2020年04月12日
高校数Ⅱ「式と証明」。高次方程式。
今回も「因数定理・高次方程式」に関する問題です。
問題 方程式 ｘ4－３ｘ3＋ａｘ2＋ｂｘ－４＝０ がｘ＝１、２を解にもつとき、定数ａ、ｂの値と他の解を求めよ。
中３の「２次方程式」の頃から、このタイプの問題はよく出題されていますね。
その頃と解き方も同じです。
ｘ＝１、２が解なのですから、もとの方程式にｘ＝１とｘ＝２を代入できます。
やってみましょう。
ｘ＝１ を代入して、
１－３＋ａ＋ｂ－４＝０
整理しましょう。
ａ＋ｂ＝６ ・・・➀
ｘ＝２を代入して、
１６－２４＋４ｘ＋２ｂ－４＝０
整理すると、
４ａ＋２ｂ＝１２
両辺を２で割って、
２ａ＋ｂ＝６ ・・・➁
文字はａとｂの２種類。式は２本。
これは連立方程式として解けます。
➁－➀
ａ＝０ ・・・➂
➂を➀に代入して
ｂ＝６
ここで問題を見直します。
何を求めるんでしたっけ？
他の解も求めるのですね。
では、ａ、ｂの値をもとの方程式に代入します。
ｘ4－３ｘ3＋６ｘ－４＝０
この４次方程式を解きます。
ｘ＝１、２は既にわかっていますので、それを利用して組立除法をしましょう。
１ －３ ０ ６ －４ |１
１ －２ －２ ４
１ －２ －２ ４ ０ |２
２ ０ －４
１ ０ －２ ０
よって、与式は、
(ｘ－１)(ｘ－２)(ｘ2－２)＝０ と因数分解できます。
ｘ2－２＝０ の場合、
ｘ2＝２
ｘ＝±√２ です。
したがって、この問題の解答は、ａ＝０、ｂ＝６、他の解 ｘ＝±√２ となります。
問題 実数係数の方程式ｘ3＋ａｘ2＋ｂｘ＋６＝０がｘ＝１＋√２ ｉ を解にもつとき、定数ａ、ｂの値と他の解を求めよ。
あれ？文字が２つなのに、与えられた解が１つしかない？
しかも、解が複素数なので、計算がごちゃごちゃしそうです。
ここで登場するのが、「共役な複素数」です。
複素数を最初に学習したときに出てきた言葉でした。
複素数ａ＋√ｂ ｉ と共役な複素数は、ａ－√ｂ ｉ です。
これは定義ですので、「なぜ？」という質問は不要です。
「共役の複素数」と呼ぶと決めただけのことなので、それ以上の理由はありません。
と説明すると不審そうな顔をする高校生もいるのですが、それはおそらく「共役」という言葉が耳慣れず、その言葉の意味を説明してほしくて質問しているのかもしれません。
どのへんが共役なのかというと、
ｘ＝ａ＋√ｂ ｉ が解である方程式は、ｘ＝ａ－√ｂ ｉ も解なのです。
これを本格的に証明しようとすると、いろいろと面倒くさいことになるのですが、感覚的には理解しやすいことだと思います。
２次方程式の解の公式を思い出してください。
ｘ＝－ｂ±√ｂ2－４ａｃ /２
この解の公式を眺めていると、ルートの前の符号が＋と－の２つの解が同時に得られますね。
共役な２つの解が同時に得られるのです。
証明せよと言われない限り、そういう把握で十分です。
上の問題に戻りましょう。
ｘ＝１＋√２ ｉ が解のとき、それと共役なｘ＝１－√２ ｉ も解です。
したがって、上の方程式の左辺は、
｛ｘ－（１＋√２ｉ）｝｛ｘ－（１－√２ｉ）｝（ｘ＋ｐ）
と因数分解できます。
前半の２つの｛ ｝を展開して１つの（ ）にまとめてみましょう。
複素数ではない、簡単な式に整理できるんです。
｛ｘ－（１＋√２ｉ）｝｛ｘ－（１－√２ｉ）｝
＝ｘ2－（１＋√２ｉ＋１－√２ｉ）ｘ＋（１＋√２ｉ）（１－√２ｉ）
＝ｘ2－２ｘ＋１－√２2ｉ2
＝ｘ2－２ｘ＋１＋２
＝ｘ2－２ｘ＋３
よって、上の方程式の左辺は、
（ｘ2－２ｘ＋３）（ｘ＋ｐ）
となります。
展開しましょう。
ｘ3＋ｐｘ2－２ｘ2－２ｐｘ＋３ｘ＋３ｐ
ｘについて降べきの順に整理しましょう。
＝ｘ3＋（ｐ－２）ｘ2＋（－２ｐ＋３）ｘ＋３ｐ
これがもとの方程式の左辺と等しいのですから、
ｘ3＋ａｘ2＋ｂｘ＋６＝ｘ3＋（ｐ－２）ｘ2＋（－２ｐ＋３）ｘ＋３ｐ
係数を比較して、
ａ＝ｐ－２ ・・・➀
ｂ＝－２ｐ＋３ ・・・➁
６＝３ｐ ・・・➂
という３本の式が得られます。
文字が３種類、式が３本。
連立方程式として解くことができます。
➂より ｐ＝２
これを➀に代入して、ａ＝０
➁に代入して、ｂ＝－１
他の解も求めなければなりませんが、今回は、もとの式に代入して組立除法で解き直す必要はありません。
もとの方程式の左辺は、途中で ｐ を用いた因数分解をしてありましたので、
（ｘ2－２ｘ＋３）（ｘ＋ｐ）＝０
ということです。
では、解の１つはｘ＝－ｐ、すなわち、x＝－２です。
忘れてはいけないのは、最初に見つけた共役な複素数もｘの解であること。
よって、この問題の解答は、
ａ＝０、ｂ＝－１、他の解ｘ＝１－√２ｉ、－２ となります。
Posted by セギ at 13:54│Comments(0)
│算数・数学
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