ または、ｘ＝－ｒ です。
上の公式に代入した場合、
(ｘ1,ｙ1)＝(ｒ,０)のとき、
ｒｘ＋０・ｙ＝ｒ2
ｒｘ＝ｒ2
ｘ＝ｒ
また、(ｘ1,ｙ1)＝(－ｒ,０)のとき、
－ｒｘ＋０・ｙ＝ｒ2
－ｒｘ＝ｒ2
ｘ＝－ｒ
となり、上の公式を用いてよいことがわかります。
点Ａがｙ軸上にあるときも同様に、代入すると、
ｙ＝ｒ または、ｙ＝－ｒ
という式を得ることができます。
さて、公式を証明できたので、練習してみましょう。
問題 円ｘ2＋ｙ2＝２５がある。
(１) 円上の点(２,√２１)における接線の方程式を求めよ。
(２) 円外の点(１,７)からこの円にひいた接線の方程式を求めよ。
(１)は、接線の公式に代入するだけですね。
ｘ1・ｘ＋ｙ1・ｙ＝ｒ2 に代入して、
２ｘ＋√２１ｙ＝２５
これでもう答です。
(２)は、接点がわからないことに注意が必要です。
公式に(１,７)を代入しても、別の式が出来てしまうだけです。
公式を使うだけというわけにいきません。
では、求める式を、何か文字を使って表すことはできないでしょうか？
求める式は、接線ですから、直線の式です。
情報としては、点(１,７)を通ることはわかっています。
直線の公式を思い出してみると、傾きか、あと１点の座標を文字にすれば、仮の式を立てることができそうです。
どちらでもいけそうですが、傾きを文字に置いたほうが簡単そうな気がするので、それでやってみましょう。
求める接線の傾きをｍとすると、点(１,７)を通ることより、
ｙ－７＝ｍ(ｘ－１)
これを整理すると、
ｙ－７＝ｍｘ－ｍ
－ｍｘ＋ｙ＋ｍ－７＝０
ｍｘ－ｙ－ｍ＋７＝０
あとは、このｍの値を求めればよいのです。
ｍを使った、何か別の方程式を立てましょう。
使っていない情報は・・・。
円の半径をまだ使っていない！
円の中心Ｏとこの直線との距離が、円の半径５であることを利用できそうです。
点と直線との距離の公式に代入して、
｜－ｍ＋７｜/√(ｍ2＋１)＝５
両辺に√(ｍ2＋１)をかけて、
｜－ｍ＋７｜＝５√(ｍ2＋１)
両辺を２乗して、
(－ｍ＋７)2＝２５(ｍ2＋１)
ｍ2－１４ｍ＋４９＝２５ｍ2＋２５
－２４ｍ2－１４ｍ＋２４＝０
１２ｍ2＋７ｍ－１２＝０
(４ｍ－３)(３ｍ＋４)＝０
ｍ＝３/４ , －４/３
よって、求める接線は、
ｙ－７＝３/４(ｘ－１)を整理して、ｙ＝３/４ｘ＋２５/４
ｙ－７＝－４/３(ｘ－１)を整理して、ｙ＝－４/３＋２５/３
この２本の式が、答です。
ところで、上の接線の公式、中心が原点の円のときですが、もっとそれ以外の点が中心の円でも使えないでしょうか？
そういう公式もあります。
中心が(ａ,ｂ)、半径がｒの円、すなわち、
(ｘ－ａ)2＋(ｙ－ｂ)2＝ｒ2 上の点(ｘ1,ｙ1)における接線の方程式は、
(ｘ1－ａ)(ｘ－ａ)＋(ｙ1－ｂ)(ｙ－ｂ)＝ｒ2
これは、平行移動で考えます。
上の円をＣ: (ｘ－ａ)2＋(ｙ－ｂ)2＝ｒ2 とします。
この円を中心が原点になるような平行移動すると、
円Ｃ': ｘ2＋ｙ2＝ｒ2
となります。
この平行移動により、接点Ａ(ｘ1,ｙ1)は、Ａ'(ｘ1－ａ , ｙ1－ｂ)に移動します。
この点Ａ'における円Ｃ'の接線は、公式により、
(ｘ1－ａ)ｘ＋(ｙ1－ｂ)ｙ＝ｒ2 です。
この接線をもとに位置に平行移動しましょう。
ｘ軸方向にａ、ｙ軸方向にｂだけ平行移動すれば戻ります。
よって、求める方程式は、
(ｘ1－ａ)(ｘ－ａ)＋(ｙ1－ｂ)(ｙ－ｂ)＝ｒ2
です。
途中でよくわからないところがあった人は、おそらく、平行移動のところが曖昧になっていると思いますので、見直すと、意味がわかると思います。
問題 円(ｘ－１)2＋(ｙ－２)2＝２５上の点(４,６)における接線の方程式を求めよ。
上の公式に代入すれば求められます。
(４－１)(ｘ－１)＋(６－２)(ｙ－２)＝２５
これを整理します。
３(ｘ－１)＋４(ｙ－２)＝２５
３ｘ－３＋４ｙ－８＝２５
３ｘ＋４ｙ＝３６
これで答です。
では、こんな問題は？
問題 円ｘ2＋ｙ2－２ｘ－４ｙ－４＝０に接し、傾きが２である直線の方程式を求めよ。
与えられた円の方程式を整理しておきましょう。
(ｘ－１)2＋(ｙ－２)2＝４＋１＋４
(ｘ－１)2＋(ｙ－２)2＝９
よって、この円の中心は(１,２)、半径は３です。
さて、求めるのは接線です。
直線で、傾きが２であることがわかっていますから、文字を用いて、
ｙ＝２ｘ＋ｎ とおきましょう。
ｎを求めるために、何か方程式を立てたいです。
円の中心と直線との距離は、円の半径のことですから３です。
これが使えそうです。
ｙ＝２ｘ＋ｎ を整理すると、
２ｘ－ｙ＋ｎ＝０
これと点(１,２)との距離は、
｜２－２＋ｎ｜/√(４＋１)＝３
これを計算すると、
｜ｎ｜＝３√５
ｎ＝±３√５
よって、求める直線の式は、
ｙ＝２ｘ±３√５
できました。
こういう問題が苦手な人は、とにかく、何か文字を使って、求めたい式を表しておき、その文字に関する方程式を立てるんだ、という解き方の流れを把握しておくと、何をしたらよいか、指針が見えてくると思います。
解き方を丸暗記するには、問題のバリエーションが多いです。
１問１問暗記しても、テストは別の形式の問題が出題されるかもしれません。
覚えるべきは、解き方の指針です。
そして、どんな公式や定理を使うことが多いのか、です。
接線の公式は勿論ですが、これまでに学習した直線の式や、点と直線との距離など、よく使う公式を把握しておくと発想しやすくなります。
Posted by セギ at 12:33│Comments(0)
│算数・数学
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