たまりば

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2019年12月01日

高校数Ⅱ「式と証明」。複素数。解と係数の関係。

高校数Ⅱ「式と証明」。複素数。解と係数の関係。

今回は、「解と係数の関係」。
これは、数Ⅰで学習済みの内容です。
それに虚数解を加えたのが今回の学習内容です。

解と係数の関係とは?
2次方程式 ax2+bx+c=0 の2つの解をα、βとすると、
α+β=-b/a 、αβ=c/a

これが解と係数の関係です。
説明しましょう。

α、βを解に持つ2次方程式の1つは、
(x-α)(x-β)=0 と表すことができます。
これを展開すると、
x2-αx-βx+αβ=0
x2-(α+β)x+αβ=0 ・・・①
となります。
一方、ax2+bx+c=0 の両辺をaで割ると、
x2+b/ax+c/a=0 ・・・②
①と②は同じ方程式ですから、係数を比較すると、
α+β=-b/a 、αβ=c/a

この説明では、α、βを解に持つ2次方程式の1つは、(x-α)(x-β)=0 と表すことができる。
というところが少し難しいところかもしれません。

(x-2)(x-3)=0
という2次方程式を解けと言われたら、
x=2、3
という解になります。
逆に、解がx=2、3 である2次方程式を復元するなら、
(x-2)(x-3)=0は、その1つです。
「1つ」というのは、x2の係数は1とは限りませんから、上の式の両辺を何倍かした方程式は全て、x=2、3 を解に持ちます。
ですから、x=2、3 を解にもつ方程式は無数に存在するけれど、とにかく、(x-2)(x-3)=0 はその1つです。
同じように、解がx=α、β である2次方程式の1つは、
(x-α)(x-β)=0 です。
ここがわかれば、その後は特に難しいことはないと思います。
符号処理で少し混乱する人がいるかな?というくらいでしょう。


(x-2)(x-3)=0
のような、因数分解を用いた2次方程式の解法は、中3で学習する内容です。
解くことはできても、なぜそれで解けるのか、本質を理解していない人は案外多いところです。
本質を理解していない人は、例えば、
x(x-2)=0
のように少し目先が変わると、正解できません。
x=0 という解を発見できず、x=2 のみ答えて不正解となってしまうことが多いのです。

(x-2)(x-3)=0 
これは、(x-2)と(x-3)との積が0だということです。
かけ算の答えが0になるとき、少なくとも一方は0です。
だから、x-2=0、または x-3=0
よって、x=2、または x=3
これが、因数分解による解き方の意味です。
だから、
x(x-2)=0 のときは、
x=0 または、x-2=0 となり、
x=0、または x=2 となります。


2次方程式の解と係数に関する問題を実際に解いてみましょう。

問題 2数 2+√5i 、2-√5i を解とするxの2次方程式を求めよ。

もう一度確認しますが、α、βを解とするxの2次方程式の1つは、x2-(α+β)x+αβ=0 です。
ですから、α+βとαβ、すなわち、2つの解の和と積を求めれば、2次方程式は楽に復元できます。
上の問題で2数の和は、
(2+√5i)+(2-√5i)=4
2数の積は、(2+√5i)(2-√5i)=4-5i2=4-5・(-1)=4+5=9
よって、求める2次方程式は、
x2-4x+9=0です。


問題 連立方程式 x+y=-4、xy=6 を解け。

急に応用になって、え?どういうこと?と思いますね。
この学習の流れでないならば、普通に代入法で解くことを思いつくでしょう。
まずはそれでやってみましょう。

x+y=-4 より y=-x-4
これをxy=6 に代入して、
x(-x-4)=6
-x2-4x-6=0
x2+4x+6=0
解の公式を用いて、
;x=-2±√4-6
 =-2±√-2
 =-2±√2 i
x=-2+√2 i をx+y=-4 に代入して、
-2+√2 i +y=-4
y=-4+2-√2 i
 =-2-√2 i
また、x=-2-√2 i をx+y=-4 に代入して、
-2-√2 i+y=-4
y=-4+2+√2 i
 =-2+√2 i
よって、(x、y)=(-2+√2i、-2-√2i)、(-2-√2i、-2+√2i)

これで構わないわけですが、与えられたのがxとyの和と積であることを利用する解き方もあります。
αとβが解である2次方程式の1つは、
x2-(α+β)+αβ=0 でした。
和と積がわかっていれば、その2数を解とする2次方程式はすぐに作れるということです。
では、x と y の和と積がわかっている今回、その2数を解とする2次方程式はすぐに作れるんじゃないでしょうか。
x と y が今回はαとβにあたるのです。
だから、xやyとは違う文字の2次方程式にしましょう。
t を用いてみます。
t2-(x+y)t+xy=0 
という式の解は、t=x、y 
となる仕組みですね。
よって、
+4t+6=0
t=-2±√4-6
 =-2±√2 i
xとyはこの方程式の2つの解で、どちらがどちらであると特定できるものではありません。
したがって、
(x、y)=(-2+√2 i、-2-√2 i)、(-2-√2i、-2+√2i)

どちらの解き方でも良いのですが、こちらのほうが早く解けます。
いすれ高校でもアクティブラーニングが本格的に導入されます。
教科書に載っている解き方を丸暗記して解くのではなく、何通りもの解き方を理解し、最善の解き方を判断していくことが重要です。






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